RSA e questioni relative
Rossella Ascione
Il crittosistema RSA
•Introduzione al crittosistema RSA
•Firme digitali e RSA
•Attacchi a RSA
Il crittosistema RSA
1978 :Ron Rivest,
Adi Shamir
Leonard Adleman
realizza un’intuizione rivoluzionaria di Diffie, Hellmann e Merkle che nel 1976 tentarono di inventare una tecnica di cifratura che non fosse a chiave simmetrica
Crittosistema a
Chiave Pubblica
crittosistema a chiave pubblica
ciascun utente sceglie una funzione crittografica che dipende da alcuni parametri, ma rende noti solo quelli che permettono di codificare i messaggi a lui diretti, mantenendo segreti quelli necessari alla decodifica
l’inversione della funzione di cifratura fk e computazionalmente difficile per tutti, mittente compreso, ma non per il destinatario che possiede l’informazione necessaria (chiave di decifratura) per il calcolo efficiente di fk
−1 .
Def: Una biezione f:AB viene detta funzione unidirezionale se il calcolo di aєA
è realizzabile con una complessità polinomiale per tutti gli a єA , mentre il calcolo di f-1(b) non
lo è per quasi tutti i bєB
analogia della ”scatola a due lucchetti”
Supponiamo che A desideri mandare un messaggio segreto a B. Allora:
1) A chiude il messaggio in una scatola con un lucchetto LA, di cui solo A ha la chiave, e invia la scatola a B.
2) Ricevuta la scatola, l’utente B aggiunge un lucchetto LB, di cui è il solo a possedere la chiave, e rinvia il tutto ad A.
3) Ricevuta la scatola chiusa con i due lucchetti LA e LB, l’utente A libera la scatola dal proprio lucchetto LA e la rinvia a B.
4) Ricevuta la scatola, l’utente B libera la scatola dal proprio lucchetto LB e legge il messaggio di A.
Dalla precedente analogia della ”scatola con lucchetti”…
Diffie, Hellmann e Merkle osservarono ”semplicemente” che un lucchetto si può chiudere senza usare alcuna chiave(!):
1) l’utente A progetta e costruisce un lucchetto e una chiave unica per aprirlo
2) A rende disponibili al pubblico copie del lucchetto, ma conserva la chiave;
3) un qualunque altro utente B che desidera potrà procurarsi una copia di tale lucchetto in un punto di distribuzione;
4) se B desidera inviare un messaggio ad A, allora chiude tale messaggio in una scatola chiusa con il lucchetto di A e la spedisce ad A.
Idea base di RSA
A sceglie due primi p, q distinti e sufficientemente grandi
Calcola n= pq Calcola φ(n)=(p-1)(q-1)=n-p-q+1 Sceglie un numero casuale e di N coprimo con φ(n) Calcola d di Z*n l’inverso di e modulo φ(n)
Rende nota la coppia (n, e) come sua chiave pubblica
Tiene segreti la coppia (φ(n), d) come chiave privata
Se B volesse mandare un messaggio ad A…
Se un utente B desidera mandare un messaggio segreto ad A deve calcolare l’equivalente numerico x di tale messaggio modulo n e utilizzare la funzione crittografica di A che può esere calcolata da tutti gli utenti del sistema:
nmody)x(f d1A
Cioè eleva x ad e modulo n e lo invia ad A
Ricevuto il messaggio l’utente A utilizza la funzione di decifratura solo a lui nota:
nmodx)x(f eA
Cioè eleva il messaggio ricevuto a d modulo n.. Infatti poichè
))n((mod1ed Si ottiene
edde xx )n(modx
La sicurezza del sistema dipende
dalla difficoltà di scomporre n nei suoi fattori primi
È possibile svelare φ(n)?
Prop: Sia n=pq con p e q primi. Allora
1. Noti p, q e n, il calcolo di φ(n) ha complessità computazonale O(logn)
2. Noti n e φ(n) il calcolo di p e q ha complessita computazionale O(log3n)
Dim: Se n è pari allora p=2 e q=n/2 e φ(n)=n/2-1
Se n è dispari
φ(n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q)
P+q=n+1-φ(n) . Quindi di p e q conosciamo somma e prodotto quindi p e q sono soluzioni dell’eq:X2 –(p+q)x+n=0
Per ricavare p e q abbiamo quindi bisogno dell’estrazione della radice quadrata intera che ha complessita computazionale pari a O(log3n)
Per mantenere un corretto funzionamento del crittosistema, ogni utente deve tenere segreto, oltre ai parametri p, q e d che ha scelto, anche φ(n)
Se conosco n, e e d
La conoscenza di n, e e d consente di fattorizzare comunque efficientemente n mediante un determinato algoritmo probabilistico che basato sulla scelta casuale di un a
u21
Si dimostra che iterando u volte la scelta casuale di a si ottiene un algoritmo di fattorizzazione che termina con successo con probabilità maggiore o uguale di e complessità computazionale
)nlogu(O 3
Concludendo ogni utente deve
Assolutamente tenere Segreto d
Estensione al caso (x,n)>1
Teorema: Sia nєN prodotto di primi distinti. Se m≡1 modφ(n) allora
am ≡a mod n per ogni a єZ
Se (n, x)≠1
(n,x) potrebbe fornire un fattore non banale di n consentendo di violare completamente il crittosistema
(n,x)=n In particolare si può osservare che un utente B potrebbe determinare i fattori di n generando casualmente un numero sufficientemente grande di elementi x e verificando di volta in volta se (n, x) ≠1
Si dimostra però che la probabilità di trovare un tale x risulta molto bassa e che la complessità computazionale di tale attacco è maggiore di quello degli algoritmi di fattorizzazione di n
Una versione leggermente diversa di RSA…
)n(
Funzione di Eulero
)n(
Funzione di Carmichael
A sceglie (se ci riesce) due primi p, q distinti e sufficientemente grandi)
Calcola n= pq Calcola φ(n)=(p-1)(q-1)=n-p-q+1 Sceglie un numero casuale e di N
coprimo con φ(n) Calcola d di Z*n l’inverso di e
modulo φ(n) Rende nota la coppia (n, e) come
sua chiave pubblica Tiene segreti p, q e d cioè la coppia
(φ(n), d) come chiave privata
•Calcola λ(n)=φ(n)/(p-1,q-1)•Sceglie un numero casuale e di N coprimo con λ(n)
•Calcola d di Z*n l’inverso di e modulo λ(n)
Vantaggio di tale metodo:
L’operazione di decifratura risulta essere più veloce
che nel caso standard
Il sistema appena presentato si è rivelato essere adatto a soddisfare tutti i requisiti minimi di base (riservatezza, integrità, autenticità, non-ripudiabilità) richiesti ad un buon sistema crittografico dal punto di vista pratico.
Ciò grazie alla disponibilità di algoritmi ragionevolmente efficienti, affidabili e rapidi per:
•generare le chiavi, private e non, degli utenti •per testare i parametri soddisfacenti particolari proprietà •per calcolare i valori della funzione crittografica •per testare il carattere unidirezionale della funzione crittografica
Firma digitale e RSA
Problema di certificare la nostra identità con una firma digitale
CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA
Schema generale di firma digitale
A, B utenti di un sistema a chiave pubblica fA
e fB funzioni di cifratura (pubbliche) fA
-1 e fB-1 funzioni di decifratura (segrete)
A desidera mandare un A desidera mandare un messaggio x a Bmessaggio x a B
•A manda fB(x)•Per certificare la propria identità invia la quantità fB(fA
-1(sA)) con fA
-1(sA) firma digitale di A e sA un nome convenzionale di A in cui si include un numero progressivo , tempo in cui è stato spedito il messaggio, numero IP della machina speditrice
B decifra il messaggio x…B decifra il messaggio x…
•Utilizzando fB-1 e ottiene x
•Per controllare che il mittente sia A applica alla funzione fB(fA
-1(sA)) la funzione a lui nota fAfB
-1 e ottiene sA
Il sistema funziona bene poiché solo A può aver
firmato il messaggiopoiché solo A conosce solo A conosce
ffAA-1-1
Rischi di tale sistema
1. Potrebbe esistere un utente intruso C che renda pubblica una chiave attribuendola ad A, divenendo automaticamente capace di spacciarsi per A
Introduzione di un ENTE CERTIFICATOREENTE CERTIFICATORE
Rischi di tale sistema
1. Potrebbe capitare che un intruso riesca ad identificare fA
-1(sA) utilizzando un numero opportuno di messaggi intercettati
Far dipendere la Firma digitale
Dal messaggio stesso
La firma digitale diviene fA
-1(h(M))
è una sequenza di bit di lunghezza fissata detta IMPRONTA DI M che viene ottenuta da M mediante una opportuna funzione di hash h
h(M) IMPRONTA DI M
Sono funzioni che hanno la caratteristica di non consentire di risalire a M conoscendo solo h(M),e di avere una buona probabilità di non generare collisioni
Tale funzione viene messa a disposizione degli utenti dall’ente certificatore, ne viene utilizzata una sola per tutti gli utenti del crittosistema
Come funziona…
Per accertarsi dell’assenza di manomissioni B dovrà
Applicare a fA-1(h(M)) la fA e otterrà h(M)
Ricalcolare l’impronta di M h(M) per mezzo della funzione di hash
Firma digitale: certificazione dell’identità con RSA
Problema: gli spazi dei messaggi cifrati sono a priori diversi poiché A lavora su ZnA e B lavora su ZnB in generale diversi.
A sceglie una firma digitale sAє ZnA che rende pubblica
Per convincere B della propria identità , in calce al proprio messaggio A invia una forma crittografica della firma, e precisamente
mA=fB(fA-1(sA)) se nA<nB; mA=fA
-1(fB(sA)) se nA>nB
Per assicurarsi dell’identità di A, B calcola
fA(fB-1
(mA)) se nA<nB; fB-1 (fA(mA)) se nA>nB
Attacchi a RSA
Chosen-ciphertext:
Un intruso C vuole determinare il testo in chiaro M di una codifica C inviata ad A
C Sceglie un intero casuale R e chiede ad A la decodifica del messaggio C1≡ReAC mod nA
In questo modo C ottiene ReAdACdA mod nA alla quale applicando R-1 si ottiene M
mai applicare la propria funzione di decifratura o la propria firma digitale ad un documento casuale
Attacchi elementari: scelta dei possibili
messaggi in chiaro troppo limitati
Si provano a codificare tutti i messaggi in chiaro fino a che non viene determinato quello la cui codifica è uguale al messaggio intercettato
•Scelta del modulo di n fissata per tutti gli utenti
1. Se A sa che B ha il suo stesso n, allora conosce p, q, φ(n) e d di B
2. Un intruso può ricavare da due codifiche C1 e C2 ricavate mediante due chiavi pubbliche (n, e1) e (n, e2) con (e1,e2)=1, il messaggio M stesso
Poiché (e1, e2)=1 con l’algoritmo di euclide si calcola r,sєZ tali che re1+se2=1 e poi calcolare
Cr1 Cs
2≡Mre1+se2=M mod n
ogni n non deve essere utilizzata da piu’ di un utente
Punti fissi:I messaggi da trasmettere non devono essere dei punti fissi della funzione di cifratura, cioè non deve accadere
f(M)≡M mod n
Messaggio cifrato=
Messaggio in chiaro
Per non avere molti punti fissi si dimostra che e deve essere scelto in modo tale che (e-1, p-1, q-1) sia piccolo
Cycling attack:
Funzione di cifratura con periodo troppo corto
Il più piccolo k tale che:
nmodMMke
Sia “piccolo”
Teorema: Sia (n,e) una chiave pubblica RSA e MєZ*n. Sia r il più grande divisore primo di p-1 e l sia il più grande divisore primo di r-1. Allora
P(k≥l) ≥(1-l/r)(1-1/l)
Per diminuire la possibilità di cycling attack bisogna scegliere p e q in modo tale che sia r che l siano grandi
Attacco causato da una chiave privata troppo piccola:
Teorema(Wiener): Sia p<q<2p, n=pq, . Dati n ed e tali che ed≡1modφ(n),esiste un algoritmo deterministico polinomiale in logn che consente di determinare d
6
nd
41
Due metodi per non intercorrere in questo tipo di attacco
1. Scegliere e>n3/2 con un conseguente aumento del tempo di cifratura
2. Usare il teorema cinese del resto per ottenere una decifratura “veloce” senza dover scegliere d piccolo
Attacco a partire da una conoscenza parziale della chiave privata(e “piccolo”)
Teorema (Boneh, Durfee e Frankel):
Sia n≡3mod4, n1/2/2<q<p<2n1/2 e sia d una chiave privata di RSA. Siano note le [log2n]/4 cifre meno significative di d. Sia inoltre e<2[log2n]/4-3. Allora esiste un algoritmo che determina completamente d con complessita polinomiale in logn
I seguenti risultati affermano che è possibile ricostruire completamente d nel caso in cui e sia piccolo, a partire da una conoscenza di una frazione dei bit costituenti l’espansione binaria di d.
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