Classificazione

Costruzione

Storia

ClassificazioneClassificazioneCon il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.Indichiamo con l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con l’angolo formato dall’asse con la retta generatrice del cono.Se:

>

= 90°

=

<

L’equazione generale di una conica è: axax22+by+by22+cxy+dx+ey+f=+cxy+dx+ey+f=0 a , b , c , d , e , f R

Ellisse

Circonferenza

Parabola

Iperbole

ConicheConiche

ParabolaParabolaDefinizione

Equazione

Formule

Casi particolari

Concavità

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

ParabolaDefinizione

Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d.

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

d

F

x

y

ParabolaParabolaEquazioneEquazione

y=ax2+bx+c

x=ay2+by+c

x

y

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

x

y

ParabolaParabola FormuleFormule

y=ax2+bx+c x=ay2+by+c

vertice V(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)

fuoco F(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)

direttrice dy=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)

equazione assex=-b/(2a) y=-b/(2a)

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

ParabolaParabolaCasi particolariCasi particolari

y= ax2+bx+c

b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx

c=0 e b=0 y=ax2

x

y

y

x

x

y

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

ParabolaParabolaConcavitàConcavità

a>0 a<0

x

y y

x

x

y y

x

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

CirconferenzaCirconferenza

Definizione

Equazione

Casi particolari

Formule

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

CirconferenzaCirconferenzaDefinizioneDefinizione

Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r.

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

CirconferenzaCirconferenzaEquazioneEquazione

xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0a , b , c R

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

CirconferenzaCirconferenzaCasi particolariCasi particolari

x2 + y2 = r2

C(

O

x2 + y2 + ax + by = 0

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

CirconferenzaCirconferenzaFormuleFormule

xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R

centro: centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2)

raggio: raggio: r=r= (a/2) (a/2)22 - (b/2) - (b/2)22 - c - c

eccentricità:eccentricità: e = 1 e = 1

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

EllisseEllisse

Definizione

Equazione

Grafici

Formule

Ellisse traslata

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

EllisseEllisseDefinizioneDefinizione

Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.

PF1+ PF2= k k R R++

y

x

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

EllisseEllisseEquazione canonicaEquazione canonica

xx22 y y22

+ = 1+ = 1aa22 b b22

aa: semiasse maggiore

bb: semiasse minore

cc:: F1F2 / 2

Caso in cui l’asse focale è l’asse x:y

x

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

Ellisse traslataEllisse traslataEquazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V(; ).

(x - )2 (y - )2

a2 b2

vettore V (; ) centro C (; )

vertici: A’(a ; ) B’( ; b)

fuochi:

a>b F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2

a<b F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2

+ =1

y

x

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

EllisseEllisseGraficiGrafici

C(0;0) a>bC(0;0) b>a

y

x

y

x

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

EllisseEllisseFormuleFormule

L’eccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il

semiasse maggiore.

e =1 segmento e =0 circonferenza0<e<1 ellisse

a2 = b2 + c2

Fuochi:a>b F1(-a2-b2 ; 0) F2(a2-b2 ; 0) eccentricità: c/aa<b F1(0 ; -b2-a2) F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b

Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

IperboleIperbole

Definizione

Equazione

I. Equilatera

Formule

I. Traslata

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

IperboleIperboleDefinizioneDefinizione

Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.

PF1- PF2 = k k R R++

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

IperboleIperboleEquazioneEquazione

xx22 y y22

- = +1- = +1aa22 b b22

c = semidistanza F1 -F2

asse focale: 2c

I caso

II caso

xx22 y y22

- = -1- = -1aa22 b b22

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

IperboleIperboleFormuleFormule

I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: (a2+b2 ; 0)

II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a2+b2)

asintoti: y= (b/a) x

eccentricità e = c/a

e =1 segmento e =0 circonferenza0<e<1 ellissee>1 iperbole

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

Iperbole equilatera: a=bIperbole equilatera: a=b

xx22 - y - y2 2 = -a= -a2 2 o xo x2 2 - y- y2 2 =a=a22

asintoti:asintoti: y = y = x x

c = a2

e = 2

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

Iperbole traslataIperbole traslataTraslazione di vettore: v ( ; )

I caso: vertici: ( a ; ) fuochi: ( c ; ) e = c/aII caso: vertici: ( ; b ) fuochi: ( ; c) e = c/b

asintoti: y - = (b/a) (x- )

ConicheConiche ClassificazioneClassificazione

Le coniche nella Le coniche nella storiastoria

matemat ici greci A pollonio

ConicheConiche

Matematici greciMatematici greciLe curve non venivano definite come luoghi del piano che soddisfano una certa condizione,ma con il seguente ordine:

rette

cerchi

luoghi piani

sezioni coniche

luoghi solidi

tutte le alt re curve

luoghi lineari

t re categorie

Storia ConicheConiche

Apollonio Apollonio (Biografia)(Biografia)

Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180 a.C.), matematico greco. Studiò le matematiche ad Alessandria d'Egitto; scrisse di calcolo aritmetico ed elaborò i fondamenti della disciplina antenata dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera che constava originariamente di otto libri, di cui solo i primi quattro sono giunti fino a noi scritti in greco, mentre i tre libri rimasti dei quattro seguenti sono noti solo attraverso traduzioni arabe. Apollonio fornì inoltre un grande contributo all'astronomia greca, applicando modelli geometrici al movimento dei pianeti.

Storia ConicheConiche

Pensiero di Apollonio

Elaborò gran parte di quella che noi oggi definiamo “geometria analitica”. Considera 2 luoghi:

1)il luogo dei punti tali che la differenza dei quadrati delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante è una retta perpendicolare al segmento che congiunge i punti.

2)il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante (e diversa da 1) è un cerchio.

Definisce il cono come:

“Se una retta prolungatesi all’infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di cerchio che non si trovo nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio”.

Storia ConicheConiche

Pensiero di Apollonio

Affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche, semplicemente variando l’inclinazione del piano d’intersezione.

Dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o in coni retti.

Storia ConicheConiche

““Le conicheLe coniche” Trattati di Apollonio

(1°libro) Tratta le proprietà fondamentali delle curve in maniera più completa e generale di quanto fosse stato fatto negli scritti degli altri autori.

(2°libro) Continua lo studio dei diametri coniugati e delle tangenti.

(3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili per la sintesi dei luoghi solidi e per la determinazione dei limiti.

(4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi l’una con l’altra.

Storia ConicheConiche

(5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto a una conica.

(6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti segmenti di coniche uguali e disuguali, oltre ad altre questioni trascurate da altri autori.

(7°libro) Ritorna sull’argomento dei diametri coniugati e contiene molte nuove proposizioni concernenti diametri di sezione e le figure descritte su di esse.

(8°libro)Tratta problemi simili.

““Le conicheLe coniche” Trattato di Apollonio

Storia ConicheConiche

Costruzione delle coniche

Proviamo a costruire le coniche usando un pallone da basket,

una torcia e un piano bianco sul quale proiettare l’ombra del

pallone. Posizioniamo la torcia secondo diverse angolazioni e

osserviamo cosa succede...

ConicheConiche

...Parabola

Torcia a livello della sommità della palla...

CostruzioneCostruzioneConicheConiche

...Circonferenza

Proiettando un fascio di luce perpendicolare alla palla...

CostruzioneCostruzioneConicheConiche

...Ellisse

Spostando la torcia verso destra...

CostruzioneCostruzioneConicheConiche

...Iperbole

Spostando la torcia al di sotto della sommità della palla...

CostruzioneCostruzioneConicheConiche

Percorso logico

defi niz ione

equaz ione

f or mule

cas i par t icolar i

concavit à

par ab ola

defi niz ione

equaz ione

cas i par t icolar i

f or mule

cir conf er enz a

defi niz ione

equaz ione

f or mule

i. equilat er a

i. t r as lat a

iper b ole

defi niz ione

equaz ione

gr afi co

f or mule

el l is se t r as lat a

el l is se

Classifi caz ione

mat emat ic i gr eci

t r at t at i d i A pol lonio

pens ier o

A pollonio

S t or ia

iper b ole .

el l is se

cir conf er enz a

par ab ola

Cost r uz ione

ConicheConiche

ConicheConiche