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Corso di Progettazione Assistita delle Strutture Meccaniche

Corso dia

PROGETTAZIONE ASSISTITA DELLE STRUTTURE MECCANICHE

Rev: 02 del 03/10/2008

ica Rev: 02 del 03/10/2008

DOCENTE: Leonardo BERTINI

ia DOCENTE: Leonardo BERTINI

Dip. di Ingegneria Meccanica, Nucleare e della Produzione,

I 1° piano

Tel : 050 836621

i Tel. : 050-836621

E.mail : leonardo.bertini@ing.unipi.it

alis E.mail : leonardo.bertini@ing.unipi.it

CONTENUTI DEL CORSOa

CONTENUTI DEL CORSO

LEZIONI

ica LEZIONI

• Basi teoriche del MEF• Applicazione del MEF a problemi strutturali in campo elastico lineare

ia • Analisi critica dei risultati di un modello ad EF• Criteri di modellazione di strutture con il MEF

ESERCITAZIONI• Uso del programma ANSYS• Esempi significativi di applicazione del MEF a problemi strutturali

i Esempi significativi di applicazione del MEF a problemi strutturali

Elasticità Elettromagnetismoa

TermodinamicaFluidodinamica

Etc…

Sistemi di equazioni differenziali alle

I qderivate parziali

⎧ ⎞⎛ ∂∂∂∂1 Xwvu

⎪⎪⎪

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ∂

+∂∂

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

E qni di Navier

⎪⎪⎪

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⋅+∇

=+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ∂

+∂∂

⋅−

GZwvuw

Gzyxyv

νE.qni di Navier

⎪⎩

⎟⎠

⎜⎝ ∂∂∂∂− 21 Gzyxzν

S l i i liti h l i i ti l i i t d d il tia

Soluzioni analitiche: solo in casi particolari, introducendo rilevanti semplificazioni (travi, piastre, gusci…)

Sviluppo di tecniche di soluzione approssimate

Metodi di soluzione approssimata:• Differenze finite

• Elementi Finiti• Elementi di contorno• Metodi “mesh free”

ia Metodi mesh free• …

Il Metodo degli Elementi Finiti (MEF) è oggi di gran lunga il più diffuso, soprattutto a causa della sua estrema versatilità

Idea centrale del MEF (e delle altre tecniche approssimate):a

Idea centrale del MEF (e delle altre tecniche approssimate):

Problema originale: determinare le f.ni incognite u, v, w

⎪⎪⎧

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⋅+∇ 021

⎪⎪

⎨ =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

⎟⎠

⎜⎝ ∂∂∂∂−

⎪⎪⎪

⎩=+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⋅−

⎠⎝

Problema sostitutivo: determinare delle funzioni sostitutive che approssimino u v e w con un errore accettabile ai fini pratici e siano

alis approssimino u, v e w con un errore accettabile ai fini pratici e siano

relativamente facili da calcolare

Esempio di funzione approssimante(problema monodimensionale)

(problema monodimensionale)a

u’(x)

i xF.ne sostitutiva u’(x):• espressione matematica semplice• nota ovunque una volta noto il valore di un n° finito di parametri

alis nota ovunque una volta noto il valore di un n finito di parametri

Oss.ni: •necessario assicurare la convergenza

necessario assicurare la convergenza• soluzione affetta da errori

Discretizzazionea

(a)elemento

alis ( ) (b)

Struttura Modello (“mesh”)

Esempi di elementi piani con diverse disposizioni dei nodi

ia nodo

elemento

Nodi ed elementi identificati da un numero univocoa 1 2 3 54 6 7

Nodi ed elementi identificati da un numero univocoa

1 2 3 54 68 9 10 1211 13 14

ia 7 8 9 1110 12

13 14 15 1716 18

15 16 17 1918 20 21

22 23 24 2625 27 28

i = n° di elemento

i = n° di nodo

Gradi di libertà (g.d.l.)a

(g.d.l.)

ia 7’

yN° g.d.l./nodo varia da 2 a 6 secondo:

i di l

x• tipo di elemento• natura problema

N° totale g.d.l. = N° g.d.l./nodo * N° nodi

Studio del comportamento meccanico del singolo elementoa

Elemento piano per problemi 2D

ia © Università di Pisa 2006

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧ xi

i j vxj

{ } ⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨=⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨= xj

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨=

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨=

4(6 x 1)

x⎪⎪⎭⎪

⎪⎩⎪

⎪⎭⎪

⎪⎩ yk

Studio del comportamento meccanico del singolo elementoa

Elemento piano per problemi 2D

i kqxi

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧ xi

ia eqyi

{ }⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨=⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨= xj

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧ xi

e vu1⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩ yk

i j vxj

{ } ⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

1⎪⎭⎪⎩⎪⎭⎪⎩ ykqp6

alis y{ }

⎪⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪⎪

⎪⎨=

⎪⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪⎪

⎪⎨=

{Ue} {Pe}?

x⎪⎪⎭⎪

⎪⎩⎪

⎪⎭⎪

⎪⎩ yk

xke vu6

Studio condotto in campo lineare:a { } [ ] { }UKP eee

Studio condotto in campo lineare:a

ica { } [ ] { }

166616 xxxUKP eee ⋅=

ia 166616 xxx

Matrice di rigidezza dell’elemento

Significato fisico dei termini della matrice di rigidezza, kij“C di t ” i l

i k“Cedimento” vincolare:

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

001615141312111

kkkkkkkkkkkk

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧00

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨⋅⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨ 010

363534333231

262524232221

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

e { }⎪⎪

⎪⎪

⎨=U e

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩ 000

565554535251

464544434241

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

e 1⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

i ⎪⎭⎪⎩⎥⎦⎢⎣⎪⎭⎪⎩ 06665646362616 kkkkkkpe

23262322212 0...100 kkkkkpe =⋅++⋅+⋅+⋅=

....; 434333 kpkp ee ==

Il termine km,n di [Ke] è pari alla reazione vincolare presente secondo ilgrado di libertà “m” (m=1,..6), se si applica un sistema di spostamentinodali in cui tutte le componenti sono nulle tranne la “n-esima” che

assume valore pari ad 1

k25k63

I i ke∑= e

nmem ukp

nnmmp ,

alis j

y“peso” di un nel contribuire a pm

Elemento = molla “multidimensionalea F

xF=k x

{ } [ ] { }UKP eee

qyi vyj{ } [ ] { }UKP eee ⋅=

alis jx

Teorema di reciprocitàa

δΑΒAδ

A BδΒΑ

ia δΑΒ= δΒΑ

e = ple

eium=1

kml = klm

alis pm

eml lm

[Ke] simmetricaCd

ul= 1j

pl[Ke] simmetrica

Valutazione di [Ke]a

i kIn casi semplici è possibile calcolarele reazioni vincolari in presenza di

“cedimenti vincolari” dei nodi (Es.elementi trave)

i xsi ottengono immediatamente le

In generale, questa procedura non è praticabile per un elemento di forma genericaC

forma generica

Spostamenti nei punti interni all’elementoa

Spostamenti nei punti interni all elemento

{ } [ ] { })(),(

)( UNyxv eex

⎬⎫

⎨⎧

P(x,y)

{ } [ ] { }16621212

),(),(

UyxNyxv

yxv ee

⎭⎬

⎩⎨=

F.ni di forma (“shape functions”)

I j( )∑

erlr uyxNv

Ogni f.ne di forma rappresenta il “peso” (dipendente dalla posizione di P) che ciascuna componente di spostamento nodale ha nel determinare

Pb: - che forma matematica dare alle Ne(x y) ?

lo spostamento di P

Pb: - che forma matematica dare alle N (x,y) ?- come determinare le Ne(x,y) ?

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧ xivu1

P(x,y)

{ } ⎪⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪⎪

⎨=⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

I j vxP(x,y){ }

⎪⎪⎪⎪

i ⎭⎩⎭⎩ yk6 6

),(),(),(

uyxNyxvyxv

ljjeljjxjj =⋅== ∑

⎧ ≠ 30 lse

3212111 ....),(),( uuyxNuyxN jje

jje =+⋅+⋅=

⎩⎨⎧

),(1 lselse

yxN jjel

)()()()(6

∑ NNN eeea

....),(),(),(),( 2121111

11 +⋅+⋅=⋅= ∑=

uyxNuyxNuyxNyxv jje

( ) ( )⎪⎧ == 0,1, 1411 ii

e yxNyxN v P(x y) v⎧ =1)( yxN ⎧ 0)( yxN

( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎪⎨

0,0,0,0,0,1,

yxNyxNyxNyxNyxNyxN

vy P(x,y)

P(x y)⎪⎩

⎪⎨

0)(0),(1),(

NyxNyxN

⎪⎨

0),(0),(

yxNyxN

ia ( ) ( )⎩ 0,0, 1613 iiii yxNyxN vx

( ) ( )⎪⎧ == 0,0, 1411 jj

e yxNyxN

vxP(x,y)⎪⎩ = 0),(11 kk yxN

⎧ = 0),(13 ii yxN

⎪⎩ = 0),(12 kk yxN

⎧ = 0),(14 ii yxN

j ⎫⎧⎫⎧ ivu

( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎪⎨

0,1,0,0,

yxNyxNyxNyxN vy

P(x y)⎪⎩

⎪⎨

0)(1),(0),(

NyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

0)(0),(0),(

NyxNyxN

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

1( ) ( )⎩ 1613 jjjj yy

( ) ( )⎪⎧ == 0,0, 1411 kk

e yxNyxN

vxP(x,y)⎪⎩ = 0),(13 kk yxN

⎧ = 0)( yxN

⎪⎩ = 0),(14 kk yxN

⎧ = 0)( yxN

{ }⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨=

3( ) ( )( ) ( )( ) ( )⎪

⎪⎨

0,0,1,0,

yxNyxNyxNyxNyy

⎪⎨

0),(0),(

yxNyxN

⎪⎨

0),(0),(

yxNyxN

⎭⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩ yk

( ) ( )⎩ ,, 1613 kkkk yy ⎪⎩ =1),(15 kk yxN ⎪

⎩ = 0),(16 kk yxN

CBAN e ++)(⎧ =1)( yxNa

yCxBAyxN lmlmlmelm ⋅+⋅+=),(

⎪⎩

⎪⎨

0)(0),(1),(

NyxNyxN

ica ⎪

⎩ = 0),(11 kk yxN

⎧ 1CBA

ia i k11

⎪⎨

⎧=++=++

111111

yCxBAyCxBA

y⎪⎩ =++ 0111111 kk yCxBA

⎪⎪⎧

jkkj yxyxA

⎤⎡ yx1

⎪⎪

⎪⎪⎨ Δ

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=Δ jj

⎪⎪⎩ Δ

211jk xx

C⎥⎦⎢⎣ kk yx1

1a i k

y i kN13

i kN15

kInterpretazione geometrica

I N11N15

⎧ 0)(Na

⎪⎨

0),(0),(

yxNyxN

ica ⎪⎩ = 0),(12 kk yxN

i kN12 0

⎪⎨

⎧=++=++

121212

yCxBAyCxBA

y⎪⎩

⎨=++ 0

121212

yCxBAyCx

⎧ 0A

⎪⎩

⎪⎨

⎪⎩ = 012C

Matrice delle funzioni di formaa

⎫⎧

{ } [ ] { }),(),(),(

),( UyxNyxvyxv

yxv ee

x ⋅=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

16621212 xxxx⎭⎩

( ) ( ) ( ) ⎤⎡ 000 NNN

i ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=== 152613241122

151311

0000,0,0,

NNNNNNyxNyxNyxN

Calcolo delle deformazionia

Spostamenti Deformazionicongruenza

⎧ ∂ ⎤⎡ ∂

⎪⎪⎪⎧

∂∂∂

( )yxvxx

0⎫⎧⎥

⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

∂∂∂

⎪⎫

⎪⎧ε

⎪⎪

⎪⎨

∂∂∂∂

yε( )( ) [ ] ( ){ }yxvL

yxvyxv

0 =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∂∂∂∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨γε

⎪⎪⎩ ∂

∂∂

xyγxy

xy⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ ∂∂

∂∂⎭⎩γ

{ } [ ]{ }),(),( yxvLyx =ε { } [ ]{ }),(),( eUyxNyxv =

2x13x23x1 166212 xxx

{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }ee UBUNL ==ε

i { } [ ][ ]{ } [ ]{ }6x13x63x1

UBUNLε

Contenuto matrice [B]a

⎥⎤

⎢⎡ ∂ 0

[ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

∂∂

== 151311

000000

NNNNNN

[ ] [ ][ ] ⎥⎦

⎢⎣

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ ∂∂

∂∂

∂ 262422 000 NNN

I ⎦⎣ ∂∂ xy

⎥⎤

⎢⎡ ∂∂∂ NNN 151311 000

[ ] ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

∂∂∂∂

∂∂

B 262422

151311

alis [ ]

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

∂∂∂∂∂∂∂∂∂

NNNNNNyyy

261524132211

⎥⎦

⎢⎣ ∂∂∂∂∂∂ xyxyxy

CBAN ++a

yCxBAN 11111111 ++=a

∂211

11 kj yyB

∂211

11 jk xxC

I Δ∂ 2y

⎤⎡

[ ] ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

= 262422

151311

000000

CCCBBB

alis [ ]

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ 261524132211

262422 000BCBCBCCCCB

Relazioni costitutivea

Relazioni costitutive

E i 1 t t i di t i t i l i t

⎧ νσ

Esempio 1: stato piano di tensione, materiale isotropo

⎪⎪⎪

⎧−=

νσσ

νσσε

⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧⎥⎤

⎢⎡

⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧ xx Eενσ 01

( )⎪⎪⎪

⎪⎨

−=EE

τνγ

12 ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

ντσ

2/10001

⎪⎩ Exyγ ⎭⎩⎭⎩

{ } [ ]{ }εσ D=

Relazioni costitutivea

Esempio 2: stato piano di deformazione, materiale isotropo

⎪⎪⎪⎧

−−=EEE

νσνσσε

[ ] ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

νννν

ED( )12⎪⎪

⎪⎪⎨

−−=EEE

νσνσσε

I [ ] ( )( ) ( ) ⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−

2/210001

νννν

D( )⎪⎪⎩

τνγ

0=−−=EEE

νσνσσε

alis EEE

Valutazione di [Ke]a

Principio dei Lavori Virtuali

L t = Li t

{δUe}

Lest Lint

Carichi nodali veri * Tensioni vere *

{δU }Carichi nodali veri spost.nodali virtuali

Tensioni vere deformazioni virtuali

{ } { }eTeest PUL δ=

Spost virtuali Carichi effettivi

Spost. virtuali Carichi effettivi

{ } { }dVL T∫= σδε { } [ ]{ }eUB δδa

{ } { }dVLV∫= σδεint { } [ ]{ }

{ } { } [ ]TTeT

δδε

ica { } { } [ ]

{ } [ ] { }dVBUL TTe∫= σδint { } [ ] { }dVBU TTe ∫= σδ

{ } [ ] { }dVBULV∫ σδint

{ } [ ]{ }D

{ } [ ] { }dVBUV∫ σδ

{ } [ ] [ ]{ }dVDBUL TTe ∫= εδint

{ } [ ]{ }εσ D=

i { } [ ] [ ]{ }V∫int

{ } [ ]{ }eUB=ε

{ } [ ] [ ][ ]{ }dVUBDBULV

eTTe ∫= δint { } [ ] [ ][ ] { }e

TTe UdVBDBU ∫= δ

{ } [ ] [ ][ ] { }eTTe UdVBDBUL ∫= δ{ } { }eTe PUL δa

{ } [ ] [ ][ ] { }V

UdVBDBUL ∫= δint{ } { }eeest PUL δ=

{ } { } { } [ ] [ ][ ] { }e

TTeeTe UdVBDBUPU ∫= δδ

{ } [ ] [ ][ ] { }e

Te UdVBDBP ∫=

{ } [ ] { }eee UKP

alis { } [ ] { }eee UKP =

Applicazionea

Applicazionee[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBK Te ∫=

ica [ ] [ ] [ ][ ]dVBDBK

⎤⎡ 151311 000 BBB

[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡= 262422

151311

000000

BCBCBCCCC

I ⎥⎦⎢⎣ 261524132211 BCBCBC

⎥⎤

⎢⎡ 01 ν

[ ]( ) ⎥

⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−

=2/100

alis ( ) ⎦⎣

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]VBDBdVBDBK TTe == ∫Cd

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]VBDBdVBDBKV

== ∫

Osservazione: unità di misuraa

[ ] [ ] [ ] [ ]VBDBK Te = m3

[ ] [ ] [ ] [ ]

N 21 1N m-1

I N m-2m-1 m-1

alis mmmm 2

Calcolo della matrice [Ke]a

[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKV

Te ∫=

Integrale calcolato numericamente (Metodo di Gauss)

ia Metodi classici di integrazione:

1) Si scelgono “a priori” n punti, xi

f(x) 2) Si calcolano i valori di f(xi)

3) Si approssima f(x) con il polinomio di grado n-1 passante per i punti scelti

alis per i punti scelti

4) Si integra il polinomio in f hiC

x0 x1forma chiusa

[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKV

Te ∫=

f(x) 2) Si calcolano i valori di f(xi)n = 2

x0 x1forma chiusa

[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKV

Te ∫=

x0 x1forma chiusa

[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKV

Te ∫=

x0 x1forma chiusa

Integrazione secondo Gauss: esempio 1Da ( ) ( )∫ ∑≅

xfWdxxf

Integrale da Valore della f ne nel

ica ( ) ( )∫ ∑

≅Ix i

ii xfWdxxf1

gcalcolare

Valore della f.ne nel punto xi

1) Si fissa n

2) Si l li d i W i

I 2) Si scelgono gli xi ed i Wi in modo da valutare in modo esatto l’integrale di un

n=1f(x)

polinomio di grado 2n-1 sull’intervallo dato

x xI punti xi sono detti “punti di Gauss”

x0 x1 punti di Gauss

Integrazione secondo Gauss: esempio 1Da ( ) ( )∫ ∑≅

xfWdxxf

Integrale da Valore della f ne nel

ica ( ) ( )∫ ∑

≅Ix i

ii xfWdxxf1

gcalcolare

Valore della f.ne nel punto xi

1) Si fissa n

2) Si l li d i W i

I 2) Si scelgono gli xi ed i Wi in modo da valutare in modo esatto l’integrale di un

f(x) n=2

polinomio di grado 2n-1 sull’intervallo dato

x xI punti xi sono detti “punti di Gauss”

x0 x1 punti di Gauss

Vantaggi dell’integrazione secondo Gauss:a

Vantaggi dell integrazione secondo Gauss:

• fissato n consente il calcolo esatto dell’integrale di

ica • fissato n, consente il calcolo esatto dell integrale di

una f.ne di grado 2n-1 anziché n-1

• dato il grado n della f.ne che si vuole poter integrare esattamente richiede il calcolo della f ne

I integrare esattamente, richiede il calcolo della f.ne stessa in (n+1)/2 punti, anziché in n+1 punti

Le posizioni dei punti di Gauss per integrali in 1, 2 e 3 dimensioni sono note per molti domini di

alis 3 dimensioni sono note per molti domini di

integrazione.

ANALISI INTERA STRUTTURAa Congruenza [B]

ica [ ]

Costitutive [D]

ia Costitutive [D]

Equilibrio Garantito per il singolo elemento (non ancora per la

i elemento (non ancora per la struttura)

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧ x uv 11

VETTORI DEGLI SPOSTAMENTIa ⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

1E DEI CARICHI ESTERNI PER L’INTERA STRUTTURA

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎪⎨

−−=

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎪⎨

−−=U

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

−⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

GDLN nyn uv

I ⎭⎩⎭⎩

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧ x

y { } ⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ −=⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ −=x

alis y { }

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−−

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−−

x ⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ GDLN nyn ff

⎪⎫

⎪⎧ u1VETTORI DEGLI SPOSTAMENTI

a ⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

E DEI CARICHI APPLICATI PER L’INTERA STRUTTURA

⎪⎪

⎪⎬

⎪⎪

⎪⎨

−== yvuU 2754

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

27 (i)

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

18 (j) 33 (l)fx18 { } ⎪

⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ =−

31 (k)

x18 { }

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−−== xffF 1835

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ GDLnf

......... 615141312111 kkkkkk eeeeee

⎪⎫

⎪⎧

⎥⎤

⎢⎡

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧

MATRICE DI RIGIDEZZA

{ } [ ]{ } ............... 2

4,33,31,3

6,25,24,23,22,21,2

6,15,14,13,12,11,1

kkkkkkpq

eeeeee

exjeee

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨=⎪

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨⇒=e3,2k

RIGIDEZZA “ESPANSA”PER IL SINGOLO

..................

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩27 (i)

SINGOLO ELEMENTO

ia 18881818 xxxx( )

18 (j) 33 (l)q ....................................⎪⎫

⎪⎧

⎥⎤

⎢⎡

⎪⎫

⎪⎧

31 (k)

( )qxj

)(......

00............................................................

0......

uu e⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

=⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎪⎪⎪⎪⎪

{ } [ ]{ }......

...............000......

...............0)(0......

...............00......

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎪

⇒=e3,2

*e35,54 k

..............................

⎪⎪⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎪⎪⎪⎪⎪

11....................................

)064()08( xnxnnxn gdlgdlgdlgdl cuidicuidi ≠≠

⎪⎪⎭⎪

⎪⎩⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣⎪

⎪⎭⎪

⎪⎩

a 0* =− ∑En

ejj pf

Carico C i li

Carico esterno

Carico applicato nel nodo

ll’ l “ ”

pje1* pj

e1 e2all’elemento “e”fj

4 ∑En

alis e4e3 ∑

jj pf1

{ } [ ]{ }UKP ee ** =a

{ } [ ]{ }UKPa

∑=En

ejj pf *

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑ ∑

E gdln n

ieji uk *

ia =e 1 ⎟⎠

⎜⎝

∑ ∑= =e i

iji1 1

( )**2*1 nkkk E

⎞⎛

( ) =+++++= ......... 21i

njijiji ukkk E

n neji uk

∑ ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= *

i e= =⎟⎠

⎜⎝1 1

∑ *a

eji kk =∑

n nejij ukf

∑ ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= *

ijukgdl

i ejj ∑ ∑

= =⎟⎠

⎜⎝1 1

Matrice di rigidezza

ij∑=1

I Matrice di rigidezza della struttura

{ } [ ]{ }UKF =

nGDLx 1n x n

nGDLx 1

nGDLx nGDL

SOLUZIONEa { } [ ]{ }UKF =

ica { } [ ]{ }UKF =

{ } [ ] { }FKU 1−

I { } [ ] { }FKU =

c.n.s. : [ ] 0det ≠K

alis [ ] 0det

[ ] 0det ≠K Struttura non labilea

VINCOLIa

Vincolare = assegnare “a priori” il valore di una delle componenti di spostamento (g.d.l.)

ica p p (g )

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −−−

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

kkkkkkkk

ff 11112111

⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ −−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−−−−−−

−−−

=⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎨ −−

GDLnm ukkkkf 22222212 um u m

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−−

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−GDL mmnmmmmm ukkkkf ,21

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ −−−⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL nnnmnnnn ukkkkf 21

nGDL •1 nGDL •nGDL nGDL •1

um=u*m

⎫⎧⎤⎡ −−⎫⎧⎫⎧ ukkkkkkf 111111121111

fm non assegnabile

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

−⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

−−−−−−−−−

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

−⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

−+−

kkkkkkkkkk

212122221

111111211

⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−=

⎪⎪

⎨ −−

⎪⎪

⎨ −

+− GDL m

mnmmmmmmmm

kkkkkku

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

−⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−−−−−−−−

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

−⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL

GDLGDL n

nnmnmnnn

mnmmmmmm

ukkkkkkf

1,1,21,

nGDL •1 nGDL •(nGDL-1) (nGDL-1) •1

⎭⎩⎦⎣⎭⎩⎭⎩ + GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL nnnmnmnnnmnn 1121

GDL GDL ( GDL ) ( GDL )

I t d i i l id i di 1 d la

Introduzione vincolo = riduzione di 1 del numero di incognite ed equazioni

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−−−

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧ +− GDLnmmm

kkkkkkkkkk

ff 111111121111

⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−

−−

=⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

−⎪⎪⎪

⎬⎪⎪⎪

−+− GDLnmmm

f 221212222122

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−−−

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

−⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎨

+++−+++

−+−−−−−

nmmmmmmm

kkkkkkkkkk

,11,11,12,11,1

,11,11,11,11,1

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ −−⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ +− GDLGDLGDLGDLGDLGDLGDLGDLGDL nnnmnmnnnmnn ukkkkkkf 1121

(nGDL-1) •1 (nGDL-1) •(nGDL-1) (nGDL-1) •1

a ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

XXXXXXX

0000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXX

0000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXX

000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXMMIS

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXX

La matrice [K]:• è simmetrica

è simmetrica• ha una struttura “a banda” attorno alla diagonale principale

Esistono molti metodi di soluzione del sistema. Uno dei più comuni ed efficienti è il metodo di eliminazione diretta di Gauss.

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎤

⎢⎡ XXXX 00000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

00000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXX

00000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXX

0000000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXX

00000000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXX

00000000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXX

000000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

0000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

0000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

0000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXX

000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXX

00000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXX

0000000000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

XXXXXX

000000000000

000000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

00000000000000000

0000000

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

PASSO 1⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

PASSO 2⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

PASSO 3⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXX

000000000000000

PASSO 4⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXX

000000000000000000000

FINALE

PASSO 1PASSO 2PASSO 3PASSO 4FINALE

Larghezza di banda (“bandwidth”)a

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

XXXXXXXX

0000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

00000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

0000000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXXX

XXXXXX

00000000000000000

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣ XXXXXXXXXXXXXX

0000000000000000000000

alis ⎥⎦⎢⎣ XXXX00000000

° 2b d )l h(i iNCd

GDLn⋅≈° 2banda)largh.(operazioniN

Larghezza di banda Modo di costruire [K]dipende dal

Esistono due modi principali di costruire la matrice [K]:• seguendo l’ordine progressivo dei nodi;

I seguendo l ordine progressivo dei nodi;• seguendo l’ordine progressivo degli elementi

Corso di Progettazione Assistita delle Strutture MeccanicheMax. diff. n° d’ordine per nodi attaccati allo stesso elementoORDINE NODI

9 121110Largh. banda =(nnE+1)nGDL n

N° g.d.l. per nodo

5 876121110987654321

g . b d ( nE ) GDL,n

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

XXXXXXXXX

00000000000000

Largh Banda = 12

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXXXXX

000000000000000Largh. Banda 12

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXX

2 1185

3 1296

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

1 1074

2 1185

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXX1 1074

Largh. Banda = 10

Max. diff. n° d’ordine per elementi attaccati allo stesso nodoORDINE ELEMENTI

9 121110N° nodi per elemento/2

4 5 6 Largh banda ~(n )n n

5 876121110984736521

Largh. banda ~(nEn)nnod,enGDL,n

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

XXXXXXXXX

00000000000000

Largh Banda = 16

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXXXXX

00000000000000Largh. Banda 16

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

XXXXXX

000000

03 12962 4 6

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

1 1074

2 11853 51

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ XXX1 1074

Largh. Banda = 12

Condizioni di convergenza sulle funz.ni di formaa

Condizione 1: la f.ne di spostamento deve dare luogo ad unadeformazione nulla in tutti i punti dell’elemento quando il campo

ica deformazione nulla in tutti i punti dell elemento quando il campo

di spostamenti nodali corrisponde ad un moto rigido.

{ } [ ]{ }eUB=ε⎫⎧Verifica per elemento triangolare

a ⎤⎡ 151311 000 BBB

{ } [ ]{ }UB=ε

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

[ ]⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡= 262422

151311

000BCBCBCCCCB{ }

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨=

ia ⎥⎦⎢⎣ 261524132211 BCBCBC⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

xxxx uBuBuB 151311 ++=εΔ

211kj yy

13ik yyB

15ji yy

+Δ−

uyyuyy

Condizione 2: la f.ne di spostamento deve dare luogo ad unadeformazione costante in tutti i punti dell’elemento quando il

di i d li ibil l di i

ica campo di spostamenti nodali è compatibile con tale condizione.

j ( )ik uxxu −

( )( ) jx

ikkx u

Condizione 3: la f ne di spostamento deve dare luogo aa

Condizione 3: la f.ne di spostamento deve dare luogo adeformazioni limitate all’interfaccia tra elementi diversi.

vx∂ε

ia x xx

x ∂=ε

x∞→ε dx

x ∂∂

ia x xx ∂

xfi ilCd

xfinitovalore→ε

x ∂∂

ia x xx ∂

In generale:S l i li l d i d ll f di

alis Se le ε implicano la derivata n-sima della f.ne di

spostamento, quest’ultima deve essere continuall’i f i Cl di i i à CC

all’interfaccia con Classe di continuità Cn-1

Oss.ne: la funzione di spostamento scelta garantisce talea

p gcontinuità in quanto lo spostamento di un punto appartenente adun lato non dipende dagli spostamenti del nodo opposto

ia i k

y i kN13

i jjxi k

Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sul singolo elemento

alis j

Approssimazione effettiva del campo di spostamenti sull’intero modello

Andamento effettivo delle tensionia Tensioni discontinue nei nodi

u Spostamenticontinui nei nodi Esatto

ia continui nei nodiEF

Esatto

alis Esatto

EF Calcolo di valori mediati nei nodi (media aritmetica o altre tecniche)

xInterpolazione dei valori mediati nodali nelle zone interne (Es. tramite le N)

Dimensioni ottimali degli elementia

Dimensioni ottimali degli elementi

EsattoEF

σEsattoEF

Dimensioni elementii li

Dimensioni elementi

non ottimali ottimali

In casi in cui le tensioni sono intrinsecamente discontinue, l’ i di di i di ò di i i l i i

l’operazione di media nei nodi può diminuire la precisione.Esempio 1 : Lastra in due materiali diversi, soggetta ad allungamento uniforme Mediate

ica allungamento uniforme Mediate

E=105 MPa

E=2.1 105 MPaη

Esempio 2: lastra incastrata agli estremi e caricata al centroσya Mediata

ica Mediata

I Non mediata

Elementi di ordine superiore1

N11i k

y i kn

yy l m

⎪⎨

0)(1),(11 ii

yxNyxN

⎧ =1)( yxN ⎧ = 0)( yxN

⎪⎩

0),(0),(

yxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

0)(0),(1),(

yxNyxNyxN

⎪⎩

⎪⎨

0)(0),(0),(

yxNyxNyxN

yCxBAyxN lmlmlmelm +⋅+⋅+=),(

⎩ = 0),(11 kk yxN ⎩ = 0),(11 nn yxN

xyFyExD lmlmlm ⋅+⋅+⋅+ 22

Elemento con F ne Forma quadraticaa T i i di i i di

Elemento con F.ne Forma quadraticaa

uTensioni discontinue nei nodi

SpostamentiE

ia continui nei nodi EsattoEF

Esattox

Carichi non concentrati Forze di volumea

i k{ }tForze di volume

tyLavoro forze di volume

{ } { }eTe LLPUL δ

j wyCarichi distribuiti

{ } { } tWee

est LLPUL ++= δ

L i hi di ib i i

Carichi distribuiti

{ } { }= T dVwvdL δ

Lavoro carichi distribuiti

i { } { }{ } { } { } [ ] { } { } [ ] { }∫∫∫ ===

=TTeTTeT

dVwNUdVwNUdVwvL

dVwvdL

δδδ

alis ∫∫∫

{ } { } { } [ ] { }∫∫ == TTeT dLtNUdLtvL δδ

{ } { } { } [ ] { }∫∫LL

t dLtNUdLtvL δδ

{ } [ ]{ } { } { }eeeee PPUKP ++a

{ } [ ]{ } { } { }et

eee PPUKP ++=a

{ } [ ] { }∫−= TeW dVwNP { } [ ] { }∫−= Te

t dLtNP

{ } [ ] { }∫V

W{ } ∫

Reazioni vincolari conseguenti all’applicazione all’elemento delle forze distribuite e di volume = - Carichi nodali t ti t i l ti ll f di t ib it di l

i staticamente equivalenti alle forze distribuite o di volume

Esempio: carico uniformemente distribuito sul lato di un elemento triangolare

i k{ }t{ } [ ] { }∫

ty{ } [ ] { }dtNP

Tet ∫−= ξ

jCarichi distribuiti

tx122616 xxx

[ ] ⎤⎡ 151311 000 NNN

alis [ ] ⎥

⎤⎢⎣

151311

000 NNNN

Npeixt

⎥⎤

⎢⎡

⎪⎫

⎪⎧ 11, 0

{ } tNN

⎫⎧⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎪⎪⎪⎪

00 i k

{ } ξdtt

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨= ∫

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩ 15

I Np kyt ⎥⎦⎢⎣⎪⎭⎪⎩ 15, 0

)(11 −=−

−=−= ∫∫ xe LtdLtdtNp ξξξξ

2)(11,

−=−=−=

∫∫

∫∫xe

LtdLtdLtNp

ξξξ

=−=−=

−=−=−=

∫∫

∫∫e

dLtdLtNp

tdLtNp

kik1i k

00)(15, ∫∫L

xkxt dLtdLtNp ξjjj

Carichi nodali equivalenti

i ktxL/2/2

txL/2yL

DOCENTE: Leonardo BERTINI - dimnp.unipi.it · Corso di Progettazione Assistita delle Strutture...

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