Definizioni

Si dice intorno di un punto P di ascissa x0 ogni intervallo aperto(a,b) contenente P all’interno.

.PoA

oB

a bx0

Si dice intorno destro di un punto P di ascissa x0 ogni intervallo aperto a destra(x0,b) avente l’estremo sinistro in x0.

.P oB

bx0

Si dice intorno sinistro di un punto P di ascissa x0 ogni intervallo aperto a sinistra(a,x0) avente l’estremo destro in x0.

.PoA

a x0

Sia E un sottoinsieme di R

Un punto x0 si dice interno ad E se esiste un intorno di x0 i cui punti appartengono tutti ad E.

Un punto x0 si dice esterno ad E se non appartiene ad E ed esiste un intorno di x0 i cui punti non appartengono ad E.

Un punto x0 si dice di frontiera per E se non è né interno né esterno ad E.

X0 si dice punto di accumulazione di E, quando in ogni suo intorno cadono infiniti punti di E.

X0 si dice punto isolato di E, se appartiene ad E ed esiste un suo intorno che non contienealcun punto di E.

Si dice che la funzione f(x) tende al limite l per x tendente a x0 se, prefissato un numero positivo ed arbitrariamente piccolo

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di x0 contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di quest’intorno, escluso eventualmente x0 , risulti:

lxf )(

cioè

l - < f(x) < l +

in simboli

lim f(x) = lx x0

Ox

y

x0

.

ll+ .

l- .

a b..

Interpretazionegrafica

Si dice che la funzione f(x) tende al limite + per x tendente a x0 se, prefissato un numero positivo ed arbitrariamente grande

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di x0 contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di quest’intorno, escluso eventualmente x0 , risulti:

M

f(x) > M

cioè

lim f(x) = + x x0

Interpretazionegrafica

O x

y

x0

.

M.

a b

y=M

Si dice che la funzione f(x) tende al limite - per x tendente a x0 se, prefissato un numero positivo ed arbitrariamente grande

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso, un intorno (a,b) di x0 contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di quest’intorno, escluso eventualmente x0 , risulti:

M

f(x) < - M

Interpretazionegrafica

O x

y

x0.

-M. y= -M

a b

Si dice che la funzione f(x) tende al limite l per x tendente a +

se prefissato ad arbitrio un numero positivo piccolo

è possibile determinare, in corrispondenza ad essoun intorno di + contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti

l x f) (

Interpretazionegrafica

Ox

y

l . y=ll+ .

l- .

a.

Si dice che la funzione f(x) tende al limite l per x tendente a -

se prefissato ad arbitrio un numero positivo piccolo

è possibile determinare, in corrispondenza ad essoun intorno di - contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti

l x f) (

Interpretazione grafica

O

x

y

y=l

l+ .l- .

a

l

Si dice che la funzione f(x) tende a +per x tendente a +

se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande

M

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di + contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti

f(x) > M

O x

y

M . y=M

a

Si dice che la funzione f(x) tende a - per x tendente a +

se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande

M

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di + contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti

f(x) < - M

O x

y

-M .

a

Si dice che la funzione f(x) tende a +per x tendente a -

se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande

M

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di - contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti

f(x) > M

O

x

y

M.

a

Si dice che la funzione f(x) tende a - per x tendente a -

se prefissato ad arbitrio un numero positivo grande

M

è possibile determinare, in corrispondenza ad esso un intorno di - contenuto nel dominio della funzione, tale che per ogni x di questo intorno risulti

f(x) < - M

O

x

y

-M.

a