Algebre di Lie in caratteristica 0

Denis Nardin

21 febbraio 2012

Capitolo 1

Proprieta generali

In questo seminario parlero di algebre di Lie su di un campo k algebricamentechiuso e di caratteristica 0. In realta non e davvero necessario richiedere che ilcampo sia algebricamente chiuso, tutto quello che diro a parte un paio di lemmivarra anche per campi non algebricamente chiusi e puo essere ricavato da quelcaso (usando astutamente la teoria di Galois). Tutti gli spazi vettoriali sarannofinito-dimensionali salvo dove esplicitamente indicato.

1.1 Sommario

• Definizione di algebra di Lie. Esempi (gl(V ), sl(V ), tn, un, l’algebra di Liedi un’algebra associativa...)

• Definizione di rappresentazione di un’algebra di Lie. Esempi: rappresen-tazioni di definizione, rappresentazione aggiunta. In gl(V ) ogni elementonilpotente e ad-nilpotente.

• Definizione di algebra di Lie nilpotente. Teorema di Engel. Definizione dinilradicale.

• Definizione di algebra di Lie risolubile. Proprieta elementari. Definizionedi radicale.

• Definizione di algebra di Lie semisemplice. [gg] = g (senza dimostrazione).

1.2 Algebre di Lie e loro rappresentazioni

Un’algebra di Lie su di un campo k e uno spazio vettoriale g con una mappa[, ] : g× g→ g bilineare tale che

• [a, a] = 0 per ogni a ∈ g (cioe [, ] e alternante)

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• Vale l’identita di Jacobi:

[a[bc]] + [b[ac]] + [c[ab]] = 0

Un po’ di esempi di algebre di Lie:

• Se V e uno spazio vettoriale finito dimensionale su k, gl(V ) e l’algebra diLie ottenuta prendendo come spazio vettoriale gli endomorfismi di V inse, e come bracket il commutatore

[a, b] = ab− ba .

Questo e in qualche senso l’esempio piu importante. Indicheremo congln(k) l’algebra di Lie delle matrici gl(kn).

• Se indichiamo con sl(V ) il sottospazio vettoriale di gl(V ) composto dallematrici a traccia nulla abbiamo che e anche una sottoalgebra di Lie.

• Il sottospazio di gln(k) composto dalle matrici triangolari superiori tn(k)e una sottoalgebra di Lie.

• Il sottospazio di tn(k) composto dalle matrici strettamente triangolarisuperiori un(k) e una sottoalgebra di Lie.

• Piu in generale, se A e un’algebra associativa possiamo dare ad A unastruttura di algebra di Lie prendendo come bracket il commutatore

[a, b] = ab− ba .

Questa e detta algebra di Lie associata all’algebra associativa A.

Un ideale di un’algebra di Lie e una sottoalgebra I ⊆ g che assorbe ilbracket. Si puo quozientare per ideali (fai il quoziente come spazi vettoriali e ilbracket passa al quoziente). Un esempio importante di ideale e l’ideale derivato[gg] definito da

[g, g] = Span([xy] | x, y ∈ g) .

Osserviamo che [gl(V ), gl(V )] = sl(V ) e che [tn(k), tn(k)] = un(k).Una rappresentazione di un’algebra di Lie g e uno spazio vettoriale V

con un omomorfismo di algebre di Lie g → gl(V ). Esempi di rappresenta-zione. La rappresentazione aggiunta di un’algebra di Lie g e quella datadall’omomorfismo

ad : g→ gl(V ) ad(x) = [x·] .

1.3 Algebre di Lie nilpotenti

Un elemento x di g si dice ad-nilpotente se adx e nilpotente, ad-semisemplicese adx e diagonalizzabile.

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Lemma 1. Per ogni x, y ∈ gl(V ) e per ogni i ≥ 1 vale

(adx)ny =

n∑i=0

(n

i

)(−1)ixiyxn−i .

In particolare ogni elemento nilpotente e ad-nilpotente.

Dimostrazione. Induzione su n, banale.

Quindi ogni elemento nilpotente di gl(V ) e ad-nilpotente.

Lemma 2. Sia g ⊆ gl(V ) una sottoalgebra di Lie composta di elementi nilpo-tenti. Allora esiste v ∈ V non nullo tale che gv = 0.

Dimostrazione. Per induzione su dim g. Infatti se dim g = 1 e ovvio. Prendiamoora h sottoalgebra massimale di g. Allora h agisce in modo naturale sullo spaziog/h, per cui per ipotesi induttiva (dato che dim h < dim g e ogni elemento di he ad-nilpotente) abbiamo che esiste x ∈ gr h tale che [hx] ⊆ h. Ma allora h⊕ xe una sottoalgebra che contiene propriamente h, quindi e g. In particolare h eun ideale. Per ipotesi induttiva

W = {v ∈ V | hv = 0}

e non banale. Inoltre xW ⊆W con un rapido conto (h(xv) = [hx]v+x(hv) = 0per ogni v ∈ W ). Ma x e nilpotente, quindi ha il nucleo non banale. Perciopreso v ∈W tale che xv = 0, da cui la tesi.

La serie centrale di un’algebra di Lie e la successione di ideali

g[0] = g, g[n+1] = [gg[n]] .

Un’algebra di Lie e detta nilpotente se g[n] = 0 per qualche n ≥ 0.Esempio: un(k) e nilpotente.Le algebre di Lie nilpotenti sono caratterizzate dal teorema di Engel:

Teorema 1. Sia g un algebra di Lie. Allora e nilpotente se e solo se ognielemento e ad-nilpotente.

Dimostrazione. Infatti se e nilpotente e evidente che ogni elemento e ad-nilpotente(se g[n] = 0, allora (adx)n = 0 per ogni x ∈ g). Viceversa per induzione sup-poniamo ogni elemento di g e ad-nilpotente. Consideriamo ad g. Questa e unasottoalgebra di gl(g) fatta di elementi nilpotenti. Allora possiamo trovare x ∈ gtale che (ad y)x = [yx] = 0 per ogni y ∈ g. Percio ky e un ideale. Allora l’al-gebra g/y e composta di elementi ad-nilpotenti e ha dimensione strettamenteminore della dimensione di g. Per induzione la tesi.

Un ideale di g e ad-nilpotente se e composto da elementi ad-nilpotenti.

Lemma 3. Sia g algebra di Lie. Allora la famiglia degli ideali ad-nilpotenti haun massimo (chiamato il nilradicale di g).

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Dimostrazione. Prendiamo una filtrazione in ideali

g = I0 ⊇ I1 ⊇ · · · ⊇ In = 0

in modo che Ii/Ii+1 sia un g-modulo irriducibile. Allora sia

Ki = ker(g→ gl(Ii/Ii+1))

e poniamo N = ∩ni=1Ki. N e chiaramente un ideale ed e composto da elementiad-nilpotenti (se x ∈ N , abbiamo che (adx)n = 0).

Sia ora I un ideale ad-nilpotente. Abbiamo che Ii/Ii+1 e una I-rappresentazione,per cui l’insieme

W = {v ∈ Ii/Ii+1 | Iv = 0}

e non banale, per il teorema precedente. Ma si vede immediatamente che gW ⊆W (perche I e un ideale) e per l’irriducibilita di Ii/Ii+1 abbiamo che e tutto,percio I ⊆ kerKi.

1.4 Algebre di Lie risolubili e semisemplici

Consideriamo la successione gn data da

g0 = g, gn+1 = [gngn] .

Un’algebra di Lie si dice risolubile se gn = 0 per qualche n ≥ 0. Esempio: tne risolubile.

Esempio: tn(k) e risolubile.Analogamente al teorema di Engel c’e una caratterizzazione delle algebre di

Lie risolubili.

Teorema 2. Un’algebra di Lie e risolubile se e solo se il suo ideale derivato [gg]e nilpotente.

Dimostrazione. No dimostrazione.

Noi saremo interessati agli ideali risolubili di un’algebra.

Proposizione 1. • Se g e un’algebra risolubile allora ogni sottoalgebra eogni algebra quoziente e risolubile.

• Se I e un ideale risolubile di g tale che g/I e risolubile allora g e risolubile.

• Se I, J sono due ideali risolubili di g allora I + J e un ideale risolubile.

Dimostrazione. Il primo fatto e banale (se h ⊆ g abbiamo che hn ⊆ gn eanalogamente per i quozienti). Il secondo segue dal fatto che

(g/I)n = 0⇒ gn ⊆ I

Il terzo e perche I e un ideale di I + J e (I + J)/I ∼= J/(J ∩ I).

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Osserviamo quindi che esiste un unico ideale risolubile massimale, chiamatoradicale di g.

Un’algebra di Lie si dice semisemplice se il suo radicale e banale.

Proposizione 2. Se g e un’algebra di Lie semisemplice allora [gg] = g.

In particolare l’unica rappresentazione unidimensionale e quella banale, per-che se ρ : g→ gl1(k) e una rappresentazione allora

ρ(g) = ρ([gg]) ⊆ [gl1(k), gl1(k)] = sl1(k) = 0 .

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