Post on 23-Mar-2021
Controllo dei Robot P. Lino
Corso di Controllo dei Robot
Dinamica
Paolo LinoDipartimento di Ing. Elettrica e dellâInformazione (DEI)
Controllo dei Robot P. Lino
Dinamica del manipolatore
ð¿ = ð â ð Lagrangiana del sistema meccanico
ð Energia cinetica totale del sistema
ð Energia potenziale totale del sistema
i
ii
LL
dt
d
Equazioni di Lagrange
i = 1, 2, âŠ, n
i Ú la forza generalizzata associata alla coordinata generalizzata i
Controllo dei Robot P. Lino
Per un manipolatore a catena aperta la scelta più naturale per le coordinate generalizzate
Ú data dalle variabili di giunto ð = ð1, ð2, ⊠, ððð
Alle forze generalizzate daranno contributo le forze non conservative che compiono
lavoro su ðð, in altre parole le coppie generate ai giunti dagli attuatori, le coppie dâattrito
dei giunti, nonché le coppie ai giunti indotte da forze esplicate dallâorgano terminale
sullâambiente in situazione di contatto.
Il termine coppia Ú usato come sinonimo della forza generalizzata al giunto.
ð
ðð¡
ðð¿
ð ððâðð¿
ððð= ðð
ð
ðð¡
ðð¿
ð ð
ð
âðð¿
ðð
ð
= ð»
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio
ðð =ð
ðð=ððð
=ðð
ð
rapporto di trasmissione
della coppia cinematica
Cm
Fm
Ïm
Ï
I
Im
mg
lF
Braccio attuato mediante
riduttore meccanico
Le coppie ai giunti sono fornite dai motori tramite opportuni organi di
trasmissione meccanica del moto.
In alternativa, si possono avere giunti azionati con motori calettati
direttamente sullâasse di rotazione senza organi di trasmissione.
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio
ðð =ð
ðð=ððð
=ðð
ð
rapporto di trasmissione
della coppia cinematica
ð¶ð = ðŒð ðð + ð¹ððð + ððð
ðð = ðŒ ð + ð¹ð +ððð sin ð
ð¶ð = ðŒðð ðð + ð¹ðððð +ððð
ððsin
ðððð
ðŒðð = ðŒð +ðŒ
ðð2
ð¹ðð = ð¹ð +ð¹
ðð2
Cm
Fm
Ïm
Ï
I
Im
mg
lF
Braccio attuato mediante
riduttore meccanico
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio
ð =1
2ðŒ ð2 +
1
2ðŒððð
2 ð2
ð = ððð â 1 â cos ð
ð¿ = ð â ð =1
2ðŒ ð2 +
1
2ðŒððð
2 ð2 âððð â 1 â cos ð
ðŒ + ðŒððð2 ð + ððð sin ð = ð
ð = ð â ð¹ ð â ð¹ððð2 ð
ðŒ + ðŒððð2 ð + ð¹ + ð¹ððð
2 ð + ððð sin ð = ð
Braccio attuato mediante
riduttore meccanico
Cm
Fm
Ïm
Ï
I
Im
mg
lF
ð
ðð¡
ðð¿
ð ððâðð¿
ððð= ðð
Controllo dei Robot P. Lino
n
i
miiTTT
1
energia cinetica del braccio i energia cinetica del motore che aziona il giunto i.
i
i Vi
T
i dVppT
**
2
1
vettore velocità lineare densità della particella elementare di volume dV
Determinazione dellâenergia cinetica
Controllo dei Robot P. Lino
baricentro
Particella
elementare
ii
i
V
i dVpm
p
*1
ipp
r
r
r
r i
iz
iy
ix
i
*
Controllo dei Robot P. Lino
iiiii rSprppii
)(*
i
i Vi
T
i dVppT
**
2
1Sostituendo in
iii
iii
ppmdVppT
V
T
2
1
2
1
02
12
2
12 *
i
iii
i Vii
T
Vii
TdVppSpdVrSp
iV
ii
TT
iV
iii
TT
iii
dVrSrSdVrSSr
2
1
2
1
traslazione
mutuo
rotazione
iiiiiii rvpp ,11,11 regola di composizione delle velocitÃ
Controllo dei Robot P. Lino
0
0
0
ixiy
ixiz
iyiz
i
rr
rr
rr
rS
i
T
iV
iii
TT
i ii
IdVrSSr 2
1
2
1
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
ixiyiziyizix
iziyizixiyix
izixiyixiziy
iii
iii
iii
i
III
III
III
dVrrdVrrdVrr
dVrrdVrrdVrr
dVrrdVrrdVrr
I
22
22
22
Tensore dâinerzia relativo al baricentro del braccio i espresso in terna base
Poiché
Il contributo rotazionale si può esprimere come segue:
Controllo dei Robot P. Lino
La posizione del braccio i dipende dalla configurazione del manipolatore
Se la velocità del braccio i viene espressa con riferimento ad una terna
solidale al braccio i (secondo a convezione di D â H), si ottiene:
i
T
i
i
i R
matrice di rotazione dalla terna solidale
al braccio i alla terna baseT
i
i
i RIRIii
Tensore espresso con riferimento alla terna i (tensore costante)
Se la terna solidale al braccio i coincide con la terna centrale (principale)
dâinerzia, i prodotti dâinerzia sono nulli e il tensore dâinerzia relativo al
baricentro (allâorigine della terna) Ú una matrice diagonale
funzione della configurazioneðŒâð
Controllo dei Robot P. Lino
i
T
i
i
i
T
i
TRIRppmT
iiiii
2
1
2
1
qJqJqJ
qJqJqJp
ii
i
i
ii
i
i
i
ii
pipp
0010
1
...
...
1
1
0...0...
0...0...
000 1
1
i
i
ii
i
i
ii
JJJ
JJJ ppp
rotoidale giunto unper
prismatico giunto unper 0
rotoidale giunto unper p
prismatico giunto unper
1
0
11
1
i
j
jj
j
p
zJ
pz
zJ
i
j
i
j
Controllo dei Robot P. Lino
qJRIRJqqJJqmT i
i
iii
ii
T
i
i
i
TT
p
T
p
T
00
2
1
2
1
Energia cinetica del braccio
i
T
i
i
i
T
i
TRIRppmT
iiiii
2
1
2
1
qJ
qJp
i
i
i
i
p
0
Controllo dei Robot P. Lino
Energia cinetica dellâattuatore:
Il motore del giunto ð si ritiene
posto sul braccio ð â 1 (in modo
da alleggerire il carico dinamico
dei primi giunti della catena)
Coppie ai giunti sono fornite dai motori tramite organi di trasmissione
meccanica
In alternativa, giunti azionati con motori calettati direttamente sullâasse di
rotazione senza organi di trasmissione.
Controllo dei Robot P. Lino
iiiiiii m
i
m
T
mm
T
mmm IppmT 2
1
2
1
ii mir qk
rapporto di trasmissione meccanica
velocità angolare
del rotore
iii mirim zqk 1
ðð =ð
ðð=ððð
=ðð
ð
massa del rotore
velocità lineare del baricentro del rotore
tensore dâinerzia del rotore relativo al baricentro
velocità angolare del rotore
velocità angolare
del braccio ð â 1
versore dellâasse del rotore
Controllo dei Robot P. Lino
qJ
qJp
i
i
i
i
m
m
m
pm
0
0...0...
0...0...
000 1
11
i
i
ii
i
i
ii
mmm
m
p
m
p
m
p
JJJ
JJJ
ij z
1-1,2,...ij
rotoidale giunto unper p
prismatico giunto unper
0
0
11
1
i
ii
i
ji
j
i
j
mr
m
jmj
jm
p
k
JJ
pz
zJ
qJRIRJqqJJqmT i
i
i
ii
iii
ii
mT
m
m
mm
TmTm
p
Tm
p
T
mm
002
1
2
1
Controllo dei Robot P. Lino
qJRIRJqqJJqmT i
i
i
ii
iii
ii
mT
m
m
mm
TmTm
p
Tm
p
T
mm
002
1
2
1
qJRIRJqqJJqmT i
i
iii
ii
T
i
i
i
TT
p
T
p
T
00
2
1
2
1
n
i
miiTTT
1
qqBqqqqbT Tn
i
n
j
jiij
2
1)(
2
1
1 1
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
Controllo dei Robot P. Lino
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
B(q) Ú la matrice dâinerzia (n x n) che risulta:
Simmetrica
Definita positiva
Dipendente dalla configurazione
qqBqqqqbT Tn
i
n
j
jiij
2
1)(
2
1
1 1
Controllo dei Robot P. Lino
n
i
miiUUU
1
Energia potenziale del braccio iEnergia potenziale del motore
che aziona il braccio i
ii
ii
pgmdVpgUT
Vi
T
0
*
0
vettore accelerazione gravitazionale riferito alla terna base
(ad esempio g0 = [0, 0, -g]T se lâasse z Ú quello verticale)
Determinazione dellâenergia potenziale
Controllo dei Robot P. Lino
iii m
T
mm pgmU 0
n
i
m
T
m
T
iiiipgmpgmU
1
00
Funzione delle sole variabili di giunto
Controllo dei Robot P. Lino
Equazioni del moto
ð
ðð¡
ðð¿
ð ð
ð
âðð¿
ðð
ð
= ð»
ð¿ ð, ð = ð ð, ð â ð ð, ð
ðµ ð ð + ð ð, ð = ð»
ð ð, ð = ðµ ð ð â1
2
ð
ðð ðððµ ð ð
ð
+ðð ð
ðð
ð
In forma matriciale:
Controllo dei Robot P. Lino
Equazioni del moto
n
i
m
T
m
Tn
i
n
j
jiij qpgmqpgmqqqbqqUqqTqqLiiii
1
00
1 1
)()()(2
1,,,
i
ii
LL
dt
d
n
j i
mT
m
i
Tn
j
n
k
jk
i
jk
i q
pgm
q
pgmqq
q
qb
q
L j
j
j
j
1
00
1 1
)(
2
1
n
j
m
p
T
mp
Tn
j
n
k
jk
i
jk
i
qjgmqjgmqqq
qb
q
Lj
ij
j
ij
1
00
1 1
)()()(
2
1
Controllo dei Robot P. Lino
n
j
m
p
T
mp
T
i qjgmqjgmqg j
ij
j
ij
1
00 )()()(
contributo
gravitazionalePosto
)()(
2
1
1 1
qgqqq
qb
q
Li
n
j
n
k
jk
i
jk
i
n
j
jij
i
qqbq
L
1
)(
n
j
n
k
jk
k
ijn
j
jij
i
qqq
qbqqb
q
L
dt
d
1 11
)(
n
j
j
ijn
j
jij
i
qdt
qdbqqb
q
L
dt
d
11
Controllo dei Robot P. Lino
Equazioni del moto
i
n
j
n
k
ijk
i
jkn
j
n
k
jk
k
ijn
j
jij qgqqq
bqq
q
qbqqb
1 11 11
)(2
1)(
i
jk
k
ij
ijkq
b
q
bh
2
1Posto
ii
n
j
n
k
jkijk
n
j
jij qgqqqhqqb
)()(1 11
Controllo dei Robot P. Lino
Interpretazione fisica
ii
n
j
n
k
jkijk
n
j
jij qgqqqhqqb
)()(1 11
Termini di accelerazione
⢠bii rappresenta il momento
dâinerzia visto dallâasse del
giunto i, nella configurazione
corrente del manipolatore,
quando gli altri giunti sono
bloccati
⢠il coefficiente bij tiene conto
dellâeffetto dellâaccelerazione
del giunti j sul giunto i.
2
jijjqh
Termini quadrati in velocitÃ
⢠rappresenta lâeffetto
centrifugo indotto al giunto
i dalla velocità del giunto j
hiii = 0 poiché
⢠rappresenta lâeffetto di
Coriolis indotto al giunto i
dalle velocità dei giunti j e k
0
i
ii
q
b
kjijk qqh
Termini dipendenti
solo dalla
configurazione
gi(q) rappresenta le
coppie generate
allâasse del giunto i
nella configurazione
corrente del
manipolatore per
effetto della gravitÃ
Controllo dei Robot P. Lino
Coppie di attrito
statico
Forze non conservative
qqf ,
)sgn(qFf ss
Forze n.c. che
compiono lavoro
Coppie di
attuazione
ai giunti t
Coppie di
attrito viscoso
Fv q
Coppie di attuazione
a bilanciamento di
forze di contatto
esterne JT(q)h
Controllo dei Robot P. Lino
Modello dinamico nello spazio dei giunti
n
j
n
k
jkijk
n
j
jij qqhqc1 11
C Ú una matrice scelta in modo tale da soddisfare :
hqJqgqFqFqqqCqqB T
sv t sgn,
La scelta della matrice C non Ú univoca
Controllo dei Robot P. Lino
Proprietà notevoli delle equazioni della dinamica
Antisimmetria della matrice CB 2
Una possibile scelta per la matrice ð¶
n
j
n
k
jk
i
jk
j
ikn
j
n
k
jk
k
ij
n
j
n
k
jk
i
jk
k
ijn
j
n
k
jkijk
n
j
jij
qqq
b
q
bqq
q
b
qqq
b
q
bqqhqc
1 11 1
1 11 11
2
1
2
1
2
1
Controllo dei Robot P. Lino
Di conseguenza :
n
k
kijkij qcc1
i
jk
j
ik
k
ij
ijkq
b
q
b
q
bc
2
1Simboli di Christoffel del primo tipo
),(2)(),( qqCqBqqN Tale scelta genera una matrice
antisimmetrica ðµ ð, ð
In particolare : 0),( qqqNqT Per qualunque scelta della matrice C
Si può dimostrare che tale relazione Ú una diretta conseguenza del principio
di conservazione dellâenergia (La derivata totale dellâenergia cinetica bilancia
la potenza generata da tutte le forze agenti ai giunti del manipolatore)
Controllo dei Robot P. Lino
Linearità nei parametri dinamici
t qgqFqFqqqCqqB sv sgn,
t ),,( qqqY
n
1
baricentro del braccio tensore dâinerzia rispetto al baricentro
momento dâinerzia del rotore
TmizziyziyyixzixyixxzCiyCixCiii iiiiIIIIIIImmmm ËËËËËË
massa complessiva del braccio
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
y0
x0
Ξ1
Ξ2
â1
â2
hqJqgqFqFqqqCqqB T
sv t sgn,
ðâð massa del braccio ð
ðððmassa del rotore del motore ð
ðŒâð momento di inerzia del braccio ðrelativo al baricentro intorno a ð§0
ðŒððmomento di inerzia del rotore ðintorno allâasse
Si assume che i due motori siano sugli assi dei giunti, con baricentro in
corrispondenza delle origini delle rispettive terne
âð distanza del baricentro del
braccio ð dal giunto ð
ðð lunghezza del braccio ð
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
ðððâð = ð§ðâ1 ⧠ðâð â ððâ1
ðððâð = ð§ðâ1
ðâð = ðœðâð ð = ðð1
âð ðð2âð ⯠ððð
âð 0 ⯠0 ð
ðð = ðœðâð ð = ðð1
âð ðð2âð ⯠ððð
âð 0 ⯠0 ð
ðœðâ1 = ðð1
â1 0 = ð§0 ⧠ðâ1 â ð0 0
ðœðâ1 = ðð1
â1 0 = ð§0 0
ðœðâ2 = ðð1
â2 ðð2â2 = ð§0 ⧠ðâ2 â ð0 ð§1 ⧠ðâ2 â ð1
ðœðâ2 = ðð1
â2 ðð2â2 = ð§0 ð§1
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
ð§0 =001
ð§1 =001
ð0 =000
ð1 =ð1ð1ð1ð 10
ðâ1 =â1ð1â1ð 10
ðâ2 =ð1ð1 + â2ð12ð1ð 1 + â2ð 12
0
ð§0 ⧠ðâ1 â ð0 =ââ1ð 1â1ð10
ð ⧠ð =
ððŠðð§ â ðð§ððŠðð§ðð¥ â ðð¥ðð§ðð¥ððŠ â ððŠðð¥
ð â¡ ðð¥, ððŠ , ðð§
ð â¡ ðð¥, ððŠ, ðð§
ð§0 ⧠ðâ2 â ð0 =âð1ð 1 â â2ð 12ð1ð1 + â2ð12
0
ð§1 ⧠ðâ2 â ð1 =ââ2ð 12â2ð120
prodotto vettoriale
tra due vettori
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
ðœðâ1 = ð§0 ⧠ðâ1 â ð0 0 =
ââ1ð 1 0â1ð1 00 0
ðœðâ1 = ð§0 0 =
0 00 01 0
ðœðâ2 = ð§0 ð§1 =
0 00 01 1
ðœðâ2 = ð§0 ⧠ðâ2 â ð0 ð§1 ⧠ðâ2 â ð1 =
âð1ð 1 â â2ð 12 ââ2ð 12ð1ð1 + â2ð12 â2ð12
0 0
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
ðœðð1 = 0 0 =
0 00 00 0
ðœðð1 = ðð1ð§ð1
0 =0 00 0ðð1 0
ðœðð2 = ðð1
â2 ðð2ð§ð2=
0 00 01 ðð2
ðœðð2 = ð§0 ⧠ðð2
â ð0 0 =âð1ð 1 0ð1ð1 00 0
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
ðœðâ1
ððœðâ1 = â1
2 00 0
ðœðâ2
ððœðâ2 =
âð1ð 1 â â2ð 12 ð1ð1 + â2ð12 0ââ2ð 12 â2ð12 0
âð1ð 1 â â2ð 12 ââ2ð 12ð1ð1 + â2ð12 â2ð12
0 0
=
=ð12 + â2
2 + 2ð1â2ð2 â2ð1ð2â2ð1ð2 â2
2
ðœðð1
ððœðð1 =
0 00 0
ðœðð2
ððœðð2 =
âð1ð 1 ð1ð1 00 0 0
âð1ð 1 0ð1ð1 00 0
= ð12ð 1
2 + ð12ð1
2 00 0
= ð12 00 0
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
ðŒâð =
ðŒâðð¥ð¥ âðŒâðð¥ðŠ âðŒâðð¥ð§âðŒâðð¥ðŠ ðŒâðð¥ð¥ âðŒâððŠð§âðŒâðð¥ð§ âðŒâððŠð§ ðŒâðð§ð§
ðœðâ1
ððŒâ1ðœð
â1 =0 0 10 0 0
ðŒâ1ð¥ð¥ âðŒâ1ð¥ðŠ âðŒâ1ð¥ð§âðŒâ1ð¥ðŠ ðŒâ1ð¥ð¥ âðŒâ1ðŠð§âðŒâ1ð¥ð§ âðŒâ1ðŠð§ ðŒâ1ð§ð§
0 00 01 0
=ðŒâ1ð§ð§ 0
0 0
ðœðâ2
ððŒâ2ðœð
â2 =0 0 10 0 1
ðŒâ2ð¥ð¥ âðŒâ2ð¥ðŠ âðŒâ2ð¥ð§âðŒâ2ð¥ðŠ ðŒâ2ð¥ð¥ âðŒâ2ðŠð§âðŒâ2ð¥ð§ âðŒâ2ðŠð§ ðŒâ2ð§ð§
0 00 01 1
=ðŒâ2ð§ð§ ðŒâ2ð§ð§ðŒâ2ð§ð§ ðŒâ2ð§ð§
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
n
i
mT
m
m
mm
Tmm
p
Tm
pmp
T
i
i
i
T
p
T
pi
i
i
ii
iii
i
i
i
iii
iJRIRJJJmJRIRJJJmqB
1
000
ðœðð1
ðð ð1
ðŒð1
ð1ð ð1ð ðœð
ð1 =0 0 ðð10 0 0
â â 0â â 00 0 ðŒð1ð§ð§
0 00 0ðð1 0
=ðð12 ðŒð1ð§ð§
0
0 0
ðŒðð
ðð =
ðŒððð¥ð¥ðð 0 0
0 ðŒðððŠðŠðð 0
0 0 ðŒððð§ð§ðð
ð ð1=
â â 0â â 00 0 1
ð ð2=
â â 0â â 00 0 1
ðœðð2
ðð ð2
ðŒð2
ð2ð ð2ð ðœð
ð2 =0 0 10 0 ðð2
â â 0â â 00 0 ðŒð2ð§ð§
0 00 01 ðð2
=ðŒð2ð§ð§
ðð2ðŒð2ð§ð§
ðð2ðŒð2ð§ð§ðð22 ðŒð2ð§ð§
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
ðµ ð =ð11 ð ð12 ð
ð21 ð ð12 ð=
ð11 ð2 ð12 ð2ð21 ð2 ð12 ð2
ð11 = ðŒâ1 +ðâ1â12 + ðð1
2 ðŒð1+ ðŒâ2 +ðâ2 ð1
2 + â22 + 2ð1â2ð2 + ðŒð2
+ðð2ð12
ð12 = ð21 = ðŒâ2 +ðâ2 â22 + ð1â2ð2 + ðð2ðŒð2
ð22 = ðŒâ2 +ðâ2â22 + ðð2
2 ðŒð2
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
ððð =
ð=1
ð
ðððð ðð ðððð =1
2
ðððð
ððð+ððððððð
âðððð
ððð
ð11 = ðŒâ1 +ðâ1â12 + ðð1
2 ðŒð1+ ðŒâ2 +ðâ2 ð1
2 + â22 + 2ð1â2ð2 + ðŒð2
+ðð2ð12
ð12 = ð21 = ðŒâ2 +ðâ2 â22 + ð1â2ð2 + ðð2ðŒð2
ð22 = ðŒâ2 +ðâ2â22 + ðð2
2 ðŒð2
ð111 =1
2
ðð11ðð1
= 0 ð112 = ð121 =1
2
ðð11ðð2
= âðâ2ð1â2ð 2 = â
ðððð = ðððð
ð122 =ðð12ðð2
â1
2
ðð22ðð1
= â ð211 =ðð21ðð1
â1
2
ðð11ðð2
= ââ
ð212 = ð221 =1
2
ðð22ðð1
= 0 ð222 =1
2
ðð22ðð2
= 0
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
ððð =
ð=1
ð
ðððð ðð
ð111 = 0 ð112 = ð121 = â ð122 = â
ð211 = ââ ð212 = 0 ð222 = 0
ð¶ ð, ð =â ð2 â ð1 + ð2
ââ ð1 0
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
ð0 =0âð0
ðð ð = â
ð=1
ð
ðâðð0ððœðð
âð ð + ðððð0ððœðð
ðð ð
ð1 = ðâ1â1 +ðð2ð1 +ðâ2ð1 ðð1 +ðâ2â2ðð12
ð2 = ðâ2â2ðð12
ðœðâ1 =
ââ1ð 1 0â1ð1 00 0
ðœðâ2 =
âð1ð 1 â â2ð 12 ââ2ð 12ð1ð1 + â2ð12 â2ð12
0 0
ðœðð1 =
0 00 00 0
ðœðð2 =
âð1ð 1 0ð1ð1 00 0
Controllo dei Robot P. Lino
Esempio: Manipolatore planare a due bracci
ðŒâ1 +ðâ1â12 + ðð1
2 ðŒð1+ ðŒâ2 +ðâ2 ð1
2 + â22 + 2ð1â2ð2 + ðŒð2
+ðð2ð12 ð1 +
+ ðŒâ2 +ðâ2 â22 + ð1â2ð2 + ðð2ðŒð2
ð2 â 2ðâ2ð1â2ð 2 ð1 ð2 âðâ2ð1â2ð 2
ð22 +
+ ðâ1â1 +ðð2ð1 +ðâ2ð1 ðð1 +ðâ2â2ðð12 = ð1
hqJqgqFqFqqqCqqB T
sv t sgn,
ðŒâ2 +ðâ2 â22 + ð1â2ð2 + ðð2ðŒð2
ð1 + ðŒâ2 +ðâ2â22 + ðð2
2 ðŒð2 ð2 +
+ðâ2ð1â2ð 2 ð12 +ðâ2â2ðð12 = ð2
Controllo dei Robot P. Lino
Modello Dinamico nello Spazio Operativo
Si vogliono descrivere le equazioni del moto direttamente nellospazio operativo, legando le forze generalizzate agenti sulmanipolatore e lâinsieme minimo di variabili che descrivonoposizione e orientamento dellâorgano terminale nello spaziooperativo
La caratterizzazione con la lagrangiana nello spazio operativo nonconsente di trattare con manipolatori ridondanti, in quanto levariabili non costituiscono un set di coordinate generalizzate
Non Ú infatti possibile descrivere in questo caso i moti interni dellastruttura provocati da un insieme di forze generalizzate ai giunti ilcui effetto sul moto dellâorgano terminale sia nullo
Controllo dei Robot P. Lino
hqJqgqFqFqqqCqqB T
sv )()()sgn(),()( t
hqJqBqgqBqqqCqBq T )()()()(),()( 111 t
t )(qJ T
hqJqBqgqBqqqCqBq T )()()()(),()( 111
Trascurando le forze di attrito ai giunti
qqJx A )(
qqqJqqJx AA ),()(
Controllo dei Robot P. Lino
J = TA()JAT
A
T
A
T TJJ
qqqJhTqJqBqJqgqBqJqqqCqBqJx A
T
A
T
AAAA ),()()()()()()(),()()( 111
A
T
AT A
T
A hhT
AA
T
AAAAA hqJqBqJqqqJqgqBqJqqqCqBqJx )()()(),()()()(),()()( 111
gBJBg
qJBqCBJBxC
JBJB
AAA
AAAAA
T
AAA
1
1
11
qqqJhqJqBqJqgqBqJqqqCqBqJx A
T
AAA ),()()()()()()(),()()( 111
Legame tra Jacobiano
analitico e geometrico
Si pone:
Ponendo:
Controllo dei Robot P. Lino
AA
T
AAAAAAAAAA hJBJBqJBgBJBqCBJBxB 111
AAAAA hgxCxB
AAAAA hxgxxxCxxB )(),()(
Modello Dinamico nello Spazio Operativo
Controllo dei Robot P. Lino
Osservazioni Il modello Ú formalmente analogo a quello nello spazio dei giunti
Come nello studio della cinematica differenziale, nel caso disingolarità non Ú possibile effettuare lâinversa dello jacobiano equindi la trattazione necessita di particolari accorgimenti
Il modello Ú valido anche per manipolatori ridondanti, benché le
variabili x non costituiscano un insieme di coordinategeneralizzate
In questo caso la matrice BA caratterizza una pseudo-energiacinetica
Controllo dei Robot P. Lino
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
Dinamica diretta: determinare le accelerazioni allâorgano
terminale assegnando le coppie ai giunti e le forze/coppie
applicate allâorgano terminale. Per un manipolatore ridondante
il modello dinamico nello s.o. non Ú direttamente utilizzabile in
quanto t = JT(q) ha soluzioni in solo se
In modelli di simulazione, si lavora nello spazio dei giunti per
poi ottenere le variabili dello s.o. tramite la cinematica diretta
)Im( TJt
Controllo dei Robot P. Lino
Dinamica Inversa: determinare le coppie ai giunti necessarie
alla generazione di un moto specifico assegnato (in termini di
posizione, velocità , accelerazione dellâorgano terminale)
Si può invertire la cinematica e lavorare successivamente nello
spazio dei giunti (calcolo delle coppie mediante modello
dinamico nello spazio dei giunti)
In alternativa si può usare il modello nello s.o. per calcolare le
A e poi calcolare le t tramite trasposta dello Jacobiano.
Con tali tecniche la ridondanza non viene sfruttata, in quanto le
coppie calcolate non generano moti interni per la struttura
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
Controllo dei Robot P. Lino
Eâ possibile risolvere la ridondanza a livello dinamico
Ricordando
gBJBg
qJBqCBJBxC
JBJB
AAA
AAAAA
T
AAA
1
1
11
Il modello nello spazio operativo
AAAAAAAA hgBJBqCBJBqJxB 11)(
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
AA
T
AAAAAAAAAA hJBJBqJBgBJBqCBJBxB 111
può essere scritto come
Controllo dei Robot P. Lino
AAAAAAAA hgBJBqCBJBqJxB 11)(
Sappiamo che qqqJqqJx AA ),()(
AAAAAAAA hgBJBqCBJBqJB 11
Poniamo )()()()( 1 qBqJqBqJ A
T
AA
AA
T
A hgqCqBJ )(
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
Controllo dei Robot P. Lino
AA
T
A hgqCqBJ )(
Modello dinamico nello
spazio dei giunti
AAA
T
A
T
A hhJJ t )(
Da cui
A
T
AJ t
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
Controllo dei Robot P. Lino
A
T
AJ t
La soluzione in t di questa equazione Ú
a
T
A
T
AA
T
A JqJIqJ tt ))(()(
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo
Controllo dei Robot P. Lino
a
T
A
T
AA
T
A JqJIqJ tt ))(()(
⢠Tale soluzione si ottiene tenendo conto del fatto
che Ú una pseudo-inversa destra di pesata
secondo la matrice B-1
⢠Il vettore ta non dà contributo di forza allâorgano
terminale, ma genera moti interni della struttura da
impiegare per la gestione della ridondanza a livello
dinamico
T
AJ T
AJ
Dinamica Diretta e Inversa nello Spazio Operativo