UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TORINO

FACOLTA’ DI SCIENZE M.F.N.

Corso di Laurea in Matematica

Funzioni L di Dirichlet e alcunegeneralizzazioni

Candidato:

Francesco Giordano

Relatore:

Prof.ssa Lea Terracini

Sessione di aprile 2012Anno Accademico 2010-2011

ii

Introduzione e ringraziamenti

In questa tesi si introduce in modo elementare l’argomento delle funzioni Ldi Dirichlet, strumenti di fondamentale importanza nella Teoria Analiticadei Numeri e in generale nella matematica.

Il loro studio e strettamente correlato e generalizza la celebre funzioneZeta di Riemann

ζ(s) =+∞∑n=1

1

ns

Per introdurre l’argomento e stato necessario studiare prima le fonda-mentali proprieta delle funzioni aritmetiche e infine introdurre il concettodi carattere di Dirichlet

L’attenzione si e poi focalizzata sulle funzioni aritmetiche periodiche,di cui i caratteri sono un caso particolare.

Sotto determinate ipotesi strutturali, i caratteri di Dirichlet risultanoessere generatori di tutte le funzioni aritmetiche periodiche, pertanto a que-st’ultime e soprattutto alle rispettive serie di Dirichlet si possono estenderemolti risultati concernenti le funzioni L.

Desidero ringraziare i miei genitori per il sostegno e la pazienza durantequesti anni, mia sorella per avermi supportato durante i momenti difficilie infine la Prof.ssa Lea Terracini per avermi guidato con professionalita egentilezza nella stesura della relazione.

iii

iv INTRODUZIONE E RINGRAZIAMENTI

No discovery of mine has made, or is likely to make, directlyor indirectly, for good or ill, the least difference to the

amenity of the world.G. H. Hardy

Notazioni usate

• (m,n) = MCD(m,n)

• m,n = mcm(m,n)

• N := 1, 2, . . .

• χ, χq Carattere di Dirichlet, modulo q se necessario evidenziarlo

• ψ, ψm Carattere primitivo di Dirichlet, modulo m se necessario evi-denziarlo

• Um = Z∗m Gruppo moltiplicativo degli invertibili di Zm

• C∗ = C \ 0 Gruppo moltiplicativo di C.

• f q Funzione aritmetica periodica, di periodo q, se necessario eviden-ziarlo.

• pk Funzione aritmetica polinomio, di grado k, se necessario eviden-ziarlo.

v

vi NOTAZIONI USATE

Indice

Introduzione e ringraziamenti iii

Notazioni usate v

1 Funzioni aritmetiche 1

1.1 Funzioni aritmetiche classiche . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Funzioni aritmetiche periodiche . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Funzioni aritmetiche moltiplicative e convoluzione . . 6

1.4 Funzioni polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 L’anello di Dirichlet 9

2.1 Proprieta dell’anello di Dirichlet . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Sottospazi e generatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 I caratteri di Dirichlet 17

3.1 Caratteri primitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Serie di Dirichlet e Identita di Eulero 27

4.1 Funzioni L di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Caratteri come generatori di S 31

vii

viii INDICE

Capitolo 1

Funzioni aritmetiche

Di qui in seguito a ogni numero naturale n e associata la sua fattorizzazionestandard

n =k∏i=1

peii (1.1)

Si dice funzione aritmetica una funzione f : N→ C.Una funzione aritmetica si dice moltiplicativa se

f(mn) = f(m)f(n) per ogni m,n ∈ N tali che (m,n) = 1 (1.2)

completamente moltiplicativa se

f(mn) = f(m)f(n) per ogni m,n ∈ N (1.3)

additiva se

f(mn) = f(m) + f(n) per ogni m,n ∈ N tali che (m,n) = 1 (1.4)

completamente additiva se

f(mn) = f(m)f(n) per ogni m,n ∈ N (1.5)

Data la (1.1) si deduce immediatamente che e sufficiente defini-re una funzione moltiplicativa/additiva (completamente moltiplicati-va/completamente additiva) sulle potenze di numeri primi (sui numeriprimi) per estenderla a tutto l’insieme N. Inoltre per ogni funzione molti-plicativa/completamente moltiplicativa (additiva/completamente additiva)risulta f(1) = 1 (f(1) = 0).

1

2 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE

1.1 Funzioni aritmetiche classiche

Elenchiamo nel classico alcune funzioni aritmetiche di rilevante importanza.

• La funzione 0(·)0(n) := 0 (1.6)

costantemente uguale a 0 per ogni n ∈ N.

• La funzione 1(·)1(n) := 1 (1.7)

costantemente uguale a 1 per ogni n ∈ N e completamente mol-tiplicativa.

• La funzione identita I(·)

I(n) := n (1.8)

e completamente moltiplicativa.

• La funzione potenza α-esima Iα(·)

Iα(n) := nα (1.9)

e completamente moltiplicativa.

• La funzione e(·)

e(n) :=

1 se n = 10 altrimenti

(1.10)

e completamente moltiplicativa.

• La funzione di Mobius µ(·) definita da

µ(n) :=

1 se n = 1(−1)k se n = p1 · · · pk con pi distinti0 altrimenti

(1.11)

µ(n) e moltiplicativa.

1.1. FUNZIONI ARITMETICHE CLASSICHE 3

• La funzione di Eulero ϕ(·) definita da

ϕ(n) := # a ∈ N : 1 ≤ a ≤ n, (a, n) = 1 (1.12)

che conta i numeri minori di n e primi con esso, e moltiplicativa. Valela formula

ϕ(n) =k∏i=1

pei−1i (pi − 1) = n

k∏i=1

(1− 1

pi

)(1.13)

• La funzione dei divisori τ(·) definita da

τ(n) := #d ∈ N : d|n =∑d|n

1 (1.14)

che conta i divisori di n e moltiplicativa. Vale la formula

τ(n) =k∏i=1

(ei + 1) (1.15)

• La funzione della somma dei divisori σ(·) definita da

σ(n) :=∑d|n

d (1.16)

e moltiplicativa. Vale la formula

σ(n) =k∏i=1

pei+1i − 1

pi − 1(1.17)

• La funzione di Mangoldt Λ(·) definita da

Λ(n) :=

log p se n = pm con m ≥ 10 altrimenti

(1.18)

non e moltiplicativa.

• La funzione dei fattori primi ω(·) definita da (ricordando la (1.1))

ω(n) :=

0 se n = 1k altrimenti

(1.19)

conta i fattori primi distinti di un numero n ed e additiva.

4 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE

• La funzione dei fattori primi Ω(·) definita da (ricordando la (1.1))

Ω(n) :=

0 se n = 1∑ei altrimenti

(1.20)

conta i fattori primi di un numero n ed e completamente additiva.

• La funzione di Liouville λ(·) definita da

λ(n) := (−1)Ω(n) (1.21)

e completamente moltiplicativa.

• La funzione s-esima dei divisori τs(·), (s ∈ N) definita da

τs(n) :=∑

d1···ds=n

1 (1.22)

conta il numero di decomposizioni di n come prodotto di s fattoripositivi. Per ogni s, τs e moltiplicativa e in particolare si ha τ1 ≡ 1 eτ2 ≡ τ .Vale la formula

τs(n) =k∏i=1

(ei + s− 1

ei

)(1.23)

• La funzione somma delle α-esime potenze dei divisori σα(n),(α ∈ R) definita da

σα(n) :=∑d|n

dα (1.24)

Per ogni α, σα e moltiplicativa e in particolare si ha σ0 ≡ τ e σ1 ≡ σ.Vale la formula

σα(n) =k∏i=1

pα(ei+1)i − 1

pi − 1(1.25)

• La funzione che assegna a ogni intero n ∈ N il minimo comunemultiplo degli interi da 1 a n

dn := 1, 2, . . . , n (1.26)

1.2. FUNZIONI ARITMETICHE PERIODICHE 5

1.2 Funzioni aritmetiche periodiche

Sia f una funzione aritmetica, q ∈ N. Se

f(n) = f(m) ⇐⇒ n ≡ m (mod q)

allora f si dice funzione aritmetica periodica e q e un suo periodo.Si noti che f(n + q) = f(n) per ogni n ∈ N e che se q=1 allora f e

costante.

Si dice periodo minimo di f e si indica con per(f) il piu’ piccolo interopositivo che sia un periodo di f .

Si nota immediatamente che se q e un periodo di f allora per(f) | q.Nel seguito quando diremo che f ha periodo q indicheremo che

per(f) | q

.Denoteremo con S l’insieme delle funzioni aritmetiche periodiche e con

Sq l’insieme di quelle con periodo q.Se f ∈ Sq per indicarla potremo usare la notazione

(f(1), . . . , f(q))

6 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE

1.3 Funzioni aritmetiche moltiplicative e con-

voluzione

Teorema 1. Se f(·) e una funzione moltiplicativa, allora anche

g(n) :=∑d|n

f(d) (1.27)

e moltiplicativa.

Dimostrazione. Osserviamo che se (m,n) = 1 allora per ogni d|mn esistonounici d1, d2 tali che d1d2 = d, d1|m, d2|n e (d1, d2) = 1. Pertanto

g(mn) =∑

d1d2|mn

f(d1d2) =∑d1|m

d2|n

f(d1)f(d2) =∑d1|m

f(d1)∑d2|n

f(d2) = g(m)g(n)

Teorema 2. ∑d|n

µ(d) = 0, per ogni n > 1 (1.28)

Dimostrazione. Poiche µ(·) e moltiplicativa, anche ∆(n) :=∑µ(d) e mol-

tiplicativa. Possiamo allora provare l’asserto solo sulle potenze dei primi.Risulta (e > 0)

∆(pe) = µ(1) + µ(p) +

=0︷ ︸︸ ︷· · ·+ pe = 1− 1 = 0

Teorema 3 (Formula di convoluzione di Mobius:). Se g(·) e definita comenella (1.27) allora

f(n) =∑d|n

µ(d)g(n

d) (1.29)

Dimostrazione.∑d|n

µ(d)g(n

d) =

∑d|n

µ(d)∑c|nd

f(n

cd) =

∑cd|n

µ(d)f(n

cd)

Definendo il nuovo indice k := cd, riscriviamo

∑k|n

f(n

k)

6=0 sse k=1︷ ︸︸ ︷∑d|k

µ(d) = f(n)

1.4. FUNZIONI POLINOMIO 7

Teorema 4. Se g(·) e definita come nella (1.27) ed e moltiplicativa, alloraanche f(·) e moltiplicativa.

Dimostrazione. Dalla (1.29) si ha, per (m,n) = 1, procedendo analoga-mente alla dimostrazione del Teorema 1

f(mn) =∑

d1d2|mn

µ(d1d2)g(mn

d1d2

) =∑d1|m

d2|n

µ(d1)g(m

d1

)µ(d2)g(n

d2

) =

=∑d1|m

µ(d1)g(m

d1

)∑d2|n

µ(d2)g(n

d2

) = f(m)f(n)

1.4 Funzioni polinomio

p ∈ A si dice polinomio se p(n) = 0 per ogni n ∈ N tranne un numerofinito.

Si noti che le funzioni aritmetiche e e 0, elementi neutri rispettivamentedella somma e del prodotto di convoluzione in /A, sono polinomi.

Si dice grado di p 6= 0 il piu’ grande δ ∈ N tale che p(δ) 6= 0 Indicheremocon pk una successione aritmetica polinomio di grado k.

Denotiamo con P l’insieme dei polinomi e con Pak l’insieme dei poli-nomi di grado al massimo k (i.e. pk(n) = 0 se n > k).

Si haP =

⋃k≥1

Pk

8 CAPITOLO 1. FUNZIONI ARITMETICHE

Capitolo 2

L’anello di Dirichlet

Indichiamo con A l’insieme delle funzioni aritmetiche. Definiamo l’opera-zione di somma:

(f + g)(n) := f(n) + g(n) (2.1)

e l’importante prodotto di Dirichlet (o convoluzione):

(f ∗ g)(n) :=∑d|n

f(d)g(n

d) (2.2)

Quest’ultimo puo essere iterato nel modo seguente:

(f1 · · · fr)(n) :=∑

d1···dr=n

f1(d1) . . . fr(dr) (2.3)

Possiamo quindi considerare le potenze alla Dirichlet, denotandole con

fk∗ =

kvolte︷ ︸︸ ︷f ∗ · · · ∗ f (2.4)

fk∗(n) :=∑

d1···dk=n

f(d1) · · · f(dk) (2.5)

e grazie a questa notazione si deduce immediatamente che * e un’ope-razione commutativa e associativa.

Inoltre il prodotto alla Dirichlet si distribuisce sulla somma.Infine e immediato osservare che le funzioni 0(n) e e(n) (definita dal-

la (1.10)) fungono da elemento neutro rispettivamente della somma e delprodotto.A risulta quindi un anello commutativo con identita e prende il nomedi Anello di Dirichlet.

Se introduciamo l’operazione di prodotto per scalare:

(λf)(n) := λf(n) (2.6)

con λ ∈ C, A diviene uno spazio vettoriale su C.

9

10 CAPITOLO 2. L’ANELLO DI DIRICHLET

2.1 Proprieta dell’anello di Dirichlet

Possiamo definire una valutazione per A con f 6= 0 :

||f || = minn ∈ N : f(n) 6= 0 (2.7)

e ponendo ||0|| =∞.La notazione, || · || non e una norma, ma e facile dimostrare che lo e

|| · ||∗ := 1||·|| .

La valutazione e moltiplicativa rispetto al prodotto di Dirichlet.

Proprieta 1.||f ∗ g|| = ||f || ||g|| ∀f, g ∈ A

Dimostrazione. Se f = 0 oppure g = 0 la proprieta e ovvia. Altrimenti

(f ∗ g)(n) =∑hk=n

f(h)g(k) =∑hk=n

h≥||f ||

k≥||g||

f(h)g(k)

Pertanto (f ∗ g)(n) = 0 se n < ||f || ||g|| e (f ∗ g)(n) = f(||f ||)g(||g||) 6= 0se n = ||f || ||g||.

Dalla proprieta 1 segue che A e un dominio d’integrita, infatti

f ∗ g = 0 =⇒ ||f || ||g|| =∞ =⇒ f = 0 ∨ g = 0

Indichiamo con U il gruppo delle unita di A (con l’operazione di pro-dotto di convoluzione).

Proprieta 2.f ∈ U ⇐⇒ ||f || = 1

Dimostrazione. Se f ∈ U esiste f−1 ∈ U tale che f ∗ f−1 = e pertanto||f || ||f−1|| = 1. Poiche la valutazione e a valori interi positivi, risulta||f || = 1.

Se invece ||f || = 1 (cioe f(1) 6= 0), definiamo per ricorrenza

f−1(n) :=

1

f(1)se n = 1

− 1

f(1)

∑d|n, d>1

f(d)f−1(n

d) se n > 1

(2.8)

2.1. PROPRIETA DELL’ANELLO DI DIRICHLET 11

In tal modo (f ∗ f−1)(1) = 1 e

(f ∗ f−1)(n) =∑d|n

f(d)f−1(n

d) = f(1)f−1(n) +

∑d|n,d>1

f(d)f−1(n

d) =

= f(1)f−1(n)− f(1)f−1(n) = 0

La (2.8) permette di calcolare operativamente l’inversa di una funzionearitmetica data.

Denotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative e ricordandoche se f ∈M allora f(1) = 1 possiamo ovviamente concludere cheM⊆ U .Ma vale anche l’inclusione come sottogruppo.

Teorema 5.

M≤ U

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che f, g ∈ M, allora f ∗ g ∈ M ef−1 ∈M.

Per il primo asserto procediamo similmente alla dimostrazione dei Teo-remi 1 e 4.

Per (m,n) = 1 risulta

(f ∗ g)(mn) =∑

d1d2|mn

f(d1d2)g(mn

d1d2

) =∑d1|m

d2|n

f(d1)g(m

d1

)f(d2)g(n

d2

) =

=∑d1|m

f(d1)g(m

d1

)∑d2|n

f(d2)g(n

d2

) = (f ∗ g)(m)(f ∗ g)(n)

Per la seconda affermazione si puo ragionare per induzione. Dalla 2.8 siha che f−1(1) = 1, pertanto f−1(mn) = f−1(m)f−1(n) se m = 1 ∨ n = 1.Supponiamo ora che f−1(ab) = f−1(a) ∗ f−1(b) per ogni a, b ∈ N con(a, b) = 1 e ab < mn con (m,n) = 1 e m,n > 1. Sempre dalla 2.8otteniamo

f−1(mn) =

−∑

1<d1d2|mn

f(d1d2)f−1(mn

d1d2

) = −∑

1<d1d2|mn

f(d1)f(d2)f−1(m

d1

)f−1(n

d2

) =

12 CAPITOLO 2. L’ANELLO DI DIRICHLET

= −∑

1<d1|m

1<d2|n

f(d1)f(d2)f−1(m

d1

)f−1(n

d2

)+

−∑

1<d1|m

f(d1)f−1(m

d1

)f−1(n)−∑

1<d2|n

f(d2)f−1(n

d2

)f−1(m) =

= −

− ∑1<d1|m

f(d1)f−1(m

d1

)

− ∑1<d2|n

f(d2)f−1(n

d2

)

+

+f−1(m)f−1(n) + f−1(n)f−1(m) =

= −f−1(m)f−1(n) + 2f−1(m)f−1(n) = f−1(m)f−1(n)

Teorema 6. Se f ∈ M, allora risulta f−1 = µf se e solo se f e comple-tamente moltiplicativa.

Dimostrazione. Se f e completamente moltiplicativa, per la 1.28

(µf ∗ f)(n) =∑d|n

µ(d)f(d)f(n

d) =

=∑d|n

µ(d)f(n) = f(n)∑d |n

µ(d) = e(n)

Viceversa se f−1 = µf dobbiamo dimostrare che f e completamente mol-tiplicativa sui primi (i.e. f(pα) = f(p)α ).

0 = (µf ∗ f)(pα) =α∑k=0

µ(pk)f(pk)f(pα−k) = f(pα)− f(p)f(pα−1)

cosicche f(pα) = f(p)f(pα−1) e la tesi segue per induzione su α.

Si noti che se f, g sono completamente moltiplicative, in generale f−1, f∗g non sono completamente moltiplicative.

2.1. PROPRIETA DELL’ANELLO DI DIRICHLET 13

Grazie alle notazioni introdotte possiamo intendere i teoremi del Capi-tolo 1 come casi particolari di alcuni prodotti di convoluzione.

Valgono le seguenti formule:

1 ∗ µ = e (2.9)

cioe µ = 1−1∗

1 ∗ 1 = τ (2.10)

cioe 12∗ = τE in generale vale

s︷ ︸︸ ︷1 ∗ · · · ∗ 1 = τs (2.11)

cioe 1s∗ = τs

ϕ ∗ 1 = I (2.12)

e pertanto ϕ = I ∗ µ

Infine si haI ∗ 1 = σ (2.13)

e in generale

Iα ∗ 1 = σα (2.14)

14 CAPITOLO 2. L’ANELLO DI DIRICHLET

2.2 Sottospazi e generatori

La (2.6) ci consente di vedere A come spazio vettoriale.E’ chiaro che A ha dimensione infinita, ma non e banale determinare

una base (la cui esistenza e garantita dal Lemma di Zorn, si veda ad esempio[5])

Ricordiamo che S e l’insieme delle funzioni aritmetiche periodiche e Sql’insieme di quelle con periodo q.

Teorema 7. L’insieme S delle funzioni aritmetiche periodiche e sottospa-zio vettoriale di A.

Dimostrazione. Sia f ∈ S di periodo q.

i) Per ogni λ ∈ C, λf(n) := λ · f(n) e periodica di periodo q.

ii) g di periodo q′. per ogni m,n ∈ N tali che m ≡ n (mod q, q′) risulta

m ≡ n

(mod q)(mod q′)

pertanto (f + g)(n) = f(n) + g(n) = f(m) + g(m) = (f + g)(m), cioe(f + g) ∈ S.

Corollario 1.per(f q + gq

′) | q, q′ (2.15)

Corollario 2. L’insieme Sq delle funzioni periodiche di periodo q e sotto-spazio vettoriale di S

Possiamo facilmente osservare che Sq ha dimensione q e che una suabase, che chiameremo canonica, e Bq = sii, i = 1, . . . , q

si(n) :=

1 se n ≡ i (mod q)0 altrimenti

i = 1, . . . q

Dimostrazione. Segue facilmente dall’isomorfismo

Cq ∼= Sq

(a1, . . . , aq) 7→ (a1, . . . , aq)

2.2. SOTTOSPAZI E GENERATORI 15

Dall’isomorfismo con Cq segue che Sq e uno spazio hermitiano con formahermitiana:

f · g =∑

n = 1qf(n)g(n) (2.16)

PoicheS =

⋃q≥1

Sq

un sistema di generatori di S e dato da

BS :=⋃q≥1

Bq = si,qi,q i = 1, . . . , q, q ≥ 1

si,q(n) :=

1 se n ≡ i (mod q)0 altrimenti

i = 1, . . . q (2.17)

BS non e una base, infatti i suoi elementi non sono linearmente indi-pendenti. Ad esempio

s2,3 = s2,6 + s5,6

Teorema 8. P e sottoanello di A.

Dimostrazione. E’ chiaro che se pk, ph ∈ P , (k ≥ h) allora

i)(pk − ph)(n) = 0

se n > k, ovvero (pk − ph) ∈ P

ii)

(pk ∗ ph)(n) =∑d|n

pk(d)ph(n/d) =∑d|n

n/h≤d≤k

pk(d)q(n/d) = 0

se n > kh perche l’ultima somma e vuota, ovvero(pk ∗ ph) ∈ P .

iii)e ∈ P

16 CAPITOLO 2. L’ANELLO DI DIRICHLET

Teorema 9. Pk e P sono sottospazi vettoriali di A

Dimostrazione. Siano pk, pk ∈ Pk ⊆ P e ph ∈ Ph ⊆ P , (k ≥ h).

i) E’ chiaro che per ogni λ ∈ C, λpk(n) = 0 se n > k, ovvero λpk ∈ Pk ⊆P

ii)(pk + pk)(n) = 0

(pk + ph)(n) = 0

se n > k, ovvero (pk + pk) ∈ Pk, (pk + ph), ∈ P .

E’ evidente che Pk e isomorfo a Ck (cosı come Sk) e che P e isomorfoallo spazio vettoriale libero su C.

La base canonica di P e formata dagli infiniti

ei(n) =

1 se n = i0 altrimenti

(2.18)

E la base canonica di Pk e formata dai k,

ei(n) =

1 se n = i0 altrimenti

i = 1, . . . , k (2.19)

Capitolo 3

I caratteri di Dirichlet

Definizione 1. Sia G un gruppo abeliano, si dice carattere di G unomomorfismo

χ : G→ C∗

dove C∗ := C \ 0 e il gruppo moltiplicativo di C

Ci interessa particolarmente il caso in cui G = Uq = Z∗q e il gruppomoltiplicativo delle classi di resto invertibili modulo q.

In questo caso possiamo estendere la definizione di χ prima a Zq po-nendo per ogni a ∈ Zq \ Uq

χ(a) = 0 (3.1)

e infine a N ponendoχ(n) = χ(n) (3.2)

cosiccheχ : N→ C∗

e una funzione aritmeticaχ prende il nome di carattere di Dirichlet modulo q, sia come

omomorfismo fra Uq e C∗ (e talvolta da Zq ∈ C∗) sia come funzionearitmetica.

Nel seguito, se non diversamente indicato, intenderemo i χ come fun-zioni aritmetiche.

17

18 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET

Teorema 10. Sia χ un carattere di Dirichlet modulo q.

1. χ(n) = 0 se (q, n) > 1

2. χ(n) = χ(m) se n ≡ m (mod q)

3. χ(n+ q) = χ(n) per ogni n ∈ N

4. χ(mn) = χ(m)χ(n) per ogni m,n ∈ N

5. χ(1) = 1

6. χ(n−1∗) = χ(n)−1 dove n−1∗ e inteso come inverso modulo q, se esiste.

7. χ(nk) = χ(n)k

8. χ(n)ϕ(q) = 1 se (n, q) = 1

9. ‖χ(n)‖ = 1 per ogni n ∈ N.

10. χ(n) = χ(n)−1

Dimostrazione.La 1) e diretta conseguenza della definizione, cosı come la 2) e la 3), le qualievidenziano che i caratteri di Dirichlet modulo q sono funzioni aritmeticheperiodiche di periodo q.

La 4) Segue ricordando che χ e estensione di un omomorfismo in Uq eche f(n) = 0 se (n, q) > 1 Siano allora m,n ∈ N. Allora

χ(mn) = χ(mn) = χ(mn) = χ(m)χ(n) = χ(m)χ(n)

ovvero χ e completamente moltiplicativa.la 5), 6) e la 7) diventano ovvie non appena si osservi che

i) χ(1) = χ(1)

ii) χ(n−1∗) = χ(n−1∗) = χ(n−1)

iii) χ(nk) = χ(nk) = χ(nk)

La 8) si dimostra osservando che poiche Uq ha ordine ϕ(q), per ogni(n, q) = 1 risulta

χ(n)ϕ(q) = χ(nϕ(q)) = χ(nϕ(q)) = χ(nϕ(q)) = χ(1) = 1

cioe χ mappa gli interi coprimi con q sulle radici ϕ(q)-esime dell’unita.La 9) discende dalla 8) e dalla moltiplicativita della norma in CLa 10) segue dalla 9) e dal fatto che χ(n)χ(n) = ‖χ(n)‖2

19

χ e pertanto una funzione aritmetica periodica, di periodo q, comple-tamente moltiplicativa.

Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri di Dirichlet modulo q, e defi-niamo un’operazione fra χ,Ω ∈ Kq:

χ · Ω(n) := χ(n)Ω(n) (3.3)

Teorema 11. Sia q ∈ N. L’insieme dei caratteri di Dirichlet Kq, dotatodel prodotto definito dalla (3.3) e un gruppo abeliano isomorfo a Uq

Dimostrazione. Dimostriamo innanzitutto che dati due caratteri, il loroprodotto e ancora un carattere.

Dati χ,Θ ∈ Kq, χ ·Θ deve essere un’estensione di un omomorfismo daUq a C Per ogni a, b ∈ Uq

χ ·Θ(ab) = χ(ab)Θ(ab) = χ(a)χ(b)Θ(a)Θ(b) = χ ·Θ(a)χ ·Θ(b)

E l’asserto segue dalla costruzione di χ come funzione aritmetica.Inoltre il prodotto eredita l’associativita e la commutativita da CLa funzione

χ0(n) :=

1 se (n, q) = 10 altrimenti

(3.4)

e un carattere, detto principale e funge da elemento neutro.Infatti e estensione dell’omomorfismo banale:

χ0 : Uq → C : a 7→ 1

e per ogni χ ∈ Kq

χ · χ0(n) = χ(n)χ0(n) = χ(n)

Dato χ ∈ Kq, la funzione

χ(n) := χ(n) = χ(n)−1 (3.5)

e ancora un carattere e funge da elemento inverso.E’ infatti estensione dell’omomorfismo:

χ : Uq → C : a 7→ χ(a)−1

Per dimostrare l’ultima affermazione, partiamo prima dal caso in cui Uqsia ciclico (ovvero q = 2, 4, pα, 2pα; p dispari). In questo caso, sia g ∈ Uq taleche che Uq =< g >. E’ evidente che il carattere, essendo un omomorfismo,e completamente determinato dal valore assegnato a χ(g) che deve esserescelto fra le ϕ(q) diverse radici ϕ(q)-esime dell’unita. Abbiamo quindiinnanzitutto che Kq e finito di ordine ϕ(q)

20 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET

A questo punto basta osservare che il carattere definito da

Γ(g) = e2πiϕ(q)

Risulta

Γk(g) = e2kπiϕ(q)

pertanto Γ genera Kq che quindi e ciclico e isomorfo a Uq.Nel caso generale, ci basta pensare che Uq e abeliano per ogni q ∈ N, e

ricordare che ogni gruppo abeliano e prodotto diretto di gruppi ciclici.

Uq = C1 × . . . CrCon Ci ciclico di ordine hi e generato da gi, per i = 1, . . . , r.

Inoltre h1 · · ·hr = |Uq| = ϕ(q).Allora ogni a ∈ Uq si scrive in mod unico come

a = gx11 . . . gxrr (3.6)

con 1 ≤ x1 ≤ hi Segue allora che

χ(a) = χ(g1)x1 . . . χ(gr)xr (3.7)

Cioe il carattere e determinato dai valori assegnati ai χ(gi) Di nuovo si hache χ(gi) deve essere una radice hi-esima dell’unita per ogni i = 1, . . . , r ele possibili h1 · · ·hr = ϕ(q) determinano tutti e i soli caratteri di Dirichletmodulo q.

Infine, i caratteri Γi tali che

Γi(gj) =

e

2πihi se j = i

1 se j 6= i(3.8)

generano r gruppi ciclici di ordine hi isomorfi ai Ci che generano Kq. Seguequindi

Kq ' Uq

Vale inoltre la seguente proprieta

Teorema 12. Se q > 2, per ogni a ∈ Uq, a 6= 1, esiste χ ∈ Kq tale che

χ(a) 6= 1

21

Dimostrazione. Ricordando che valgono sempre la (3.6) e la (3.7) e suf-ficiente osservare che poiche a 6= 1, per almeno uno degli gi deve esserexi 6= 1, diciamo i = 1 senza perdita di generalita.

Allora e sufficiente notare che per Γ1 come definita nella (3.8) vale

Γ1(a) = e2x1πh1 6= 1

Valgono quindi i seguenti risultati:

Teorema 13 (Formule di ortogonalita). Sia q ≥ 1, a ∈ Uq, χ ∈ Kq.

∑a∈Uq

χ(a) =

ϕ(q) se χ = χ0

0 altrimenti(3.9)

∑χ∈Kq

χ(a) =

ϕ(q) se a = 10 altrimenti

(3.10)

Dimostrazione. Occupiamoci prima della (3.9).Se χ = χ0 e ovvia. Altrimenti, deve esistere b ∈ Uq tale che χ(b) 6= 1.

Poiche per ogni a ∈ Um esiste un unico a′ tale che a′ = ab, posto S =∑a χ(a) otteniamo:

χ(b)S = χ(b)∑a∈Uq

χ(a) =∑a∈Uq

χ(ab) =∑a′∈Uq

χ(a′) = S

E per la scelta di b, dev’essere S = 0La (3.10) si dimostra analogamente (in effetti dipende dall’isomorfismo

tra Uq e Kq): se a = 1 e ovvia, altrimenti, per il teorema 12, esiste Θ ∈ Kq

tale che Θ(a) 6= 1 e per ogni χ ∈ Kq esiste un unico χ′ tale che χ′ = χ ·Θ.Pertanto, chiamato S ′ =

∑χ χ(a), risulta

Θ(a)S ′ = Θ(a)∑χ∈Kq

χ(a) =∑χ∈Kq

Θ · χ(a) =∑χ′∈Uq

χ′(a′) = S ′

E, ancora, per la scelta di Θ, deve essere S ′ = 0

Poiche χ e una funzione periodica di periodo q, ricordando la formahermitiana su Sq definita dalla (2.16) otteniamo

22 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET

χ ·Θ =

ϕ(q) se χ = Θ0 altrimenti

(3.11)

Dimostrazione. Osserviamo che se χ ∈ Kq e (n, q) = 1 allora χ(n) = 0.Allora, dalla (3.9)

χ·Θ =

q∑n=1

χ(n)Θ(n) =

q∑n=1

χ(n)Θ(n) =

q∑n=1

χΘ(n) =

ϕ(q) se χΘ = χ0

0 altrimenti

E la tesi segue notando che condizione nella prima riga e equivalente aχ = Θ.

Anche in questo caso, grazie all’isomorfismo tra Uq e Kq otteniamoanche la seguente formula, per ogni χ ∈ Kq, per ogni m,n ∈ N, (m, q) = 1∑

χ∈Kq

χ(n)χ(m) =

ϕ(q) se n ≡ m (mod q)0 altrimenti

(3.12)

Dimostrazione. Se (n, q) = 0 la somma e vuota e m e n non possono esserenella stessa classe di resto (mod q), pertanto la formula e provata.

Altrimenti, osserviamo che poiche (m, q) = 1, risulta

0 6= χ(m) = χ(m)−1 = χ(m−1∗)

Dove m−1∗ ∈ N e un intero coprimo con 1 inverso di m (mod q). Os-serviamo che (nm−1∗, q) = 1 cioe esiste a ∈ Uq tale che nm−1∗ ∈ a (i.e.χ(nm−1∗) = χ(a)). Pertanto:∑

χ∈Kq

χ(n)χ(m−1∗) =∑χ∈Kq

χ(nm−1∗) =∑χ∈Kq

χ(a)

E la tesi segue dalla (3.10) osservando che la condizione a = 1 eequivalente a n ≡ m (mod q).

23

Vale infine il seguente

Teorema 14. Sia q ≥ 1 e f una funzione aritmetica non identicamentenulla

1. completamente moltiplicativa

2. periodica di periodo q

3. tale che f(n) = 0 se (n, q) = 1

Allora f ∈ Kq

Dimostrazione. Per ogni a ∈ N tale che (a, q) = 1 e per ogni χ ∈ Kq si ha

f · χ =

q∑n=1

f(an)χ(an) = f(a)χ(a)

q∑n=1

f(n)χ(n) = f(a)χ(a)f · χ

Allora f(a) = χ(a) per ogni a ∈ N a meno che f ·χ = 0 per ogni χ ∈ Kq,nel qual caso

0 =∑χ∈Kq

χ(a)f · χ =∑χ∈Kq

(χ(a)

q∑n=1

f(n)χ(n)

)=

=

q∑n=1

f(n)∑χ∈Kq

χ(a)χ(n)

= f(a)ϕ(q)

osservando che per la (3.12) l’ultima sommatoria e nulla quando n 6≡ a(mod q)

Ma allora sarebbe f(a) = 0 per ogni a ∈ N tale che (a, q) = 1, cioesarebbe identicamente nulla, contro l’ipotesi iniziale.

Pertanto f(a) = χ(a) per ogni a ∈ N, cioe f ∈ Kq

24 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET

3.1 Caratteri primitivi

Siano d, q ∈ N tali che che d | qAbbiamo bisogno inizialmente del seguente

Lemma 1. Sia md una classe invertibile modulo d. Allora esiste m′ ∈ Ntale che m′ ∈ md e m′d e una classe invertibile modulo q

Allora mq e una classe invertibile modulo q

Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che per ogni classe invertibile in Zdesiste una classe invertibile in Zq che sia suo sottoinsieme.

Sia m ∈ N tale che (m, d) = 1. Consideriamo (m + λd, q) per λ =1, . . . , d′ dove d′ = q/d

Se c | (m + λd, q) per qualche λ, allora c e coprimo con d, altrimentirisulterebbe (m, d) > 1 contro l’ipotesi.

Allora c | r, dove r e il piu’ grande fattore di q coprimo con dInoltre r ≤ d′, pertanto sia λ sia m+ λd coprono tutte le classi di resto

modulo r, e deve esistere λ0 tale che (m+ λ0d, r) = 1.Pertanto risulta (m+ λ0, q) = 1

Dato un carattere χd ∈ Kd, possiamo costruire un carattere modulo qponendo

χq(n) :=

χd(n) se (n, q) = 10 altrimenti

(3.13)

In questo caso si dice che χd induce χq e si scrive

χd | χq (3.14)

Si noti che, assegnato χd come omomorfismo

χd : Ud → C∗

allora χq come funzione aritmetica puo essere definita in modo equivalentealla (3.13) estendendo secondo la (3.2) l’omomorfismo

χq : Uq → C∗

tale cheχq := χd Ψ

′

q,d (3.15)

doveΨ

′

q,d : Uq → Ud (3.16)

e la restrizione a Uq dell’epimorfismo canonico

3.1. CARATTERI PRIMITIVI 25

Ψq,d : Zq → Zd aq 7→ ad (3.17)

Il lemma (1) ci assicura che anche ψ′ e epimorfismo ma, in generale

(n, d) = 1 6=⇒ (n, q) = 1 (3.18)

cioe χd e χq sono funzioni aritmetiche distinte e coincidono se e solo sed e q hanno gli stessi fattori primi cioe se

p | q ⇐⇒ p | d (3.19)

Ed in questo case vale l’implicazione (3.18)Si osservi infine, che la (3.14) e giustificata dal fatto che risulta

χq = χd · χq0 (3.20)

Se d < q si dice che χq e non primitivo, mentre un carattere che nonsia indotto da nessun altro carattere si dice primitivo.

Osserviamo che per ogni q ∈ N

χ10 | χ

q0

Indicheremo di qui in poi con Dprq l’insieme dei caratteri primitivi chegenerano caratteri modulo q. Useremo invece la notazione Dpr per indicare’insieme di tutti i caratteri primitivi.

Si noti che Dprq contiene quindi tutti e i soli caratteri primitivi modulod per ogni divisore d di q

Il piu piccolo intero m tale che esiste un carattere modulo m che induceil carattere primitivo χq si dice conduttore di χq

Definizione 2. Si dice che d e pseudo-periodo di una f ∈ Sq se per ognin ∈ N tale che (n, q) = 1 risulta f(n+ d) = f(n)

Teorema 15. Sia χq un carattere e m il suo conduttore.Allora esiste un unico carattere primitivo modulo m, ψm che induce χq.Inoltre m = 1 se e solo se χq = χq0

Dimostrazione. E’ evidente che m e uno pseudo-periodo di χq.Dalla dimostrazione del lemma (1) si ha che e possibile determinare

costruttivamente il carattere primitivo ψf imponendo per ogni (n,m) = 1

ψm(n) = χq(n+ λ0f) (3.21)

per un opportuno λ0 tale che (n+ λ0m, q) = 1, e quindi ψm e determinatounivocamente.

La seconda affermazione si dimostra quindi osservano che χ10 si estende

a tutti e i soli caratteri principali modulo qualunque q ∈ N

26 CAPITOLO 3. I CARATTERI DI DIRICHLET

Teorema 16. Chiamiamo ρ la funzione aritmetica che associa a n il nu-mero dei suoi caratteri primitivi. Allora

ρ(n) =∑d|n

µ(d)ϕ(n

d) =

∏ei=1

(pi − 2)∏ei>1

pei−2i (pi − 2)2 (3.22)

Dimostrazione. Ogni carattere modulo n e estensione di uno e un solocarattere primitivo modulo un qualche divisore d di n.

Inoltre, per ogni divisore d di n, ogni carattere primitivo modulo d siestende a un carattere modulo n.

Pertanto

ϕ(n) =∑d|n

ρ(d)

E la prima parte della (3.22) segue per inversione (ovvero ϕ = ρ ∗ 1 epertanto ρ = ϕ ∗ µ)

Inoltre ρ e moltiplicativa, quindi ρ(1) = 1 e applicando la formula suiprimi e sulle potenze dei primi si ottiene

ρ(p) = p− 2

ρ(pα) = pα−1(p− 1)− pα−2(p− 1) = pα−2(p− 1)2

per α > 2.L’ultimo membro della (3.22) segue per moltiplicativita

Corollario 3. Esistono caratteri primitivi modulo n se e solo se n e disparioppure multiplo di 4.

Inoltre per ogni p primo tutti i caratteri modulo p tranne quello princi-pale sono primitivi

Capitolo 4

Serie di Dirichlet e Identita diEulero

Definiamo serie di Dirichlet la scrittura formale

+∞∑n=1

anns

(4.1)

dove (an) ∈ A.E’ chiaro che esiste una corrispondenza 1− 1 fra le funzioni aritmetiche

e le serie di Dirichlet.Inoltre queste generalizzano la serie Zeta di Riemann

+∞∑n=1

1

ns(4.2)

Chiamiamo D l’insieme delle serie di Dirichlet formali.La somma in D e data da

+∞∑n=1

anns

++∞∑n=1

bnns

:=+∞∑n=1

an + bnns

(4.3)

e il prodotto

+∞∑n=1

anns

+∞∑n=1

bnns

:=+∞∑n=1

∑dd′=n

adbd′

ns(4.4)

27

28 CAPITOLO 4. SERIE DI DIRICHLET E IDENTITA DI EULERO

Esso e un anello isomorfo a A

Teorema 17.

A ' D f ↔+∞∑n=1

f(n)

ns(4.5)

Dimostrazione. E’ immediato verificare le proprieta di omomorfismo per lasomma

Per quanto riguarda il prodotto si noti che

+∞∑n=1

f(n)

ns

+∞∑n=1

g(n)

ns=

+∞∑n=1

1

ns

∑dd′=n

f(d)g(d′) =+∞∑n=1

(f ∗ g)(n)

ns

Infine

e(·) 7→ 1

Possiamo ricavare alcune interessanti identita:

ζ(s) =+∞∑n=1

1(n)

ns(4.6)

ζ(s− 1) =+∞∑n=1

I(n)

ns(4.7)

e in generale

ζ(s− α) =+∞∑n=1

Iα(n)

ns(4.8)

1

ζ(s)=

+∞∑n=1

µ(n)

ns(4.9)

ζ(s− 1)

ζ(s)=

+∞∑n=1

ϕ(n)

ns(4.10)

ζ(s)k =+∞∑n=1

τk(n)

ns(4.11)

ζ(s)ζ(s− α) =+∞∑n=1

σα(n)

ns(4.12)

29

Le serie di Dirichlet rivestono importanza in Teoria dei Numeri quandosono interpretate come funzioni

F : C→ C : s 7→+∞∑n=1

f(n)

ns(4.13)

In generale se f(n) ∈ O(nk) allora F converge assolutamente per Re(s) >1+k ma per le serie definite dai caratteri di Dirichlet possiamo dire qualcosadi piu.

Ci servira innanzitutto l’importante

Teorema 18 (Identita di Eulero). Sia f ∈ A completamente moltiplicativa.Allora

F (s) =+∞∑n=1

f(n)

ns=

∏p∈P

(1− f(p)

ps

)−1

(4.14)

nel suo insieme di convergenza.

Dimostrazione. Grazie alla fattorizzazione unica in N e alla completa mol-tiplicativita di f e alla convergenza assoluta di F , possiamo scrivere

+∞∑n=1

f(n)

ns=∏p∈P

(1+f(p)

ps+. . .

f(p)k

pks+. . . ) =

∏p∈P

+∞∑i=1

(f(p)

ps

)i=∏p∈P

1

1− f(p)p−s

30 CAPITOLO 4. SERIE DI DIRICHLET E IDENTITA DI EULERO

4.1 Funzioni L di Dirichlet

Si chiamano funzioni L le serie di Dirichlet associate a caratteri.

Lχ(s) :=+∞∑n=1

χ(n)

ns(4.15)

Se ψm | χq, allora, dall’identita di Eulero si ottiene

Lχ(s) = Lψ(s)∏p|q

(1− ψ(p)

ps

)Ovvero le due funzioni differiscono per un fattore polinomiale, pertanto

si ha che il comportamento di una funzione Lχ e fortemente collegata aquello della Lψ.

Inoltre, se ψ e un carattere primitivo, Lψ soddisfa la seguente equazionefunzionale, che permette di estendere meromorficamente L in tutto il pianocomplesso.

La riportiamo senza dimostrazione:

Lψ(s) =τ(ψ)

iaq1/2

(π

q

)s−1/2 Γ(1−s+a2

)

Γ( s+a2

)Lψ(1− s) (4.16)

dove

a =

0 se ψ(m− 1) = 11 se ψ(m− 1) = −1

(4.17)

e Γ e la funzione Gamma di Eulero

Γ(z) =

∫ +∞

0

tz−1 e−t dt (4.18)

Nel prossimo capitolo vedremo come possiamo legare i caratteri primi-tivi alle funzioni aritmetiche periodiche.

Capitolo 5

Caratteri come generatori di S

Sia q > 1. Siano d | q, d′ = qd

(i.e. dd′ = q).

Sia χd′

un carattere modulo d′. Definiamo

χd′:=

χd

′(nd) se d | n

0 altrimenti(5.1)

Osserviamo che χd′ ∈ Sq

Teorema 19.

i) Esistono q funzioni del tipo χd′

ii) Esse formano una base ortogonale di Sq con prodotto scalare

χ1 · χ2 :=1

ϕ(q)

q∑n=1

χ1(n)χ2(n) (5.2)

Dimostrazione.

i) Segue dal fatto che per ogni d′ | q esistono ϕ(d′) caratteri modulo d′∑d′|n

ϕ(d′) = q

e da ogni χ si ottiene una χ

ii) Siano χd′

e Ωe′ due caratteri modulo d′ = qd

e e′ = qe.

χ · Ω =1

ϕ(q)

q∑n=1

= χ(n)Ω(n) =1

ϕ(q)

∑d,e|n≤q

χ(n

d)Ω(

n

e)

31

32 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S

Poniamo h = (d, e) d = hd1, e = he1, (d1, e1) = 1

Introduciamo poi l’indice k := nd,e

Otteniamo quindi nd

= ke1, ne

= kd1. Pertanto

χ · Ω =1

ϕ(q)

q/d,e∑k=1

χ(ke1)Ω(kd1) =1

ϕ(q)χ(e1)Ω(d1)

q/d,e∑k=1

χ(k)Ω(k) =

Ora osserviamo che q = dd′ = ee′ = hd1d′ = he1e

′, ovvero d1d′ = e1e

′.

Risulta quindi e1 | d′ e d1 | e′ e pertanto χd′(e1)Ω

e′

(d1) = 0 a meno ched1 = e1 = 1.

Ma in questo caso d = e (i.e. d′ = e′, qd,e = q

d= d′) e otteniamo

χ · Ω =1

ϕ(q)

d′∑k=1

χd′(k)Ω

d′

(k) = χ · Ω =

1 se χ = Ω0 altrimenti

Pertanto risulta

Sq =

q⊕i=1

χi =⊕ψ∈Dprq

Vψ,q Vψ,q =< χd′ ; ψ | χd′ , d′ | q > (5.3)

Vedremo ora cosa succede se invece che come spazio vettoriale andiamoa considerare Sq come modulo sui polinomi.

Dimostriamo innanzitutto che tale struttura sussiste.

Teorema 20. S e P-modulo

Dimostrazione. Ricordiamo che P e sottoanello di A e S e un gruppo abe-liano. Dimostreremo che P ∗ S = S, cioe che per ogni p ∈ P e ognif ∈ S,

p ∗ f ∈ S (5.4)

In virtu della natura di P e S e come spazi vettoriali, e sufficiente dimostrarela (5.4) per i generatori.

Ricordando le (2.17) e la (2.18), otteniamo che per ogni i, j, q ∈ N, j ≤ q

ei ∗ sj,q = sji,qi (5.5)

infatti

33

ei ∗ sj,q(n) =∑d|n

ei(d)sj,q(n

d) =

1 se i | n e n

i≡ j (mod q)

0 altrimenti=

=

1 se n ≡ ji (mod qi)0 altrimenti

= sji,qi(n)

Quindi osserviamo che se

Pk 3 pk = x1e1 + · · ·+ xkek

eSq 3 f q = y1s1,q + · · ·+ yqsq,q

con xj, yi ∈ C risulta

pk∗f q =

(k∑i=1

xiei

)(q∑j=1

yjsj,q

)=

∑1≤i≤k

1≤j≤q

xiyj(ei∗sj,q) =∑

1≤i≤k

1≤j≤q

xiyjsji,qi

(5.6)

Teorema 21. Il prodotto (di convoluzione) di un polinomio di grado k conuna funzione periodica di periodo q ha periodo qdk

Dimostrazione. Osserviamo che l’ultimo membro della (5.6)e una sommadi funzioni aritmetiche periodiche di periodo q, 2q, . . . , kq. Pertanto per ilcorollario (2.15) e ricordando la definizione (1.26)

per(pk ∗ f q) | q, 2q, . . . , kq = q1, 2, . . . , k = qdk (5.7)

Teorema 22. Dpr genera S

Dimostrazione.Sia q ≥ 1, d′ | q e d = q/d

Consideriamo le serie di Dirichlet associate a una delle funzioni χd′

definite secondo la (5.1) e al carattere primitivo ψm ∈ Dprq che induce χd′.

34 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S

Si noti innanzitutto che m | d′ e pertanto m | q. Definiamo anchem′ := d′/m e q′ := q/m Risulta

Lχ(s) =+∞∑n=1

χ(n)

ns=

+∞∑k=1

χ(kd)

(kd)s=

1

ds

+∞∑k=1

χ(k)

ks=Lχ(s)

ds(5.8)

Pertanto:

Lχ(s)

Lψ(s)=

Lχ(s)

dsLψ(s)=

1

ds

∏p-m

(1− ψ(p)

ps

)∏p-d′

(1− ψ(p)

ps

) =1

ds

∏p|m′

(1− ψ(p)

ps

)=

1

ds

∑c|m′

µ(c)ψ(c)

cs

(5.9)Pertanto, ponendo k = cd,

Lχ(s) = Lψ(s)∑c|m′

µ(c)ψ(c)

(cd)s= Lψ(s)

∑d≤k|q′

µ(k/d)ψ(k/d)

ks= Lψ(s)Pψ

q′,d(s)

(5.10)dove Pψ

q′,d(s) e un polinomio di Dirichlet di grado al piu q′, con terminin-esimi nulli se n < d o n - q′ e con termine d-esimo uguale a 1 (= µ(1)ψ(1)).

Consideriamo quindi

Pq′,d =< ed; d | q′ > (5.11)

sottospazio vettoriale di Pq′ , formato dai polinomi tali che p(n) = 0 se n - q.Pertanto risulta

χd′= ψm ∗ pψq′,d (5.12)

e in generale, dalla (5.3)

Vψ,q = < ψm ∗ pψq′,d; d | q′ > (5.13)

dove pψq′,d e il corrispondente di Pψq′,d(s) nell’isomorfismo canonico tra A e

D.Ovviamente risulta:

i)pψq′,d ∈ Pq′,d

per ogni d | q.

ii)pψq′,d(n) = 0

se n < d o n - q′.

35

iii)

pψq′,d(d) = 1

.

Osservando che

dim(Pq′,d) = τ(q′) =: τ ′

E grazie all’isomorfismo con Cτ ′ possiamo immaginare gli elementi di Pq′,dcome τ ′-uple ordinate (si intende di aver ordinato la base in ordine crescentedegli indici).

Allora la matrice

A := (pψq′,d)d|q′

(dove i pψq′,d sono vettori colonna) e τ ′ × τ ′ triangolare inferiore

A =

1 0 · · · 0

· 1 · ...... · . . . 0· · · · · 1

(5.14)

Poiche det(A) = 1, gli pψq′,d sono linearmente indipendenti e risultaquindi

< pψq′,d; d | q′ >= Pq′,d (5.15)

e pertanto

Vψ,q = ψ ∗ Pq′,d (5.16)

quindi,

Sq =⊕ψ∈Dprq

ψm ∗ Pq′,d (5.17)

e infine

S =< Dpr > (5.18)

come P-modulo.

Vediamo di seguito ulteriori osservazioni su questo risultato e un diversoapproccio alle dimostrazioni dei due teoremi con l’obiettivo di mantenerela notazione delle funzioni aritmetiche

36 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S

Lemma 2. Sia f ∈ A, ek definito come nella (2.18). Allora

(f ∗ ek)(n) =∑d|n

ek(d)f(n

d) =

f(n

k) se k | n

0 altrimenti

inoltre se fh ∈ Sh allorafh ∗ ek ∈ Shk

Infine, se ph ∈ Ph alloraph ∗ ek ∈ Pkh

Pertanto possiamo riscrivere la (5.1) come

χd′= χd

′ ∗ ed (5.19)

che ha periodo dd′ = qSi noti che per k > 1, ek non e moltiplicativa, e cosı non e in generale

la χ.

Lemma 3. Sia f ∈ A completamente moltiplicativa. Allora, per ognig, h ∈ A

f · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h (5.20)

Dimostrazione.

f · (g ∗h)(n) = f(n)∑d|n

g(d)h(n

d) =

∑d|n

f(d)f(n

d)g(d)h(

n

d) = f · g ∗ f ·h(n)

Pertanto posso usare il teorema 22 usando solo funzioni aritmetiche enotazioni e proprieta dell’anello di Dirichlet.

Dimostrazione. Sia q > 1, d′ | q. Sia χd′

definita dalla (5.1) o dalla (5.19)e ψm il carattere primitivo che induce χd

′

Allora, ricordando il teorema 6, l’equazione (3.20), il lemma 3 e che ψm

e completamente moltiplicativa, otteniamo

χd′ ∗ (ψm)−1 = χd

′ ∗ ed ∗ µψm = χd′

0 ψm ∗ ed ∗ µψm = ψm(χd

′

0 ∗ µ) ∗ ed

Per studiare l’ultimo membro osserviamo che che χd′

0 ∗µ e moltiplicativaperche lo sono i due fattori, pertanto (χd

′0 ∗ µ)(1) = 1 e

(χd′

0 ∗ µ)(p) =

−1 se p | d′0 altrimenti

37

(χd′

0 ∗ µ)(pα) = 0

se α > 1.Pertanto χd

′0 ∗ µ e non nulla solo per un numero finito di interi, ovvero

e un polinomio. Il prodotto · per ψm lascia non nulli solo i valori chesono coprimi con m, cioe gli squarefree composti da primi divisibili perm′ = d′/m e quindi ψm · (χd′0 ∗ µ) e ancora un polinomio di grado al piu m′

e moltiplicato (in convoluzione) con ed, diventa un polinomio di grado alpiu’ m′d = d′d/m = q/d =: q′.

Corollario 4. Data f ∈ S, la serie di Dirichlet associata

F (s) =+∞∑n=1

f(n)

ns

ammette un prolungamento meromorfo in C

Dimostrazione. utilizzando la (4.16) e la (5.18) otteniamo :

F (s) =∑ψ∈Dpr

Lψ(s)Pψ(s) =∑ψ∈Dpr

τ(ψ)

iaq1/2

(π

q

)s−1/2 Γ(1−s+a2

)

Γ( s+a2

)Lψ(1− s)Pψ(s)

38 CAPITOLO 5. CARATTERI COME GENERATORI DI S

Bibliografia

[1] Codeca, Dvornicich and Zannier Two problem related to the non-vanishing of Lχ(1). Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux 10(1998), 49-64

[2] Eric Saias and Andreas Weingartner Zeros of Dirichlet series withperiodic coefficients. http://arxiv.org/abs/0807.0783v1

[3] Harold N. Shapiro Introduction to the Theory of Numbers DoverPublications

[4] Alberto Perelli Fondamenti di Teoria Analitica dei Numeriwww.dima.unige.it/ perelli

[5] Mimmo Arezzo Ogni spazio vettoriale ha basehttp://www.dima.unige.it/ arezzo

[6] Jobin Lavasani Algebraic Number Theory - Lecture 11http://www.maths.bris.ac.uk/ malab

39