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Algebre di Lie in caratteristica 0
Denis Nardin
21 febbraio 2012
Capitolo 1
Proprieta generali
In questo seminario parlero di algebre di Lie su di un campo k algebricamentechiuso e di caratteristica 0. In realta non e davvero necessario richiedere che ilcampo sia algebricamente chiuso, tutto quello che diro a parte un paio di lemmivarra anche per campi non algebricamente chiusi e puo essere ricavato da quelcaso (usando astutamente la teoria di Galois). Tutti gli spazi vettoriali sarannofinito-dimensionali salvo dove esplicitamente indicato.
1.1 Sommario
• Definizione di algebra di Lie. Esempi (gl(V ), sl(V ), tn, un, l’algebra di Liedi un’algebra associativa...)
• Definizione di rappresentazione di un’algebra di Lie. Esempi: rappresen-tazioni di definizione, rappresentazione aggiunta. In gl(V ) ogni elementonilpotente e ad-nilpotente.
• Definizione di algebra di Lie nilpotente. Teorema di Engel. Definizione dinilradicale.
• Definizione di algebra di Lie risolubile. Proprieta elementari. Definizionedi radicale.
• Definizione di algebra di Lie semisemplice. [gg] = g (senza dimostrazione).
1.2 Algebre di Lie e loro rappresentazioni
Un’algebra di Lie su di un campo k e uno spazio vettoriale g con una mappa[, ] : g× g→ g bilineare tale che
• [a, a] = 0 per ogni a ∈ g (cioe [, ] e alternante)
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• Vale l’identita di Jacobi:
[a[bc]] + [b[ac]] + [c[ab]] = 0
Un po’ di esempi di algebre di Lie:
• Se V e uno spazio vettoriale finito dimensionale su k, gl(V ) e l’algebra diLie ottenuta prendendo come spazio vettoriale gli endomorfismi di V inse, e come bracket il commutatore
[a, b] = ab− ba .
Questo e in qualche senso l’esempio piu importante. Indicheremo congln(k) l’algebra di Lie delle matrici gl(kn).
• Se indichiamo con sl(V ) il sottospazio vettoriale di gl(V ) composto dallematrici a traccia nulla abbiamo che e anche una sottoalgebra di Lie.
• Il sottospazio di gln(k) composto dalle matrici triangolari superiori tn(k)e una sottoalgebra di Lie.
• Il sottospazio di tn(k) composto dalle matrici strettamente triangolarisuperiori un(k) e una sottoalgebra di Lie.
• Piu in generale, se A e un’algebra associativa possiamo dare ad A unastruttura di algebra di Lie prendendo come bracket il commutatore
[a, b] = ab− ba .
Questa e detta algebra di Lie associata all’algebra associativa A.
Un ideale di un’algebra di Lie e una sottoalgebra I ⊆ g che assorbe ilbracket. Si puo quozientare per ideali (fai il quoziente come spazi vettoriali e ilbracket passa al quoziente). Un esempio importante di ideale e l’ideale derivato[gg] definito da
[g, g] = Span([xy] | x, y ∈ g) .
Osserviamo che [gl(V ), gl(V )] = sl(V ) e che [tn(k), tn(k)] = un(k).Una rappresentazione di un’algebra di Lie g e uno spazio vettoriale V
con un omomorfismo di algebre di Lie g → gl(V ). Esempi di rappresenta-zione. La rappresentazione aggiunta di un’algebra di Lie g e quella datadall’omomorfismo
ad : g→ gl(V ) ad(x) = [x·] .
1.3 Algebre di Lie nilpotenti
Un elemento x di g si dice ad-nilpotente se adx e nilpotente, ad-semisemplicese adx e diagonalizzabile.
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Lemma 1. Per ogni x, y ∈ gl(V ) e per ogni i ≥ 1 vale
(adx)ny =
n∑i=0
(n
i
)(−1)ixiyxn−i .
In particolare ogni elemento nilpotente e ad-nilpotente.
Dimostrazione. Induzione su n, banale.
Quindi ogni elemento nilpotente di gl(V ) e ad-nilpotente.
Lemma 2. Sia g ⊆ gl(V ) una sottoalgebra di Lie composta di elementi nilpo-tenti. Allora esiste v ∈ V non nullo tale che gv = 0.
Dimostrazione. Per induzione su dim g. Infatti se dim g = 1 e ovvio. Prendiamoora h sottoalgebra massimale di g. Allora h agisce in modo naturale sullo spaziog/h, per cui per ipotesi induttiva (dato che dim h < dim g e ogni elemento di he ad-nilpotente) abbiamo che esiste x ∈ gr h tale che [hx] ⊆ h. Ma allora h⊕ xe una sottoalgebra che contiene propriamente h, quindi e g. In particolare h eun ideale. Per ipotesi induttiva
W = {v ∈ V | hv = 0}
e non banale. Inoltre xW ⊆W con un rapido conto (h(xv) = [hx]v+x(hv) = 0per ogni v ∈ W ). Ma x e nilpotente, quindi ha il nucleo non banale. Perciopreso v ∈W tale che xv = 0, da cui la tesi.
La serie centrale di un’algebra di Lie e la successione di ideali
g[0] = g, g[n+1] = [gg[n]] .
Un’algebra di Lie e detta nilpotente se g[n] = 0 per qualche n ≥ 0.Esempio: un(k) e nilpotente.Le algebre di Lie nilpotenti sono caratterizzate dal teorema di Engel:
Teorema 1. Sia g un algebra di Lie. Allora e nilpotente se e solo se ognielemento e ad-nilpotente.
Dimostrazione. Infatti se e nilpotente e evidente che ogni elemento e ad-nilpotente(se g[n] = 0, allora (adx)n = 0 per ogni x ∈ g). Viceversa per induzione sup-poniamo ogni elemento di g e ad-nilpotente. Consideriamo ad g. Questa e unasottoalgebra di gl(g) fatta di elementi nilpotenti. Allora possiamo trovare x ∈ gtale che (ad y)x = [yx] = 0 per ogni y ∈ g. Percio ky e un ideale. Allora l’al-gebra g/y e composta di elementi ad-nilpotenti e ha dimensione strettamenteminore della dimensione di g. Per induzione la tesi.
Un ideale di g e ad-nilpotente se e composto da elementi ad-nilpotenti.
Lemma 3. Sia g algebra di Lie. Allora la famiglia degli ideali ad-nilpotenti haun massimo (chiamato il nilradicale di g).
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Dimostrazione. Prendiamo una filtrazione in ideali
g = I0 ⊇ I1 ⊇ · · · ⊇ In = 0
in modo che Ii/Ii+1 sia un g-modulo irriducibile. Allora sia
Ki = ker(g→ gl(Ii/Ii+1))
e poniamo N = ∩ni=1Ki. N e chiaramente un ideale ed e composto da elementiad-nilpotenti (se x ∈ N , abbiamo che (adx)n = 0).
Sia ora I un ideale ad-nilpotente. Abbiamo che Ii/Ii+1 e una I-rappresentazione,per cui l’insieme
W = {v ∈ Ii/Ii+1 | Iv = 0}
e non banale, per il teorema precedente. Ma si vede immediatamente che gW ⊆W (perche I e un ideale) e per l’irriducibilita di Ii/Ii+1 abbiamo che e tutto,percio I ⊆ kerKi.
1.4 Algebre di Lie risolubili e semisemplici
Consideriamo la successione gn data da
g0 = g, gn+1 = [gngn] .
Un’algebra di Lie si dice risolubile se gn = 0 per qualche n ≥ 0. Esempio: tne risolubile.
Esempio: tn(k) e risolubile.Analogamente al teorema di Engel c’e una caratterizzazione delle algebre di
Lie risolubili.
Teorema 2. Un’algebra di Lie e risolubile se e solo se il suo ideale derivato [gg]e nilpotente.
Dimostrazione. No dimostrazione.
Noi saremo interessati agli ideali risolubili di un’algebra.
Proposizione 1. • Se g e un’algebra risolubile allora ogni sottoalgebra eogni algebra quoziente e risolubile.
• Se I e un ideale risolubile di g tale che g/I e risolubile allora g e risolubile.
• Se I, J sono due ideali risolubili di g allora I + J e un ideale risolubile.
Dimostrazione. Il primo fatto e banale (se h ⊆ g abbiamo che hn ⊆ gn eanalogamente per i quozienti). Il secondo segue dal fatto che
(g/I)n = 0⇒ gn ⊆ I
Il terzo e perche I e un ideale di I + J e (I + J)/I ∼= J/(J ∩ I).
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Osserviamo quindi che esiste un unico ideale risolubile massimale, chiamatoradicale di g.
Un’algebra di Lie si dice semisemplice se il suo radicale e banale.
Proposizione 2. Se g e un’algebra di Lie semisemplice allora [gg] = g.
In particolare l’unica rappresentazione unidimensionale e quella banale, per-che se ρ : g→ gl1(k) e una rappresentazione allora
ρ(g) = ρ([gg]) ⊆ [gl1(k), gl1(k)] = sl1(k) = 0 .
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