Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI

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Analisi modale per sistemi dinamici LTI TD

Richiami sull’analisi modaleModi naturali e analisi modale per sistemi LTI TDEsercizio 1Esercizio 2

Analisi modale per sistemi dinamici LTI TD

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Analisi modale: richiami (1/3)

Ricordiamo che: Con l’analisi modale si possono studiare le proprietàdel movimento libero di un sistema dinamico LTITale studio viene condotto sulla base del comportamento dei modi naturali del sistema al tendere del tempo all’infinitoLa forma dei modi naturali dipende dalle caratteristiche degli autovalori della matrice Adel sistema dinamico

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Analisi modale: richiami (2/3)

Per condurre l’analisi modale di sistemi LTI occorre: Determinare l’espressione analitica dei modi naturali corrispondenti a diverse caratteristiche degli autovalori del sistema Valutare il comportamento dei modi naturali al tendere del tempo all’infinito

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Analisi modale: richiami (3/3)

Anche per i modi naturali m(k) di sistemi dinamici LTI TD, definiti per k ≥ 0, valgono le definizioni:

Convergente se:

Limitato se ∃ M ∈ R tale che ∀k ≥ 0 risulti:

Divergente se:

lim ( ) 0k m k→∞ =

lim ( )k m k→∞ = ∞

0 ( )m k M≤ ≤ < ∞

Analisi modale per sistemi dinamici LTI TD

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Movimento libero

( 1) ( )x k A x k+ =

è dato da:

essendo x (0) ∈ Rn uno stato iniziale noto

( ) (0)kx k A x=

Il movimento libero x (k ) di un sistema dinamico LTI TD di ordine n descritto dall’equazione di stato:

con x (k ) ∈ Rn e A ∈ Rn xn

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Forma di Jordan (1/2)

1k kA TA T −=

T è una matrice costanteà è una matrice in forma di Jordan (diagonale oppure diagonale a blocchi)

Per evidenziare i modi naturali associati alle varie tipologie di autovalori occorre calcolare Ak

Il calcolo di Ak è immediato solo se A è diagonaleIn ogni caso, è possibile semplificare la procedura di determinazione dei modi naturali poiché:

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Forma di Jordan (2/2)

La forma di Jordan di una matrice quadrata avente q autovalori distinti λ1, …, λq di molteplicitàμ1, …, μq è una matrice diagonale a blocchi

1

2

0 0

0

0

0 0 q

A

AA

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

I blocchi di Jordan Ãi sono matrici quadrate associate all’i -esimo autovalore λi , aventi dimensione μi x μi

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Potenza di matrice

La potenza di una matrice in forma di Jordan èdata da una forma diagonale a blocchi del tipo:

dove i blocchi Ãik hanno forma diversa a seconda

delle caratteristiche degli autovalori di A

1

2

0 0

00

0 0

k

kk

kq

A

AA

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

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Movimento libero e forma di Jordan

Si ha:

1( ) (0) (0)k kx k A x TA T x−= =

Poiché T e x (0) sono costituite da numeri reali L’espressione analitica di x (k ) è una combinazione lineare degli elementi della matrice à k

La forma semplificata di à (e quindi di à k) permettedi mettere immediamente in evidenza la forma deimodi naturaliSi possono così analizzare in modo più immediato le proprietà qualitative del movimento libero x (k )

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Calcolo dei modi naturali

Studieremo ora, come cambia la forma dei blocchi della matrice à k al variare delle caratteristiche degli autovalori della matrice AQuesto permetterà di:

Definire la forma dei modi naturali in base alle proprietà degli autovaloriEseguire l’analisi modale del sistema

Studieremo i seguenti casi:Autovalori con molteplicità unitaria Autovalori con molteplicità maggiore di uno

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I blocchi di à k corrispondenti ad autovalori reali e distinti hanno forma diagonale:

1

2

0 00

00 0

k

k

kn

λλ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

e danno origine a modi naturali del tipo λik

Autovalori sempliciR

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Il modo naturale λk, associato all’autovalore λ ∈ Rdi molteplicità unitaria, risulta:

Geometricamente convergente se |λ| < 1 (Es. 0.5 k, (-0.5) k )Limitato se |λ| = 1(Es. 1k =1, (-1) k )Geometricamente divergente se |λ| > 1 (Es. 2k, (-2) k )

Si noti che, se Re(λ) < 0 , il modo corrispondente origina una sequenza di campioni (modo alternato) il cui segno cambia ad ogni passo

Autovalori semplici: analisi modaleR

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I blocchi di à k corrispondenti ad una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicitàunitaria del tipo λ = σ ± jω = νe ± jθ hanno la forma:

cos( ) sin( )sin( ) cos( )

k k kk k

θ θυ

θ θ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

e danno origine a modi naturali oscillanti della forma ν kcos(θk), ν ksin(θk)

Autovalori sempliciC

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I modi naturali della forma ν kcos(θk), ν ksin(θk), associati ad una coppia di autovalori complessi coniugati di molteplicità unitaria del tipo λ = σ ± jω = νe ± jθ sono:

Geometricamente convergentise |λ| = ν < 1 (Es. 0.5k sin(k ))Limitati (oscillanti)se |λ| = ν = 1, Arg(λ) = θ ≠ 0 (Es. sin(5k )) Geometricamente divergentise |λ| = ν > 1 (Es. 1.5k sin(k ))

Autovalori semplici: analisi modaleC

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I blocchi di à k corrispondenti ad un autovalore reale λ con molteplicità μ sono matrici diagonali a blocchi contenenti sottomatrici triangolari del tipo:

e danno origine a μ’ ≤ μ modi naturali contenenti termini del tipo k μ’ λk, …, k λk , λk

' 1

' 2

( 1) ( ' 2)( ' 1)!

( 1) ( ' 3)0

( ' 2)!

0 0

k k k

k k

k

k k kk

k k k

μ

μ

μλ λ λμ

μλ λμ

λ

− −

− −

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Autovalori multipliR

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I μ’ modi naturali contenenti termini del tipo k μ’ λk, …, k λk , λk, associati ad un autovalore reale λ con molteplicità μ sono:

Geometricamente convergenti se |λ| < 1 (Es. k ⋅0.5 k, k ⋅(-0.5) k)Polinomialmente divergenti se |λ| = 1 (Es. k 1k = k)Geometricamente divergenti se |λ| > 1 (Es. k ⋅1.5 k, k ⋅(-1.5) k)

Anche in questo caso se Re(λ) < 0 si hanno dei modi alternati

Autovalori multipli: analisi modaleR

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I blocchi di à k corrispondenti ad una coppia di autovalori complessi λ = σ ± jω = νe ± jθ con molteplicità μ hanno una forma analoga al caso reale e danno origine, in generale, a μ’ ≤ μ modi naturali oscillanti contenenti termini del tipo:

k μ’ ν kcos(θk ), …, k ν kcos(θk ) , ν kcos(θk )k μ’ ν ksin(θk ), …, k ν ksin(θk ) , ν ksin(θk )

Autovalori multipliC

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I μ’ modi naturali contenenti termini del tipo k μ’ ν kcos(θk ), …, k ν kcos(θk ) , ν kcos(θk )k μ’ ν ksin(θk ), …, k ν ksin(θk ) , ν ksin(θk )associati ad una coppia di autovalori complessi del tipo λ = σ ± jω = νe ± jθ con molteplicità μ sono:

Geometricamente convergentise |λ| = ν < 1 (Es. k 0.5k sin(k ))Polinomialmente divergentise |λ| = ν = 1, Arg(λ) = θ ≠ 0 (Es. k sin(5k )) Geometricamente divergentise |λ| = ν > 1 (Es. k 1.5k sin(k ))

Autovalori multipli: analisi modaleC

Analisi modale per sistemi dinamici LTI TD

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Formulazione del problema

0.1 0 0 00 2 0 00 0 0.4 00 0 0 0

A

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Si consideri un sistema dinamico LTI TD caratterizzato dalla seguente matrice A:

Determinare le caratteristiche dei modi naturali

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Soluzione: calcolo dei modi naturali

Poiché la matrice A risulta diagonale, gli autovalori si leggono direttamente sulla diagonale e sono: λ1 = 0.1, λ2 = - 2, λ3 = -0.4, λ4 = 0.Gli autovalori sono reali e distinti pertanto i corrispondenti modi naturali sono del tipo λi

k : λ1 0.1k , λ2 (-2)k , λ3 (-0.4)k, λ4 0k=δ(k)

0.1 0 0 00 2 0 00 0 0.4 00 0 0 0

A

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

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Soluzione: analisi modale

0.1k modo geometricamente convergente(-2)k modo geometricamente divergente (alternato)(-0.4)k modo geometricamente convergente(alternato)0k=δ(k) modo geometricamente convergente(impulsivo converge a zero in un passo)

Analisi modale per sistemi dinamici LTI TD

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Formulazione del problema

0.5 0.5 0 00.5 0.5 0 00 0 1 00 0 1 3

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Determinare le caratteristiche dei modi naturali

Si consideri un sistema dinamico LTI TD caratterizzato dalla seguente matrice A:

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Soluzione: calcolo degli autovalori

Poiché la matrice A risulta diagonale a blocchi gli autovalori sono quelli delle sottomatrici A11 e A22

Per la sottomatrice A11 si ha λ1,2 = - 0.5 ±0.5j =

Per la sottomatrice A22 si ha λ3 = -1, λ4 = 3

0.5 0.5 0 00.5 0.5 0 00 0 1 00 0 1 3

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ A22

542

2

je

π±=

A11

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Soluzione: analisi modale

Il sistema presenta quattro autovalori distinti di cui due reali e due complessi coniugatiI modi naturali corrispondenti sono:

λ1,2

|λ1,2| < 1 modi oscillanti geometricamente convergentiλ3 (-1)k |λ3| = 1 modo limitato (alternato)λ4 3k |λ4| > 1 modo geometricamente divergente

2 5 2 5cos , sin

2 4 2 4

k kk kπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠