Analisi matematica I Teorema fondamentale del calcolo integrale

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Calcolo integrale

2

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Proprietà dell’integrale definito

Teorema della media integrale

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Corollari del Teorema fond. calc. int.

Regole di integrazione definita

Calcolo di aree

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Teorema fondamentale del calcolo integrale

4

Estensione dell’integrale definito

Sia se

poniamo

e

Il simbolo risulta essere definito

per ogni

f ∈ R([a, b]);Z c

d

f(x) dx = −Z d

c

f(x) dx

Z d

c

f(x) dx

c, d ∈ [a, b]

Z c

c

f(x) dx = 0

a ≤ c < d ≤ b

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5

Proprietà 1

Additività rispetto al dominio di integrazione

Sia una funzione integrabile su un intervallo

limitato della retta reale

Per ogni si ha

I

a, b, c ∈ I,Z b

a

f(x) dx =

Z c

a

f(x) dx+

Z b

c

f(x) dx

f

6

Z b

a

³αf(x) + βg(x)

´dx =

= α

Z b

a

f(x) dx+ β

Z b

a

g(x) dx

Proprietà 2

Linearità dell’integrale definito

Siano e funzioni integrabili su un intervallo

limitato della retta reale

Per ogni e si ha

f g

I

a, b ∈ I α,β ∈ R,

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7

Proprietà 3

Positività dell’integrale definito

Siano e funzioni integrabili su un intervallo

limitato della retta reale

Siano con Se in

allora

Inoltre, se è continua, vale l’uguaglianza se e

solo se è identicamente nulla

f g

I

a, b ∈ I, a < b. f ≥ 0 [a, b],

Z b

a

f(x) dx ≥ 0

ff

8

Z b

a

f(x) dx ≤Z b

a

g(x) dx

Proprietà 4

Confronto tra integrali definiti

Siano e funzioni integrabili su un intervallo

limitato della retta reale

Siano con Se in

allora

f g

I

a, b ∈ I, a < b. [a, b],f ≤ g

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9

Proprietà 5

Maggiorazione dell’integrale definito

Sia una funzione integrabile su un intervallo

limitato della retta reale

Siano con Allora

I

a, b ∈ I, a < b.

¯̄̄̄¯Z b

a

f(x) dx

¯̄̄̄¯ ≤

Z b

a

|f(x)| dx

f

Teorema fondamentale del calcolo integrale

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11

Definizione

Si definisce media integrale (o valor medio) di

sull’intervallo il numerof

[a, b]

m(f ; a, b) =1

b− a

Z b

a

f(x) dx

12

Definizione

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13

Significato geometrico

Se è positiva sull’intervallo riscrivendo la

definizione come

si osserva che l’area del trapezoide di su

è uguale all’area del rettangolo avente come

base intervallo e come altezza la media

integrale di su tale intervallo

f [a, b]

f [a, b]

[a, b]

f

Z b

a

f(x) dx = (b− a)m(f ; a, b)

14

Definizione

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15

Teorema della media integrale

Sia una funzione integrabile sull’intervallo

La media integrale di su soddisfa le

seguenti disuguaglianze

Inoltre, se è continua su esiste almeno

un punto

f

f [a, b]

infx∈[a,b]

f(x) ≤ m(f ; a, b) ≤ supx∈[a,b]

f(x)

f [a, b]

z ∈ [a, b]m(f ; a, b) = f(z)

[a, b]

16

Dimostrazione

Poniamo e

Per ogni si ha

infx∈[a,b]

f(x) ≤ m(f ; a, b) ≤ supx∈[a,b]

f(x)

if = infx∈[a,b]

f(x) sf = supx∈[a,b]

f(x)

x ∈ [a, b]

if ≤ f(x) ≤ sf

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17

Dimostrazione

Ricordando la Proprietà 4, si ottiene

ricordando l’espressione dell’integrale di una

costante, si ha

Z b

a

if dx ≤Z b

a

f(x) dx ≤Z b

a

sf dx

Z b

a

if dx = (b− a) ifZ b

a

sf dx = (b− a) sf

if ≤ f(x) ≤ sf

e

18

Dimostrazione

Dunque

Dividendo per si ottengono le

disuguaglianze voluteb− a

(b− a) if ≤Z b

a

f(x) dx ≤ (b− a) sf

if ≤1

b− a

Z b

a

f(x) dx ≤ sf

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19

Dimostrazione

Se ora supponiamo continua, per il Teorema di

Weierstrass si ha

e dunque la prima parte del teorema garantisce

che è un valore compreso tra il

minimo e il massimo di su

m(f ; a, b)

f [a, b]

if = minx∈[a,b]

f(x) sf = maxx∈[a,b]

f(x)e

f

20

Dimostrazione

L’esistenza di una punto per cui vale la

segue da una conseguenza del Teorema dei

valori intermedi

z

m(f ; a, b) = f(z)

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21

Esempio 1

Consideriamo la funzione continua

sull’intervallo

f(x) =0 ≤ x ≤ 1,

1 < x ≤ 2

se

se

2x

2

[0, 2]

22

Esempio 1

La sua media integrale è

m(f ; 0, 2) =1

2

Z 2

0

f(x) dx

=1

2

µZ 1

0

2x dx+

Z 2

1

2 dx

¶=1

2(1 + 2) =

3

2

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23

Esempio 1

La media integrale è un valore assunto dalla

funzione; infatti si ha

m(f ; 0, 2) = f(3

4)

24

Esempio 1

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25

Esempio 2

Consideriamo la funzione continua a tratti

f(x) =se

se

0 ≤ x ≤ 1,

x > 1

2x

5

26

Esempio 2

La media integrale di sull’intervallo è

data da

f [0, 2]

m(f ; 0, 2) =1

2

Z 2

0

f(x) dx

=1

2

µZ 1

0

2x dx+

Z 2

1

5 dx

¶

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27

Esempio 2

La media integrale di sull’intervallo è

data da

f [0, 2]

m(f ; 0, 2) =1

2

µZ 1

0

2x dx+

Z 2

1

5 dx

¶=1

2(1 + 5) = 3

28

Esempio 2

e tale valore non è assunto dalla funzione

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29

Esempio 2

30

Esempio 2

La media integrale di sull’intervallo vale f [0, 54 ]

m(f ; 0,5

4) =

4

5

Z 5/4

0

f(x) dx

=4

5

ÃZ 1

0

2x dx+

Z 5/4

1

5 dx

!

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31

Esempio 2

La media integrale di sull’intervallo vale f [0, 54 ]

=4

5

ÃZ 1

0

2x dx+

Z 5/4

1

5 dx

!m(f ; 0,

5

4)

=4

5(1 +

5

4) =

9

5

32

Esempio 2

In questo caso la media è un valore assunto dalla

funzione perché

m(f ; 0,5

4) = f(

9

10)

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33

Osservazione 1

Questo esempio illustra il fatto che la continuità

di è una condizione sufficiente, ma non

necessaria, perché valga la

f

m(f ; a, b) = f(z)

34

Osservazione 2

La media integrale di una funzione su un

intervallo di estremi e non dipende

dall’ordine degli estremi dell’intervallo

a b

m(f ; a, b) =1

b− a

Z b

a

f(x) dx

= m(f ; b, a)=1

a− b

Z a

b

f(x) dx

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Teorema fondamentale del calcolo integrale

36

Definizione

Sia una funzione definita su un intervallo

e integrabile su ogni sottointervallo chiuso e

limitato di

Si dice funzione integrale di su ogni funzione

della forma

dove è un punto fissato e è variabile

nell’intervallo

I ⊆ Rf

I

x0 ∈ I x

I

f I

F (x) = Fx0(x) =

Z x

x0

f(s) ds

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37

Osservazione

Risulta

Fx0 : I → R Fx0(x0) = 0e

F (x) = Fx0(x) =

Z x

x0

f(s) ds

38

Teorema

Sia definita e continua su un intervallo

Sia e sia

una funzione integrale di su

è derivabile in ogni punto di e si ha

I ⊆ Rf

x0 ∈ I

F (x) =

Z x

x0

f(s) ds

f I

I⇒ F

F 0(x) = f(x), ∀x ∈ I

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39

Dimostrazione

Sia interno ad e sia un incremento tale

che

Consideriamo il rapporto incrementale di tra

e

x I ∆x

x+∆x ∈ IxF

x+∆x

=1

∆x

ÃZ x+∆x

x0

f(s) ds−Z x

x0

f(s) ds

!F (x+∆x)− F (x)

∆x=

40

Dimostrazione

Si ha

e dunque

Z x+∆x

x0

f(s) ds =

Z x

x0

f(s) ds+

Z x+∆x

x

f(s) ds

F (x+∆x)− F (x)∆x

=1

∆x

Z x+∆x

x

f(s) ds

= m(f ;x, x+∆x)

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41

Dimostrazione

42

Dimostrazione

Per il Teorema della media integrale applicato alla

funzione continua esiste un punto

tra e per cui

f, z = z(∆x)

x+∆xx

m(f ;x, x+∆x) = f(z(∆x))

F (x+∆x)− F (x)∆x

= f(z(∆x))

dunque

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43

Dimostrazione

Supponiamo . Dalla relazione

e dal Teorema del doppio confronto sui limiti,

si ha

Similmente

e quindi

∆x > 0

x ≤ z(∆x) ≤ x+∆x

lim∆x→0+

z(∆x) = x

lim∆x→0−

z(∆x) = x

lim∆x→0

z(∆x) = x

44

Dimostrazione

Usando la continuità di in si ha

Pertanto, passando al limite nella relazione

f x

lim∆x→0

f(z(∆x)) = f( lim∆x→0

z(∆x)) = f(x)

F (x+∆x)− F (x)∆x

= m(f ;x, x+∆x)

= f(z(∆x))

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45

Dimostrazione

si ottiene

F 0(x) = lim∆x→0

F (x+∆x)− F (x)∆x

= f(x)

Nel caso in cui il punto sia un estremo

dell’intervallo si procede come sopra

considerando limiti unilaterali destro o sinistro

x

I

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47

Corollario 1

Sia una funzione integrale di una funzione

continua su

Se è una qualunque primitiva di su

f IFx0

f IG

⇒

Fx0(x) = G(x)−G(x0), ∀x ∈ I

48

Dimostrazione

Per il Teorema di caratterizzazione delle primitive,

esiste una costante tale che

Il valore della costante è determinato dalla

condizione

ossia

c

Fx0(x) = G(x)− c, ∀x ∈ I

c = G(x0)

Fx0(x0) = 0

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49

Corollario 2

Sia una funzione continua sull’intervallo

Sia una primitiva di su tale intervallo

[a, b]f

fG

⇒ Z b

a

f(x) dx = G(b)−G(a)

50

Dimostrazione

Se indica la funzione integrale di che si

annulla in si ha

Il risultato segue allora dal corollario precedente

con e

fFa

Z b

a

f(x) dx = Fa(b)

a,

x0 = a x = b

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51

Osservazione

È comune indicare la differenza

con una delle seguenti espressioni: G(b)−G(a)

[G(x)]ba G(x)|baoppure

52

Esempi

Si ha Z 1

0

x2 dx =

∙1

3x3¸10

=1

3Z π

0

sinx dx = [− cosx]π0 = 1 + 1 = 2Z 6

2

1

xdx = [log x]62 = log 6− log 2 = log 3

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53

Corollario 3

Sia una funzione derivabile in un intervallo

con derivata continua

per ogni vale

f I,

⇒ x0 ∈ I,

f(x) = f(x0) +

Z x

x0

f 0(s) ds, ∀x ∈ I

54

Dimostrazione

È sufficiente osservare che è una primitiva

della sua derivata

Dunque otteniamo

f

Z x

x0

f 0(s) ds = [f(x)]xx0 = f(x)− f(x0)

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55

Sia una funzione continua in un intorno di

soddisfacente per con

la sua primitiva

soddisfa per

In formule, possiamo scrivere che

Corollario 4

0

α ≥ 0⇒ ψ(x) =

Z x

0

ϕ(s) ds

Z x

0

o(sα) ds = o(xα+1) x→ 0per

ϕ

ϕ(x) = o(xα) x→ 0,

ψ(x) = o(xα+1) x→ 0

56

Dimostrazione

Applicando il Teorema di de l’Hôpital, abbiamo

che

limx→0

ψ(x)

xα+1= limx→0

ψ0(x)(α+ 1)xα

=1

α+ 1limx→0

ϕ(x)

xα= 0

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57

Esempio 1

Vogliamo determinare lo sviluppo di Maclaurin

della funzione

La sua derivata è

e dunque, per il Corollario 3, possiamo scrivere

f(x) = arctanx

f 0(x) =1

1 + x2

arctanx =

Z x

0

1

1 + s2ds

58

Esempio 1

Lo sviluppo di Maclaurin della funzione

con la sostituzione è dato da f 0(s),

x = s2,

=mXk=0

(−1)ks2k + o(s2m+1)

1

1 + s2= 1− s2 + s4 − · · ·+ (−1)ms2m + o(s2m+1)

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59

Esempio 1

Integrando termine a termine e usando il

Corollario 4, otteniamo lo sviluppo di Maclaurin

della funzione f(x)

60

Esempio 1

=

mXk=0

(−1)k x2k+1

2k + 1+ o(x2m+2)

= x− x3

3+x5

5− · · ·+ (−1)m x

2m+1

2m+ 1+ o(x2m+2)

arctan x =

=

Z x

0

¡1− s2 + s4 − · · ·+ (−1)ms2m + o(s2m+1)

¢ds

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61

Esempio 2

Vogliamo determinare lo sviluppo di Maclaurin

della funzione

Possiamo scrivere

f(x) = arcsinx

arcsinx =

Z x

0

1√1− s2

ds

62

Esempio 2

Usando lo sviluppo di con

e con la sostituzione otteniamo

1√1− x2 α = −1

2

x = −s2,

=

mXk=0

¯̄̄̄µ− 12k

¶¯̄̄̄s2k + o(s2m+1)

= 1 +1

2s2 +

3

8s4 + · · ·+

¯̄̄̄µ− 12m

¶¯̄̄̄s2m + o(s2m+1)

1√1− s2

=

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63

Esempio 2

Integrando termine a termine e usando il

Corollario 4, otteniamo lo sviluppo di Maclaurin

della funzione f(x)

64

Esempio 2

=

mXk=0

¯̄̄̄µ− 12

k

¶¯̄̄̄x2k+1

2k + 1+ o(x2m+2)

=x +x3

6+3x5

40+ · · ·+

¯̄̄̄µ− 12

m

¶¯̄̄̄x2m+1

2m + 1+ o(x2m+2)

=

Z x

0

µ1 +

1

2s2 +

3

8s4 + · · · +

¯̄̄̄µ− 12m

¶¯̄̄̄s2m + o(s2m+1)

¶ds

arcsin x =

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Teorema fondamentale del calcolo integrale

66

Regola di integrazione per parti

Siano e funzioni derivabili su un intervallo

con derivate continue f g

[a, b],

Z b

a

f(x)g0(x) dx = [f(x)g(x)]ba −Z b

a

f 0(x)g(x) dx

⇒

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67

Dimostrazione

Sia una qualunque primitiva della funzione

su

La regola di integrazione indefinita per parti dice

precisamente che la funzione

è una primitiva della funzione

Pertanto, si ha

H(x)

f 0(x)g(x) [a, b]

f(x)g(x)−H(x)f(x)g0(x)

= [f(x)g(x)]ba −Z b

a

f 0(x)g(x) dx

Z b

a

f(x)g0(x) dx = [f(x)g(x)]ba − [H(x)]ba

68

Regola di integrazione per sostituzione

Sia una funzione continua su un intervallo

e sia una sua primitiva

Sia una funzione definita su un intervallo

a valori nell’intervallo derivabile con

derivata continua

f(y)

[a, b] F (y)

ϕ(x)

[α,β] [a, b],

⇒Z β

α

f(ϕ(x))ϕ0(x) dx =Z ϕ(β)

ϕ(α)

f(y) dy

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69

Regola di integrazione per sostituzione

Se la funzione è una biiezione tra l’intervallo

e l’intervallo [a, b][α,β]

⇒

ϕ

Z b

a

f(y) dy =

Z ϕ−1(b)

ϕ−1(a)f(ϕ(x))ϕ0(x) dx

70

Esempio 1

Si voglia calcolare

Poniamo si ha

Z 3π/4

0

sin3 x cosx dx

y = ϕ(x) = sinx,

ϕ0(x) = cosx, ϕ(0) = 0, ϕ(3π

4) =

1√2

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71

Esempio 1

Pertanto, si ottieneZ 3π/4

0

sin3 x cosx dx =

Z 1/√2

0

y3 dy

ϕ0(x) = cosx, ϕ(0) = 0, ϕ(3π

4) =

1√2

72

Esempio 1

Pertanto, si ottiene

Si noti che non è iniettiva sull’intervallo

Z 3π/4

0

sin3 x cosx dx =

Z 1/√2

0

y3 dy

=

∙1

4y4¸1/√20

=1

16

ϕ [0,3π

4]

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73

Esempio 2

Si voglia calcolare

Poniamo con variabile

nell’intervallo

S =

Z 1

0

arcsinp1− y2 dy

y = ϕ(x) = cosx, x

[0, π2 ]

74

Esempio 2

In tale intervallo è strettamente decrescente e

dunque iniettiva inoltre, si ha

Notiamo inoltre che si ha

ϕ

ϕ(π

2) = 0,ϕ(0) = 1, ϕ−1(1) = 0

arcsinp1− cos2 x = arcsin

psin2 x

= arcsin(sinx) = x

ϕ−1(0) =π

2,

y = ϕ(x) = cosx, x ∈ [0, π2]

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75

Esempio 2

Dunque

S =

Z 0

π/2

(arcsinp1− cos2 x) (− sinx) dx

=

Z π/2

0

x sinx dx

=£− x cosx

¤π/20

+

Z π/2

0

cosx dx

76

Esempio 2

Dunque

S =

Z 0

π/2

(arcsinp1− cos2 x) (− sinx) dx

=

Z π/2

0

x sinx dx

=£− x cosx

¤π/20

+

Z π/2

0

cosx dx

=£sinx

¤π/20

= 1

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77

Corollario

Sia una funzione integrabile sull’intervallo

Se è pari

Se è dispari

f

[−a, a], a > 0f ⇒Z a

−af(x) dx = 2

Z a

0

f(x) dx

f ⇒Z a

−af(x) dx = 0

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79

Esempio 1

Calcoliamo l’area della regione del piano

racchiusa tra le curve di equazione

e y = f(x) = x2 y = g(x) =√x

A

80

Esempio 1

Le curve si intersecano nei due punti di

ascisse e

La regione a cui siamo interessati è la differenza

tra il trapezoide della funzione e quello della

funzione relativi all’intervallo

x = 0 x = 1

[0, 1]g

f

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81

Esempio 1

Pertanto

A =

Z 1

0

g(x) dx−Z 1

0

f(x) dx

=

Z 1

0

[√x− x2] dx =

∙2

3x3/2 − 1

3x3¸10

=1

3

82

Esempio 2

Determiniamo l’area della regione del piano

delimitata dalla parabola

e dalla retta

y = f(x) = x(1− x)

y = g(x) = −x2

A

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83

Esempio 2

Le due curve si intersecano nell’origine e nel

punto di coordinate

Nell’intervallo si ha sempre

(3

2,−34)

[0,3

2] f(x) ≥ g(x)

84

Esempio 2

La regione di interesse si trova in parte nel

semipiano delle ordinate positive, in parte in

quello delle ordinate negative

La sua area può essere calcolata come

A =

Z 3/2

0

(f(x)− g(x)) dx

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85

Esempio 2

Si osservi che è anche l’area della regione

differenza tra il trapezoide della funzione traslata

e il trapezoide della funzione

traslata

f(x) +3

4

g(x) +3

4

A

86

Esempio 2

Applicando una traslazione verticale che porta

l’asse delle ascisse nel punto di ordinata

l’area non cambia

Pertanto

y = −34,

A =

Z 3/2

0

µ3

2x− x2

¶dx =

∙3

4x2 − 1

3x3¸3/20

=9

16

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87

Esempio 2