Dirichlet L-Series - Beamer
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Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioniLaurea Triennale - Prova finale
Candidato: Francesco GiordanoRelatore: Prof.ssa Lea Terracini
17 aprile 2012
Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni
Introduzione
In questa presentazione vogliamo illustrare comeestendere alcune proprieta delle funzioni L diDirichlet alle serie di Dirichlet periodiche.
A questo scopo faremo uso di alcuni strumentialgebrici che descriveremo brevemente
Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni
Funzioni aritmetiche
Si dice funzione aritmetica una funzione
f : N→ C
Denotiamo con A l’insieme delle funzioni aritmeticheCon le operazioni di
somma(f + g)(n) := f (n) + g(n)
e di prodotto, detto di convoluzione
(f ∗ g)(n) :=∑dd ′=n
f (d)g(d ′)
A prende nome di Anello di Dirichlet
Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni
Funzioni aritmetiche
Si dice funzione aritmetica una funzione
f : N→ C
Denotiamo con A l’insieme delle funzioni aritmeticheCon le operazioni di
somma(f + g)(n) := f (n) + g(n)
e di prodotto, detto di convoluzione
(f ∗ g)(n) :=∑dd ′=n
f (d)g(d ′)
A prende nome di Anello di Dirichlet
Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni
Funzioni aritmetiche
Si dice funzione aritmetica una funzione
f : N→ C
Denotiamo con A l’insieme delle funzioni aritmeticheCon le operazioni di
somma(f + g)(n) := f (n) + g(n)
e di prodotto, detto di convoluzione
(f ∗ g)(n) :=∑dd ′=n
f (d)g(d ′)
A prende nome di Anello di Dirichlet
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L’anello di Dirichlet
(A,+, ∗) e un anello
commutativo con identita e tale che
e(1) = 1 e(n) = 0 se n > 1
se f (1) 6= 0 esiste g ∈ A tale che f ∗ g = e
A inoltre e spazio vettoriale complesso con il prodottoesterno λ · f (n) = λf (n)
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L’anello di Dirichlet
(A,+, ∗) e un anello
commutativo con identita e tale che
e(1) = 1 e(n) = 0 se n > 1
se f (1) 6= 0 esiste g ∈ A tale che f ∗ g = e
A inoltre e spazio vettoriale complesso con il prodottoesterno λ · f (n) = λf (n)
Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni
L’anello di Dirichlet
(A,+, ∗) e un anello
commutativo con identita e tale che
e(1) = 1 e(n) = 0 se n > 1
se f (1) 6= 0 esiste g ∈ A tale che f ∗ g = e
A inoltre e spazio vettoriale complesso con il prodottoesterno λ · f (n) = λf (n)
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Serie di Dirichlet
Data una f.a. f ∈ A, possiamo associarle una serie di Dirichlet
+∞∑n=1
f (n)
ns
Si giustifica cosı la definizione di prodotto di convoluzione
+∞∑n=1
f (n)
ns
+∞∑n=1
g(n)
ns=
+∞∑n=1
1
ns
∑dd ′=n
f (d)g(d ′) =+∞∑n=1
(f ∗ g)(n)
ns
Se denotiamo con D l’insieme delle serie di Dirichlet, allora eevidente che
A ' D
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Serie di Dirichlet
Data una f.a. f ∈ A, possiamo associarle una serie di Dirichlet
+∞∑n=1
f (n)
ns
Si giustifica cosı la definizione di prodotto di convoluzione
+∞∑n=1
f (n)
ns
+∞∑n=1
g(n)
ns=
+∞∑n=1
1
ns
∑dd ′=n
f (d)g(d ′) =+∞∑n=1
(f ∗ g)(n)
ns
Se denotiamo con D l’insieme delle serie di Dirichlet, allora eevidente che
A ' D
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Serie di Dirichlet
Data una f.a. f ∈ A, possiamo associarle una serie di Dirichlet
+∞∑n=1
f (n)
ns
Si giustifica cosı la definizione di prodotto di convoluzione
+∞∑n=1
f (n)
ns
+∞∑n=1
g(n)
ns=
+∞∑n=1
1
ns
∑dd ′=n
f (d)g(d ′) =+∞∑n=1
(f ∗ g)(n)
ns
Se denotiamo con D l’insieme delle serie di Dirichlet, allora eevidente che
A ' D
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Serie di Dirichlet
Se interpretiamo s come variabile complessa, allora una seriedi Dirichlet diventa una funzione
F : X ⊆ C→ C F (s) :=+∞∑n=1
f (n)
ns
dove X e l’insieme di convergenza della serie
In generale, se f ∈ O(nk), allora la serie convergeassolutamente per Re(s) > 1 + k
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Serie di Dirichlet
Se interpretiamo s come variabile complessa, allora una seriedi Dirichlet diventa una funzione
F : X ⊆ C→ C F (s) :=+∞∑n=1
f (n)
ns
dove X e l’insieme di convergenza della serie
In generale, se f ∈ O(nk), allora la serie convergeassolutamente per Re(s) > 1 + k
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Funzioni moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1
La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche
(f ∗ g)(n) f −1∗(n)
sono moltiplicative
Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.
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Funzioni moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1
La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche
(f ∗ g)(n) f −1∗(n)
sono moltiplicative
Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.
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Funzioni moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1
La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche
(f ∗ g)(n) f −1∗(n)
sono moltiplicative
Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.
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Funzioni moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1
La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche
(f ∗ g)(n) f −1∗(n)
sono moltiplicative
Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.
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Funzioni moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N, (m, n) = 1
La definizione delle funzioni moltiplicative e determinata daivalori che assumono sulle potenze dei primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. moltiplicativa e invertibile inADenotiamo con M l’insieme delle funzioni moltiplicative. Essoe un sottogruppo di A. Se f , g ∈M, anche
(f ∗ g)(n) f −1∗(n)
sono moltiplicative
Ad esempio e moltiplicativa la funzione di Mobiusµ(n) := (−1)k se n = p1 · · · pk , pi distinti; µ(n) = 0altrimenti.
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Funzioni completamente moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N
La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa
f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario
Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h
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Funzioni completamente moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N
La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa
f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario
Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h
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Funzioni completamente moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N
La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa
f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario
Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h
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Funzioni completamente moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N
La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa
f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario
Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h
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Funzioni completamente moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N
La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa
f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario
Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h
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Funzioni completamente moltiplicative
Una f. a. ∈ A si dice completamente moltiplicativa se
f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N
La definizione delle funzioni completamente moltiplicative edeterminata dai valori che assumono sui primi.
Risulta f (1) = 1, quindi ogni f.a. completamentemoltiplicativa e invertibile in AIn generale il prodotto di due f.a. completamentemoltiplicative non e una f.a. completamente moltiplicativa
f e completamente moltiplicativa sse f −1∗ = µf , dove ilprodotto e inteso nel senso ordinario
Siano f , g , h ∈ A, f completamente moltiplicativa,alloraf · (g ∗ h) = f · g ∗ f · h
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Prodotti di Eulero
Se f ∈ A e moltiplicativa, allora, nel semipiano diconvergenza assoluta, la serie di Dirichlet associata eesprimibile come prodotto di Eulero
F (s) :=+∞∑n=1
f (n)
ns=∏p∈P
(+∞∑k=1
f (pk)
pks
)
Se f ∈ A e completamente moltiplicativa, allora il prodotto diEulero assume la forma
F (s) :=+∞∑n=1
f (n)
ns=∏p∈P
(1− f (p)
ps
)−1
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Prodotti di Eulero
Se f ∈ A e moltiplicativa, allora, nel semipiano diconvergenza assoluta, la serie di Dirichlet associata eesprimibile come prodotto di Eulero
F (s) :=+∞∑n=1
f (n)
ns=∏p∈P
(+∞∑k=1
f (pk)
pks
)
Se f ∈ A e completamente moltiplicativa, allora il prodotto diEulero assume la forma
F (s) :=+∞∑n=1
f (n)
ns=∏p∈P
(1− f (p)
ps
)−1
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Funzioni periodiche
Una f. a. ∈ A si dice periodica se ∃q ∈ N tale che
f (n + q) = f (n) ∀n ∈ N
Denotiamo con S l’insieme delle f.a. periodiche, e con Sql’insieme delle f.a. periodiche di periodo q, allora S e Sq sonosottospazi vettoriali di ALa base canonica di Sq e data dalle f.a. sj ,q tali che
sj ,q(n) = 1 se n ≡ j (mod q); sj ,q(n) = 0 altrimenti
Risulta ⋃q≥1Sq = S
pertanto gli sj ,q generano S
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Funzioni periodiche
Una f. a. ∈ A si dice periodica se ∃q ∈ N tale che
f (n + q) = f (n) ∀n ∈ N
Denotiamo con S l’insieme delle f.a. periodiche, e con Sql’insieme delle f.a. periodiche di periodo q, allora S e Sq sonosottospazi vettoriali di ALa base canonica di Sq e data dalle f.a. sj ,q tali che
sj ,q(n) = 1 se n ≡ j (mod q); sj ,q(n) = 0 altrimenti
Risulta ⋃q≥1Sq = S
pertanto gli sj ,q generano S
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Funzioni periodiche
Una f. a. ∈ A si dice periodica se ∃q ∈ N tale che
f (n + q) = f (n) ∀n ∈ N
Denotiamo con S l’insieme delle f.a. periodiche, e con Sql’insieme delle f.a. periodiche di periodo q, allora S e Sq sonosottospazi vettoriali di ALa base canonica di Sq e data dalle f.a. sj ,q tali che
sj ,q(n) = 1 se n ≡ j (mod q); sj ,q(n) = 0 altrimenti
Risulta ⋃q≥1Sq = S
pertanto gli sj ,q generano S
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Polinomi
Una f. a. ∈ A si dice polinomio se f (n) 6= 0 solo per un numerofinito di n ∈ N
Denotiamo con P l’insieme dei polinomi, e con Pk l’insiemedei polinomi di grado al piu k , allora P e Pk sono sottospazivettoriali di ALa base canonica di Pk e data dalle f.a. ei tali che
ei (i) = 1; ei (n) = 0 se n 6= i
Risulta ⋃k≥1Pk = P
pertanto gli ei generano P
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Polinomi
Una f. a. ∈ A si dice polinomio se f (n) 6= 0 solo per un numerofinito di n ∈ N
Denotiamo con P l’insieme dei polinomi, e con Pk l’insiemedei polinomi di grado al piu k , allora P e Pk sono sottospazivettoriali di ALa base canonica di Pk e data dalle f.a. ei tali che
ei (i) = 1; ei (n) = 0 se n 6= i
Risulta ⋃k≥1Pk = P
pertanto gli ei generano P
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Polinomi
Una f. a. ∈ A si dice polinomio se f (n) 6= 0 solo per un numerofinito di n ∈ N
Denotiamo con P l’insieme dei polinomi, e con Pk l’insiemedei polinomi di grado al piu k , allora P e Pk sono sottospazivettoriali di ALa base canonica di Pk e data dalle f.a. ei tali che
ei (i) = 1; ei (n) = 0 se n 6= i
Risulta ⋃k≥1Pk = P
pertanto gli ei generano P
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Polinomi
Una f. a. ∈ A si dice polinomio se f (n) 6= 0 solo per un numerofinito di n ∈ N
Denotiamo con P l’insieme dei polinomi, e con Pk l’insiemedei polinomi di grado al piu k , allora P e Pk sono sottospazivettoriali di ALa base canonica di Pk e data dalle f.a. ei tali che
ei (i) = 1; ei (n) = 0 se n 6= i
Risulta ⋃k≥1Pk = P
pertanto gli ei generano P
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Caratteri di Dirichlet
Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo
χ : Z∗q → C∗
estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1
e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)
Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere
completamente moltiplicativa
periodica di periodo q
nulla sse (n, q) > 1
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Caratteri di Dirichlet
Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo
χ : Z∗q → C∗
estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1
e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)
Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere
completamente moltiplicativa
periodica di periodo q
nulla sse (n, q) > 1
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Caratteri di Dirichlet
Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo
χ : Z∗q → C∗
estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1
e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)
Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere
completamente moltiplicativa
periodica di periodo q
nulla sse (n, q) > 1
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Caratteri di Dirichlet
Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo
χ : Z∗q → C∗
estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1
e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)
Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere
completamente moltiplicativa
periodica di periodo q
nulla sse (n, q) > 1
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Caratteri di Dirichlet
Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo
χ : Z∗q → C∗
estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1
e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)
Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere
completamente moltiplicativa
periodica di periodo q
nulla sse (n, q) > 1
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Caratteri di Dirichlet
Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo
χ : Z∗q → C∗
estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1
e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)
Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere
completamente moltiplicativa
periodica di periodo q
nulla sse (n, q) > 1
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Caratteri di Dirichlet
Sia q ∈ N. Dato un omomorfismo
χ : Z∗q → C∗
estendiamo la definizione prima a Zq ponendo χ(a) = 0 se(a, q) > 1
e infine a N ponendo χ(n) = χ(n)
Allora χ e una funzione aritmetica, detta carattere diDirichlet modulo q e risulta essere
completamente moltiplicativa
periodica di periodo q
nulla sse (n, q) > 1
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Proprieta dei caratteri
Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1
Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita
Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto
χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)
allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq
0 tale che
χq0(n) =
1 se (n, q) = 10 altrimenti
L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ
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Proprieta dei caratteri
Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1
Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita
Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto
χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)
allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq
0 tale che
χq0(n) =
1 se (n, q) = 10 altrimenti
L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ
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Proprieta dei caratteri
Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1
Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita
Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto
χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)
allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq
0 tale che
χq0(n) =
1 se (n, q) = 10 altrimenti
L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ
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Proprieta dei caratteri
Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1
Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita
Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto
χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)
allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq
0 tale che
χq0(n) =
1 se (n, q) = 10 altrimenti
L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ
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Proprieta dei caratteri
Sia χq un carattere modulo q, se (n, q) = 1 allora||χq(n)|| = 1
Piu’ precisamente χq(n) e una radice ϕ(q)-esima dell’unita
Denotiamo con Kq l’insieme dei caratteri modulo q. Seintroduciamo il prodotto
χq · Ωq(n) = χq(n)Ωq(n)
allora Kq e un gruppo abeliano isomorfo a Z∗qL’elemento neutro e il carattere principale χq
0 tale che
χq0(n) =
1 se (n, q) = 10 altrimenti
L’elemento inverso e dato da χ−1 = χ
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Leggi di Ortogonalita
∑a∈Z∗q
χ(a) =
ϕ(q) se χ = χ0
0 altrimenti
∑χ∈Kq
χ(a) =
ϕ(q) se a = 10 altrimenti
χq ·Θq :=
q∑n=1
χ(n)Θ(n) =
ϕ(q) se χ = Θ0 altrimenti
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Caratteri primitivi
Se χd e un carattere modulo d , e d | q allora possiamocostruire un carattere modulo q
χq(n) =
χd(n) se (n, q) = 10 altrimenti
In questo caso si dice che χd induce χq e si scrive χd | χq.Inoltre risulta χq = χd · χq
0
Se d = q allora χq si dice primitivo
Denotiamo con Dpr l’insieme dei caratteri primitivi e con Dprq
l’insieme dei caratteri primitivi modulo i divisori di q
Candidato: Francesco Giordano Relatore: Prof.ssa Lea Terracini Funzioni L di Dirichlet e alcune generalizzazioni
Caratteri primitivi
Se χd e un carattere modulo d , e d | q allora possiamocostruire un carattere modulo q
χq(n) =
χd(n) se (n, q) = 10 altrimenti
In questo caso si dice che χd induce χq e si scrive χd | χq.Inoltre risulta χq = χd · χq
0
Se d = q allora χq si dice primitivo
Denotiamo con Dpr l’insieme dei caratteri primitivi e con Dprq
l’insieme dei caratteri primitivi modulo i divisori di q
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Caratteri primitivi
Se χd e un carattere modulo d , e d | q allora possiamocostruire un carattere modulo q
χq(n) =
χd(n) se (n, q) = 10 altrimenti
In questo caso si dice che χd induce χq e si scrive χd | χq.Inoltre risulta χq = χd · χq
0
Se d = q allora χq si dice primitivo
Denotiamo con Dpr l’insieme dei caratteri primitivi e con Dprq
l’insieme dei caratteri primitivi modulo i divisori di q
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Caratteri primitivi
Se χd e un carattere modulo d , e d | q allora possiamocostruire un carattere modulo q
χq(n) =
χd(n) se (n, q) = 10 altrimenti
In questo caso si dice che χd induce χq e si scrive χd | χq.Inoltre risulta χq = χd · χq
0
Se d = q allora χq si dice primitivo
Denotiamo con Dpr l’insieme dei caratteri primitivi e con Dprq
l’insieme dei caratteri primitivi modulo i divisori di q
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Funzioni L di Dirichlet
Una serie di Dirichlet associata a un carattere χ e dettafunzione L di Dirichlet e si denota con
L(χ, s) =+∞∑n=1
χ(n)
ns
Sia ψm un carattere primitivo che induce χq. Allora risulta
L(χq, s) = L(ψm, s)∏p|q
(1− ψm(p)
ps
)
Inoltre le funzioni L di Dirichlet associate a un carattereprimitivo ψm soddisfano l’equazione funzionale
L(ψm, s) =τ(ψm)
iaq1/2
(π
q
)s−1/2 Γ(1−s+a2 )
Γ( s+a2 )
L(ψm, 1− s)
che permette di estendere meromorficamente L a tutto ilpiano complesso.
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Funzioni L di Dirichlet
Una serie di Dirichlet associata a un carattere χ e dettafunzione L di Dirichlet e si denota con
L(χ, s) =+∞∑n=1
χ(n)
ns
Sia ψm un carattere primitivo che induce χq. Allora risulta
L(χq, s) = L(ψm, s)∏p|q
(1− ψm(p)
ps
)
Inoltre le funzioni L di Dirichlet associate a un carattereprimitivo ψm soddisfano l’equazione funzionale
L(ψm, s) =τ(ψm)
iaq1/2
(π
q
)s−1/2 Γ(1−s+a2 )
Γ( s+a2 )
L(ψm, 1− s)
che permette di estendere meromorficamente L a tutto ilpiano complesso.
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Funzioni L di Dirichlet
Una serie di Dirichlet associata a un carattere χ e dettafunzione L di Dirichlet e si denota con
L(χ, s) =+∞∑n=1
χ(n)
ns
Sia ψm un carattere primitivo che induce χq. Allora risulta
L(χq, s) = L(ψm, s)∏p|q
(1− ψm(p)
ps
)
Inoltre le funzioni L di Dirichlet associate a un carattereprimitivo ψm soddisfano l’equazione funzionale
L(ψm, s) =τ(ψm)
iaq1/2
(π
q
)s−1/2 Γ(1−s+a2 )
Γ( s+a2 )
L(ψm, 1− s)
che permette di estendere meromorficamente L a tutto ilpiano complesso.
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S e P-modulo
Lemma
S e P-modulo
Dimostrazione.
Basta osservare cheei ∗ sj ,q = sji ,qi
Pertanto
pk ∗ f q =
(k∑
i=1
xiei
) q∑j=1
yjsj ,q
=
=∑
1≤i≤k 1≤j≤qxiyj(ei ∗ sj ,q) =
∑1≤i≤k 1≤j≤q
xiyjsji ,qi
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S e P-modulo
Lemma
S e P-modulo
Dimostrazione.
Basta osservare cheei ∗ sj ,q = sji ,qi
Pertanto
pk ∗ f q =
(k∑
i=1
xiei
) q∑j=1
yjsj ,q
=
=∑
1≤i≤k 1≤j≤qxiyj(ei ∗ sj ,q) =
∑1≤i≤k 1≤j≤q
xiyjsji ,qi
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S e P-modulo
Lemma
S e P-modulo
Dimostrazione.
Basta osservare cheei ∗ sj ,q = sji ,qi
Pertanto
pk ∗ f q =
(k∑
i=1
xiei
) q∑j=1
yjsj ,q
=
=∑
1≤i≤k 1≤j≤qxiyj(ei ∗ sj ,q) =
∑1≤i≤k 1≤j≤q
xiyjsji ,qi
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Costruzione di una base di Sq con i caratteri
Lemma
Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.
Dimostrazione.
Innanzitutto si osserva che esistono∑
d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:
χd · Ωe =∑
d,e|n≤q
χd(n
d ′)Ωe(
n
e′) = χd(e1)Ωe(d1)
qd′,e′∑k=1
χd(k)Ωe(k)
χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa
d∑k=1
χd(k)Ωd(k) =
ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti
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Costruzione di una base di Sq con i caratteri
Lemma
Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.
Dimostrazione.
Innanzitutto si osserva che esistono∑
d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:
χd · Ωe =∑
d,e|n≤q
χd(n
d ′)Ωe(
n
e′) = χd(e1)Ωe(d1)
qd′,e′∑k=1
χd(k)Ωe(k)
χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa
d∑k=1
χd(k)Ωd(k) =
ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti
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Costruzione di una base di Sq con i caratteri
Lemma
Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.
Dimostrazione.
Innanzitutto si osserva che esistono∑
d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:
χd · Ωe =∑
d,e|n≤q
χd(n
d ′)Ωe(
n
e′) = χd(e1)Ωe(d1)
qd′,e′∑k=1
χd(k)Ωe(k)
χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa
d∑k=1
χd(k)Ωd(k) =
ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti
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Costruzione di una base di Sq con i caratteri
Lemma
Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.
Dimostrazione.
Innanzitutto si osserva che esistono∑
d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:
χd · Ωe =∑
d,e|n≤q
χd(n
d ′)Ωe(
n
e′) = χd(e1)Ωe(d1)
qd′,e′∑k=1
χd(k)Ωe(k)
χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa
d∑k=1
χd(k)Ωd(k) =
ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti
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Costruzione di una base di Sq con i caratteri
Lemma
Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.
Dimostrazione.
Innanzitutto si osserva che esistono∑
d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:
χd · Ωe =∑
d,e|n≤q
χd(n
d ′)Ωe(
n
e′) = χd(e1)Ωe(d1)
qd′,e′∑k=1
χd(k)Ωe(k)
χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa
d∑k=1
χd(k)Ωd(k) =
ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti
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Costruzione di una base di Sq con i caratteri
Lemma
Siano q ≥ 1, d | q, d ′ = q/d. Definiamo le f.a.χd := χd ∗ ed ′ ∈ Sq.Esse formano una base di Sq come spazio vettoriale.
Dimostrazione.
Innanzitutto si osserva che esistono∑
d|q ϕ(d) = q funzioni di questo tipo,pertanto ci resta da dimostrare che sono linearmente indipendenti.Siano d , e | q, d ′ = q/d , e′ = q/e, d ′ = hd1, e′ = he1, con (d1, e1) = 1.Risulta, usando la forma hermitiana standard:
χd · Ωe =∑
d,e|n≤q
χd(n
d ′)Ωe(
n
e′) = χd(e1)Ωe(d1)
qd′,e′∑k=1
χd(k)Ωe(k)
χd(e1)Ωe(d1) = 0 a meno che d1 = e1 = 1, nel qual caso d = e e RHS diventa
d∑k=1
χd(k)Ωd(k) =
ϕ(d) se χ = Ω0 altrimenti
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I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche
Teorema
S =< Dpr >, come P-modulo
Dimostrazione.
Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta
χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ
m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′
RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica
f q =∑
ciχdi =
∑ψ∈Dpr
q
ψm∑
ciPq,dψ =
∑ψ∈Dpr
q
ψmPψ
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I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche
Teorema
S =< Dpr >, come P-modulo
Dimostrazione.
Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta
χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ
m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′
RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica
f q =∑
ciχdi =
∑ψ∈Dpr
q
ψm∑
ciPq,dψ =
∑ψ∈Dpr
q
ψmPψ
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I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche
Teorema
S =< Dpr >, come P-modulo
Dimostrazione.
Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta
χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ
m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′
RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica
f q =∑
ciχdi =
∑ψ∈Dpr
q
ψm∑
ciPq,dψ =
∑ψ∈Dpr
q
ψmPψ
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I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche
Teorema
S =< Dpr >, come P-modulo
Dimostrazione.
Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta
χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ
m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′
RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica
f q =∑
ciχdi =
∑ψ∈Dpr
q
ψm∑
ciPq,dψ =
∑ψ∈Dpr
q
ψmPψ
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I caratteri primitivi generano le f.a. periodiche
Teorema
S =< Dpr >, come P-modulo
Dimostrazione.
Dato χd nella base di Sq individuata dal lemma precedente, sia m ilconduttore di χd e ψm il carattere primitivo che lo induce. Risulta
χd ∗(ψm)−1∗ = χd ∗ed ′∗µψm = χd0ψ
m∗ed ′∗µψm = ψm(χd0 ∗µ)∗ed ′
RHS risulta essere non-nullo solo per un numero finito di n ∈ N,ovvero e un polinomio, che dipende da ψ, da q e da d .Pertanto, data una qualunque f.a. periodica
f q =∑
ciχdi =
∑ψ∈Dpr
q
ψm∑
ciPq,dψ =
∑ψ∈Dpr
q
ψmPψ
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Le serie di Dirichlet periodiche si estendonomeromorficamente
Nella notazione delle serie di Dirichlet scriveremo
F q(s) =+∞∑n=1
f q(n)
ns=∑ψ∈Dpr
q
L(ψ, s)Pψ(s)
Pertanto l’equazione funzionale soddisfatta dalle L(ψ, s) siadatta alle F q(s)
F q(s) =∑ψ∈Dpr
L(ψ, s)Pψ(s) =∑ψ∈Dpr
τ(ψ)
iaq1/2
(π
q
)s− 12 Γ( 1−s+a
2)
Γ( s+a2
)L(ψ, 1−s)Pψ(s)
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Le serie di Dirichlet periodiche si estendonomeromorficamente
Nella notazione delle serie di Dirichlet scriveremo
F q(s) =+∞∑n=1
f q(n)
ns=∑ψ∈Dpr
q
L(ψ, s)Pψ(s)
Pertanto l’equazione funzionale soddisfatta dalle L(ψ, s) siadatta alle F q(s)
F q(s) =∑ψ∈Dpr
L(ψ, s)Pψ(s) =∑ψ∈Dpr
τ(ψ)
iaq1/2
(π
q
)s− 12 Γ( 1−s+a
2)
Γ( s+a2
)L(ψ, 1−s)Pψ(s)
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Bibliografia
Codeca, Dvornicich and Zannier Two problem related to thenon-vanishing of Lχ(1). Journal de Theorie des Nombres deBordeaux 10 (1998), 49-64
Eric Saias and Andreas Weingartner Zeros of Dirichlet serieswith periodic coefficients. http://arxiv.org/abs/0807.0783v1
Harold N. Shapiro Introduction to the Theory of NumbersDover Publications
Alberto Perelli Fondamenti di Teoria Analitica dei Numeriwww.dima.unige.it/ perelli
Mimmo Arezzo Ogni spazio vettoriale ha basehttp://www.dima.unige.it/ arezzo
Jobin Lavasani Algebraic Number Theory - Lecture 11http://www.maths.bris.ac.uk/ malab
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