APPUNTI

DI MATEMATICA:

I limiti e la continuità

Le derivate

Prof.ssa Prenol R.

INTERVALLI e INTORNI Definizione di intervallo: è un sottoinsieme di numeri reali e può essere

- illimitato: graficamente viene rappresentato da una semiretta - limitato: graficamente corrisponde ad un segmento

bxa ba; Intervallo chiuso bxa ba; Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra bxa ba; Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra bxa ba; Intervallo aperto ax ;a Intervallo chiuso illimitato superiormente ax ;a Intervallo aperto illimitato superiormente ax a; Intervallo chiuso illimitato inferiormente ax a; Intervallo aperto illimitato inferiormente

Defininizione di intorno: Intorno completo: dato un numero reale 0x si dice intorno completo di 0x un qualsiasi intervallo aperto

contenente 0x : 0x

Intorno circolare: è l’intervallo aperto avente centro nel punto 0x : 0x

Intorno destro di 0x : 0x

Intorno sinistro di 0x : 0x

Intorno di -: a Intorno di +: a Se A è un sottoinsieme di R e 0x è un punto di A:

- 0x è un punto isolato di A se esiste un intorno di 0x che non contiene elementi di A diversi da 0x ;

- 0x è un punto di accumulazione di A se ogni intorno di 0x contiene infiniti elementi di A.

DEFINIZIONE DI LIMITE

Definizione formale di limite: si dice che la funzione f x ha per limite il numero reale l per x che tende a 0x e si

scrive

0

lim ( )x x

f x l

quando comunque si scelga un intorno di l, I(l), si può determinare un intorno completo di 0x , I( 0x ), tale che per

ogni punto x appartenente a I( 0x ), escluso al più 0x , f x appartiene all’intorno di l, I(l).

Limite Significato geometrico

0

lim ( )x x

f x l

Vedi figura sopra

0

lim ( )x x

f x

0xx è asintoto verticale

0

lim ( )x x

f x

0xx è asintoto verticale

lim ( )x

f x l

ly è asintoto orizzontale

lim ( )x

f x l

ly è asintoto orizzontale

lim ( )x

f x

lim ( )x

f x

lim ( )x

f x

lim ( )x

f x

Limite destro e limite sinistro

01lim ( )

x xf x l

02lim ( )

x xf x l

l1 (l2) è il limite destro (sinistro) per la funzione f (x) quando x si avvicina a x0 in un intorno destro (sinistro) di x0 Esiste

0

lim ( )x x

f x l

se e solo se esistono entrambi 0

lim ( )x x

f x

e 0

lim ( )x x

f x

e sono entrambi uguali a l.

IL CALCOLO DEI LIMITI Per calcolare il limite di una funzione in un punto, bisogna innanzitutto chiedersi se il punto appartiene al dominio della funzione: se la risposta è affermativa, è sufficiente calcolare il valore della funzione nel punto considerato. Esempio:

Calcolare 12lim

3

xx

x.

Poiché il dominio della funzione è dato da ℝ - –1 ed il punto 2 appartiene al dominio, per calcolare tale limite si

può semplicemente sostituire il valore 2 all’incognita: 41

1323

12lim

3

xx

x.

I limiti possono essere calcolati solo nei punti di accumulazione del dominio. I punti di accumulazione sono o i punti che appartengono al dominio, per i quali, come abbiamo visto, non sussiste nessun problema di calcolo, oppure i punti di frontiera del dominio, cioè i punti che non appartengono al dominio ma che sono indefinitamente vicini al dominio, cioè tali che in ogni loro intorno, preso piccolo a piacere, esistono infiniti punti del dominio. In altre parole, non si possono calcolare i limiti in punti isolati del dominio, che tuttavia non incontreremo nel nostro studio. Per le funzioni razionali fratte, che sono invece oggetto del nostro studio, i punti di frontiera sono esattamente i punti che escludiamo dal dominio perché annullano il denominatore ed inoltre i cosiddetti punti all’infinito: + e -. Per le funzioni razionali fratte non esistono punti isolati del dominio. Esempio Determinare i punti di frontiera delle seguenti funzioni:

1. 13)( 23 xxxxf

Poiché la funzione è razionale intera, gli unici punti di frontiera sono + e -. Siamo quindi interessati a calcolare i limiti

3 2lim 3 1x

x x x

e 3 2lim 3 1x

x x x

2. 41)( 2

2

xxxf

Il dominio della funzione è dato da ℝ - –2; 2, quindi i punti di frontiera della funzione sono: -2, 2, + e -. Dovremo quindi capire come calcolare i limiti:

41lim 2

2

2

xx

x,

41lim 2

2

2

xx

x,

41lim 2

2

2

xx

x,

41lim 2

2

2

xx

x,

41lim 2

2

xx

x,

41lim 2

2

xx

x.

Per il calcolo dei limiti bisogna tener presenti i seguenti teoremi: 1. Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti: se lim ( )

xf x l

e lim ( )

xg x m

dove ,l m , allora

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x g x f x g x l m

.

2. Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti: se lim ( )x

f x l

e lim ( )x

g x m

dove ,l m , allora

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x

f x g x f x g x l m

.

3. Il limite della potenza è uguale alla potenza del limite: se lim ( )x

f x l

e 0n , allora lim ( ) n n

xf x l

.

4. Il limite della funzione inversa: se lim ( )x

f x l

, 0l , allora 1 1 1lim( ) lim ( )x

xf x f x l

.

5. Il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti: se lim ( )x

f x l

e lim ( )x

g x m

dove ,l m e 0m

alloralim ( )( )lim

( ) lim ( )x

xx

f xf x lg x g x m

.

I precedenti teoremi valgono per limiti finiti, eventualmente anche per x che tende all’infinito, ma si possono estendere anche al caso di limiti infiniti. Dobbiamo allora introdurre un’”aritmetica” dei limiti nel caso di limiti infiniti. Occorre trovare un simbolismo aritmetico per i due simboli + e -. Se pensiamo ai simboli l, 0, + e - come limiti di funzioni, allora si ha:

1. l + (+) = (+) + l = + per ogni numero reale l 2. l + (-) = (-) + l = - per ogni numero reale l

7. 0l l

8. 0l se l > 0 e

0l se l < 0

9. 0l se l > 0 e

0l se l < 0

10. 0 0

,

0 0

11. 0 0 0

, 0 0 0

3. l ⋅ (+) = (+) ⋅ l =

4. l ⋅ (-) = (-) ⋅ l =

5. (+) ⋅ (+) = (-) ⋅ (-) = + 6. (+) ⋅ (-) = (+) ⋅ (-) = - Non siamo in grado di stabilire un formalismo aritmetico per le seguenti espressioni:

00

0

Tali espressioni, di cui non possiamo stabilire a priori il risultato, prendono il nome di forme di indecisione o forme indeterminate e devono essere studiate caso per caso. Esistono altre tre forme di indecisione, ma non le elenchiamo perché non le incontreremo nel nostro studio.

se l > 0

se l < 0 se l > 0

se l < 0

ALCUNI ESEMPI DI CALCOLO DI LIMITI Esempio 1

3 23 2lim 2 2 2x

x x

3 23 2lim 2 2 ( ) 2 2x

x x

Esempio 2

2 21

1 1 1lim01 1 1x x

Esempio 3

2

6 2 16 1 11lim2 2 2 0x

xx

2

6 2 16 1 11lim2 2 2 0x

xx

Nota: al numeratore sostituiamo 2 senza distinguere se provenendo da destra o da sinistra: è ininfluente nel calcolo, mentre cambia la situazione al denominatore. Se viene richiesto di calcolare il limite senza distinguere se da destra o da sinistra, si procede nel seguente modo:

2

6 2 16 1 11lim2 2 2 0x

xx

cioè non si specifica se tende a + o a -. Esempio 4

2 2

222

1 2 1 5 5lim4 4 4 02 4x

xx

2 2

222

1 2 1 5 5lim4 4 4 02 4x

xx

Esempio 5

22

2 2 5 5lim 04 44x x

22

2 2 5 5lim 04 44x x

COME RISOLVERE LE FORME INDETERMINATE La forma indeterminata + –

Calcoliamo 3 2lim 2 3x

x x

“Sostituendo” – alla x, otterremmo 3 22 3 2 3 e quest’ultima scrittura dà

luogo ad un forma inderminata. Per “risolvere” la forma indeterminata, si “raccoglie a fattor comune” cioè 3x :

33 2 33 3

2 3 2 3lim 2 3 lim 1 1 1 0 0x x

x x xx x

La forma indeterminata

1) 1° caso. Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore:

Calcoliamo

3 23 2

22

3 2 33 2 3lim2 1 2 1x

x xx

: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).

Per risolverla procediamo come per la precedente forma indeterminata, raccogliendo cioè a numerarore e a denominatore x elevato al massimo esponente:

33 2

2

3 2 3lim lim2 1x x

xx x

x

3

2

2 33x x

x

2

33lim1 2 22

x

x

x

2) 2° caso. Il grado del numeratore è minore del grado del denominatore:

Calcoliamo

3 23 2

44

3 2 33 2 3lim2 1 2 1x

x xx

: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).

Per risolverla procediamo come al solito, raccogliendo cioè a numerarore e a denominatore x elevato al massimo esponente:

33 2

4

3 2 3lim lim2 1x x

xx x

x

3

4

2 33x x

x

4

3 3lim 01 2 22

x xx

In questo caso succede che la retta 0y , cioè l’asse delle ascisse, è asintoto orizzontale per la funzione in

questione. 3) 3° caso. Il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore:

Calcoliamo

3 23 2

33

3 2 33 2 3lim2 1 2 1x

x xx

: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).

Per risolverla procediamo come al solito, raccogliendo cioè a numerarore e a denominatore x elevato al massimo esponente:

33 2

3

3 2 3lim lim2 1x x

xx x

x

3

3

2 33x x

x

3

31 22x

In questo caso succede che la retta 23

y , cioè l’asse delle ascisse, è asintoto orizzontale per la funzione in

questione.

La forma indeterminata 00

Quando siamo in presenza di questa forma indeterminata, vuol dire che sia numeratore sia denominatore sono scomponibili ed hanno lo stesso fattore comune: 0xx .

Esempi

Calcoliamo il limite: 00

4444

42lim 2

2

2

xxx

x: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).

Per risolverla osserviamo che sia numeratore sia denominatore sono scomponibili:

Numeratore: 222 xxxx (raccoglimento totale)

Denominatore: 2242 xxx (differenza di due quadrati)

Possiamo quindi riscrivere il limite dato nel seguente modo:

2

22 2

22lim lim4x x

x xx xx

2x 2

2 1lim2 4 22 x

xxx

Calcoliamo il limite: 00

11211

12lim 2

2

1

xxx

x: si tratta di una forma indeterminata (F.I.).

Per risolverla scomponiamo numeratore e denominatore: Numeratore: 1222 xxxx (trinomio particolare)

Denominatore: 1112 xxx (differenza di due quadrati)

2

21 1

2 12lim lim1x x

x xx xx

1x 1

2 3lim1 21 x

xxx

LE FUNZIONI CONTINUE Def. Siano f (x) una funzione definita in un intervallo [a; b] e x0 un punto interno all’intervallo. La funzione f (x) si dice continua nel punto x0 quando esiste il limite di f (x) per x x0 e tale limite è uguale al valore f (x0) della funzione calcolata in x0. Una funzione f x è quindi continua in x0 se sono verificate tre condizioni:

1. f x è definita in x0, cioè esiste 0xf

2. esiste finito 0

lim ( )x x

f x l

(cioè 0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x l

)

3. lxf 0

Def. Una funzione definita in [a; b] si dice continua nell’intervallo [a; b] se è continua in ogni punto dell’intervallo. In maniera intuitiva si può dire che una funzione è continua in un intervallo quando è possibile tracciare il suo grafico senza interruzioni. I punti di discontinuità di una funzione Punti di discontinuità di prima specie: un punto x0 si

dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x) quando, per x x0, il limite destro e il limite sinistro di f (x) sono entrambi finiti ma diversi tra loro. La differenza |l2 – l1| si dice salto della funzione.

Questa funzione ha una discontinuità di prima specie nel punto 0 ed una discontinuità di seconda specie nel punto -1

Punti di discontinuità di seconda specie: un punto x0 si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f (x) quando, per x x0, almeno uno dei limiti, destro o sinistro, di f (x) è infinito oppure non esiste.

Punti di discontinuità di terza specie (o eliminabile): un punto x0 si dice punto di discontinuità di terza specie per la funzione f (x) quando: - esiste ed è finito il limite l di f (x) per x x0 - f (x) non è definita in oppure, se lo è, risulta

0f x l .

GLI ASINTOTI DI UNA FUNZIONE Def. Una retta è detta asintoto di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a 0 quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono a . Abbiamo già incontrato gli asintoti verticali e orizzontali. Esistono tuttavia anche gli asintoti obliqui:

Se il grafico della funzione y = f (x) ha un asintoto obliquo di equazione y = mx + q con m 0 allora m e q sono dati dai seguenti limiti:

( )limx

f xmx

lim ( )x

q f x mx

Esempio

Data la funzione 22 1

1xyx

determinare le equazioni degli eventuali asintoti obliqui.

Perché la funzione abbia un asintoto obliquo è necessario innanzitutto che il limite della funzione per x sia infinito. Infatti:

222 1lim lim

1x x

xxx

212x

x

lim 2

11x

x

x

Calcoliamo allora

22 2

2

( ) 2 1 1 2 1lim lim lim lim1x x x x

xf x x xm

x x x x x

2

2

12x

x

2

11x

Poiché m risulta finito possiamo calcolare anche

22

2

2 1 2 12 1lim ( ) lim 2 lim1 1

2lim

x x x

x

x x xxq f x mx xx x

x

21 2x 2 1 2lim lim

1 1x x

xx x

x x

12x

x

2

11x

Quindi la funzione data ha come asintoto la retta di equazione 2 2y x .

DERIVATA DI UNA FUNZIONE Sia y = f (x) una funzione definita nell’intervallo [a; b] e siano 0x e 0x h due numeri reali interni all’intervallo. DEFINIZIONE: Il rapporto incrementale relativo a 0x è il numero

0 0( ) ( )f x h f xyx h

SIGNIFICATO GEOMETRICO: considerati nel piano cartesiano i punti P( 0x ; 0( )f x ) e Q( 0x h ; 0f x h )

il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per P e per Q.

DEFINIZIONE: La derivata del funzione f nel punto 0x interno all’intervallo è il limite, se esiste ed è finito, per

h che tende a 0, del rapporto incrementale relativo a 0x e si indica 0'f x :

0 00 0

( ) ( )'( ) limh

f x h f xf xh

SIGNIFICATO GEOMETRICO: La derivata di una funzione in un punto 0x rappresenta il coefficiente

angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa 0x .

RETTA TANGENTE AL GRAFICO IN UN PUNTO DI UNA FUNZIONE Data la funzione ( )y f x , l’equazione della tangente al grafico di f nel punto (x0; y0), quando esiste e non è parallela all’asse y, è

0 0 0'( )( )y y f x x x . TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE

1) Derivata della somma/differenza: '( ) ( ) '( ) '( )f x g x f x g x

2) Derivata del prodotto: '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )f x g x f x g x f x g x

3) Derivata del quoziente:

'

2( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) ( )

f x f x g x f x g xg x g x

CRESCENZA/DECRESCENZA DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE:

- Una funzione ( )y f x in un intervallo I si dice crescente se, comunque si scelgano x1 e x2 appartenenti ad I,

con x1 < x2, si ha che 1 2f x f x .

- Una funzione ( )y f x in un intervallo I si dice decrescente se, comunque si scelgano x1 e x2 appartenenti ad

I, con x1 < x2, si ha che 1 2f x f x .

TEOREMA (per determinare crescenza/decrescenza di una funzione):

Data una funzione ( )y f x , continua in un intervallo I e derivabile nei suoi punti interni, si ha che

- Se '( ) 0f x x I allora la funzione è crescente in I - Se '( ) 0f x x I allora la funzione è decrescente in I

DEFINIZIONE: Un punto 0x si dice stazionario per ( )y f x se 0' 0f x

Nei punti stazionari il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione è nullo, cioè la retta tangente è parallela all’asse x.

MASSIMI/MINIMI DI UNA FUNZIONE DEFINIZIONE: Data la funzione ( )y f x definita nell’intervallo I:

- M è un massimo assoluto di f (x) se ( )M f x x I ; - m è minimo assoluto di f (x) se ( )m f x x I ;

- x0 I con 0f x M si dice punto di massimo assoluto;

- x0 I con 0f x m si dice punto di minimo assoluto.

DEFINIZIONE: Data la funzione ( )y f x definita nell’intervallo I, il punto x0 I si dice di:

- massimo relativo di f (x) se esiste un intorno 0I x di punto x0 tale che 0f x f x 0x I x ;

- minimo relativo di f (x) se esiste un intorno 0I x di punto x0 tale che 0f x f x 0x I x .

1M , 2M , 3M sono massimi nell’intervallo ;a b , di

cui 1M è assoluto mentre 2M 3M sono relativi. Quindi a è punto di massimo assoluto e O e b sono punti di massimo relativo nell’intervallo ;a b .

1m e 2m sono i minimi nell’intervallo ;a b , di cui 2m

è assoluto e 1m relativo. Quindi 1x è punto di minimo relativo e 2x è punto di

minimo assoluto nell’intervallo ;a b .

TEOREMA (per determinare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione):

Data la funzione ( )y f x , definita e continua in un intorno completo 0I x del punto x0 e derivabile nello

stesso intorno per ogni x ≠ x0, se per ogni x ≠ x0 dell’intorno - si ha 0' 0f x per 0x x e 0' 0f x per 0x x , allora x0 è un punto di massimo relativo:

x0

segno di '( )f x + andamento della funzione

cresce decresce

- si ha 0' 0f x per 0x x e 0' 0f x per 0x x , allora x0 è un punto di minimo relativo:

x0 segno di '( )f x + andamento della funzione decresce cresce