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Intersezioni di un fascio di Intersezioni di un fascio di rette impropriorette improprio

con una parabolacon una parabola• Vitalone Marco• A3 geometri• Anno Scolastico 2000/2001

LA PARABOLADefinizione:

La parabola è il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un

punto fisso F detto fuoco e da una retta d detta

direttrice

d

F

P(x,y)

H

Y

X

PF=PH

La sua equazione è:Y=ax²+bx+cCon a, b, c R

FASCIO DI RETTE IMPROPRIO

DefinizioneUn fascio di rette improprio è

un insieme di rette aventi tutte la stessa direzione e

quindi lo stesso coefficiente angolare, ovvero un fascio di

rette parallele tra loro

X

Y

La sua equazione è del tipo: y=mx+q

Con m noto e q variabiale

POSIZIONI RECIPROCHE

Una retta rispetto ad una parabola può essere:

• Secante

• Esterna

• Tangente

RETTA SECANTE ALLA PARABOLA

La retta ha due dei suoi infiniti punti che appartengono

anche alla parabola

RETTA ESTERNA ALLA PARABOLA

La retta non ha neanche un punto in comune con la

parabola

RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA

La retta ha uno dei suoi infiniti punti che appartiene anche alla parabola (in realtà si tratta di due punti coincidenti)

COME SI TROVANO LE INTERSEZIONI RETTA-PARABOLA

Per determinare le intersezioni tra un fascio di rette e una

parabola bisogna risolvere il sistema di secondo grado tra le

loro due equazioni.

• Se le due soluzioni sono reali e distinte (>0)la retta è secante la parabola

• Se non vi sono soluzioni ( <0)la retta è esterna alla parabola

• Se le due soluzioni sono reali e coincidenti ( =0) la retta è tangente la parabola

qmxy

cbxaxy 2

ESEMPIO

Troviamo le rette del fascio y=3x+2k che sono secanti, tangenti o esterne alla parabola y=x²+2x+1

Impostiamo il sistema:

12

232 xxy

kxy

Risolvendo il sistema col metodo del confronto otteniamo l’equazione risolvente:

x²+2x+1=3x+2k x²-x+1-2k=0

Troviamo il discriminante:

8

3

8

3

8

3

=1- 4(1-2k) = 1- 4+8k = 8k-3

>0 8k-3>0 k> Rette secanti

=0 8k-3=0 k= Retta tangente

<0 8k-3<0 k< Rette esterne

Consideriamo i tre casi:

Fine