Chiara Mocenni - Sistemi Dinamici Complessi Chiara Mocenni mocenni I sistemi complessi.

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Chiara Mocennihttp://www.dii.unisi.it/~mocenni

I sistemi complessi

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Un po’ di storia

• Platone pensò, ispirato dai Pitagorici, che tutto fosse manifestazione di regolarità matematica.

• Galileo scrisse che “…il libro della natura è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche…” (1623).

• "Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa", che significa: "Data un'equazione che contiene un numero qualunque di quantità fluenti [oggi, diremmo derivate] trovare le flussioni [oggi, diremmo le primitive] e viceversa“ (Newton, 1677). “…la natura ha sue leggi, e noi possiamo trovarle…” La matematica è lo strumento attraverso cui si colgono le regolarità (Newton, 1687).

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”…Un’intelligenza che , per un istante dato, conoscesse tutte le forze da cui la natura è animata … abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell’universo e quelli dell’atomo più leggero: per essa non ci sarebbe nulla d’incerto e il futuro come il passato sarebbe presente ai suoi occhi…” (1825)

Pierre-Simon de Laplace (1/3)

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Laplace sapeva bene che la conoscenza delle diverse entità (quelle che ora chiamiamo variabili di stato) ad un certo istante non può essere ottenuta con infinita precisione, essendo il frutto di processi di misura. Ma, come spesso si assume in base a regole di buon senso, considerava ovvio il fatto che una piccola incertezza nei valori delle condizioni iniziali avesse conseguenze altrettanto piccole sull'intera traiettoria e che quindi il calcolo dello stato futuro risultasse di poco alterato. In altre parole, il fatto di poter rappresentare l'evoluzione di un sistema reale mediante un sistema dinamico, sia pur attraverso una sua rappresentazione locale, era considerato equivalente a dire che la sua evoluzione fosse necessariamente regolare, prevedibile, priva di ogni incertezza.


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Eppure, qualche piccolo indizio che le cose non stessero proprio così era già presente in quei settori in cui le equazioni del moto erano non lineari. Ad esempio, nella dinamica dei fluidi, si potevano osservare sia andamenti regolari che complessi. Il fumo di una sigaretta, o il flusso dell'acqua nell'alveo di un fiume, possono talvolta evolvere in modo semplice (il cosiddetto moto laminare) e altre volte in modo vorticoso e disordinato (il cosiddetto moto turbolento) pur essendo governati dalle stesse equazioni del moto. Il passaggio alla turbolenza, che si osserva talvolta in modo improvviso durante il moto di liquidi o gas, è stato uno dei problemi che maggiormente hanno stimolato gli studi sui sistemi dinamici non lineari.


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• Si racconta che Heisenberg, uno dei padri della Fisica quantistica e premio Nobel per la Fisica nel 1932, pochi minuti prima di morire abbia detto: “…quando nell'aldilà avrò l'opportunità di interrogare il Creatore, gli voglio chiedere due cose: perché la relatività e perché la turbolenza. Almeno sulla prima spero di ottenere una risposta…".

Werner Karl Heisenberg

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• 5 Settembre 1977. Partono, a distanza di 16 giorni l’uno dall’altro due sonde gemelle (i Voyager 1 e 2) per l’esplorazione del sistema solare.

• Arrivata a Saturno, la prima individua un nuovo satellite, Iperione, dalla forma irregolare a patata, che compie piroette irregolari intorno alla sua orbita. Se anche la sonda avesse misurato con estrema precisione il suo moto, sarebbe stato impossibile prevedere il punto esatto in cui la seconda sonda l’avrebbe incontrata 16 giorni più tardi.

...un altro importante indizio......un altro importante indizio...

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Henri Poincaré (1854-1912)

• E’ il fondatore della teoria qualitativa (o topologica) dei sistemi dinamici ovvero di un modo di studiare le leggi del moto che rinuncia a ogni pretesa di conoscenza analitica o numerica delle soluzioni e si basa su metodi di tipo geometrico-visivo.

• Poincaré non si pone più il problema della forma della soluzione di un’equazione, ma cerca di capire se questa soluzione è stabile o instabile.

• Il sistema solare obbedisce alle leggi deterministiche della fisica e quindi il moto dei suoi pianeti è unico, ma questo moto è stabile?

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Henri Poincaré (1/3)

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"una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo che l'effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell'universo all'istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto. Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile“ (Poincaré, 1903).


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• In effetti, la visione di Laplace (oltre che nei sistemi lineari) è corretta anche nei sistemi non lineari, purché lontani dai regimi di comportamento caotico. Ma in modelli non lineari, anche semplici, le traiettorie possono risultare molto simili a successioni di stati aleatori, cioè ottenuti con l'intervento di elementi casuali (come le uscite nel lancio di un dado).


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• Dopo ulteriori importanti contributi alla teoria qualitativa dei sistemi dinamici, forniti dalla grande scuola russa dagli anni '30, con Lyapunov, Kolmogorov, Andronov, Pontrjaguine e dagli studi di Birkhoff negli Stati Uniti, due articoli diedero un decisivo contributo alla diffusione e alla crescente popolarità di questo settore della Matematica: quello del 1963 del meteorologo americano Edward Lorenz e quello del fisico inglese Robert May del 1976, dal titolo Semplici modelli matematici con dinamiche molto complicate.

Il contributo della meteorologia e dell’ecologia

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• La causa di questo fatto non era da ricercarsi nei disturbi casuali o nelle nubi di gas o nei campi magnetici, ma in un carattere intrinseco delle equazioni matematiche della dinamica.

• Questo fenomeno è detto caos deterministico: un comportamento senza legge governato per intero dalla legge.

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Il paradigma del determinismo classico

• Le leggi matematiche sul moto dei corpi di Newton si basano su equazioni differenziali, cioè su equazioni che coinvolgono certe quantità e le velocità con cui queste quantità variano (differenza fra i suoi valori in istanti di tempo vicini).

• Esistenza e unicità della soluzione.

• Paradigma del determinismo classico: se le equazioni prescrivono l’evoluzione di un sistema in modo unico, senza alcun apporto esterno casuale, il comportamento del sistema è specificato in modo unico per sempre.

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Il cambiamento di paradigma e il caos deterministico

• Comportamento disordinato e aperiodico che si verifica in un sistema deterministico

• Sensibilità alle condizioni iniziali: grandi mutamenti non hanno necessariamente grandi cause

• Essenza geometrica del caos: stirare e piegare

• Esistenza di infiniti cicli repulsivi

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Ordine e caos si intrecciano

• “I sistemi non lineari semplici non possiedono necessariamente proprietà dinamiche semplici” (May, 1976).

• Ordine e caos appaiono come due manifestazioni distinte di un determinismo sottostante.

• Armonia e dissonanza coesistono.

• La casualità non dipende da fattori esterni di disturbo ma è una proprietà intrinseca dei sistemi.

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Lineare e non lineare

• Un’ equazione è lineare se la combinazione lineare di due sue soluzioni è una soluzione. Le equazioni lineari sono facili da risolvere.

• Le equazioni non lineari sono spesso difficili da risolvere, o meglio spesso non possiamo esprimere la sua soluzione con una formula.

La scienza di oggi mostra che la natura è inesorabilmente non

lineare! Il moto dei pianeti, le oscillazioni di un pendolo, il flusso delle correnti atmosferiche, lo scorrere più o meno regolare dell'acqua in un fiume, il numero di insetti che anno dopo anno popolano una certa regione, l'andamento giornaliero dei prezzi delle azioni nei mercati finanziari e così via.

Le mappe caotiche

Soluzione periodica

Sequenza di raddoppiamenti di periodo

caos

Il sistema di Lorenz

x e’ proporzionale all’intensita’ del moto convettivo;y e z dipendono dalla differenza di temperatura tra i due stratiCelle di convezione

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La scienza della complessità

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The elephant in the dark (1/2)

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The elephant in the dark (2/2)

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Huygens & Complexity

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Complexity science

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Le oscillazioni

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Il circuito di Chua

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•La Sincronizzazione

Sincronizzazione

http://it.youtube.com/watch?v=sROKYelaWbo

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Il Millennium bridge





Il Taoma bridge

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Ott, Grebogi & Yorke

..It is shown that one can convert a chaotic attractor to any one of a large number of possible attracting time-periodic motions by making only small time-dependent perturbations of an available system parameter…

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Le reti complesse

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Kinds of networks

Reti complesse: evoluzione e modelli del world trade web

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Autorganizzazione

QuickTime™ e undecompressore Codec YUV420


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Il caos spazio-temporale

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Il Dictyostelium discoideum è un’ameba che, qualora venga soggetta a inedia (carenza di cibo) non muore; al contrario, questi organismi rispondono al vincolo aggregandosi verso un centro di attrazione. L’iniziale omogeneità viene rotta, lo spazio diventa strutturato. Il risultante corpo pluricellulare è in grado di muoversi, presumibilmente per cercare condizioni più favorevoli. Il processo di aggregazione viene chiamato chemiotassi, movimento concordato di un gran numero di cellule e che dà luogo ad un nuovo livello di organizzazione.

Il Dictyostelium discoideum (1/2)

Il Dictyostelium discoideum (2/2)

http://www.zi.biologie.uni-muenchen.de/zoologie/dicty/dicty.html

L'instabilità di Turing

I pattern di Turing

http://hopf.chem.brandeis.edu/yanglingfa/pattern/oscTu/index.html

I frattali e i sistemi autosimili

Modelli di sistemi ecologici in domini complessi

La turbolenza

Heisenberg, pochi minuti

prima di morire, disse: “…

quando nell'aldilà avrò

l'opportunità di

interrogare il Creatore, gli

voglio chiedere due cose:

perché la relatività e

perché la turbolenza.

Almeno sulla prima spero

di ottenere una

risposta…”.

I sistemi di reazione e diffusione

L’equazione complessa di Ginzburg-Landau: describe la formazione di pattern nelle vicinanze di una biforcazione di Hopf. E’ un modello che viene spesso utilizzato per simulare fenomeni turbolenti.Analisi di sistemi spazialmente distribuiti tramite tecniche di ricorrenza spaziale

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