Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2007-2008

Sistemi di Supporto alle

Decisioni I

Lezione 3

Chiara MocenniCorso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e

L2 in Ingegneria InformaticaIII ciclo

Esistenza della funzione u

• Una simile funzione u(•) esiste?

• Assiomi “della razionalità” riguardanti il comportamento dei decisori (Von Neumann e Morgenstern 1947)

Esistenza della funzione u

• X è l’insieme dei risultati certi x1, x2 , …, xi,…, xr

• L rappresenta l’insieme di tutte le lotterie che si possono definire su X

1. Ordinamento debole

• Dati due elementi a, b Aè sempre possibile confrontarli, ossia vale una tra queste:a bb aa ~ b

• Inoltre a b, b c implica a c

Osservazioni

• L’assioma di ordinamento debole stabilisce che vale la transitività delle preferenze, cosa questa che non dovrebbe suscitare particolari obiezioni. Se considero il risultato a migliore di b, e b migliore di c, a maggior ragione direi che a è meglio di c.

2. Non banalità

• Si consideri l’insieme X dei possibili risultati certi

x1 x2 … xr

allora

x1 xr

>>> non tutti i risultati sono ugualmente appetibili

3. Riduzione di lotterie composite (I)• Consideriamo una lotteria composita (cioè una

lotteria i cui “premi” sono altre lotterie)

L = <q1,l1;q2,l2;…;qs,ls> che dà diritto alla partecipazione a s lotterie

semplici, t.c.

Lj=<pj1,x1;pj2,x2;…;pjr,xr>, j = 1,…,s.

Sia L’ = <p1,x1;p2,x2;…;pr,xr> t.c.

pi = q1p1i+q2p2i+…+qspsi, i = 1,…,r.

Allora L L’

Le preferenze del decisore dipendono solo dai risultati finali e dalle probabilità con cui questi possono essere ottenuti e non dalle modalità con cui vengono di volta in volta organizzate le lotterie.

Consideriamo la lotteria

L = <0,x1;0,x2;…;1,xi;…;0,xr>

che assegna il premio xi con probabilità 1.

Allora xi L

3. Riduzione di lotterie composite (II)

Questo corollario dell’assioma 3 permette di stabilire che il decisore non “prova gusto” semplicemente nel partecipare ad una lotteria, ma unicamente nel vincere il premio che vi è associato.

3. Lotterie composite (esempio)• Una lotteria i cui “premi” sono altre

lotterie

L

0.2

0.5

0.3

L1

L2

L3

0.50.5

0.40.6

0.30.7

+10

-10

+20

-10+10

-20

Osservazioni

Si consideri qui una lotteria i cui “premi” sono biglietti di ingresso in altre lotterie. Questa è una lotteria composita. Se ci chiediamo, ad esempio, con quale probabilità si verificherà il risultato +20, essa è data da 0.3*0.4=0.12, in quanto l’unica possibilità è che l’esito della lotteria L sia L2 e che questa dia come risultato appunto +20.

Lotterie composite• Probabilità di avere +10:

L1

L2

L3

L

0.2

0.5

0.3

0.50.5

0.40.6

0.30.7

+10

-10

+20

-10+10

-20

0.2

0.5

0.30.5

Osservazioni

In questo caso invece, osservando che il risultato +10 può essere ottenuto in due modi diversi, concludiamo che la probabilità di tale risultato è 0.2*0.5+0.5*0.3=0.25.

0.2 * 0.5 + 0.5 * 0.3 = 0.25

L1

L2

L3

L

0.2

0.5

0.3

0.50.5

0.40.6

0.30.7

+10

-10

+20

-10+10

-20

0.2

0.5

0.30.5

La lotteria L’ è equivalente a L

L’

+20

+10

-10

-200.35

0.12

0.28

0.25

Osservazioni

• Ripetendo il procedimento per tutti i risultati possibili, otteniamo una lotteria L’ avente come probabilità i numeri ottenuti. E’ evidente che le probabilità di conseguire i vari risultati sono esattamente le stesse nella lotteria composita L, come nella lotteria L’. Per questo motivo, l’assioma delle lotterie composite dice che un decisore razionale dovrebbe provare indifferenza tra L e L’.

4. Sostituibilità

• Se a ~ b, allora due lotterie identiche tranne che per il fatto che a è sostituito da b, sono equivalenti:

L = < …;… ; p,a ;…;…>

L’ = < …;… ; p,b ;…;…>

L L’

Osservazioni

• Il concetto espresso da questo assioma è che due risultati ritenuti equivalenti, fanno sì che due lotterie che differiscano solo per questi due risultati devono essere altresì percepite come equivalenti.

Lotterie di riferimento

• Sono di particolare importanza le lotterie di riferimento:

Lp

1-p

x1

xr

LOTTERIE DI RIFERIMENTO

DEF. Si chiamano lotterie di riferimento le lotterie del tipo

x1pxr = <p,x1;0,x2;…;0,xr-1;(1-p),xr> .

DEF. Si definisce esperimento di riferimento l’insieme delle lotterie di riferimento

x1pxr A, 0p1 .

5. Monotonicità

Lp

1-p

x1

xr

L’p’

1-p’

x1

xr

L L’ p p’

6. Continuità

xi Lui

1-ui

x1

xr

~

• Esiste un valore di probabilità ui tale che:

OsservazioniIl sesto e ultimo assioma è forse il più importante, anche se per certi versi l’unico un po’ controverso. Consideriamo un qualunque risultato intermedio xi. Questo assioma dice che per ogni xi esisterà un valore di probabilità, indicato con ui, tale da rendere il risultato certo xi indifferente rispetto a una lotteria di riferimento in cui ui è la probabilità di vincere x1. Ossia, per quanto catastrofico possa essere xr, ci sarà sempre un valore ui che rende il rischio di giocare la lotteria L equivalente alla certezza del risultato xi.

6. Continuità

• Obiezione circa l’esistenza del valore ui (facilmente confutabile)

• Difficoltà nella determinazione precisa del valore ui

• >>> Necessità di una analisi della sensibilità

Teorema di von Neumann-Morgenstern

• Se il sistema di preferenze di un decisore rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una funzione u: X [0,1] che per qualunque coppia di lotterie, L e M:

– se L è preferita a M U[L] > U[M]

– se M è preferita a L U[M] > U[L]

– se L e M sono indifferenti U[L] = U[M]

Utilità elementari

• Diamo convenzionalmente valore 1 e 0 all’utilità dei due risultati estremi, ossia

u(x1) = 1

u(xr) = 0

Utilità di una lotteria di riferimento

xi Lui

1-ui

x1

xr

~

u(xi) = ui u(x1) + (1- ui )u(xr)

u(xi) = ui u(x1) + (1- ui )u(xr)

= 1 = 0

Funzione di utilità

• L’utilità del risultato xi è data dal valore di probabilità ui che rende indifferente xi rispetto alla lotteria di riferimento, ossia

u(xi) = ui

• A questo punto è chiaro che il valore di ui definito prima può essere preso proprio a misura dell’utilità del risultato xi. In altre parole, se riusciamo a stabilire i valori di utilità per i singoli risultati certi, e se il decisore accetta gli assiomi della razionalità, allora è possibile esprimere il valore di utilità attesa per qualsiasi lotteria, e impiegare tali valori per confrontare quantitativamente due lotterie qualsiasi.

Funzione di utilità

• Una funzione di utilità U[L] modella le preferenze di un particolare decisore

• Diversi decisori hanno in generale diverse funzioni di utilità, anche se alcune funzioni sono più usate

• Da quanto detto finora, emerge che è possibile associare un valore di utilità a ciascun risultato certo xi. Occorre sottolineare che questa funzione esprime le preferenze del singolo decisore, e dunque decisori diversi, pur accentando gli stessi assiomi, possono avere funzioni di utilità molto diverse. L’unica proprietà che deve avere una u(x) perché sia una funzione di utilità (rappresentando x una quantità di denaro) è il fatto che sia una funzione monotona crescente.

Determinazione di u(•)

• Applicazione accurata dell’assioma di continuità

• Esempio: un investitore deve scegliere tra 3 alternative (lotterie):

a1, a2, a3

a1

Variazione indice Dow-Jones (%)

110

< -3 [-3,+2] > +2

a2

a3

110 110

100 105 115

90 100 120

Decisioni

Assessment

• Ricavando la funzione di utilità per i sei risultati certi in esame, si potrà calcolare l’investimento più “razionale” per il decisore in questione

L’insieme X dei risultati

• In questo caso X consiste di tutti i possibili risultati, vale a dire

120, 115, 110, 105, 100, 90

x1 xr

• Le lotterie di riferimento hanno come “premi” 90 e 120

Assessment

110 L0.5

0.5

120

90

• L’analista pone domande del tipo: cosa sceglierebbe tra queste due?

Assessment (cont.)

• Supponiamo che la risposta sia: “110 sicuri”

• Possiamo già escludere che l’utilità di 110 sia inferiore 0.5

Assessment (cont.)

110 L0.875

0.125

120

90

• L’analista pone allora la seguente alternativa

Assessment (cont.)

• Supponiamo che stavolta la risposta sia: “la lotteria”

• Possiamo escludere che l’utilità di 110 sia superiore a 0.875

• Si prosegue fino a individuare quel valore di probabilità per cui si ha indifferenza

Assessment (cont.)

110 L0.8

0.2

120

90~

• Supponiamo che si abbia per:

• Da cui, u(110)=0.8

Assessment (cont.)

• Procedendo allo stesso modo si può determinare l’utilità degli altri valori, ad esempio

u(100)=0.4

u(105)=0.6

u(115)=0.95

Verifica della consistenza

115 L0.75

0.25

120

110

• U[L] = 0.75 * u(120) + 0.25 *u(110) = 0.75 * 1 + 0.25 *0.8 = 0.95

Verifica della consistenza

• Poiché era stato misurato che l’utilità di 115 è pari a 0.95, posto di fornte alla scelta il decisore dovrebbe dichiararsi indifferente

• Se ciò non accade:– vanno rivisti i valori di utilità– il decisore rifiuta gli assiomi di von

Neumann…

Tavole di decisione, analisi di decisione e funzioni utilità

• Che relazione esiste tra la scelta tra lotterie e la scelta in condizioni di rischio?

• Cerchiamo di individuare una corrispondenza tra lotterie e tavole di decisione.

a1

Stati di natura

x11

1

a2

a3

Decisioni

Probabilità

2 3

P(1) P(2) P(3)

x12 x13

x21 x22 x21

x31 x32 x33

Consideriamo la seguente lotteria semplice:

Lk= < P(1),xk1;P(2),xk2;…;P(n),xkn>

Allora ak lk

NOTE• Nella precedente equivalenza abbiamo

leggermente modificato la notazione introdotta per le lotterie. In particolare:

1. Non assumiamo che i premi siano ordinati secondo un ordine decrescente, cioè non

assumiamo che x1 x2 … xr . Inoltre, le m lotterie che possono essere

costruite a partire dalle azioni nella tavola di decisione hanno il seguente insieme dei premi: X = xij | i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.

• 2. Ogni conseguenza che risulta impossibile sotto la scelta ak non appartiene all’insieme dei premi (cioè non si considerano premi che hanno probabilità nulla).

3. Che cosa succede se due scelte diverse conducono agli stessi risultati? Nella notazione precedente non avevamo posto assunzioni sul fatto che i premi fossero tutti distinti. L’assioma 4 Sostituibilità afferma che se due premi sono uguali (o ugualmente graditi), allora le lotterie che si possono costruire sono tra loro equivalenti.

Assioma 7. Equivalenza di situazioni di incertezza

• Sia data la tavola di decisione precedente e siano li le m lotterie da essa estratte come mostrato. Allora il decisore considera la sua scelta nella tavola di decisione identica alla scelta tra le suddette m lotterie. In particolare,

ai ak li lk, i,k=1,2,…,m.

Corollario

• Dagli assiomi 1-6, dall’Assioma 7 e dal Teorema di von Neumann-Morgenstern

discende che

n

1jkjj

n

1jijj ))u(xP())u(xP(

kiki llaa

Riassumendo

• Dall’Assioma di continuità discende che la funzione di utilità è univocamente determinata.

• La funzione di utilità è una funzione che permette di ordinare lotterie/decisioni assumendo il fatto che le utilità attese calcolate siano effettivamente coerenti con le preferenze del decisore.

• Teorema. Se u è una funzione di utilità su X, allora w = u + (>0) è a sua volta una funzione di utilità che rappresenta le stesse preferenze. Viceversa, se u e w sono due funzioni di utilità su X che rappresentano le stesse preferenze, allora esistono >0 e t.c. w = u + .