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Appunti di Calcolo Tensoriale(Con esercizi svolti a cura dell’ing. Giorgio Bertucelli)

Marcello Colozzo

Indice

I Geometria differenziale 2

1 Superficie regolare e sua rappresentazione parametrica 3

1.1 Coordinate curvilinee. Linee coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Rappresentazione parametrica del cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Funzioni vettoriali di una variabile vettoriale 12

2.1 Immagine di un’applicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Limite di una funzione vettoriale di una variabile vettoriale. Continuita . . . 182.4 Derivata secondo una direzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Derivata parziale di una funzione vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Differenziale di una funzione vettoriale. Matrice jacobiana . . . . . . . . . . 262.7 Differenziabilita di una funzione vettoriale di variabile vettoriale . . . . . . . 30

A Esercizi svolti a cura dell’ing. G. Bertucelli 35

Parte I

Geometria differenziale

Capitolo 1

Superficie regolare e sua

rappresentazione parametrica

Ricordiamo rapidamente dal corso di Analisi Matematia 2 la definizione di superficie rego-lare, dando per scontata la nozione di rappresentazione parametrica di un assegnato luogogeometrico. Nel caso specifico di una superficie scriviamo:

x = x (u, v) , y = y (u, v) , z = z (u, v) (1.1)

essendo

Definizione 1 1. x (u, v), y (u, v), z (u, v) ∈ C1 (D)

2. ρ (J) = 2, dove J e la matrice jacobiana delle funzioni x (u, v) , y (u, v) , z (u, v), mentreρ indica il rango:

(xu yu zuxv yv zv

, (1.2)

essendo xu = ∂x∂u, etc.

3. ∀ (u, v) , (u′, v′) ∈ D, con (u, v) 6= (u′, v′), si ha:

(x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) 6= (x (u′, v′) , y (u′, v′) , z (u′, v′))

Si noti che le (1.1) possono essere scritte in forma vettoriale

r = r (u, v) , ∀ (u, v) ∈ D (1.3)

essendo r (u, v) una funzione vettoriale delle variabili scalari u, v . Precisamente e con ovviosignificato dei simboli:

r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (1.4)

Specifichiamo il punto 2 della definizione di rappresentazione regolare. A tale scopodenotiamo con L,M,N i minori estratti dalla matrice jacobiana presi con segni alterni:

∣∣∣∣

yu zuyv zv

∣∣∣∣, M =

∣∣∣∣

∣∣∣∣, N =

∣∣∣∣

xu yuxv yv

∣∣∣∣,

ondeρ (J) = 2 ⇐⇒ L2 +M2 +N2 > 0

Seguono le definizioni:

CAPITOLO 1. SUPERFICIE REGOLARE E SUA RAPPRESENTAZIONE

PARAMETRICA

Definizione 2 Dicesi interno di S, l’insieme

int (S) ={

(x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ∈ S | (u, v) ∈ D}

Si noti che l’interno di S non e inteso nel topologico del termine.

Definizione 3 Dicesi interno di S, l’insieme

B (S) = {(x (u, v) , y (u, v) , z (u, v)) ∈ S | (u, v) ∈ ∂D}

Anche qui il bordo di S non e inteso nel topologico del termine.

E facile convincersi che a una qualunque curva C tracciata in D, corrisponde univoca-mente una curva Γ tracciata su S. Un caso speciale e quello in cui C e una curva regolare.Sussiste la proposizione:

Proposizione 4 A ogni curva regolare tracciata in D, corrisponde una curva regolare trac-ciata su S.

Dimostrazione. Sia C una curva regolare contenuta nell’interno di D, di rappresentazioneparametrica:

x = x (t) , y = y (t) , t ∈ [a, b] (1.6)

A tale curva corrisponde univocamente la seguente curva tracciata su S, quale luogo deipunti:

Γ = {(x, y, z) ∈ S | x = x (u, v) , y = y (u, v) , z = z (u, v) , (u, v) ∈ C}

Una rappresentazione parametrica di Γ e

x = α (t) , y = β (t) , z = γ (t) , t ∈ [a, b] ,

avendo definito le funzioni composte:

α (t) = x [u (t) , v (t)] , etc.

Cio premesso, dalla

(u (t′) , v (t′)) 6= (u (t′′) , v (t′′)) , ∀t′, t′′ ∈ [a, b] , t′ 6= t′′

segue(α (t′) , β (t′) , γ (t′)) 6= (α (t′′) , β (t′′) , γ (t′′)) , ∀t′, t′′ ∈ [a, b] , t′ 6= t′′

In altri termini, esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di Γ e i punti dell’intervallobase [a, b]. Abbiamo quindi dimostrato una delle condizioni per la regolarita di Γ. Inoltre,per una nota proprieta delle funzioni composte, segue

u (t) , v (t) ∈ C1 ([a, b]) =⇒ α (t) , β (t) , γ (t) ∈ C1 ([a, b])

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PARAMETRICA

Resta da dimosrare che le derivate α′ (t) , β′ (t) , γ′ (t) non si annullano mai simultaneamente.Abbiamo per un noto teorema di derivazione delle funzioni composte:

α′ (t) = xuu′ (t) + xvv

′ (t)

β′ (t) = yuu′ (t) + yvv

′ (t)

γ′ (t) = zuu′ (t) + zvv

′ (t)

Procedendo per assurdo:

xuu′ (t) + xvv

′ (t) = 0yuu

′ (t) + yvv′ (t) = 0

zuu′ (t) + zvv

′ (t) = 0,

che e un sistema lineare omogeneo nelle incognite (u′ (t) , v′ (t)), la cui matrice dei coefficientie

M = JT

Dal momento che il rango di J e 2:

ρ (M) = 2 =⇒ ∃!soluzione banale

Cioe u′ (t) = v′ (t) = 0 che e manifestamente la negazione dell’ipotesi di regolarita di C, dacui l’asserto.

1.1 Coordinate curvilinee. Linee coordinate

Consideriamo la superficie regolare:

S : x = x (u, v) , y = y (u, v) , z = z (u, v) , (u, v) ∈ D (1.7)

i.e. la funzione vettorialer = r (u, v) (1.8)

di classe C1 su D. I parametri u, v istituiscono un sistema di coordinate curvilinee su S. Permostrare cio, fissiamo la nostra attenzione sul piano coordinato (u, v) ove possiamo definirele linee coordinate:

Cu0= {(u, v) ∈ D | u = u0} (1.9)

Cv0 = {(u, v) ∈ D | v = v0} ,

per un’assegnata coppia di parametri (u0, v0) ∈ D, come illustrato in fig. 1.1.I luoghi (1.9) sono segmenti di retta e sono banalmente regolari. Per la proposizione

dimostrata nel numero precedente, la regolarita si conserva nel processo di immagine attra-verso l’applicazione r (u, v). In altri termini, le immagini Γu0

,Γv0 di Cu0, Cv0 sono archi di

curva regolari. Abbiamo

Cu0−→r(u,v)

Γu0= {(x, y, z) ∈ S | r = r (u0, v) , (u0, v) ∈ D} (1.10)

cioeΓu0

: x = x (u0, v) , y = y (u0, v) , z = z (u0, v) (1.11)

PARAMETRICA

Figura 1.1: Linee coordinate nel piano (u, v).

Allo stesso modo:

Cv0 −→r(u,v)

Γv0 = {(x, y, z) ∈ S | r = r (u, v0) , (u, v0) ∈ D} (1.12)

cioeΓv0 : x = x (u, v0) , y = y (u0, v) , z = z (u0, v) (1.13)

Definizione 5 (u0, v0) diconsi coordinate curvilinee del punto P0 di S.

Ne consegue che parametrizzare una superficie S equivale a ricoprire S con due famigliedi curve regolari, che si dicono linee coordinate su S.

Scriviamo la rappresentazione parametrica di S nella forma vettoriale:

r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k (1.14)

Esprimiamo le derivate parziali della funzione vettoriale r (u, v) nel punto (u0, v0):

∣∣∣∣(u0,v0)

≡ ru (u0, v0) = xu (u0, v0) i+ yu (u0, v0) j+ zu (u0, v0)k (1.15)

∣∣∣∣(u0,v0)

≡ rv (u0, v0) = xv (u0, v0) i+ yv (u0, v0) j+ zv (u0, v0)k

La rappresentazione parametrica della linea coordinata Γu0e:

Γu0: x = x (u0, v) , y = y (u0, v) , z = z (u0, v) (1.16)

Come e noto, l’equazione della retta tangente a una curva in rappresentazione parametricaassume la forma (nel nostro caso specifico):

x− x (u0, v0)

xv (u0, v0)=

y − y (u0, v0)

yv (u0, v0)=

z − z (u0, v0)

zv (u0, v0)(1.17)

Equivalentemente, una terna di numeri direttori della predetta tangente e:

ν (u0, v0) = xv (u0, v0) , µ (u0, v0) = yv (u0, v0) , ν (u0, v0) = zv (u0, v0) (1.18)

PARAMETRICA

Dalla geometria analitica sappiamo che i numeri direttori sono le componenti cartesiane diun vettore parallelo alla retta data. Nel caso in esame, le (1.18) sono le componenti di unvettore tangente a Γu0

in P0. Percio:

∣∣∣∣(u0,v0)

≡ rv (u0, v0) vettore tangente a Γu0in P0

Allo stesso modo:

∣∣∣∣(u0,v0)

≡ ru (u0, v0) vettore tangente a Γv0 in P0,

come illustrato in fig. 1.2.

Figura 1.2: Vettori tangenti alle linee coordinate sulla superficie S.

Inoltre

ru ∧ rv =

∣∣∣∣∣∣

xu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣

= Li+M j+Nk

Ricordiamo che L,M,N sono i minori del secondo ordine della matrice jacobiana relativa allarappresentazione parametrica di S, presi con segno alterno cancellando la prima, seconda eterza colonna. Dal momento che la predetta rappresentazione e regolare, si ha (L.M,N) 6=(0, 0, 0), onde

ru ∧ rv 6= 0, ∀ (u, v) ∈ D

Geometricamente si ha che i vettori tangenti ru e rv non sono mai paralleli (in ogni puntodi S).Tale condizione e vitale affinche sia possibile determinare la posizione dei punti di Snelle coordinate curvilinee (u, v). Nel caso contrario, cioe se esistono punti di S tali cheru ∧ rv = 0, significa che la rappresentazione parametrica adottata non e regolare (giaccheil rango della matrice jacobiana e 2 in un sottoinsieme non vuoto del dominio base D). Intale circostanza, il sistema di coordinate curvilinee (u, v) si dice degenere.

Ricapitolando, assegnata una superficie regolare S e una sua rappresentazione parame-trica regolare (rammentiamoc he una superficie regolare puo avere una rappresentazione

PARAMETRICA

parametrica non regolare):

r (u, v) = x (u, v) i+ y (u, v) j+ z (u, v)k

Segueru (u, v) ∧ rv (u, v) 6= 0, ∀ (u, v) ∈ D

In particolare, seru (u, v) · rv (u, v) = 0, ∀ (u, v) ∈ D

il sistema di coordinate curvilinee si dice ortogonale.Le considerazioni precedenti suggeriscono di riformulare in maniera piu compatta la de-

finizione di rappresentazione parametrica di una superficie, sostituendo il dominio base D

con un qualunque aperto U .

Definizione 6 Un’applicazione r (u, v) di un aperto U a S (superficie) e una rappresen-

tazione parametrica di classe Cp≥1 di S, se

1. r (u, v) ∈ Cp≥1 (U)

2. ru (u, v) ∧ rv (u, v) 6= 0, ∀ (u, v) ∈ U

Esercizio 7 Studiare la rappresentazione parametrica:

r (u, v) = (u+ v) i+ (u− v) j+(u2 + v2

)k, (u, v) ∈ R

2 (1.19)

Soluzione

Si tratta di una funzione di classe C∞ su R2. Inoltre:

ru = i+ j+ 2uk, rv = i− j+ 2vk ,

ru ∧ rv =

∣∣∣∣∣∣

1 1 2u1 −1 2v

∣∣∣∣∣∣

= 2 (u+ v) i+ 2 (u− v) j− 2k

=⇒ |ru ∧ rv| = 2√

2 (u2 + v2) + 1 6= 0, ∀ (u, v) ∈ R2

Ne consegue che l’applicazione assegnata e una rappresentazione parametrica regolare di clas-se C∞. Per esplicitare il tipo di superficie proviamo a ricavare la rappresentazione cartesiana.Eliminando i parametri, otteniamo

(x2 + y2

)(1.20)

Cioe S e un paraboloide ellittico (fig. 1.3). Quindi l’applicazione assegnata e un’applicazionesuriettiva da R

2 al paraboloide ellittico (1.20).

Esercizio 8 Studiare la rappresentazione parametrica:

r (ϕ, θ) = (cosϕ sin θ) i+ (sinϕ sin θ) j+ (cos θ)k (1.21)

PARAMETRICA

Figura 1.3: Esercizio 7.

Soluzione

Il campo di esistenza e tutto R2:

{(ϕ, θ) | −∞ < ϕ < +∞, −∞ < θ < +∞}

Eliminando nella (1.21) i parametri ϕ, θ, si giunge alla rappresentazione cartesiana:

x2 + y2 + z2 = 1,

cioe la sfera di centro l’origine e raggio unitario. Ricordiamo che convenzionalmente:

0 ≤ ϕ ≤ 2π (longitudine)

0 ≤ θ ≤ π (colatitudine)

Cioe, (ϕ, θ) sono le usuali coordinate angolari di un sistema di coordinate sferiche valu-tate sulla predetta sfera unitaria. Diversamente, noi consideriamo (ϕ, θ) variabili in tut-to R

2. La funzione vettoriale e di classe C∞ (R2), quindi per stabilire la regolarita dellarappresentazione parametrica, valutiamo:

rϕ (ϕ, θ) =∂r

∂ϕ= (− sinϕ sin θ) i+ (cosϕ sin θ) j

rθ (ϕ, θ) =∂r

∂ϕ= (cosϕ cos θ) i+ (sinϕ sin θ) j− (sin θ)k

rϕ (ϕ, θ) ∧ rθ (ϕ, θ) =

∣∣∣∣∣∣

− sinϕ sin θ cosϕ sin θ 0cosϕ cos θ sinϕ sin θ − sin θ

∣∣∣∣∣∣

=(− sin2 θ cosϕ

)i−(sinϕ sin2 θ

)j− (sin θ cos θ)k

PARAMETRICA

Dobbiamo ricercare gli eventuali zeri di tale funzione vettoriale. Se

θ = ±nπ, ∀n ∈ N,

si ha rϕ (ϕ,±nπ) ∧ rθ (ϕ,±nπ) = 0, per cui la rappresentazione non e regolare nell’insiemedi punti

{(ϕ, θ) ∈ R

2 | −∞ < ϕ < +∞, θ = ±nπ}

E pero regolare la sua restrizione all’aperto

U ={(ϕ, θ) ∈ R

2 | −∞ < ϕ < +∞, 0 < θ < π}

(1.22)

Ne consegue che l’applicazioner (ϕ, θ) : U → S,

e una rappresentazione regolare di classe C∞ della sfera unitaria privata dei punti (ϕ, 0) e(ϕ, π) che in coordinate cartesiane si esprimono (0, 0,±1) (cfr. fig. 1.4).

E facile scrivere una rappresentazione parametrica delle linee coordinate di un assegnatopunto P0 (ϕ0, θ0):

Γϕ0: x = cosϕ0 sin θ, y = sinϕ0 sin θ, z = cos θ, θ ∈ (0, π)

Γθ0 : x = cosϕ sin θ0, y = sinϕ sin θ0, z = cos θ0, ϕ ∈ (−∞,+∞)

In coordinate (ϕ, θ):

Γϕ0: ϕ = ϕ0, θ ∈ (0, π)

Γθ0 : θ = θ0, ϕ ∈ (−∞,+∞)

ovvero i meridiani e i paralleli. Questo particolare sistema di coordinate curvilinee eortogonale, giacche

rϕ (ϕ, θ) · rθ (ϕ, θ) ≡ 0

PARAMETRICA

Figura 1.5: La traslazione di r lungo la curva γ, genera una superficie denominata cilindro.

1.2 Rappresentazione parametrica del cilindro

Definizione 9 Assegnata una curva regolare γ di rappresentazione parametrica:

x = x (u) , y = y (u) , z = z (u) , u ∈ [a, b]

e una retta orientata che interseca γ in un punto assegnato, si dice cilindro la superficiegenerata dalla traslazione di r lungo γ (fig. 1.5).

Se w = λi+ µj+ νk e il versore di r, una rappresentazione parametrica di r e

x = x0 + vλ, y = y0 + vµ, z = z0 + vν, v ∈ R

essendo (x0, y0, z0) le coordinate cartesiane di un assegnato punto della predetta retta. Neconsegue che una rappresentazione parametrica del cilindro C e

x = x (u) + vλ, y = y (u) + vµ, z = z (u) + vν, (u, v) ∈ [a, b]× R

Ne consegue che C e una superficie regolare, in virtu della regolarita di γ. Le rette parallelea r che intersecano γ, sono le generatrici del cilindro. Stabiliamo le equazioni delle lineecoordinate di un punto P0 (u0, v0) preso ad arbitrio su C.

Γu0: x = x (u0) + vλ, y = y (u0) + vµ, z = z (u0) + vν, v ∈ R

che e una retta parallela a r (quindi una generatrice) e passante per P0.

Γv0 : x = x (u) + v0λ, y = y (u) + v0µ, z = z (u) + vν, v0 ∈ R

ossia la curva γ traslata nella direzione di w e passante per P0. Consideriamo il caso speciale:

γ : x = cos u, y = sin u, u ∈ [0, 2π] ,

che e una circonferenza del piano coordinato xy di raggio 1 e di centro l’origine. Consideriamola retta per (1, 0, 0) e parallela all’asse z

r : x = 1, y = 0, z = vν, ν ∈ R

La traslazione di r lungo γ genera il cilindro circolare retto:

x = cos u+ 1, y = sin u, z = vν, ∀ (u, v) ∈ [0, 2π]× R

Le linee coordinate per P0 (u0, v0):

Γu0: x = cosu0 + 1, y = sin u0, z = vν, ν ∈ R

Γu0: x = cosu+ 1, y = sin u, z = v0ν, u ∈ [0, 2π]

Capitolo 2

Funzioni vettoriali di una variabile

vettoriale

Nelle lezioni precedenti abbiamo introdotto la nozione di rappresentazione parametrica (aven-te per base un assegnato aperto U di R2) di una superficie S, per poi osservare che que-st’ultima e l’immagine di un’applicazione che associa univocamente ad ogni elemento di U ,un elemento di S. Ne consegue che la nozione di rappresentazione parametrica “parla” illinguaggio delle funzioni (naturalmente intese come legge di corrispondenza tra due insiemi).

Nello specifico, gli elementi di U sono vettori di un assegnato sottospazio vettoriale dellospazio euclideo bidimensionale (R2) , mentre una qualunque superficie S e un sottoinsiemedello spazio euclideo tridimensionale R

3, ma non un suo sottospazio vettoriale. Vediamo,dunque, che nella definizione di rappresentazone parametrica di una superficie, sono coin-volti gli spazi vettoriali (euclidei) R

2 e R3. Ne consegue che la predetta rappresentazione

parametrica altro non e che una legge di corrispondenza tra tali spazi vettoriali. E prefe-ribile comunque, riferirsi a spazi vettoriali (finito-dimensionali) su un qualunque campo K.Incidentalmente, sussiste la seguente definizione:

Definizione 10 Siano E e F due spazi vettoriali (finito-dimensionali) su uno stesso campoK. Un’applicazione (o funzione vettoriale ) di E in F , e una legge di corrispondenzasimboleggiata da:

f : E → F (2.1)

che associa univocamente a ogni vettore x ∈ E, un vettore y ∈ F . Quindi:

y = f (x) , ∀x ∈ E (2.2)

Abbiamo detto che E,F sono finito-dimensionali. Cioe

∃n,m ∈ N−{0} | dimE = n, dimF = m 6= n (in generale) (2.3)

Siano {e1, ..., en} , {ε1, ..., εm} due basi di E e F rispettivamente. Segue

x ∈ E =⇒ ∃ (x1, ..., xn) ∈ Kn | x =

CAPITOLO 2. FUNZIONI VETTORIALI DI UNA VARIABILE VETTORIALE

Cioe la n-pla di scalari (x1, ..., xn) definisce le componenti di x nella predetta base. Allostesso modo:

y = f (x) =⇒ y ∈ F =⇒ ∃ (y1, ..., ym) ∈ Km | y =

=⇒ ∃f1 (x) , ..., fm (x) | f (x) =m∑

fi (x) εi

Definizione 11 Le m funzioni scalari delle n variabili scalari

f1 (x1, ..., xn) , f2 (x1, ..., xn) , fn (x1, ..., xn) (2.4)

sono le componenti della funzione vettoriale f (x) nelle basi {ei} , {εj} di E e F rispetti-vamente.

Esempio 12 Nello spazio euclideo R3 consideriamo una sfera S di raggio R e di centro

l’origine O di riferimento cartesiano ortogonale R (Oxyz), come in fig. 2.1.

Figura 2.1: Esempio 12.

Dalla geometria analitica sappiamo che la rappresentazione cartesiana di S e:

x2 + y2 + z2 = R2 (2.5)

vettorialmente equivalente a|x| = R (2.6)

essendox = xi+ yj+ zk

il vettore posizione di un generico punto di R3, espanso nella base ortonormale {i, j,k}.

Denotando con n il versore di un generico x ∈ S, e facile convincersi che n e il versore dellaretta normale a S orientata dall’interno verso l’esterno della sfera. Segue

Cioen =

D’altra parteS =

{x ∈ R

3 | |x| = R}

i.e. e un sottoinsieme (ma non un sottospazio vettoriale) di R3. Quindi n (x) e una funzionevettoriale della variabile vettoriale x, e

R, ny =

R, nz =

sono le sue componenti nella base {i, j,k} di R3.

2.1 Immagine di un’applicazione

Alle funzioni vettoriali, quali applicazioni tra spazi vettoriali, si applicano le definizioni disuriettiva, iniettiva, bi–iettiva. In particolare:

Definizione 13 Assegnata una funzione vettoriale

f : E → F (2.7)

dicesi immagine di E attraverso f , l’insieme

f (E) = {f (x) | x ∈ E} ⊆ F (2.8)

Tale sottoinsieme di F e anche noto come immagine dell’applicazione f (anziche dellospazio vettoriale E).

Osservazione 14 Si badi che in generale, f (E) non e un sottospazio vettoriale di F . Comevedremo in seguito cio si verifica solo per una particolare classe di applicazioni.

Esercizio 15 Determinare l’immagine della funzione vettoriale:

f : R2 → R3 (2.9)

cosı definitaf (u) = (u1 + u2) i+ (u1 − u2) j+

(u21 + u2

)k, (2.10)

dove {i, j,k} e la base canonica di R3, mentre

u = u1e1 + u2e2,

con {e1, e2} base canonica di R2.

Soluzione

Per definizione di immagine:

2)={x ∈ R

3 | x = (u1 + u2) i+ (u1 − u2) j+(u21 + u2

(2.11)

Cio implica che le componenti della funzione vettoriale assegnata, nelle basi {i, j,k} , {e1, e2},sono

fx (u1, u2) = u1 + u2, fy (u1, u2) = u1 − u2, fz (u1, u2) = u21 + u2

Ma x = f (u) con x = xi+ yj+ zk, onde

x = u1 + u2, y = u1 − u2, z = u21 + u2

Eliminando le variabili u1, u2:

(x2 + y2

che e l’equazione di un paraboloide ellittico. Ne concludiamo che l’immagine dell’applicazioneassegnata, e il predetto paraboloide (fig. 2.2).

Figura 2.2: Esempio 15.

2.2 Funzioni lineari

Nei numeri precedenti abbiamo introdotto la nozione di funzione vettoriale di una variabilevettoriale. Tra queste rientrano le funzioni lineari; si tratta dei ben noti omomorfismi chesi studiano in algebra lineare. Precisamente:

Definizione 16 Assegnati gli spazi vettoriali E,F su un campo K, una funzione vettorialef da E a F si dice lineare se verifica le seguenti proprieta:

1. Additivita

f (x+ x′) = f (x) + f (x′) , ∀x,x′ ∈ E (2.12)

2. Omogeneita

f (λx) = λf (x) , ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E (2.13)

Tali condizioni possono essere inglobate in

f (λx+ µx′) = λf (x) + µ (x′) , ∀λ, µ ∈ K, ∀x,x′ ∈ E (2.14)

Vediamo ora come si esprime la definizione di linearita in termini di vettori di base diE, F . Al solito, stiamo considerando spazi vettoriali finito-dimensionali, onde

{e1, ..., en} base di E

{ε1, ..., εm} base di F

x ∈ E =⇒ x =n∑

xiei, (2.15)

per cui

f (x) = f

=f e lineare

xif (ei) (2.16)

f (ei) ∈ F =⇒ f (ei) =m∑

ajiεj,

che sostituita nella (2.16) porge

f (x) =n∑

ajixiεj, ∀x ∈ E (2.17)

D’altra parte, l’espansione di f nelle sue componenti rispetto alle predette basi, si scrive:

f (x) =m∑

fj (x) εj,

dove fj (x) e la j-esima componente di f . Confrontando con la (2.16):

fj (x) =m∑

Cioefj (x1, x2, ..., xn) = aj1x1 + aj2x2 + ...+ ajnxn, (j = 1, 2, ...,m) (2.18)

Abbiamo cosı dimostrato la proposizione:

Proposizione 17 Le componenti di una funzione lineare sono funzioni lineari omogenee (avalori reali) delle n variabili reali x1, x2, ..., xn. I coefficienti aji dipendono dai vettori di basedegli spazi vettoriali E ed F .

I coefficienti aji compongono una matrice m× n

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a23... ... ... ...

am1 am2 ... amn

(2.19)

che si chiama matrice rappresentativa di f nelle basi {e1, ..., en} , {ε1, ..., εm}. Il rango diA si dice rango di f .

Esercizio 18 Studiare la funzione vettoriale

x = f (u) , ∀u ∈ R2

dove x ∈ R3 e

f (u) = (2u1 − u2) i+ (u1 + u2) j+ (−u1 + u2)k

essendo u1, u2 le componenti di u in una base assegnata {e1, e2}di R2, mentre {i, j,k} e la

base canonica di R3 (versori degli assi coordinati x, y, z).

Soluzione

La funzione e manifestamente lineare. Scriviamo

x = xi+ yj+ zk,

onde le componenti della funzione sono:

x = f1 (u1, u2) = 2u1 − u2

y = f2 (u1, u2) = u1 + u2

z = f3 (u1, u2) = −u1 + u2,

da cui la matrice rappresentativa:

2 −11 1−1 1

che ha rango 2. Quindi la funzione assegnata e lineare con rango 2. Eliminando le variabiliu1, u2 si perviene alla rappresentazione cartesiana

2x− y + 3z = 0

ovvero l’equazione di un piano dello spazio euclideo tridimensionale. Ne concludiamo che lafunzione lineare assegnata trasforma lo spazio euclideo bidimensionale R2 nel predetto piano(fig. 2.3).

2.3 Limite di una funzione vettoriale di una variabile

vettoriale. Continuita

La nozione di limite di una funzione reale di una variabile reale si estende immediatamentealle funzioni vettoriali, a patto di fornire una definizione operativa di intorno di un vettore.Precisamente, se f (x) e definita in un sottoinsieme V di un assegnato spazio vettoriale, presoad arbitrio un punto/vettore x0, definiamo un intorno sferico di raggio ε:

Sε (x0) = {x ∈ V | |x− x0| < ε}

Siamo interessati al caso in cui x0 e di accumulazione per V , e dal momento che puo nonappartenere all’insieme di definizione, bisogna ridefinire la disuguaglianza come segue

0 < |x− x0| < ε

Cio premesso, sussiste la seguente definizione:

Definizione 19 Sia x0 un punto di accumulazione per l’insieme di definizione V di unafunzione vettoriale f : E → F . Si dice che f e convergente in x0 o che converge a L, se

∀Sε (L) , ∃Sδe (x0) | x ∈ V ∩ Sδe (x0)− {x0} =⇒ f (x) ∈ Sε (L) (2.20)

come illustrato in fig. 2.4. La precedente definizione si esprime equivalentemente come:

∀ε > 0, ∃δε > 0 | 0 < |x− x0| < δε =⇒ |f (x)− L| < ε (2.21)

Per esprimere tale proprieta si usa scrivere:

limx→x0

f (x) = L (2.22)

E immediata la dimostrazione del seguente teorema

Teorema 20 La funzione vettoriale f (x) e convergente in x0 se e solo se sono ivi convergentile sue componenti rispetto a una qualunque coppia di basi di E e F . Precisamente:

limx→x0

f (x) = L ⇐⇒ limx→x0

fk (x) = Lk

Figura 2.4: Per x → x0, la funzione f (x) converge a L.

dove fk (x) e la k-esima componente rispetto alle predette basi:

f (x) =m∑

fk (x) εk

e Lk e la k-esima componente del vettore L:

L =m∑

Definizione 21 Dicesi modulo di f (x), la funzione scalare

|f (x)| =

√√√√

fk (x)2

Definizione 22

f (x) e limitatadef⇐⇒ ∃M > 0 | |f (x)| ≤ M

Enunciamo senza dimostrare:

Teorema 23

limx→x0

f (x) = L

)=⇒:

limx→x0

|f (x)| = |L|

Anche la nozione di continuita di una funzione reale di una variabile reale si estendefacilmente alle funzioni vettoriali:

Definizione 24f (x) e continua

in x0 ∈ V

)def⇐⇒

limx→x0

f (x) = f (x0)

Sussiste il teorema

f (x) e continuain x0 ∈ V

⇐⇒ (fk (x) e ivi continua, k = 1, ...,m

2.4 Derivata secondo una direzione

Definizione 25 Siano E,F spazi vettoriali su uno stesso campo K. Assegnata una funzio-ne vettoriale f (x) definita in V ⊆ E, e un vettore u0 ∈ E − {0}definiamo il rapportoincrementale di f (x) in x0 nella direzione di u0, il seguente vettore

f (x0 + hu0)− f (x0)

h(2.23)

Il predetto rapporto e una funzione vettoriale della variabile scalare h, definita in K−{0},ove manifestamente h = 0 e punto di accumulazione per tale insieme di definizione. Quindipossiamo studiare il comportamento della funzione in un intorno di detto punto.

Definizione 26 Se il rapporto incrementale converge per h → 0, diremo che la funzionevettoriale f (x) e derivabile nel punto x0 e secondo la direzione del vettore u0. Inoltre,posto

Du0f (x0) = lim

f (x0 + hu0)− f (x0)

e il primo membro, i.e. il limite del rapporto incrementale, si chiama derivata di f in x0

secondo la direzione del vettore u0.

Osserviamo che per un assegnato x0 ∈ V , f (x0 + hu0) e una funzione vettoriale dellavariabile scalare h. Definiamo:

g (h)def= f (x0 + hu0)

Segue, con ovvio significato dei simboli:

limh→0

f (x0 + hu0)− f (x0)

h= lim

g (h)− g (0)

h= g′ (0)

Tali conclusioni si prestano a una interpretazione geometrica. A tale scopo, consideriamo ilcaso speciale:

f : R2 → R3

Ne consegue che y = f (x) e la rappresentazione parametrica di una superficie, come illustratoin fig. 2.5. Qui vediamo che il rapporto incrementale e il vettore rappresentato in rosso.Inoltre, al variare del parametro h, l’equazione vettoriale x = x0 + hu0 descrive una retta r

di R2 per il punto posizionato da x0, e parallela al vettore u0. Ne segue che

f (x0 + hu0) = g (h)

e l’immagine di r attraverso f o cio che e lo stesso attraverso g. Questa immagine e unacurva γ di rappresentazione parametrica y = g (h), per cui il vettore g′ (0) e tangente a γ ing (0) = f (x0).

Se la predetta proprieta e verificata per x0 preso ad arbitrio in V , diremo che la funzionevettoriale assegnata e ivi derivabile. Rimane aperta la questione della direzione, nel sensoche ci si pone la domanda: una data funzione vettoriale derivabile in V , lo e in ogni direzione?Per rispodere al quesito, risolviamo gli esercizi che seguono.

Esercizio 27 (Tratto da geometria differenziale – Schaum. La soluzione e nostra)Mostrare che la seguente funzione vettoriale (da R

2 a R3) y = f (x)

f (x) = x1ε1 + x2ε2 +(x21 + x2

)ε3, con {ε1, ε2, ε3} base ortonormale di R3 (2.24)

e derivabile in R2 secondo la direzione di un qualunque vettore u.

Figura 2.5: Interpretazione geometrica della derivata direzionale.

Soluzione

Per quanto precede, la derivata di f in un assegnato x ∈ R2 secondo una direzione u ∈ R

2,e data da:

Duf (x) = g′ (0)

dove a secondo membro abbiamo la derivata della seguente funzione vettoriale della variabilescalare h:

g (h) = f (x+ hu)

Per esplicitare le componenti di tale funzione, scriviamo lo sviluppo dei vettori x ed u inun’assegnata base (ortonormale) {e1, e2} di R2:

x = x1e1 + x2e2, u = u1e1 + u2e2

Quindi

g (h) = (x1 + hu1) ε1 + (x2 + hu2) ε2 +[(x1 + hu1)

2 + (x2 + hu2)2]ε3

Derivandog′ (h) = u1ε1 + u2ε2 + [2u1 (x1 + hu1) + 2u2 (x2 + hu2)] ε3

Ne consegueDuf (x) = u1ε1 + u2ε2 + 2 (u1x1 + u2x2) ε3,

per cui la funzione proposta e derivabile su tutto R2 e in ogni direzione. Cerchiamo ora di

dare un’interpretazione geometrica. Per fissare le idee, consideriamo

x = e1 + e2 =⇒ x1 = x2 = 1

e assumiamo come direzione:

u = 2e1 + e2 =⇒ u1 = 2, u2 = 1

Inoltre, l’immagine della funzione assegnata e la superficie S graficata in fig. 2.6.Con questa particolare scelta del punto e della direzione in cui vogliamo determinare la

derivata, si ha:

g (h) = (1 + 2h) ε1 + (1 + h) ε2 +[(1 + 2h)2 + (1 + h)2

Figura 2.6: Immagine della funzione vettoriale (2.24).

Figura 2.7: Al variare del parametro h, il punto di vettore posizione x + hu (per x edu assegnati), descrive la retta r passante per il punto posizionato da x e parallela ad u.Tale retta viene processata dalla funzione vettoriale f , per restituire una curva γ, che e poil’immagine della funzione vettoriale g (h).

che e una rappresentazione parametrica di una curva γ tracciata su S. Piu precisamente,e l’immagine della retta r passante per il punto di vettore posizione x e parallela a u (fig.2.7).

Scriviamo la funzione y = g (h) per componenti:

y1 = 1 + 2h, y2 = 1 + h, y3 = (1 + 2h)2 + (1 + h)2 , h ∈ R

che e appunto la predetta rappresentazione parametrica di γ. Applichiamo il procedimentostandard per scrivere l’equazione della retta tangente τ0 nel punto di γ corrispondente ah = 0. Come e noto, deve essere

τ0 :y1 − y0,1

g′1 (0)=

y2 − y0,2

g′2 (0)=

y3 − y0,3

g′3 (0)

dove g′1 (0) , g′2 (0) , g

′3 (0) sono le componenti della derivata di g (h) nel punto h = 0, mentre

y0 = y0,1ε1 + y0,2ε2 + y0,3ε3 = g (0) = ε1 + ε2 + 2ε3

Un rapido calcolo fornisce:

g′1 (0) = 2, g′2 (0) = 2, g′3 (0) = 6

τ0 :y1 − 1

y2 − 1

y3 − 2

per cui (2, 2, 6) sono i numeri direttori di τ0, ovvero le componenti di un vettore paralleloa τ0, quindi tangente a γ in y0. Diversamente, vediamo che la notazione vettoriale e piuveloce. Infatti, la curva γ e l’immagine di y = g (h) e un vettore tangente e semplicementeg′ (h), ed in particolare

g′ (0) = ε1 + ε2 + 2ε3

Esercizio 28 (Tratto da geometria differenziale – Schaum. La soluzione e nostra)Consideriamo una funzione vettoriale

f : R2 → R1

che e in realta una funzione scalare della variabile vettoriale x ∈R2. Infatti, abbiamo unafunzione f (x, y) delle variabili reali (x, y) che sono le componenti di un vettore (posizione)del predetto spazio vettoriale. Nello specifico:

f (x, y) =

{x+ y, se x = 0 o y = 01, altrimenti

Mostrare che nel punto x = 0 tale funzione e derivabile solo nelle direzioni degli assicoordinati.

Soluzione

Nel linguaggio delle funzioni vettoriali, la funzione assegnata si comporta come neldiagramma di fig. 2.8.

Cio premesso, esplicitiamo l’espressione analitica della funzione:

f (x, y) =

x, se y = 0y, se x = 01, altrimenti

(2.25)

Ne consegue che il diagramma cartesiano di tale funzione, e l’unione del piano z = 1 e dellebisettrici z = x, z = y dei rispettivi piani coordinati.

La derivata in un generico punto x nella direzione u e:

Duf (x) = g′ (0) ,

dove g′ (0) e la derivata in h = 0 della funzione

g (h) = f (x+ hu)

Nel punto x = 0 e nella direzione u = e1 = (1, 0)

g (h) = f (hu) = f (h, 0) = h =⇒ g′ (h) = 1,

cosiccheDe1

f (0) = 1

In maniera perfettamente analoga, si giunge a

De2f (0) = 1

Diversamente per u = (ux, uy) e sempre nel punto x = 0

g (h) = f (hu) = f (hux, huy) =

hux, se uy = 0huy, se uz = 01, altrimenti

{0, se h = 01, altrimenti

g′ (0) = limh→0

g (h)− g (0)

h= lim

1− 0

h= ∞

Cioe la funzione g (h) non e derivabile in h = 0, da cui la non derivabilita della funzionef (x) secondo direzioni diverse da quelle degli assi coordinati.

2.5 Derivata parziale di una funzione vettoriale

Sia f : E → F una funzione vettoriale di una variabile vettoriale. In particolare, denomianocon V il suo insieme di definizione. Al solito, E ed F sono spazi vettoriali di dimensionefinita (n = dimE, m = dimF ) su uno stesso campo K. Assegnate le basi di E ed F

{e1, ..., en} , {ε1, ..., εm}

scriviamo lo sviluppo di f nelle sue componenti rispetto a tali basi:

f (x) =m∑

fj (x1, ..., xn) εj, ∀x = (x1e1 + ...+ xnen) ∈ V (2.26)

Per quanto visto nel paragrafo prcedente, se f e derivabile in V secondo una qualunquedirezione u:

Duf (x) = limh→0

f (x+ hu)− f (x)

Ricordiamo che tale limite e la derivata di f secondo la direzione u. Ed e manifestamenteuna funzione vettoriale definita in V .

Definizione 29 Dicesi derivata parziale di f rispetto alla k-esima componente dellavariabile vettoriale x, la derivata di f secondola direzione del vettore di base ek. In simboli:

Dkf (x)def= Dek

f (x) , k ∈ {1, ..., n}

oppure∂f

def= Dek

f (x) , k ∈ {1, ..., n}

Proposizione 30 La derivata parziale di f rispetto alla k-esima componente della variabi-le vettoriale x, e una funzione vettoriale le cui componenti sono le derivate parziali dellecomponenti di f rispetto alla variabile xk. Cioe

=∂f1

ε1 +∂f2

ε2 + ...+∂fm

εm (2.27)

Dimostrazione. Per definizione di derivata:

Dekf (x) = lim

f (x+ hek)− f (x)

Da x = x1e1 + ...+ xnen segue

x+ hek = x1e1 + ... (xk + h) ek + xnen,

per cui

Dekf (x) = lim

f (x1, ..., xk + h, ..., xn)− f (x1, ..., xk, ..., xn)

Tenendo conto della (2.26):

Dekf (x) =

limh→0

fj (x1, ..., xk + h, ..., xn)− f (x1, ..., xk, ..., xn)

h︸︷︷︸

=∂fj∂xk

onde l’asserto.Per il calcolo della derivata parziale, conviene procedere scrivendo la funzione vettoriale

nella formaf (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fm (x)) ,

per cui∂f

(∂f1

,∂f2

, ...,∂fm

L’esercizio seguente e tratto da geometria differenziale – Schaum. La soluzione e nostra.

Esercizio 31 Calcolare le derivate parziali di f : R2 → R3 la cui espressione elementare e

f (u, v) = uevε1 +(u2 + v2

)ε2 + uvεm (2.28)

Soluzione

Scriviamof (u, v) =

(uev, u2 + v2, uv

∂u= (ev, 2u, v) = evε1 + 2uε2 + vε3

∂v= (uev, 2v, u) = uevε1 + 2vε2 + uε3

Se poniamo x = f (u, v) con x = ue1 + ve2, la nostra funzione trasforma R2 nella superficie

di R3 data dalla rappresentazione parametrica:

x = uev, y = u2 + v2, z = uv

e graficata in fig. 2.9, assieme alla superfici le cui rappresentazioni parametriche sono lederivata parziali della funzione vettoriale assegnata.

2.6 Differenziale di una funzione vettoriale. Matrice

jacobiana

Premettiamo alcuni richiami di Analisi matematica 1 e 2. Sia f : X → R reale di unavariabile reale, derivabile in X. La funzione lineare omogenea dell’incremento ∆x, data da

df = f ′ (x)∆x (2.29)

si dice differenziale di f . Se applichiamo tale definizione alla funzione identica f (x) = x, siottiene dx = ∆x per cui il differenziale puo essere scritto come:

df = f ′ (x) dx

Teorema 32 Nelle ipotesi precedenti, se ∆f e l’incremento della funzione corrispondenteall’incremento ∆x della variabile indipendente, si ha:

∆f = df + ω (∆x) ,

dove ω (∆x) e, per ∆x → 0, un infinitesimo di ordine superiore a ∆x.

Ora consideriamo il caso di una funzione reale di n variabili reali:

f : A → R, A ⊆ Rn

Se f e dotata in A di derivate parziali

, ...,∂f

si dice differenziale totale di f la seguente funzione lineare degli incrementi ∆x1, ...,∆xn

delle variabili indipendenti:

df =∂f

∆x1 +∂f

∆x2 + ...+∂f

Anche in questo caso e facile mostrare che ∆xk = dxk, onde

df =∂f

dx1 +∂f

dx2 + ...+∂f

Sussiste il teorema:

Teorema 33 Se f ∈ C1 (A), si ha

∆f = df + ω (ρ) , ρ =

√√√√

∆x2k

dove ω (ρ) e, per ρ → 0, un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ρ.

Cio premesso, ci proponiamo di generalizzare la nozione di differenziale totale a unafunzione vettoriale di variabile vettoriale:

f : E → V (2.30)

dove E e V sono i soliti spazi vettoriali su un campo K, supponendo di aver assegnato lerispettive basi:

{e1, ..., en} base di E

{ε1, ..., εm} base di E

Abbiamo che f (x) e un vettore a m componenti:

f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fm (x)) (2.31)

Il differenziale totale della k-esima componente e

dfk =m∑

dxj (2.32)

Teorema 34 Dicesi differenziale della funzione vettoriale f (x), il vettore

df = (df1, df2, ..., dfm) (2.33)

Il vettore le cui componenti (nella base {e1, ..., en}) sono i differenziali delle componentidi x, e

dx = (dx1, dx2, ..., dx)

Inoltre

df =m∑

dxj (2.34)

rammentando che∂f

(∂f1

,∂f2

, ....,∂fm

Quindi il differenziale df e una funzione vettoriale lineare della variabile vettoriale dx, e cometale e dotata di una matrice rappresentativa rispetto alle basi assegnate. Per esplicitare glielementi di matrice, scriviamo per esteso i differenziali delle componenti:

df1 =∂f1

dx1 +∂f1

dx2 + ...+∂f1

df2 =∂f2

dx1 +∂f2

dx2 + ...+∂f2

dfm =∂fm

dx1 +∂fm

dx2 + ...+∂fm

Per definizione di matrice rappresentativa, si ha:

J (x1, ..., xn) =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

... ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

... ∂f2∂xn

... ... ... ...∂fm∂x1

∂fm∂x2

... ∂fm∂xn

(2.35)

che si chiamamatrice jacobiana della funzione vettoriale f (x) rispetto alle basi {ek} , {εj}.Se i due spazi vettoriali hanno la stessa dimensione n, la matrice jacobiana e quadrata diordine n, e il suo determinante si dice jacobiano della funzione, e si indica con

∂ (f1, f2, ..., fn)

∂ (x1, x2, ..., xn)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂f1∂x1

∂f1∂x2

... ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

... ∂f2∂xn

... ... ... ...∂fm∂x1

∂fm∂x2

... ∂fm∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(2.36)

Probabilmente le nozioni precedente sono un po troppo “formali”, per cui in questonumero facciamo un riassunto. Abbiamo una funzione vettoriale

f : V ⊆ E → F (2.37)

e supponiamo di aver assegnato due basi degli spazi vettoriali E ed F :

{ei} , (i = 1, ..., n) base di E (2.38)

{εj} , (j = 1, ...,m) base di F

Abbiamo quindi, il vettore a m componenti:

f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fm (x)) (2.39)

Se f (x) e dotata di derivate parziali rispetto alle variabili reali x1, ..., xn:

(∂f1

,∂f2

, ...,∂fm

, con k = 1, 2, ..., n (2.40)

Possiamo poi considerare il differenziale totale di singola componente:

dfj =∂fj

dx1 +∂fj

dx2 + ...+∂fj

dxn , con j = 1, 2, ...,m (2.41)

ossevando che dfj e una funzione lineare delle variabili dx1, ..., dxn, ove le derivate parzialisvolgono il ruolo di coefficienti.Per definizione, il vettore

df = (df1, df2, ..., dfm) (2.42)

e il differenziale della funzione vettoriale f (x). Si noti che non utilizziamo l’aggettivo totale,poiche le n variabili x1, ..., xn sono inglobate nell’unica variabile vettoriale x = (x1, ..., xn).Per quanto precede le componenti dfj sono funzioni lineari dei differenziali delle variabiliindipendenti, ne segue che il differenziale df e una funzione vettoriale lineare della variabilevettoriale

dx = (dx1, dx2, ..., dxn)

per cui siamo interessati alla matrice rappresentativa della predetta funzione lineare, rispettoalle basi {ei} , {εj}. Abbiamo

df =m∑

dfjεj =m∑

εj =m∑

dxiεj,

rammentando che le variabili indipendenti sono dx1, ..., dxn. Per definizione di matricerappresentativa:

df =m∑

ajidxiεj,

dove aji =∂fj∂xi

sono gli elementi di matrice che stiamo cercando. Per essere piu chiari:

df1 = a11dx1 + a12dx2 + ...+ a1ndxn

df2 = a21dx1 + a22dx2 + ...+ a2ndxn

dfm = am1dx1 + am2dx2 + ...+ amndxn

Finalmente, la matrice rappresentativa:

∂f1∂x1

∂f1∂x2

... ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

... ∂f2∂xn

... ... ... ...∂fm∂x1

∂fm∂x2

... ∂fm∂xn

in accordo con quanto trovato nel numero precedente. Nel caso speciale in cui la funzionevettoriale in esame e una rappresentazione parametrica di una superficie, la matrice jacobianadella rappresentazione altro non e che l’omonima matrice della funzione. Ad esempio,consideriamo la funzione vettoriale della variabile vettoriale w = (u, v):

f (w) = (2u− v) ε1 + uvε2 + (u− sin v) ε3, ∀ (u, v) ∈ R2 (2.43)

le cui componenti sono

f1 (u, v) = 2u− v, f2 (u, v) = uv, f3 (u, v) = u− sin v

Quindi

∂f1∂u

∂f1∂v

∂f2∂u

∂f2∂v

∂f3∂u

∂f3∂v

2 −1v u

2u − cos v

La superficie di rappresentazione parametrica x = f (w) e plottata in fig. 2.10.

Figura 2.10: Andamento della superficie di rappresentazione parametrica (2.43).

2.7 Differenziabilita di una funzione vettoriale di va-

riabile vettoriale

Nel numero precedente, abbiamo visto che il differenziale di una funzione vettoriale

f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fm (x))

e il vettore le cui componenti sono i differenziali totali delle componenti di f :

df = (df1, df2, ..., dfm)

Ci proponiamo di stabilire la definizione di differenziabilita di una funzione vettoriale, per poienunciare criteri sufficienti affinche una funzione sia differenziabile. Ricordiamo brevementeche nel caso di una funzione scalare di n variabili scalari, esistenza e continuita delle derivateparziali del primo ordine, costituiscono un criterio sufficiente di differenziabilita. Nel caso diuna funzione vettoriale prima di dare la definizione di differenziabilita, scriviamo l’incrementodella funzione nella seguente forma:

∆f = f (x0 + v)− f (x0) , (2.44)

dove x0 ∈ V e un punto preso ad arbitrio, mentre

v ∈ V | (x0 + v) ∈ V

svolge il ruolo di incremento della variabile indipendente. Cio premesso, sussiste la seguentedefinizione:

Definizione 35 Una funzione vettoriale

f : V ⊆ E → F

si dice differenziabile in x0 ∈ V , se esiste una funzione vettoriale lineare Λ (v) tale che

∆f = Λ (v) + ω (v) (2.45)

dove ω (v) e, per |v| → 0, un infinitesimo di ordine superiore a |v|:

limv→0

ω (v)

|v|= 0

Lemma 36 Comunque prendiamo u0 ∈ V − {0} e h ∈ K si ha:

limv→0

ω (v)

|v|= 0 =⇒ lim

ω (hu0)

h= 0 (2.46)

Dimostrazione. Per definizione di limite

∀ε > 0, ∃δε > 0 | 0 < |v| < δε =⇒

∣∣∣∣

ω (v)

∣∣∣∣<

Posto v = hu0, segue∣∣∣∣

ω (hu0)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

ω (hu0)

∣∣∣∣· |u0| <

|u0|· |u0| = ε

Quindi

∀ε > 0, ∃δε > 0 | 0 < |hu0| < δε i.e. 0 < |h| <δε

∣∣∣∣

ω (hu0)

∣∣∣∣< ε,

onde l’asserto.

Teorema 37 Se f e differenziabile in x0, e ivi derivabile in ogni direzione.

Dimostrazione. Comunque prendiamo u ∈ V − {0} e per ogni h ∈ K tale che |h| ≪ 1

f (x0 + hu)− f (x0) = Λ (hu) + ω (hu)

Ma Λ (hu) e lineare:Λ (hu) = hΛ (u)

Quindif (x0 + hu)− f (x0)

h= Λ (u) +

ω (hu)

limh→0

f (x0 + hu)− f (x0)

h= lim

h→0Λ (u)

︸︷︷︸

=Λ(u)

+ limh→0

ω (hu)

h︸︷︷︸

=0 (lemma prec.)

Per definizione di derivata secondo una direzione u:

Duf (x0) = Λ (u) (2.47)

Dall’arbitriarieta di u segue l’asserto.A questo punto ci chiediamo: “cos’e Λ (u)?” Per quanto precede, tale funzione vettoriale

lineare e la derivata della funzione vettoriale f (x) secondo la direzione u, calcolata in x0:

Λ (u) = Duf (x0) (2.48)

Si noti che Λ (u) dipende anche da x0, che tuttavia si comporta alla stregua di un parametro,giacche noi fissiamo tale punto per poi calcolare la derivata secondo la predetta direzione.Se ques’ultima e definita da uno dei vettori di base, per quanto gia stabilito:

Λ (ek) = Dekf (x0) =

∣∣∣∣x0

(2.49)

Ora riscriviamo l’incremento di f

f (x0 + hu)− f (x0) = Λ (hu) + ω (hu)

Riesce

u ∈ E =⇒ u =n∑

Ne consegue

Λ (hu) = Λ

huiΛ (ei) =Λ(ei)=

∂f∂xi

∣∣∣∣x0

dove il penultimo passaggio segue dalla linearita di Λ. Tenendo presente che hu e l’incre-mento della variabile (vettoriale) indipendente:

hu = (hu1, ..., hun) ≡ (∆x1, ...,∆xn)

Quindi

Λ (hu) =n∑

∣∣∣∣x0

∆xi = df |x0

cioe Λ (hu) e il differenziale di f calcolato in x0. Quindi la differenziabilita della funzionevettoriale si riesprime:

∆f = df + ω (∆x)

dove∆x = (∆x1, ...,∆xn)

Esempio 38 Consideriamo la funzione vettoriale da R2 a R

f (x) = (f1 (x1, x2) , f2 (x1, x2) , f3 (x1, x2)) ,

conf1 (x1, x2) = sin (2x1) e

−x2 , f2 (x1, x2) = x1 − cos x2, f3 (x1, x2) = x21 + x2

Proviamo a calcolare l’incrementof (hu)− f (0)

nella direzione u = e1 + e2. Abbiamo

f (hu) =(sin (2h) e−h, h− cosh, 2h2

), f (0) = (0, 0, 0)

Quindi∆f =

(sin (2h) e−h, h− cosh, 2h2

Il differenziale e

df = (df1, df2, df3)

=(2 cos (2x1) e

−x2dx1 − sin (2x1) e−x2dx2, dx1 + sin x2dx2, 2x1dx1 + 2x2dx2

In (x1, x2) = (0, 0)

df |0= (2dx1, dx1, 0) = (2∆x1,∆x2, 0) = hu = (2h, h, 0)

cosicche(sin (2h) e−h, h− cosh, 2h2

|h|≪1(2h, h, 0) + ...

In fig.2.11 riportiamo l’immagine della funzione vettoriale assegnata.

Figura 2.11: Esempio (38).

Appendice A

Esercizi svolti a cura dell’ing. G.

Bertucelli

• Esercizio 1 (Coordinate curvilinee su una superficie).

• Esercizio 2 (parte 2) (Componenti covarianti e controvarianti di un vettore).

• Esercizio 3 (Coordinate curvilinee ortogonali. Viene discusso il sistema di coordinatecilindriche).

• Esercizio 4 (parte 2) (Ortogonalita del sistema di coordinate sferiche).

• Esercizio 5 (parte 2) (Ancora sulle coordinate curvilinee ortogonali).

• Esercizio 6 (parte 2) (Elemento di volume in coordinate curvilinee ortogonali. Formaquadratica fondementale).

• Esercizio 7 (Coordinate curvilinee ortogonali. Viene discusso il sistema di coordinatecilindriche).

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