InterferenzaInterferenza
1. L’interferenza 2. Il principio di Huygens3. L’esperienza di Young 4. L’interferometro di Michelson5. Interferenza su lamine sottili6. Schiera di fenditure
OTTICA
Natura della luce: Corpuscolare e ondulatoria
• Ottica geometrica
Si ignora il carattere ondulatorio della luce e si parla di raggi luminosi che si propagano in linea retta.
Fenomeni della RIFLESSIONE e RIFRAZIONE: studio dei sistemi ottici centrati.
• Ottica fisica
Si occupa della natura ondulatoria della luce.
Fenomeni quali INTERFERENZA, DIFFRAZIONE e POLARIZZAZIONE.
Questi fenomeni non si possono spiegare adeguatamente con l’ottica geometrica, ma considerando la natura ondulatoria della luce si raggiunge una descrizione soddisfacente.
1. L’interferenza1. L’interferenza
il trionfo dell’ottica ondulatoria (Young, 1801-1803)
il trionfo dell’ottica ondulatoria ovvero: (Young, 1801-1803)
Tomas Young dimostrò sperimentalmente per primo la validità della teoria ondulatoria della luce e ne misurò la lunghezza d'onda.
In generale si ha interferenza quando due o più onde dello stesso tipo e stessa frequenza, con una differenza di fase costante tra di loro, attraversano la stessa regione dello spazio nello stesso istante.
1. L’interferenza1. L’interferenza
Considerazioni introduttive.Consideriamo due onde piane monocromatiche:
) cos( ) (z, 111011 ϕ+ω−= tzkEtE
) cos( ) (z, 222022 ϕ+ω−= tzkEtE
per il principio di sovrapposizione:
) (z, ) (z, ) (z, ) (z, 21ris tttt EEEE +=≡
) cos() cos( ) (z, 2220211101 ϕ+ω−+ϕ+ω−= tzkEtzkEtE
ovvero:
l’interferenzal’interferenza
si noti,riguardo al periodo temporale:
)cos( )( 11011 ϕ+ω= tEtE
)cos( )( 22022 ϕ+ω= tEtE
T1
T2
)( )( )( 21 ttt EEE +=
T = m.c.m.(T1, T2)
l’interferenza materiale del ticacaratteris impedenza εµ
=Zl’interferenza
quindi l’intensità luminosa associata a E è:
tt dZE
TdtS
TSI
TT
T 1 )( 1
0
2
0∫∫ ==≡ T = m.c.m.(T1, T2)
ovvero:
=
++=
+= ∫∫∫∫ 2 1 11 )( 1
021
0
22
0
21
0
221 tttt dEE
TdE
TdE
TZd
ZEE
TI
TTTT
tdtzktzkTEE
ZII
T
) cos( ) cos( 2 0
2221110201
21 ∫ ϕ+ω−ϕ+ω−++=
se ω1 ≠ ω2 l'integrale si annulla:
21 III += ω1 ≠ ω2
l’interferenzal’interferenza
nmdxnxsmx
nmnm
dxnxsmx
nmnm
dxnxmx
, 0 in cos 1per 1per 0
in sin 1
per 1per 0
cos cos1
2
0
2
0
2
0
∀=
=≠
=
=≠
=
∫
∫
∫
π
π
π
π
π
π
l’interferenzal’interferenza
prendiamo invece ω1 = ω2 = ω (segue: k1= k2 = k)
ponendo: fasetkz 1 ≡ϕ+ω−=α 2 ϕ+ω−=∆+α tkze
ivafase relat 12 ≡ϕ−ϕ=∆ovvero: Tdtdtd π=ω=α 2
ponendo:
=∫ ϕ+ω−ϕ+ω−++= ) cos( ) cos( 2 0
2221110201
21 tdtzktzkTEE
ZIII
Tsi ha:
αααπ
π
dEEZ
II )cos( cos 2
2 2
0
020121 ∫ ∆+++=
l’interferenzal’interferenza
αααπ
π
dEEZ
III )cos( cos 2
2 2
0
020121 ∫ ∆+++=
sviluppando cos(α+∆) = cosαcos∆ - sinα sin∆ , e considerando che:
21 αcos , 0 sinα cosα 2 ==
TT
si ha:
∆++=∆++= cos cos 020121
020121 Z
EZ
EIIZEEIII
ovvero:
cos 2 2121 ∆++= IIIII
12 ϕ−ϕ≡∆con
interferenza didue onde
monocromatiche
interferenza didue onde
monocromatiche
l’interferenzal’interferenza
si noti: cos 2 2121 ∆++= IIIII 21 II + ≠
in particolare, se I1 = I2 = I0 si ha:
)cos 1(2 cos 2 2 000 ∆+=∆+= IIIIinterferenza didue onde con
uguale ampiezza
interferenza didue onde con
uguale ampiezza
I
∆-5π -3π -π 5π3ππ
4I0
2I0
I = Imax = 4I0 se ∆ = ±2mπ
I = Imin = 0 se ∆ = ±(2m+1)π
onde in fase
onde in opposizione di fase
I = 2Io se ∆ = ±(2m+1/2)πonde in quadratura
l’interferenzal’interferenza )cos 1(2 cos 2 2 000 ∆+=∆+= IIII
importante!onde mutualmente coerenti
(coerenza temporale)onde mutualmente coerenti
(coerenza temporale)∆ ≡ ϕ1 - ϕ2 = cost. in t
si ha interferenzasi ha interferenza l’energia si ridistribuiscel’energia si ridistribuisce
onde incoerenti onde incoerenti ∆ ≡ ϕ1 - ϕ2 = variabilealtrimenti, se:
no interferenzano interferenza 21 III +=
Introduciamo ora:
2. Il principio di Huygens2. Il principio di Huygens
“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”
2.
Introduciamo ora:
Il principio di Huygens2. Il principio di Huygens
“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”
onda piana
fronte d’onda diaframma
onda sferica
l’interferenzal’interferenza
3. L’esperimento di Young3. L’esperimento di Young
frangescure
fenditure
D
S
sorgentepuntiforme
luce + luce = buio!luce + luce = buio!
schermo
3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa
3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa
L’esperimento di YoungL’esperimento di Young
l’interpretazione ondulatorial’interpretazione ondulatoria
Scoerenti
diaframma
θS1
S2θ
∆s
s
s’
D
onde sferiche
schermo
P
∆s = s’ - s = Dsinθ∆s = s’ - s = Dsinθ
le due onde arrivano in P con una differenza di percorso (cammino) ∆s:
l’esperimento di Young
diaframma
θS1
S2θ
∆s
s
s’
D
∆s = s’ - s = Dsinθ
E1
E2
) 'cos( ) cos( )( )( '00
21 ϕ+ω−+ϕ+ω−=+= tksEtksEttss
EEE
[ ] ) 'cos( ) cos( 0 ϕ+ω−+ϕ+ω−≅ tkstksLEE ∆ ≡ δl = k(s - s’)
ovvero: sinθ 2 Dlλπ
=δ
Eluce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buio
I
)cos 1(2 cos2 2 000 lIlIII δ+=δ+=
onde sferiche
“cammino ottico”“cammino ottico”
l’esperimento di Young
l’esperimento di Young
λπ
=
λπ
+=δ+= sinθ cos4 sinθ 2cos 12 )cos 1(2 2000 DIDIlII
θS1
S2
∆s
s
s’D
luce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buio
I
sin θ≅ Ly
2Dλ
Dλ
23Dλ 2
Dλ
25Dλ0
04I
I
θsin
I = 4I0 se 2
2 λ=∆ ms
I = 0 se 2
2( )1 λ=∆ +ms
.. . . 3, 2, 1, 0, =m
sinθD
m λ=
2
)12(sinθD
m λ+=
l’esperimento di Young
y
∆s = DsinθL
l’esperimento di Young luce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buio
DLy λ ≅∆
2DLλ
DLλ
23
DLλ 2
DLλ
25
DLλ0
04I
I
DLλ
si noti la distanza fra i massimi sullo schermo:
λ )(sinD
=θ∆
sin θ≅ Ly
y
S1
S2
D
y
∆s
s’
L
D θ
sI
θ
l’esperimento di Young
l’esperimento di Youngl’esperimento di Young
effetto di uno spostamento della sorgente puntiformeeffetto di uno spostamento della sorgente puntiforme
diaframma
θS1
S2
s
s’
luce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buio
S
S’luce
luce
luce
luce
luce
luce
buio
buio
buio
buio
buio
buiosorgenti
S’’
S’’’
S’’’’
la radiazione da sorgenti
struttura compattatramite l’uso di una lente I
estese non dannointerferenza alla Youngsorgenti estese non dannointerferenza alla Young
estesenon ha coerenza spaziale
la radiazione da sorgenti estesenon ha coerenza spaziale
l’esperimento di Youngl’esperimento di Youngeffetto di una sorgente puntiforme
non monocromaticaeffetto di una sorgente puntiforme
non monocromatica
S2∆s
Dθ
sorgentebianca
S
frangiabianca
4I0
2I0
1
Dλ 2 1
Dλ0
I
θsin 2
Dλ 2 2
Dλ
se ∆λ/D ≥ 1 non c’è interferenza alla Young
se ∆λ/D ≥ 1 non c’è interferenza alla Young
la radiazione non ha sufficiente coerenza temporale
la radiazione non ha sufficiente coerenza temporale
λπ
=δ+= sinθ cos4 )cos 1(2 200 DIlII
S1
EsercizioEsercizio
Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con due fenditure separate di 0,1 mm ed una distanza diaframma-schermo di 50 cm. Se si osserva una separazione tra due massimi (o minimi) consecutivi di 2,5 mm, qual è la lunghezza d’onda della luce che illumina le fenditure?
Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con due fenditure separate di 0,1 mm ed una distanza diaframma-schermo di 50 cm. Se si osserva una separazione tra due massimi (o minimi) consecutivi di 2,5 mm, qual è la lunghezza d’onda della luce che illumina le fenditure?
o
A5000100,550
01,025,0
λ
5 =×=×
=∆
=
⇓
≅
−
∆
cmcm
cmcmLyD
DLy
λ
S1
S2
D
y
∆s
s’
L
θ
sI
∆y
EsercizioEsercizio
Due altoparlanti collegati ad un unico audio amplificatore sono separati di 5 m. Camminando lungo una linea retta parallela alla congiungente gli altoparlanti e distante da essa 100 m, a quale distanza si percepiscono due massimi (o minimi) consecutivi? Si supponga λ = 30 cm.
Due altoparlanti collegati ad un unico audio amplificatore sono separati di 5 m. Camminando lungo una linea retta parallela alla congiungente gli altoparlanti e distante da essa 100 m, a quale distanza si percepiscono due massimi (o minimi) consecutivi? Si supponga λ = 30 cm.
mm
mmD
Ly 0,60,5
3,0100λ =×
=≅∆
D L=100 m
I intensità suono
∆yD=5m
4. L’interferometro di Michelson4. L’interferometro di Michelson
S
s
I = I0
2
2 λ=∆ ms
I = 0
2
2( )1 λ=∆ +ms
2λ λ
2λ3
2λ 2λ50
0I
I
s∆
specchiofisso
)'(2 sss −=∆
specchiomobile
specchiosemiriflettente
s’
)cos 1(2 0 lII ∆+=
sl ∆λπ
=∆2
linterferometro di Michelsonlinterferometro di Michelson
0)'(2 =−=∆ sss
quello che contaè il cammino ottico
quello che contaè il cammino ottico
S
s
n
specchiofisso
specchiosemiriflettente
s’
linterferometro di Michelsonlinterferometro di Michelson
S
specchio(mobile)
diga
interferometro
controllo di posizione con risoluzione < 4 λ
applicazioni all’ingegneria ambientale e civileapplicazioni all’ingegneria ambientale e civile
considerazioni sul cammino ottico
per un’onda monocromatica la fase dipende dal cammino ottico:
z
) cos( ) (z, 101 ϕ+ω−= tkzEtE ] ) (cos[ ) (z, 202 ϕ+ω−+= t szkEtE
ssks l
0λ2 π
==δ
nel vuoto:
in un mezzo con indice di rifrazione n si ha:
z
) 'cos( ) (z, 101 ϕ+ω−= tzkEtE
n ] ) ('cos[ ) (z, 202 ϕ+ω−+= t szkEtE
ssss kl n
0λ2
λ2 ' ' π
=π
==δ
nel mezzo:
considerazioni sul cammino ottico
ciò vale ovviamente anche allo stesso istante t
) cos( ) (z, 0 ϕ+ω−= tkzEtE
z
sks l0λ
2 π==δ
nel vuoto:s
] ) (cos[ ) (z, 0 ϕ+ω−+= t szkEtE
sss kl n0λ
2 λ
2 ' ' π=
π==δ
nel mezzo:
z
) 'cos( ) (z, 0 ϕ+ω−= tzkEtE
n ] ) ('cos[ ) (z, 0 ϕ+ω−+= t szkEtE
s
θ
θ’
A
B
C
D
dn
θn1 = 1
luce monocromatica
( ) =θθ−=θ−=−=δ sin'sin 2 2 sin 2 ABnABACnABADABCs n
'cos d2 'cos 2 )'sin1( 2 'sin 'sin 2 2 22 θ=θ=θ−=θθ−= nnABnABnABnAB
quindi: )'cos d2(λ2
λ2
00
θπ
=δπ
=∆ ns
n1 = 1
n1<n2: + πn1<n2: + π
ma:
5. Interferenza su lamina sottile5. Interferenza su lamina sottile
linterferenza su lamina sottilelinterferenza su lamina sottile
interferenzadistruttiva
frangiascura2
2 'cos2 d λ=θ mn
quindi:
interferenzacostruttiva
frangiachiara2
)1(2 'cos2 d λ+=θ mn
θ
θ’
A
B
C
D
dn
θ
dalla posizione sulla lamina
luce monocromatica
frange di uguale inclinazionefrange di uguale inclinazione
a d fissato non dipendono a d fissato non dipendono dalla posizione sulla lamina
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili
2)1(2 'cos2 d λ
+=θ mn frangiachiara
2 2 'cos2 d λ
=θ mn frangiascura
non dipende dalla posizione ma da θ:funziona anche con sorgenti estesenon dipende dalla posizione ma da θ:
funziona anche con sorgenti estese
dn2n1
chia
ra
chia
ra
scur
a
n1
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili
dd 2 'cos2 nns ≅θ=δn
m2
0d λ= frangia
scura
nm
4)1(2 0d λ
+= frangiachiara
incidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale
lamine a spessore variabile: frange di ugual spessorelamine a spessore variabile: frange di ugual spessore
n0
45 λ
n0
43 λ
n0
41 λ
0n2
n1
n1
una frangia ogni λ/2 una frangia ogni λ/2
misure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici pianemisure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici piane
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili
misure di riscontro superfici pianemisure di riscontro superfici piane
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale
nm
2 0d λ
= frangiascura
nm
4)1(2 0d λ
+= frangiachiara
R < 0.1%R < 0.1%
rivestimenti anti-riflessorivestimenti anti-riflesso
n0
41 λ
n1 = 1
n2 < n < n1
n2 > n
condizione di frangia scuraper n < n2
condizione di frangia scuraper n < n2
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale
0
n1
n1
n2
pellicole a spessore variabilepellicole a spessore variabile
sorgenti non monocromatiche (luce bianca)sorgenti non monocromatiche (luce bianca)
nm
4)1(2 0d λ
+= frangiachiara
aria
acqua
olio, benzina
interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili
aria
acqua saponata
aria
aria
acqua
olio, benzina
Riepilogo: l’interferenza Riepilogo: l’interferenza
cos 2 2121 ∆++= IIIII 120
λ2 ϕ−ϕ+δ
π≡∆ scon
I = 0 se 2λ2( sin 0)1+δ =θ= mDs
IMAX se 2λ2 sin 0mDs =θ=δ
esperimento di Youngdue sorgenti puntiformidue onde pianeinterferometro di Michelson
I = 0 se
2λ2(2 0)1'cos
2+=δ =θ mdnsIMAX se
2λ22 0'cos
2mdns == θδ
21, nn∀I = 0 se
4λ12( 0
2
)1n
md +=IMAX se
2λ1 0
2
n
md =incidenza normale
riflessione su lamine sottili
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda λ0 = 0.632 µm e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.
4.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda λ0 = 0.632 µm e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con λ0 = 0.6 µm che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.
4.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con λ0 = 0.6 µm che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.4 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (λ0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.
4.4 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (λ0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo α fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda λ0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo α.
4.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo α fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda λ0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo α.
Esercizio numericoEsercizio numerico
4.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.
4.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.
6. Schiera di fenditure (di sorgenti)6. Schiera di fenditure (di sorgenti)
d
d
d
d
d
d sin θ
θ
S1
S2
S3
S4
S5
S6 D
P
Differenza di fase tra le onde provenienti da due fenditure consecutive:
θλπθδ sin2sin dkdl ==
Campo elettrico totale in P
)5sin()4sin()3sin( )2sin()sin()sin( 0
ltkxltkxltkxltkxltkxtkxEE
δωδωδωδωδωω
+−++−++−+++−++−+−= {
}
Utilizziamo il metodo dei fasori
Dalle relazioni precedenti, eliminando R, si ottiene:
( )( )2/sin
2/6sin0 l
lEEδδ
=
( )( )2/sin
2/sin0 l
lNEEδδ
=
e quindi l’intensità è
( )( )2/sin
2/sin2
2
0 llNII
δδ
=
Poniamo αααδ
sinsin
2 0NIIl
=⇒=
Massimi principali:
02
0
coscos
sinsinlim ma
re,denominato il che numeratore il sia annullano si ... ,2 ,1 ,0con per
ININNNN
mm
=⇒==
=±=
→ αα
αα
πα
α
Posizione dei massimi principali:
... ,2,1,0con sin2
=±=== mmdl πλ
θπδα
... ,3,2,1con sin == md
m λθ
Minimi : al di fuori dei valori precedenti, il denominatore non si annulla mai, invece il numeratore si annulla anche per
0 punti questiin ... ,2 ,1 ,0'con 'per 0sen
==±==
ImmNNα πα
Tra due massimi principali ci sono N – 1 minimi
Esempio.
Per N = 4
eaccettabilnon
2 2
3 4
3
2
2
4
4
3
2
1
⇓=→=
=→=
=→=
=→=⇒
πδπα
πδπα
πδπα
πδπα
l
l
l
l 2πδ =l
πδ =l
23πδ =l
Massimi secondari: Poiché l’intensità è una funzione di θ sempre positiva, tra due minimi deve esistere un massimo (secondario), quindi tra due massimi principali ci sono N-2 massimi secondari.Le posizioni dei massimi secondari si ottengono ponendo
( ) ... 1,2,3,con 2
12 cui da
1sin
'''' =+±=
=
mmN
Nπα
α
In questi punti( ) ( ) 2''
2
max2''0
212sin
212sin
1
+=
+=
NmN
I
Nm
IIππ
Esempio.
Per N = 4
eaccettabilnon
45
85
43
83
2
1
⇓
=→=
=→=⇒
πδπα
πδπα
l
l
Grafico dell’intensità nell’interferenzadi 8 fenditure equispaziate
Massimi principali
02
.... ,4 ,2 ,0INI
l=
= ππδ
°== 180πδl
°== 902πδl
°== 454πδl
MinimiTra 2 massimi principali ci sono N-1 minimi in cui
0=IPoiché l’intensità è una funzione di θ sempre positiva, tra due minimi deve esistere un massimo (secondario), quindi tra due massimi principali ci sono N-2 massimi secondari.
Grafico dell’intensità nell’interferenza di 2, 8, 16 fenditure equispaziate
N = 2 N = 8 N = 16
Per N →∞
Top Related