Derivate di funzioni

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Variazione assolutaSia data una funzione f (x) e due suoi valori in corrispon-denza dei punti x0 e x0 +h, con h > 0.

Supponiamo di voler determinare di quanto varia il val-ore della funzione nell’intervallo [x0,x0+h], possiamo alloracalcolare la variazione assoluta della funzione

f (x0 +h)− f (x0).

Possiamo calcolare la variazione in relazione all’ampiezzadell’intervallo di variazione ottenendo il seguente tasso divariazione:

f (x0 +h)− f (x0)

(x0 +h)− x0

detto rapporto incrementale della funzione.2 / 40

Rapporto incrementale

Osserviamo che il rapporto incrementale rappresenta il co-efficiente angolare della retta passante per i due punti P0 =(x0, f (x0)) e Ph = (x0 +h, f (x0 +h)).Infatti ricordiamo che il coefficiente angolare di tale retta èdefinito come:

mh =f (x0 +h)− f (x0)

(x0 +h)− x0

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Rapporto incrementaleSupponiamo ora di diminuire il valore di h, allora la retta rh tendea sovrapporsi alla retta r0. Di conseguenza per valori di h chetendono al valore zero il coefficiente mh tende al coefficiente an-golare m0 della retta tangente r0.

Segue che m0 = limh→0

f (x0 +h)− f (x0)

h4 / 40

Derivata di una funzioneData una funzione f (x) continua in x0 la sua derivata nelpunto x0 è definita come

limh→0

f (x+h)− f (x0)

h

se questo limite esiste ed è finito.La derivata si indica indistintamente come:

f ′(x0) =ddx

f (x0) = limh→0

f (x0 +h)− f (x0)

h

La funzione derivata prima associa ad ogni punto di conti-nuità della funzione f , se esiste, la sua derivata nel punto:

f ′(x) : x 7→ f ′(x).

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Calcolo della derivata applicando ladefinizione

f ′(x0) = limh→0

f (x0 +h)− f (x0)

h

• f (x) = b costante =⇒ f ′(x0) = limh→0

b−bh

= 0

• f (x) = x retta =⇒ f ′(x0) = limh→0

x0 +h− x0

h= lim

h→0

hh= 1

• f (x) = x2 parabola =⇒

f ′(x0) = limh→0

(x0 +h)2− (x0)2

h= lim

h→0

2x0h+(h)2

h= lim

h→02x0 +h = 2x0

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Derivata della funzione potenza

• f (x) = b =⇒ f ′(x0) = 0• f (x) = x =⇒ f ′(x0) = 1• f (x) = x2 =⇒ f ′(x0) = 2x

possiamo allora generalizzare• f (x) = xβ =⇒ f ′(x0) = βxβ−1

Esempio.

f (x) =√

x = x12 =⇒ f ′(x) =

12

x12−1 =

12

x−12

Esercizi. Calcolare la derivata per le seguenti funzionipotenza

f (x) = x−2, f (x) = x5, f (x) =4√

x3, f (x) =1x6

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Proprietà delle derivate

• Derivata di una somma

(f (x)+g(x))′ = f ′(x)+g′(x)

• Derivata di una funzione per una costante

(cf (x))′ = cf ′(x)

Esempio.

f (x) = 4x3−√

5x−2 =⇒ f ′(x) = 4(3x3−1)−√

5(−2)x−2−1

= 12x2 +2√

5x−3

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Proprietà delle derivate

• Derivata del prodotto

(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x)+ f (x)g′(x)

Esempio.

h(x) = f (x)g(x) = (4x3−√

5x−2)(√

x) =⇒

h′(x) = (4x3−√

5x−2)′(√

x)+(4x3−√

5x−2)(√

x)′

= (12x2 +2√

5x−3)(√

x)+(4x3−√

5x−2)(12

x12−1)

= 12x2√x− x−3√

5x+2√

x5− 12

√5x−5

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Proprietà delle derivate

• Derivata di un rapporto(f (x)g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)(g(x))2

Esempio.

h(x) =f (x)g(x)

=x3

5x+1=⇒

h′(x) =(x3)′(5x+1)− (x3)(5x+1)′

(5x+1)2

=(3x2)(5x+1)− (x3)(5)

(5x+1)2 =10x3−3x2

(5x+1)2

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Derivata delle funzioni elementari

Date le funzioni elementari, applicando la definizione sipossono si possono determinare le seguenti funzioni derivata

• (ex)′ = ddx(e

x) = ex

• (ax)′ = ddx(a

x) = ax ln(a)

• (sin(x))′ = ddx(sin(x)) = cos(x)

• (cos(x))′ = ddx(cos(x)) =−sin(x)

• (ln(x))′ = ddx(ln(x)) =

1x

• (loga(x))′ = d

dx(loga(x)) =1x loga(e)

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Derivate: esercizi

Calcolare le derivate delle seguenti funzioni

• f (x) = (3x5 +√

5x−3)(cos(x)+1)

• f (x) = x ln(x)

• f (x) = tan(x)

• f (x) = x+ sin(x)

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Derivata di funzioni composte

ddx

f (g(x)) = (f (g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x)

Esempi• d

dx(g(x))α = ((f (x))α)′ = α(g(x))α−1g′(x)

• ddx(e

g(x)) = (eg(x))′ = eg(x)g′(x)

• ddx cos(g(x)) = (cos(g(x)))′ =−sin(g(x))g′(x)

• ddx sin(g(x)) = (sin(g(x)))′ = cos(g(x))g′(x)

• ddx ln(g(x)) = (ln(g(x)))′ = 1

g(x)g′(x)

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Derivate di funzioni composte:esempi

ddx

f (g(x)) = (f (g(x)))′ = f ′(g(x))g′(x)

Esempi• f (x) = ex2

=⇒ f ′(x) = ex22x

• f (x) = ex3+1 =⇒ f ′(x) = ex3+13x2

• f (x) =√

x3−2x = (x3−2x)12 =⇒

f ′(x) = 12(x

3−2x)12−1(3x2−2)

• f (x) = cos(x3−2x) =⇒ f ′(x) =−(sin(x3−2x))(3x2−2)

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Derivate: esercizi

Calcolare le derivate delle seguenti funzioni

f (x) = e√

x, f (x) = 2x+ ex2, ln(tan(x))

f (x) = sin(x)sin(x), f (x) = ln 3√

(x+1)2− 1x+1

f (x) = log3(x2−1), f (x) = cos(x3−1)7

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Continuità e derivabilità

• Se una funzione è derivabile nel punto x0, allora è nec-essariamente continua in tale punto.

(Infatti, dall’identità

f (x0 +h) = f (x0)+f (x0 +h)− f (x0)

hh

essendo finito il limite che definisce la derivata f ′(x0) deduciamo

limh→0

f (x0+h)= f (x0)+ limh→0

f (x0 +h)− f (x0)

h= lim

h→0f (x0)+f ′(x0)0= f (x0)

che è appunto la definizione di funzione continua.)

Osservazione. Nei punti di discontinuità una funzione nonpuò ammettere derivata.

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Continuità e derivabilitàLa condizione di continuità è solamente necessaria per laderivabilità ma non sufficiente:• se una funzione è continua in un punto x0 NON È DETTOsia derivabile in quel punto.

Esempio. f (x) = |x−2|={

x−2 se x−2≥ 0−x+2 se x−2 < 0

è continua

in x = 2, ma non è derivabile in quel punto.Perchè sia derivabile deve esistere finito il limite:

f ′(2) = limh→0

f (2+h)− f (2)h

ma si ha

limh→0+

|2+h−2|− |0|h

= limh→0+

hh= 1 6= lim

h→0−

|2+h−2|− |0|h

= limh→0−

−hh

=−1

non esiste il limite del rapportio incrementale nel puntox = 2 per cui f (x) non è derivabile,lo è in tutti gli altri punti.

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Continuità e derivabilità

Esempio 2. f (x) = 3√

x−1 è continua in x = 1, ma non èderivabile in quel punto.

Perchè sia derivabile deve esistere finito il limite:

f ′(1) = limh→0

f (1+h)− f (1)h

ma si ha

limh→0+

3√

1+h−1− 3√

1−1h

= limh→0+

13√h2

=+∞

elim

h→0−

3√

1+h−1− 3√

1−1h

= limh→0−

13√h2

=+∞

per cui la funzione non è derivabile nel punto x = 1.

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Continuità e derivabilità

Esempio 3. f (x) =√|x| è continua in x = 0, ma non è

derivabile in quel punto.

Perchè sia derivabile deve esistere finito il limite:

f ′(0) = limh→0

f (0+h)− f (0)h

ma si ha

limh→0+

√|0+h|−

√|0|

h= lim

h→0+

√|h|h

= limh→0+

√+hh

=+∞

limh→0−

√|0+h|−

√|0|

h= lim

h→0−

√|h|h

= limh→0−

√−hh

=−∞

per cui la funzione non è derivabile nel punto x = 0.

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Derivata e calcolo dei limiti: regola di DeL’Hôpital

Considerate due funzioni derivabili f (x) e g(x) tali che

limx→x0

f (x) = 0 e limx→x0

g(x) = 0

oppure

limx→x0

f (x) =±∞ e limx→x0

g(x) =±∞

se esiste il limite del rapporto delle derivate cioè esiste

limx→x0

f ′(x)g′(x)

allora

limx→x0

f (x)g(x)

= limx→x0

f ′(x)g′(x)

.

La regola di De L’Hôpital si usa per risolvere le forme in-

determinate 00 o ±∞

±∞.

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Regola di De L’Hôpital: esempi

Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:

• limx→1

sin(x)x

=00

, applicando De l’Hôpital si ha

limx→0

sin(x)x

= limx→0

(sin(x))′

x′= lim

x→0

cos(x)1

=11= 1

• limx→1

ln(x)x−1

=00

, applicando De l’Hôpital si ha

limx→1

ln(x)x−1

= limx→1

(ln(x))′

(x−1)′= lim

x→1

1x1= lim

x→1

1x=

11= 1

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Regola di De L’Hôpital: esempi

Calcolare i seguenti limiti applicando De l’Hôpital:

• limx→+∞

ex

x2−1=

+∞

+∞, applicando De l’Hôpital si ha

limx→+∞

ex

x2−1= lim

x→+∞

(ex)′

(x2−1)′= lim

x→+∞

ex

2x=

+∞

+∞

applicando di nuovo De l’Hôpital:

limx→+∞

ex

2x= lim

x→+∞

(ex)′

(2x)′= lim

x→+∞

ex

2=+∞

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Funzioni crescenti e decrescentiData una funzione f (x) definita in un dominio D

f (x) è crescente nell’intervallo I ⊆ D se

∀x1,x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1)≤ f (x2)

f (x) è strettamente crescente nell’intervallo I ⊆ D se

∀x1,x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1)< f (x2)

f (x) è decrescente nell’intervallo I ⊆ D se

∀x1,x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1)≥ f (x2)

f (x) è strettamente decrescente nell’intervallo I ⊆ Dse

∀x1,x2 ∈ I : x1 < x2 =⇒ f (x1)> f (x2)

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Funzioni limitate

• Una funzione f (x) si dice limitata in tutto il suodominio D se la sua immagine è un insieme limitato(aperto o chiuso) sottoinsieme proprio di R.

• Una funzione f (x) si dice limitata superiormente(inferiormente) se la sua immagine è un insiemelimitato superiormente(inferiormente) in R.

Geometricamente, il grafico di una funzione limitata è con-tenuto in una striscia orizzontale del piano delimitata dallerette y = M e y =−M, dove M ∈ R tale che

|f (x)|< M ∀x ∈ D

.

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Massimo e minimo di una funzione

Sia f (x) una funzione definita in D⊆ R e x0 ∈ D.• Il valore max f = f (x0) è detto massimo assoluto di

f (x) sef (x0)≥ f (x) ∀x ∈ D

• Il valore min f = f (x0) è detto minimo assoluto di f (x)se

f (x0)≤ f (x) ∀x ∈ D

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Esempi massimi e minimi

1. f (x) =−(x+1)2 +2 ha massimo assoluto uguale a 2,assunto in x = 2. Non ha minimo assoluto.

2. f (x) = x+1 con x ∈ D = [−2,6] ha massimo assolutouguale a 7 assunto in x = 6 e minimo assoluto ugualea −1 assunto in x =−2

3. f (x) = sin(x) ha massimo assoluto uguale a 1, eminimo assoluto uguale a −1. Il massimo è assuntonegli infiniti punti π

2 +2kπ, con k ∈ R, mentre il minimonegli infiniti punti −π

2 +2kπ

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Massimi e minimi relativi

Data la funzione f (x) definita nel dominio D⊆R si dice che

• f (x) ha un punto di massimo locale in x0 ∈ I,I = [a,b]⊆ D se

f (x0)≥ f (x) ∀x ∈ I

questo valore max f = f (x0) ∈ f (D).• f (x) ha un punto di minimo locale in x0 ∈ I,

I = [a,b]⊆ D se

f (x0)≤ f (x) ∀x ∈ I

questo valore min f = f (x0) ∈ f (D).

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Segno della derivata prima

Data una funzione f derivabile in un intervallo I allora:• se f ′(x)> 0 ∀x ∈ I allora la funzione f è crescente in I;• se f ′(x)< 0 ∀x ∈ I allora la funzione f è decrescente

in I;• se f ′(x) = 0 ∀x ∈ I allora la funzione f non è ne’

crescente ne’ decrescente in I.

I punti in cui una funzione f ha derivata nulla si dicono puntistazionari.I punti in cui una funzione f ha derivata nulla oppure nonesiste la derivata si dicono punti critici.I punti stazionari sono punti critici.

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Esempio 1

• f (x) = x2−5x+6 =⇒ f ′(x) = 2x−5• f ′(x) = 2x−5≥ 0• x > 5

2 =⇒ f (x) è crescente• x < 5

2 =⇒ f (x) è decrescente

• x = 52 =⇒

(52

)è un minimo locale

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Esempio 2

• f (x) = x3 =⇒ f ′(x) = 3x2

• f ′(x) = 3x2 ≥ 0 ∀x ∈ R• f ′(x) = 0 se x = 0

• f (x) è sempre crescente, x = 0 non è nè massimo nèminimo locale

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Esempio 3

• f (x) = |x−2| =⇒ f ′(x) ={

1 se x−2 > 0−1 se x−2 < 0

• f ′(x) ={

> 0 se x−2 > 0< 0 se x−2 < 0

• f (x) non è derivabile per x = 2

• La funzione non è derivabile in x = 2, ma x = 2 è unminimo locale. Infatti f ′(x)< 0 per x < 2 e f ′(x)> 0 perx > 2.

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Esempio 4

• f (x) =√|x| =⇒ f ′(x) =

{12 x−

12 se x > 0

−12 x−

12 se x < 0

• f ′(x) ={

> 0 se x > 0< 0 se x < 0

• f (x) non è derivabile per x = 0

• La funzione non è derivabile in x = 0, ma x = 0 è unminimo locale. Infatti f ′(x)< 0 per x < 0 e f ′(x)> 0 perx > 0. 32 / 40

Esempio 5

• f (x) = 3√

x = x13 =⇒ f ′(x) = 1

3x−23 = 1

33√

1x2

• f ′(x) = 13

3√

1x2 > 0 ∀x ∈ R\{0}

• f (x) è sempre crescente e la funzione non èderivabile in x = 0. Infatti f ′(x)→+∞ per x→ 0 e x = 0non è nè massimo nè minimo locale.

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Riepilogando

• Nei punti di massimo e minimo locale la derivataprima, se esiste, è nulla

• La retta tangente in questi punti è parallela all’assedelle x

• Un punto critico può essere massimo o minimo localeanche quando non stazionario

• Un punto stazionario non è sempre un massimo o unminimo locale

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Derivata seconda

Sia data una funzione f (x). Se la sua funzione derivataprima f ′(x) è derivabile in un intervallo, la sua derivata sichiama derivata seconda di f (x) e si indica con f ′′(x) od2

dx2 f (x).

La derivata seconda è la derivata della derivata, (ovverosial’incremento dell’incremento). Geometricamente la derivataseconda misura quindi l’incremento della pendenza; sela pendenza diminuisce la curva pende sempre più versoil basso e quindi abbiamo concavità verso il basso. Seviceversa la pendenza aumenta la curva pende semprepiù verso l’alto e quindi abbiamo concavità verso l’alto.

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Derivata seconda

Una funzione f (x) derivabile due volte in un intervallo• ha concavità verso l’alto negli intervalli del dominio in

cui si ha f ′′(x)> 0;• ha concavità verso il basso negli intervalli del dominio

in cui si ha f ′′(x)< 0;• i punti del grafico in cui la funzione cambia concavità

si chiamano punti di flesso. In tali punti, se esiste,f ′′(x) = 0.

Osservazione. Si parla di flesso a tangente orizzontalese nel punto in cui f ′′ = 0 si aveva anche f ′ = 0. Altrimentisi parla di flesso a tangente obliqua.

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Esempio• f (x) = x3 f ′(x) = 3x2 f ′′(x) = 6x• f ′′(x) = 3x2 > 0 ∀x ∈ R per cui la funzione è sempre

crescente, in x = 0 la tangente è orizzontale ma non ènè minimo nè massimo locale

• f ′′(x) = 6x > 0 per x > 0 concavità verso l’alto• f ′′(x) = 6x < 0 per x < 0 concavità verso il basso• f ′′(x) = 0 se x = 0 =⇒ (0, f (0)) è un flesso a tangente

orizzontale37 / 40

Riassunto punto critici

Si dice punto critico un punto x0 in cui una funzione f haderivata nulla (punto stazionario) oppure in cui non esistela derivata prima.

A. Punti stazionari. f ′(x0) = 0. In talcaso il punto x0 è:1) un massimo o un minimo relativo;2) un punto di flesso a tangente orizzontale;

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Riassunto punto critici

B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendocontinua la funzione in x0). Ciò può avvenire per iseguenti motivi:

1) limh→0

f (x0 +h)− f (x0)

h= ∞ e si presentano i seguenti

casia) lim

x→x±0f ′(x) = +∞ il punto x0 è un punto di flesso a

tangente verticale ”ascendente”;b) lim

x→x±0f ′(x) =−∞ il punto x0 è un punto di flesso a

tangente verticale ”discendente”;c) lim

x→x±0f ′(x) =±∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta

verso il basso;d) lim

x→x±0f ′(x) =∓∞ nel punto x0 si ha una cuspide rivolta

verso l’alto;

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Riassunto punto critici

B. Non esiste la derivata prima in x0 (pur essendocontinua la funzione in x0). Ciò può avvenire per iseguenti motivi:

2) f ′+(x0) 6= f ′−(x0)In tal caso si hanno i punti angolosi. Si hanno puntiangolosi anche quando f ′+(x0) è finita e f ′−(x0) non èfinita o viceversa

3) Non esiste in x0 il limite del rapporto incrementale.

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