Corso di Analisi Matematica - univpm.it · Analisi Matematica Lucio Demeio - DIISM Outline...
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Analisi Matematica Lucio Demeio - DIISM Outline Ulteriori limiti notevoli Ordinamenti asintotici Il teorema ponte Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di Analisi Matematica LIMITI NOTEVOLI Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Corso di Laurea in Ingegneria Edile
Corso di Analisi MatematicaLIMITI NOTEVOLI
Lucio DemeioDipartimento di Ingegneria Industriale
e delle Scienze Matematiche
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Ordinamenti
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Ulteriori limiti notevoli
Ordinamenti asintotici
Il teorema ponte
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Ulteriori limiti
notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Numero e
limn→+∞
(
1 +1
n
)n
= e ⇒ limx→+∞
(
1 +1
x
)x
= e
Dimostrazione
„
1 +1
[x] + 1
«[x]
≤
„
1 +1
x
«x
≤
„
1 +1
[x]
«[x]+1
„
1 +1
[x] + 1
«[x]
=
„
1 +1
[x] + 1
«[x]+1 „
1 +1
[x] + 1
«−1
→ e
„
1 +1
[x]
«[x]+1
=
„
1 +1
[x]
«[x] „
1 +1
[x]
«
→ e
Per il Teorema del Confronto„
1 +1
x
«x
→ e
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Numero e
f(x) = (1 + 1/x)x (linea continua), an = (1 + 1/n)n
(pallini rossi), numero e (linea blu).
0 10 20 30 400
1
2
3
x
fHxL
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Ordinamenti
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Il teorema ponte
Numero e
limx→+∞
(
1 +1
x
)x
= e ⇒ limx→−∞
(
1 +1
x
)x
= e
Dimostrazione
Poniamo: y = −x. Allora:
„
1 +1
x
«x
=
„
1 −1
y
«−y
=
„
y − 1
y
«−y
=
=
„
y
y − 1
«y
=
„
1 +1
y − 1
«y
→ e
E pertanto
limx→−∞
„
1 +1
x
«x
= limy→+∞
„
1 +1
y − 1
«y
= e
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notevoli
Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
Numero e
limx→±∞
(
1 +1
x
)x
= e ⇒ limx→0
(1 + x)1/x
= e
Dimostrazione
Basta porre: y = 1/x. Allora:
„
1 +1
x
«x
= (1 + y)1/y
E pertanto
limy→0±
(1 + y)1/y = limx→±∞
„
1 +1
x
«x
= e
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Logaritmo naturale
limx→0
(1 + x)1/x
= e ⇒ limx→0
ln(1 + x)
x= 1
Dimostrazione
Basta osservare che
lnh
(1 + x)1/xi
=ln(1 + x)
x
limx→0
ln(1 + x)
x= 1 ⇒ lim
x→0
ex − 1
x= 1
Dimostrazione
Basta porre y = ex − 1 ed usare il limite precedente
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Ordinamenti
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Esponenziali
limx→0
ex − 1
x= 1 ⇒ lim
x→0
ax − 1
x= ln a, a > 0
Dimostrazione
Scriviamo: ax = eln ax
= ex ln a e poniamo: y = x ln a.
Allora
limx→0
ax − 1
x= lim
x→0
ex ln a − 1
x ln aln a = lim
y→0
ey − 1
yln a = ln a
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Potenze
limx→0
ex − 1
x= 1 ⇒ lim
x→0
(1 + x)α − 1
x= α, α > 0
Dimostrazione
Scriviamo (1 + x)α = eln(1+x)α
= eα ln(1+x) e poniamoy = ln(1 + x), e quindi x = ey − 1, z = αy.
Allora:
limx→0
(1 + x)α − 1
x= lim
x→0
eα ln(1+x) − 1
x= lim
y→0
eαy − 1
ey − 1=
limy→0
eαy − 1
y
y
ey − 1= lim
y→0
eαy − 1
y1 = lim
z→0
ez − 1
zα
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In termini di o(1) ...
limx→0ex
−1x = 1 ⇒ ex = 1 + x (1 + o(1)), x → 0
limx→0 (1 + x)1/x
= e ⇒ ln(1 + x) = x (1 + o(1))
limx→0ax
−1x = ln a ⇒ ax = 1 + x ln a (1 + o(1))
limx→0(1+x)α
−1x = α ⇒ (1 + x)α = 1 + αx (1 + o(1))
Avevamo gia visto che
sin x = x (1 + o(1)), x → 0
cosx = 1 − 1
2x2(1 + o(1)), x → 0
tan x = x (1 + o(1)), x → 0
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Esempi - I
limx→0+
e2x sin 3x − 1
1 − cosx= 12
Svolgimento
2x sin 3x = 6x2 (1 + o(1)); 1 − cosx = 12 x2(1 + o(1))
e2x sin 3x = e6x2 (1+o(1)); e6x2 (1+o(1)) = 1 + 6x2 (1 + o(1))
e2x sin 3x
−11−cos x = 6x2 (1+o(1))
12
x2(1+o(1))→ 12
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Esempi - II
limx→+∞
xα + x−2
ln(1 + eαx)= +∞, α > 1
(Provare per esercizio gli altri casi)
Svolgimento
xα + x−2
ln (1 + eαx)=
xα (1 + x−α−2)
ln [eαx(1 + e−αx)]=
xα (1 + x−α−2)
ln (eαx) + ln (1 + e−αx)=
=xα (1 + x−α−2)
αx + ln (1 + e−αx)=
xα(1 + o(1))
αx + x (1 + o(1))=
xα(1 + o(1))
(α + 1)x + xo(1)
E quindi
limx→+∞
xα + x−2
ln(1 + eαx)= lim
x→+∞
xα−1
α + 1= +∞
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Ordinamenti
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I simboli di Landau
Abbiamo gia visto il simbolo o(1), il cui significato e diindicare che una funzione e infinitesima per x → x0:
f(x) = o(1) se e solo se limx→x0
f(x) = 0
Ci sono complessivamente tre simboli per caratterizzare gliordinamenti asintotici:
Il simbolo di o (“o piccolo”, di cui O(1) e un casoparticolare);il simbolo di O (“o grande”);il simbolo di ∼ (equivalenza asintotica);
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Ordinamenti
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Il teorema ponte
I simboli di Landau: “o piccolo”, o
Siano f e g due funzioni, e sia x0 punto di accumulazioneper entrambi i dominii. Inoltre, g(x) 6= 0 definitivamenteper x → x0.
Diremo che f(x) = o(g(x)), x → x0, se e solo se
limx→x0
f(x)
g(x)= 0
Esempi:
x2 = o(1), x → 0
x3 = o(x2), x → 0
x3 = o(x), x → 0
x2 = o(x3), x → +∞
loga x = o(x), a > 0, a 6= 1, x → +∞
x = o(ax), a > 1, x → +∞
Significato: x3 → 0 piu rapidamente di x2 per x → 0,x → +∞ piu lentamente di ax, x → +∞, etc.
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I simboli di Landau: “o piccolo”, o
x3 = o(x2), x → 0
0 0.05 0.10
0.005
0.01
x
x3 (linea blu) x2 (linea
rossa)
x = o(2x), x → +∞
1 2 3 4 50
20
40
x
x (linea blu) 2x (linea rossa)
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Algebra di o
Per x → 0+ e x → +∞ abbiamo:
C o(xα) = o(xα), C 6= 0
xβ o(xα) = o(xα+β)
o(xβ) o(xα) = o(xα+β)
o(xα) + o(xβ) = o(xγ), γ = min(α, β), x → 0+
o(xα) + o(xβ) = o(xγ), γ = max(α, β), x → +∞
Cioe, ad esempio:
3 o(x2) = o(x2), x → 0
x2 o(x3) = o(x5), x → 0
o(x2) o(x3) = o(x5), x → 0
o(x2) ± o(x3) = o(x2), x → 0
o(x2) ± o(x3) = o(x3), x → +∞
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Ordinamenti
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Il teorema ponte
I simboli di Landau: “o grande”, O
Siano f e g due funzioni, e sia x0 punto di accumulazioneper entrambi i dominii. Inoltre, g(x) 6= 0 definitivamenteper x → x0.Diremo che f(x) = O(g(x)), x → x0, se e solo se f(x)/g(x)e definitivamente limitata per x → x0, o anche se e solo se
limx→x0
f(x)
g(x)= A con A 6= 0 costante reale
Esempi:
sin(2x) = O(x), x → 0
1 − cos x = O(x2), x → 0
e2x− 1 = O(x), x → 0
3x2 + x − 1 = O(x2), x → +∞
sin x/(2x) = O(1), x → 0
Significato: sin(2x) → 0 con la stessa rapidita di x per x → 0,
3x2 + x − 1 → +∞ con la stessa rapidita di x2 per x → +∞,
sin x/(2x) definitivamente limitata per x → 0.
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Ordinamenti
asintotici
Il teorema ponte
I simboli di Landau: equivalenza
asintotica, ∼Siano f e g due funzioni, e sia x0 punto di accumulazioneper entrambi i dominii. Inoltre, g(x) 6= 0 definitivamenteper x → x0.Diremo che f(x) ∼ g(x), x → x0, se e solo se
limx→x0
f(x)
g(x)= 1
Esempi:
sin x ∼ x, x → 0
1 − cos x ∼ x2/2, x → 0
ex− 1 ∼ x, x → 0
3x2 + x − 1 ∼ 3x2, x → +∞
sin x/x ∼ 1, x → 0
Significato: sin x si comporta come x per x → 0, 3x2 + x − 1 si
comporta come 3x2 per x → +∞, sin x/x si comporta come 1
per x → 0.
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Il teorema ponte
I simboli di Landau: “o piccolo”, o
sin x ∼ x, x → 0
-Π
40 Π
4
-1
0
1
x
Sin x
x (linea blu) sin x (linea
rossa)
ex ∼ 1 + x, x → 0
-1 0 10
1
2
3
x
1+e^x
1 + x (linea blu) ex (linea
rossa)
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Alcuni usi dei simboli di Landau
Comportamenti asintotici
sin x = x + o(x), x → 0sin x ∼ x, x → 0 (perche limx→0(sin x)/x = 1)
Infatti: sin x − x = x(1 + o(1)) − x = x o(1) = o(x)
cosx = 1 − 12x2 + o(x2), x → 0
cosx ∼ 1 − 12x2, x → 0
Infatti: (1 − cos x) − 12x2 = 1
2x2 (1 + o(1)) − 1
2x2 =
= 12x2 o(1) = o(x2)
ex = 1 + x + o(x), x → 0ex ∼ 1 + x, x → 0
Infatti: ex − 1 − x = x (1 + o(1)) − x = x o(1) = o(x)
ln(1 + x) = x + o(x), x → 0ln(1 + x) ∼ x, x → 0
Infatti: ln(1 + x) − x = x (1 + o(1)) − x = x o(1) = o(x)
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Ordini di infinitesimo ed infinito
Definizioni generali
Se f(x) e g(x) sono infinitesime per x → x0
(cioe f(x) = o(1) e g(x) = o(1) per x → x0),e f(x) = o(g(x)), x → x0, diremo che
f(x) e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a
g(x) per x → x0 (va a zero piu rapidamente di g(x));
se f(x) e g(x) sono infinite per x → x0
(cioe limx→x0f(x) = limx→x0
g(x) = ±∞),e f(x) = o(g(x)), x → x0, diremo che
f(x) e un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x)per x → x0 (va all’infinito piu lentamente di g(x)).
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Ordini di infinitesimo ed infinito
Funzioni campione
Si possono “misurare” gli ordini di infinitesimo ed infinito? Perfarlo, si introduce una famiglia di funzioni campione, scelte aseconda della particolare applicazione che si ha in mente.
Infinitesimi
Se f(x) e g(x) sono infinitesime per x → x0
(cioe f(x) = o(1) e g(x) = o(1) per x → x0),e se esistono α > 0 ed L 6= 0 t.c.
limx→x0
f(x)
g(x)α= L
diremo che f(x) e un infinitesimo di ordine α rispetto ag(x) per x → x0.
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Ordini di infinitesimo ed infinito
Infiniti
Se f(x) e g(x) sono infinite per x → x0
(cioe f(x) → ±∞ e g(x) → ±∞ per x → x0),e se esistono α > 0 ed L 6= 0 t.c.
limx→x0
f(x)
g(x)α= L
diremo che f(x) e un infinito di ordine α rispetto a g(x)per x → x0.
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Ordini di infinitesimo ed infinito
Esempi
Scelta usuale: la famiglia delle potenze di x, {xn}∞n=−∞. In talcaso, spesso si dice direttamente “infinitesimo di ordine α” o“infinito di ordine α”, senza specificare la famiglia.
sin x e infinitesimo di ordine 1 rispetto ad x per x → 0;
1 − cosx e infinitesimo di ordine 2 per x → 0;
1/x e infinitesimo di ordine 1 per x → ±∞;
1/x e infinito di ordine 1 per x → 0;
x2 e infinito di ordine 2 per x → ±∞;
x2 e infinitesimo di ordine 2 per x → 0;√
x e infinitesimo di ordine 1/2 per x → 0;√
x e infinito di ordine 1/2 per x → +∞.
ex e infinito di ordine superiore a qualunque potenza di xper x → +∞, quindi non e confrontabile in quella famiglia.
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Ulteriori esempi - I
ln(1 + 2x2) e infinitesimo di ordine 2 per x → 0. Infatti:
limx→0
ln(1 + 2x2)
x2= lim
x→0
2x2 + o(x2)
x2= 2
-14
0 14
0
12
x
fHxL
x2 (linea blu) ln(1 + 2x2) (linea rossa)
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Ulteriori esempi - IIe1/x − 1 e infinitesimo di ordine 1 per x → ±∞. Infatti:
limx→+∞
e1/x − 1
1/x= lim
y→0
ey − 1
y= 1, con y =
1
x
10 200
0.5
1
x
fHxL
1/x (linea blu) e1/x − 1 (linea rossa)
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Ordini di infinitesimo ed infinito
Ulteriori esempi - IIIe2/x − 1 e infinitesimo di ordine 1 per x → ±∞. Infatti:
limx→+∞
e2/x − 1
1/x= lim
y→0
ey − 1
y2 = 2, con y =
2
x
10 200
0.5
1
x
fHxL
1/x (linea blu) e2/x − 1 (linea rossa)
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Composizione di funzione e successione
Abbiamo gia visto che: Sia {an}∞n=0 una successione tale chean → x0 e sia f : D → R una funzione tale chelimx→x0
f(x) = L, con x0 punto di accumulazione per D edL ∈ R
∗. Allora limn→+∞ f(an) = L.
Teorema ponte
Sia {an}∞n=0 una qualunque successione tale che an → x0 esia f : D → R una funzione tale che limx→x0
f(x) = L, con x0
punto di accumulazione per D ed L ∈ R∗. Allora
limn→+∞ f(an) = L.
O anchelimx→x0
f(x) = L, con x0 punto di accumulazione per D edL ∈ R
∗, ⇐⇒ limn→+∞ f(an) = L ∀ {an}∞n=0 tale chelimx→x0
an = x0.
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Esempi di non esistenza del limite
Non esiste il limitelim
x→+∞sin x
Infatti, per la successione an = nπ si ha: an → +∞ e
limn→+∞ f(an) = 0; per la successione bn = (4n + 1)π/2 invece
si ha: bn → +∞ e limn→+∞ f(an) = 1.
Non esiste il limite
limx→0
sin1
x
Infatti, per la successione an = 1/(nπ) si ha: an → 0 e
limn→+∞ f(an) = 0; per la successione bn = 2/(4n + 1)π) invece
si ha: bn → 0 e limn→+∞ f(an) = 1.
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Esempi di non esistenza del limite
f(x) = sin x
x
Sin x
f(x) = sin 1/x
x
Sin 1�x
