Scambi fra Scambi fra donatori di reni:donatori di reni:
Scambi fra Scambi fra donatori di reni:donatori di reni:
modellizzazione e “mechanism modellizzazione e “mechanism design”design”
modellizzazione e “mechanism modellizzazione e “mechanism design”design”
Liste d’attesa per un Liste d’attesa per un trapianto di renetrapianto di rene
al 31 dicembre 2005:al 31 dicembre 2005:• Iscritti: 6362• Tempo media d’attesa: 2,99 anni• Percentuale mortalità: 1,52%
Trapianti di rene nel Trapianti di rene nel 20052005
• 1662 interventi
• 75 da donatore vivente
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
2002 2003 2004 2005
rene
fegato
cuore
Liste d’attesa Liste d’attesa rene – fegato - cuorerene – fegato - cuore
Idea alla base del lavoro:Idea alla base del lavoro:• Implementare scambi tra coppie
donatore-paziente tra di loro non compatibili
Paziente1Paziente1 Paziente2Paziente2
Donatore2Donatore2
Donatore1Donatore1
Semplificazioni al Semplificazioni al problema:problema:
• Scambi tra coppie
• Modello statunitense: compatibilità 0-1
• N = {1,2,…,n} insieme di pazienti
• Di donatori per il paziente i
• A insieme dei matching
• R insieme dei preordini degli elementi di N sull’insieme A
Modellizzazione del Modellizzazione del problema:problema:
Matching in A:Matching in A:
il paziente i non viene associato
i viene associato a j, se c’è compatibilitàavverrà lo scambio
• Consideriamo:
•Le preferenze di i sono:
Consideriamo:Consideriamo:
Pareto-efficienti: massimali
scambio tra i e j
il paziente i non riceve un rene
Razionalità individuale:
Implementiamo la “social choice rule”:
attraverso il attraverso il meccanismo di prioritàmeccanismo di priorità
Ordine di priorità: permutazione dei pazienti in modo che il k-esimo giocatore abbia la k-esima priorità
Meccanismo di priorità
Consideriamo un ordine di priorità (1,2,…,n) sui pazienti
Definendo la game form attraverso il meccanismo di priorità, una strategia
dominante consiste nel:
• dichiarare come accettabile l’intero insieme di giocatori;
• dichiarare interamente il proprio insieme di donatori
Decomposizione di Gallai-Edmonds
Underdemanded patients:
Overdemanded patients:
Perfectly matched patients:
Esempio di gioco:
33
44
66 16161515
1414
1212
111110108877
22
99
1313
55
11
OverdemandedOverdemanded
Underdemanded:Underdemanded: 2,1\NN U
• Lotteria: distribuzione di probabilità sull’insieme dei matching
• Meccanismo stocastico: procedura sistematica che seleziona una lotteria
Meccanismo egualitarioMeccanismo egualitario
• Matrice di allocazione: riassume la probabilità che i sia associato con j
• Profilo di utilità: :
• Chiamiamo D l’insieme delle componenti dispari tra gli underdemanded patients, riordinate in ordine decrescente di priorità
• Consideriamo:Definiamo l’insieme dei vicini di in I:
• Per ogni definiamo
Partizioniamo in e in
nel seguente modo:
Passo 1:
Passo k:
Costruiamo nel modo seguente:
Profilo di utilità egualitarioProfilo di utilità egualitario
Il profilo di utilità egualitario è fattibile.
Nel nostro esempio:
Esempio di gioco:
33
44
66 16161515
1414
1212
111110108877
22
99
1313
55
11
OverdemandedOverdemanded
Underdemanded:Underdemanded: 2,1\NN U
Dominanza secondo LorenzDominanza secondo LorenzRiordiniamo il vettore in ordine crescente
Diciamo che il profilo di utilità egualitario domina secondo Lorenz ogni altro profilo di utilità fattibile, cioè che
per ogni v profilo di utilità fattibile ordinato in ordine crescente
Curva di LorenzPer una popolazione di cardinalità n, alla quale viene attribuita una sequenza di valori
in ordine crescente, la curva di Lorenz è la poligonale che congiunge dove
Per il nostro esempio:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
% of households
% o
f in
com
e
Indice di Gini
L’indice di Gini per il nostro problema è quindi dell’ 8,85%
Coefficiente di Gini:
Nel nostro esempio:
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