ABILITA’ DI CALCOLO

Maria Carmela ValenteLaura Landi

Mortara 21 giugno 2012

I contributi di ricerca nell’ambito della lettura e della

scrittura dei numeri portano a concludere che:

• I meccanismi di riconoscimento preverbale delle quantità

PRESIEDONO

• all’apprendimento della lettura e scrittura dei numeri e ai sistemi di conteggio

da cui possono avere origine

i meccanismi di calcolo e di manipolazione del sistema numerico.

Il sistema di elaborazione del numero ed il sistema del calcolo

sono moduli indipendenti. (Mc Closkey )

Sistema di calcolo

Sistema di comprensione

Sistema di produzione

Trasforma la struttura superficiale dei numeri (diversa a seconda del codice , verbale o arabo)in una rappresentazione astratta di quantità

Manipola questa rappresentazione attraverso: i segni delle operazioni, i “fatti aritmetici” e le procedure del calcolo;

Rappresenta l’output del sistema del calcolo, fornisce cioè le risposte numeriche.

I tre sistemi adoperano: - codice uditivo (fonologico)

- codice visivo (arabico e grafemico)

I tre sistemi funzionano in base a:

Meccanismi Semantici(regolano la comprensione della quantità)

(3 = )

Meccanismi Lessicali

(regolano il nome del numero)

(1 – 11)

Meccanismi Sintattici

(Grammatica Interna = Valore Posizionale delle Cifre)

Esempio da u

1 3

3 1

la posizione

cambia nome

e semante

Possiamo quindi concludere che:La cognizione di quantità (semantica del numero) consente

l’accesso:

• ai meccanismi di conteggio• al sistema di transcodifica dei numeri (lessico)

in simboli regolati da una grammatica interna (sintassi del numero)

• La conoscenza numerica è dominio specifica

• I bambini già a 5 anni sanno riconoscere diversi aspetti implicati nel numero (i numeri si scrivono, si dicono, servono per….)

La didattica della matematica deve tener conto di questi aspetti innati e cercare di potenziarli

Conoscenze di base sui numeri:

• Conoscenze semantiche (rappresentazioni di

quantità, confronto fra grandezze, stime,…)

• Conoscenze lessicali (conoscere i nomi dei

numeri e saperli leggere e scrivere)

• Conoscenze sintattiche (conoscenza della

grammatica del numero, valore posizionale delle

cifre, numeri decimali, frazioni, potenze, …)

• Counting (enumerare avanti e indietro)

Abilità di base del calcolo:

• Conoscenze procedurali del calcolo scritto (procedure delle operazioni, meccanismi del

prestito e del riporto,…)

• Strategie di calcolo a mente (n+1,

arrotondamenti alla decina, combinazioni di numeri, raggruppamenti, scomposizioni, …)

• Memorizzazione di fatti numerici(processo automatizzato di recupero di semplici

combinazioni di numeri e tabelline)

Conoscenza numerica• “Insieme delle capacità che consentono a un

bambino di capire le quantità e le loro trasformazioni” (Lucangeli, 1999)

Implica la comprensione semantica delle quantità

ovvero

saper trasformare l’etichetta numerica nella quantità che essa sta a rappresentare

componenti dell’abilità di calcolo aritmetico

Comprensione:

- comprensione simboli (+, -, <, =);

- saper ordinare numeri per valore quantitativo

da + a – e viceversa;

- saper confrontare numeri quantitativamente;

- conoscere il valore posizionale dei numeri.

Produzione:

- saper numerare in avanti e all’indietro;

- saper scrivere numeri sotto dettatura;

- ricordare tabelline;

- saper incolonnare;

- ricordare combinazioni e fatti numerici.

Procedure calcolo scritto:

- dell’addizione;

- della sottrazione;

- della moltiplicazione;

- della divisione.

Abilità di

calcolo aritmetico

• Effetto “confusione” tra il recupero di fatti aritmetici di addizione e quelli di

moltiplicazione. Es: 3 + 3 = 9 (Ashcraft e Battaglia, 1978)

• Effetto “inferenza”: la semplice presentazione di due cifre può produrre

un’attivazione automatica della somma. Es. 2 e 4 → 6

(Le Fevre, Bisanz, McKonjic, 1988)

• Effetto di “interferenza”: errori dovuti al lavoro parallelo dei due meccanismi

di attivazione indispensabili per il recupero diretto: da parte dei due operatori e

da parte dell’operazione nel suo complesso. (Campbell, 1987)

ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI

ERRORI NEL MANTENIMENTO E RECUPERO DI PROCEDURE

• Non utilizzo delle procedure di conteggio facilitanti

Es. 3 + 5 → partire a contare da 5 per aggiungere 3

• Confusione tra semplici regole di accesso rapido (Svenson e Broquist, 1975)

Es. n x 0 = n e n + 0 = n

• Incapacità di tenere a mente i risultati parziali (Hitch, 1978)

Sovraccarico del sistema di memoria

dispendio di energia → decadimento mnestico

DIFFICOLTA’ VISUOSPAZIALI (Rourke e Strang, 1978)

ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE (Badian,1983; De Corte e Verschaffel, 1981; Brown e Burton, 1978)

• difficoltà nel riconoscimento dei segni di operazione

• difficoltà nell’incolonnamento dei numeri

• difficoltà nel seguire la direzione procedurale

• difficoltà nella scelta delle prime cose da fare per affrontare una delle quattro

operazioni (incolonnamento o meno, posizione dei numeri, …)

• difficoltà nella condotta da seguire per la specifica operazione e nel suo

mantenimento fino alla risoluzione

Es. 75 – 6 = 71 → dimenticata regola direzione

• difficoltà nell’applicazione delle regole di prestito e riporto

Es. 75 – unità 5 – 8 = 0

58 = decine 7 – 5 = 2

20

• difficoltà nel passaggio ad una nuova operazione

→ perseverazione nel ragionamento precedente

• difficoltà nella progettazione e nella verifica

→ spesso il bambino svolge immediatamente l’operazione senza

soffermarsi ad individuare difficoltà e strategie da usare

Scrivi centotrè: “1003”

Scrivi milletrecentosei: “1000306”

Scrivi centoventiquattro: “100204”

Scrivi centosette: “1007”

ESEMPI DI ERRORI INTELLIGENTI

(USO DI PROCESSI CORRETTI MA APPARTENENTI AD ALTRI DOMINI)

34 x 27 x 27 x 322 -

2 = 15 = 3 = 36 =

36 55 621 314

112 -

18 =

106

46 + 327 +

7 = 43 =

322 389

2377 -

107 =

2200

225 : 5 = 50 1206 : 4 = 31

22 006

2 2

Scrivi centotrè: “1003” (errore di produzione a base sintattica)

Scrivi milletrecentosei: “1000306” (errore dovuto a difficoltàdi M di L e non a disturbo. Il bambino che riesce a scrivere correttamente i numeri entro le centinaia regge lo span 3. Se l’errore invade anche le decine il segno è infausto perché solo i bimbi a rischio vanno sotto lo span 3.)

Scrivi centoventiquattro: “100204” (errore tutto verbale)

Scrivi centosette: “1007” (errore tutto verbale)

Come procedi per eseguire le moltiplicazioni a mente?

Paolo: “Se i numeri sono piccoli e corti, uso le tabelline.

Se sono lunghi, le scrivo.”

Luca: “Faccio che se il numero è difficile, per esempio 24

x8, prendo il 4 e lo moltiplico, poi il 2 e lo

moltiplico.”

Marta: “Se è più difficile non ci riesco, e dunque scrivo.”

Buone abilità aritmetiche sono garantire da:

Conoscenza numerica

Abilità di calcolo

Conoscenza procedurale

Tale trasformazione implica l’uso di:- meccanismi lessicaliRiconoscimento del nome del numero arabo(es. 15 -> quindici)

- meccanismi sintatticiGrammatica interna al numero

(valore posizionale delle cifre)

Prove che indagano le capacità lessicali e sintattiche

- Dettato di numeri

- Composizione del numero scritto partendo dalle cifre presentate secondo le categorie posizionali

(h da u…)

Abilità di calcolo

“Insieme dei processi che consentono di operare sui numeri tramite operazioni aritmetiche” (Lucangeli, 1999)

Elaborati e riconosciuti i dati dell’operazione ed il segno, il sistema

cognitivo può attivare le procedurespecifiche per l’operazione data

Conoscenza procedurale

• uso di strategie di composizione e scomposizione

++++

• routine operazionali (procedure automatizzate di esecuzione)

Nel CALCOLO A MENTE si utilizzano strategie costruttive

La conoscenza procedurale consente di operarescomposizioni sui numeri per ottenere operazioni

intermedie più semplici

Nel CALCOLO SCRITTO è richiesta l’applicazione di procedure

(più o meno automatizzate)

La conoscenza procedurale “ordina” la forma grafica

dell’operazione, l’incolonnamento dei numeri e la direzionespazio/temporale delle azioni

Difficoltà di calcolo

Suddivisione in base a:

- Conoscenza numerica(sistema dei numeri)

- Conoscenza procedurale(sistema del calcolo)

Errori nel sistema del calcolo(Lucangeli, Tressoldi 2001)

1) Errori procedurali

2) Errori nel recupero di fatti numerici (tabelline e combinazioni di numeri < 10)

3) Errori dovuti a difficoltà visuo-spaziali

Errori proceduraliDifficoltà :

- Scelta delle prime cose da fare per affrontare

l’operazione (incolonnamento, posizione dei numeri

ecc.)

- Sequenza procedurale da seguire e mantenimento

della stessa fino a risoluzione ultimata

- Applicazione di regole di riporto o prestito

- Passaggio a una nuova operazione

(perseverazione)

- Monitoraggio e verifica

Errori nel recupero di fatti numerici

• Difficoltà di memoria a lungo termine

Inutile imparare a memoria

Strategie: conteggio in avanti e indietro

• Difficoltà di memoria di lavoro

Obiettivo principale: non sovraccaricare

Strategie: supporti cartacei, annotazione dei

passaggi intermedi ecc..

Errori dovuti a difficoltà visuo-spaziali

- Difficoltà nella rilevazione di un dettaglio visivo

(es.riconoscimento dei segni dell’operazione)

- Rappresentazione semantica (quantità)

- Rappresentazione della linea dei numeri

- Incolonnamento

- Organizzazione spaziale degli elementi

dell’operazione (collocazione degli operandi,

posizionamento di riporto e prestito)

PROVE che indagano le abilità di calcolo

- operazioni scritte

- comparazione di numerosità (qual è il più grande)

- trasformazione in cifre (valore posizionale)

- ordinamento di numerosità

PROVE che indagano le componenti implicate nelle

abilità di calcolo

- calcolo a mente

- enumerazione in vanti e indietro

- dettato di numeri

- recupero fatti numerici

come indagare le abilità di calcolo

• Calcolo scrittoIndagare la capacità di applicazione delle procedure dicalcolo e gli automatismi coinvolti

• Giudizio di numerositàIndagare la capacità di comparazione di valori numerici (comprensione semantica) che richiede anche la capacità di saper leggere correttamente i numeri

• Trasformazione in cifreIndagare la capacità di elaborazione della struttura sintattica del numero (valore posizionale delle cifre)

• Ordinamento di numerositàIndagare la capacità di saper confrontare quantità e ordini diversi (rappresentazione semantica dei numeri)

Elementi indicativi delle componenti implicate nel calcolo

• Calcolo a menteUtile osservare oltre alla correttezza, la velocità nel calcolo di semplici

operazioni ed inoltre importante individuare le strategie utilizzate.

• Calcolo scrittoImportante individuare le strategie e le modalità di esecuzione

• EnumerazioneImportante per capire se è stata appresa la sequenza dei numeri e se èstata effettivamente compreso il ruolo di ciascun numero nel contare

• Dettato di numeriFornisce importanti informazioni sul funzionamento dei meccanismisintattici e lessicali di produzione dei numeri.

• Recupero fatti numericiIndaga la memorizzazione di tabelline e combinazioni di numeri, senza eseguire procedure di calcolo.

Grazie per l’attenzione

• mcvalente@libero.it

• studioapprendinsieme@libero.it