Analisi e gestione del rischio

Lezione 11

Modelli in forma ridotta

Limiti del modello di Merton

Il modello di Merton produce:

1) Sottovalutazione dell’opzione di default put e dei credit spread;

2) Sottovalutazione dei credit spread particolarmente marcata su scadenze brevi

3) Sottovalutazione dei credit spread particolarmente marcata per emittenti di standing creditizio più elevato.

Azioni Parmalat e CDS

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500

1000

1500

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2500

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24/06/0

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22/07/0

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26/08/0

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23/09/0

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21/10/0

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25/11/0

2

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3

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3

09/06/0

3

07/07/0

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04/08/0

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01/09/0

3

29/09/0

3

27/10/0

3

24/11/0

3

22/12/0

30

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

CDS Spread M id 5 years

Stock

Il valore di mercato del rischio di credito (Expected loss)…

Mrkt Price

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500.000.000

1.000.000.000

1.500.000.000

2.000.000.000

2.500.000.000

3.000.000.000

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21/1

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5/20

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0/20

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2/20

03

Mrkt Price

…e quello previsto dal modello di Merton

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1.000.000.000

1.500.000.000

2.000.000.000

2.500.000.000

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3.500.000.000

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2/20

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4/20

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1/20

03

21/1

2/20

03

Merton Model

Mrkt Price

Credit spread bassi• Il problema di credit spread bassi è che la calibrazione

richiederebbe valori di volatilità dell’attivo troppo alti per essere coerenti con le probabilità di default storiche

• Soluzioni– Asset substitution: volatilità dell’attivo può cambiare – Absolute priority violations: servizio strategico del

debito (Anderson e Sundaresan, 1996)– Valutazione conservativa del valore dell’attivo e della

probabilità di default (Cherubini e Della Lunga, 2001)

– Altri fattori di rischio: es. liquidità

Credit spread a breve

• Un altro limite rilevante del modello di Merton consiste nel comportamento dei credit spread a breve, che sono molto bassi ed hanno l’intercetta a zero.

• Per porre rimedio a questo problema esistono tre soluzioni– Introdurre un processo a salto nel valore dell’azienda

(Zhou, 2001)– Introdurre rumore nella default barrier (CreditGrades,

Giesecke, 2003)– Introdurre “rumore” nell’informazione sull’azienda

(Duffie e Lando, 2001, Baglioni e Cherubini, 2005)

L’approccio in forma ridotta• Nell’approccio in forma ridotta i credit spread sono

ottenuti direttamente sulla base di un modello statistico della probabilità di default dei debitori.

• Tipicamente, per modellare la probabilità di default è usato un processo di Poisson, che è caratterizzato da un parametro definito “intensità”: per questo questi modelli sono chiamati “intensity based”

• Mentre i modelli strutturali sono basati sulla teoria delle opzioni, quelli in forma ridotta usano la teoria della struttura a termine.

Un modello di credit spread• Ricordiamo dai modelli strutturali che il credit

spread è ottenuto comer*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 – (1 – Q )(1 – V(L)/B)]/(T – t)

dove Q è la probabilità di sopravvivenza e V(L)/B è il tasso di recupero. Assumendo un recovery rate pari a zero otteniamo r*(t,T) – r(t,T) = – ln[survival probability ]/(T – t)

• A differenza dai modelli strutturali, la probabilità di sopravvivenza per ogni tempo T, cioè Prob ( > T), è determinata utilizzando un processo di Poisson.

Intensità di default• Se l’evento di default è modellato come un processo di

Poisson otteniamo Probabilità ( > T) = exp (– (T - t))

• Il parametro è conosciuto come intensità del processo e definisce la probabilità che il titolo vada in default tra il temp t e t + dt.

• Consideriamo un modello molto semplice nel quale: i) l’intensità è costante; ii) il tasso di recupero è zero

• In questo caso, per tutte le maturità T il credit spread èr*(t,T) - r(t,T) =

Modelli a intensità variabile• Se il parametro di intensità non è fisso, ma si assume

che cambi al passare del tempo, il modello può generare curve dei credit spread di forma più generale di quella piatta legata al modello di Poisson

• In generale, abbiamo r*(t,T) – r(t,T) = (t,T)

…dove (t,T) è la media integrale dell’intensità di default da t a T, esattamente come il rendimento a scadenza è la media integrale dei tassi forward

• Per questo motivo è naturale utilizzare la teoria della curva per scadenze

Modellare l’intensità

• Poiché l’intensità può essere modellata utilizzando gli stessi strumenti matematici della teoria della struttura a termine, possiamo selezionare qualsiasi modello della curva dei tassi per rappresentare la funzione di intensità di default.

• Questi modelli possono quindi essere classificati come quelli della struttura a termine, – Modelli fattoriali, con curva degli spread endogena– Modelli con curva dei credit spread esogena (HJM)– Modelli dei credit spread osservabili, ad esempio swap

Modelli affini di intensità• Assumiamo che l’intensità istantanea di default sia

descritta da un processo diffusivo come

d (t) = k( – (t))dt + dz(t)

dove con valori = 0, 0.5 otteniamo un modello affine della struttura a termine dei titoli defaultable

Debito(t,T) = v(t,T)exp(A(T-t) - B(T -t) (t))

con A e B funzioni descritte nei modelli di Vasicek ( = 0) o Cox Ingersoll Ross ( = 0.5)

Recovery rate positivo

• Se assumiamo– recovery rate positivo – indipendenza tra rischio di tasso e di interesse

possiamo scrivere (con il recovery rate)

Debito(t,T; )=v(t,T)[Prob( > T)+ Prob( T)]

Debito(t,T; )= v(t,T) +(1-) Prob( >T)v(t,T)

Debito(t,T; 0)= Prob( >T)v(t,T), da cui...

Debito(t,T; )= v(t,T) +(1-) D(t,T; 0)

Implied survival probabilities

• Dall’equazione precedente

Debito(t,T; )= v(t,T) +(1-) Debito(t,T; 0)

e da Debito(t,T; 0) = Prob( >T)P(t,T) otteniamo

Prob( >T) = [Debito(t,T; )/v(t,T) – ]/(1 – )

… cioè la probabilità di sopravvivenza coerente con i prezzi osservati dei titoli defaultable, rispetto a quelli osservati per la stessa maturità sulla curva dei titoli privi di rischio di default.

Probabilità di default• Lo spread di un titolo BBB a 10 anni rispetto alla

curva risk-free è di 45 punti base.• Nell’ipotesi di recovery rate pari a zero abbiamo

Prob( >T) = exp (– .0045 10) = 0.955997

e la probabilità di default è 1 - 0.955997 = 4.4003% • Nell’ipotesi di un recovery rate del 50% abbiamo

Prob( >T) = [exp (– .0045 10) - ]/(1- ) = 0.911995

e la probabilità di default è 1 - 0.911995 = 8.8005%

Implied probabilities: recovery rate 51.31%

0.0000%

10.0000%

20.0000%

30.0000%

40.0000%

50.0000%

60.0000%

70.0000%

80.0000%

-2 0 2 4 6 8 10

AA ABBBBBBNTT