ElettrotecnicaT Capitolo2

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2. IntroduzioneallaTeoriadeiCircuitiElettrici

TeoriadeiCircuitiLateoriadeicircuitielettrici(electriccircuittheory)elateoriadeicampielettromagnetici(electromagneticfieldstheory)sonoledueteoriefondamentalisucuisibasanotutti isettoridell’IngegneriaElettricaedElet-tronica (ElectricalandElectronicTechnology).Moltidiquestisettori,comelaproduzione, latrasmissioneel'utilizzazione dell’energia elettrica, le macchine e gliazionamentielettrici,l’elettronicadisegnaleel’elettro-nicadipotenza,ilcontrolloautomatico,l’elettronicaperletelecomunicazioni, lastrumentazionedimisuraelet-tricaedelettronicasonostatesviluppategrazieprinci-palmenteallateoriadeicircuitielettrici.Buonapartedell’IngegneriaElettricariguardailtrasferi-mentodi segnali elettriciodell’energiaelettricadaunpunto ad un altro. Durante il trasferimento il segnaleviene in parte elaborato o trasformato. Ciò richiedeun’interconnessionedidispositivielettricicheoperanoetrasformanoilsegnale.L’interconnessionevieneattuatapermezzodiuncircuitoeciascunsuocomponenteèdettoelementocircuitale(circuitelement),ilqualeintervienesulsegnaleelettrico.Nellaprimafiguraafiancol’energiaelettricafornitaalcircuitodallabatteria,vienetrasferitaallalampada,vienedaessautilizzataedètrasformatainluce.Ilcircuitoelettricoèformatodadue elementi circuitali: batteria e lampada.Talielementisonoconnessifraloro.Lasecondafigurasiriferisce adun impiantoper il trasportodi potenza adaltatensione(400kV).Nellaterzaenellaquartafigurasonomostratidueesempicheriguardanol’elaborazionedel segnale. Nella terza figura è mostrato un circuitostampato di una sceda elettronica di controllo. Nellaquartafiguraèmostrataunasezioneingranditaalmicro-scopioelettronicodiunaCPUpercalcolatoreelettronicoacinquestrati.Tuttiquestiapparatisonostatiprogettatiutilizzandolateoriacircuitale.

Ilterminecircuitoelettricoindicailluogofisicoincuiav-vengono fenomeni elettromagnetici. L'altro significatodelterminecircuitoelettricoriguardaimodellimatema-ticichelodescrivono.Disolitoilterminevieneutilizzatoperindicareicircuitieirelativimodellichesoddisfanola descrizione per mezzo di parametri concentrati(lumped parameters). Questa ipotesi considera tutti ifenomeni elettromagnetici concentrati all'interno dicorpifisici(resistori,condensatori,induttori,generatoriditensioneedicorrente,diodi,transistori,amplificatorioperazionali). Questi sono gli elementi circuitali checompongonoilcircuito.Lecaricheelettrichesimuovono

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traicomponenticircuitalidiuncircuitoattraversointerconnessionielettriche.Altridispositividescrittidaparametridistribuiti(distributedparameters)nonpossonoesseredescrittidamodelliaparametriconcentratiequindinonpossonoesseredescrittitramitelateoriacircui-tale.Adesempioleantenneappartengonoaquest’ultimaultimacategoria.Legrandezzeaparametriconcentratisonograndezzeintegrali(integralquantities)odan-chemacroscopiche(macrascopicquantities)qualilacorrente,latensioneedilflussomagne-tico.Taligrandezzesonoindipendentidallospazioedipendonosolodal tempo.Lacorrenteelettricaèilflussodelvettoredensitàdicorrente.Quindièunintegraledisuperficie.Laten-sioneelettricaèl’integraledilineadelvettorecampoelettrico.Ilflussomagneticoèl’integraledisuperficiedelvettoreinduzionemagnetica.Ladensitàdicorrente,ilcampoelettricoel’in-duzionemagneticasonograndezzecaratteristichedelpuntoe ingenerecambianoindipen-denzadellaposizionenellospazio(grandezzeaparametridistribuitiograndezzemicroscopi-che–microscopicquantities).Oltrealtempodipendonodallecoordinatespazialix,yez.Leequazionidellateoriacircuitale,cheadottamodelliaparametriconcentrati,sonoequazionialgebricheodequazioni integro-differenziali dipendenti solodalla coordinata tempo.Anchequest’ultimeequazioni inmolticasipossonoessereridotteaequazionialgebriche.Aquestopropositosivedràcome,permezzodellatrasformatadiSteinmetz,siapossibilepergrandezzesinusoidaliafrequenzafissata(sistemiacorrentealternata),trasformareleequazionidelmo-dellocircuitaledaequazioniintegro-differenzialiadequazionialgebriche.Leequazionideimo-delliaparametridistribuitisonoequazioniallederivateparzialineltempoenellospazio,equa-zinicherichiedonocomplessemetodologiedisoluzione.Lecaratteristichedeimateriali(conduttori,semiconduttoriedisolanti)hannopermessolosvi-luppodellatecnologiadeicircuitielettriciutilizzatiinmoltissimeapplicazioni.Lalorodescri-zionepermezzodella teoriadeicircuitiaparametriconcentraticonapprossimazionimoltovicineallarealtà,rappresentaunfattorefondamentaleallabasedellosviluppodell’IngegneriaElettricadell’ultimosecolo.IlCircuitoElettricoUncircuitoelettricoècompostodauninsiemedielementicircuitali interconnessifraloro.Ifenomenielettromagnetici(EM)sonoconfinatiall’internodeglielementicircuitali.Leintercon-nessionisonoconsiderateideali,cioèsenzaperditeecostituitedaconduttoriidealiaresistenzanulla. I fenomenielettromagneticiall’internodeglielementicircuitaliavvengonosecondoleleggidell’elettromagnetismodescrittenelcapitoloprecedente.L’approssimazione circuitale si ottienedall’approssimazionedell’elettro-dinamicaquasi-sta-zionariadell’elettro-dinamica.Essaassumeche:1. AldifuorideglielementicircuitaliifenomeniEMtacciono(𝜕D/𝜕t=0e𝜕B/𝜕t=0).2. Nellaregioneesternaaglielementiedall’internodeiconduttorisihache:

• ilcampoelettricoèconservativo(E=-∇v)elatensioneelettricafraduepunti1e2devadalladifferenzadipotenzialeneipuntiv1-v2).

• ladensitàdicorrentedispostamentoènulla(𝜕D/𝜕t=0),Ladensitàdicorrentetotalecoincideconladensitàdicorrentediconduzionechedivienesolenoidale(∇ ∙J=0).

3. All’internodelcircuitol’intervalloditempodipropagazionediunsegnalefraunelementocircuitaleel’altrosianullo.

Perlaprimaipotesiilcampoelettricoall’esternodeglielementicircuitalièconservativoelatensionefraduepuntièdatadaunadifferenzadipotenziale.Perlasecondaipotesilacarica

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elettricaneiconduttorinonvarianeltempo.IntalcasoquindiperlaleggediGaussancheilcampospostamentononvarianeltempo.Perciòladensitàdicorrentedispostamentoènullaeladensitàdicorrentetotalecoincideconladensitàdicorrentediconduzione.Intalcasoquindiall’internodeiconduttoriladensitàdicorrentetotalecoincideconladensitàdicorrentedicon-duzioneeilvettorediquest’ultimaèsolenoidale.Ilsuoflusso,cioèlacorrentediconduzione,nonvariaperqualsiasisezionedelconduttore.Laterzaipotesiconsideranulliitempidipro-pagazionefraglielementicircuitaliindipendentementedallalorodistanza.

Leapplicazionicircuitalicomprendonosettoriconcaratteristichedeicircuitimoltodiverse:

• Dimensione:10-3–106m(circuitiintegrati,circuitihi-fi,computer,dispositivielettronici,sistemitlc,sistemiperlaproduzionedipotenzaelettrica,sistemiditrasportoediutilizzodellapotenzaelettrica.

• Tensione:10-6–106V(dispositiviperl’analisidelrumore–sistemidipotenza)

• Corrente:10-15–106A(elettrometri–sistemidipotenza)

• Frequenza:0–109Hz(circuitiincorrentecontinua–processori)

• Potenza:10-14–109W(segnaliradiointergalattici–sistemielettricidipotenza)

IlBipoloElettricoL’elementocircuitaleadueterminali(twoterminalelement),anchedettoelementocircui-taleaduepolioelementocircuitalebipolareosemplicementebipolo,consisteinunasuper-ficiechiusaSdacuiemergonodueterminali.TuttiifenomenielettromagneticiEMsonoconfi-natiall’internodiS.Quindiall’internodellasuperficieSdelbipoloilcampoelettricoEpuòes-serenon-conservativo,𝜕B/𝜕te𝜕D/𝜕tpossonoesserenon-nulli.All’esternodiS tutti i feno-meniEMsonosilenti:ilcampoEèsempreconservativo,𝜕B/𝜕te𝜕D/𝜕tsonosemprenulli.Per-ciòlasuperficiedell’elementocircuitalehafunzionedischermoperifenomeniEM.Lostatodell’elementocircuitaleadogniistanteèdescrittodalladiffe-renzadipotenzialevfraisuoidueterminalielacorrenteicheloattra-versa.Lacorrentechefluisceattraversoilbipolo,èlacorrenteentrantedaunterminale,correnteugualeaquellauscentedalterminaleoppostoperlasolenoidalitàdiJt.Peridueterminalidelbipolo,all’esternodellasuper-ficiechiusaSdelbipolostesso,𝜕D/𝜕tènullaeJcoincideconJt.QuindiancheJèsolenoidale.LacorrentediconduzionetotaleuscentedaSènulla.LacorrentetotaleuscentedaSèdatadallasommaalgebricadelleduecorrentiuscentidaidueterminali.Perciòlacorrenteentrantedaunterminaleèugualeallacorrenteuscentedall’altro.PoichéilcampoelettricoEèconservativo,aldifuoridellasuperficiechiusadell’elementocir-cuitale,sidefinisceunafunzionepotenzialef(x,y,z)=-v(x,y,z)cheassumesuidueterminali1e2rispettivamenteivaloriv1ev2eladifferenzadipotenzialev=v1-v2rappresentalatensionedelbipolo.Nellateoriacircuitaleunbipolocostituisceunramodelcircuito(circuitbranch).Lacorrenteièdettacorrentediramo(branchcurrent)efluiscedalterminaleapotenzialemaggiorealterminaleapotenzialeminore.Ladifferenzadipotenzialev=v1-v2èdettatensionediramo(brenchtensionobranchvoltage).

i v

1

2 •

•

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Larelazionefraiev,datadav=f(i),èdefinitaperognielementocircuitaleconsiderato:equa-zionecaratteristicadell’elementocircuitale(elementequation)oequazionediramo.Lapotenzaelettricadelbipolo(twoterminalelementelectricpower)èillavorocompiutodalcampoelettricoEsullecarichecheattraversanolasezionedelramoperunitàditempo:

Qualorasiadottilaconvenzioneprecedentementedescrittasecondocuiunacorrentepositivaentradalterminaleapotenzialemaggiore,l’espressionesopradefinitaesprimelapotenzaas-sorbitadalbipolo.Quindiunacorrentepositivaentrantedalterminaleapotenzialemaggioredaorigineadunapotenzaassorbitadalbipolopositiva(convenzionedell’utilizzatoreodelbi-polopassivo).Elementocircuitaleadnterminali(n-polo)Unelementocircuitaleconnterminali,opoli,conn>2vienedettoelementocircuitaleadnpoli on-polo (n-terminalcircuitelement).Sceltounterminalediriferimento(M.0),adessovengonoriferiteletensionideglialtrinodi(M.1,M.2,M.3,…,M.n-1). Infatti, poiché E è conservativo all’esterno dell’ele-mentocircuitale,letensionisonoledifferenzefrailpo-tenziale agli n-1 nodi di non-riferimento (M.1, M.2, …,M.n-1)edilpotenzialealnododiriferimentoM.0:

v1=vM.1-vM.0v2=vM.2-vM.0v3=vM.3-vM.0……………………….vn-1=vM.n-1.-vM.0

Inoltresiassumonopositivelecorrentientrantineinodinondiriferimento(i1,i2,i3,…,in-1)elacorrenteuscentedal nodo di riferimento (i0). Per la solenoidalità di Jall’esternodell’elementocircuitalerisulta:

i0=i1+i2+….+in-1Lo stato dell’n-polo è definito da n-1coppiedivaloritensione-corrente:

v1,v2,v3,….,vn-1i1,i2,i3,……,in-1

Perciò l’elementocircuitaleadntermi-nali è equivalenteadn-1bipoli conunnodoincomune(stelladin-1bipoli).Ilnodoincomuneèilnododiriferimentodell’n-polo.L’n-poloquindicorrispondead una porzione di un circuito ad n-1

v(t)i(t) d dtdq tdq p(t)

2

1

2

10t

lim =×=÷÷ø

öççè

æD×D= òò®D

lElE

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rami.Unn-poloèdescrittodan-1equazionicheleganolen-1correnti(i1,i2,i3,……,in-1)allen-1tensioni(v1,v2,v3,….,vn-1):

v1=f(i1),v2=f(i2),v3=f(i3),…,vn-1=f(in-1)

Untripoloquindicorrispondeaduebipoliconunterminaleincomune.Unquadripolocorri-spondeatrebipolicollegatiastella.Unelementoacinqueterminalicorrispondeaquattrobi-policollegatiastella.Ecc.

IlcircuitoelettricoUncircuitoelettricoèformatodaelementicircuitaliinterconnessifraloro.Nelmodellocircui-taleognielementocircuitalecorrispondeadunastelladibipoliognunodeiqualicostituisceunramodelcircuito.Leinterconnessionisiassumonocostituitedaconduttoriideali(prividire-sistenzaelettricaequindiconconducibilitàinfinita).Inodidelcircuitosonoipuntidiconnes-sionedidueopiùrami.Uncircuitoècostituitodannodiedrrami.

In figuraèmostratouncircuitoconcin-cinqueelementicircuitali.L’elementoAèunbipolo,equindièrappresentatodaunramo. L’elemento B ha 6 terminali (6poli). Esso equivale a 5 bipoli a stella eperciò è rappresentato da 5 rami in uncircuitoteoricoequivalente.L’elementoCda2rami,l’elementoDda6ramiel’ele-mentoEda3rami.Ilcircuitoperciòèfor-matoda1+5+2+6+3=17ramie11nodi.Ilsuostatoèdescrittoda17coppiediva-lori, le 17 tensioni e le 17 correnti diramo.Perciascunodei17ramisonodefinitealtrettanteequazionidiramo.Inuncircuitosiindividuanodellemaglie.Unamaglia(loop)èunqualunquepercorsochiusocostituitodaramidelcircuitopassanteperognunoditaliramiunavoltasola.

Legge di Kirchhoff delle correnti(LKC)SiconsideriunasuperficiechiusaSCchecon-tengaunaporzionediuncircuitochepassiperalcuni nodi del circuito e chenon intersechielementicircuitali.LaleggediKirchhoffdellecorrenti (LKC – Kirchhoff current law) af-fermachelasommaalgebricadellecorrentiuscentidallasuperficiechiusaènulla.

A B

C

D E

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SullasuperficieSC,chenonintersecaelementicircuitali,𝜕D/𝜕tènulloeJtcoincideconJ.Perlasolenoidalitàdi Jt, sulla superficie chiusaSC il flusso totaledelladensitàdicorrente,equindidellacorrentediconduzione,uscentedallasuperficiechiusaSCènullo:

∯ 𝐉 ∙ 𝐧%dS𝐒𝐂= 0

Tale flusso è dato dalla somma algebrica delle correntiuscentidallasuperficieSC.QuindidallaLKCsiottienechelasommaalgebricaditalicorrentiènulla:

i1+i2+i3+…..+i9=0QualoraSCcontengaunsolonodo,siottieneilseguenteco-rollario:lasommaalgebricadellecorrentiuscentidaunnodoènulla.L’equazioneottenutaprendeancheilnomediequazionedinodo:

Ilcircuitoinfiguraècostituitoda5ramie4nodi.PerinodiA,B,eCdallaLKCsiottiene:

i1 - i4 - i5 = 0 (A) i1 + i2 = 0 (B)

i2 + i3 + i5 = 0 (C)Ogniequazionecontienealmenounacorrentenonconsideratadallealtredueequazionieper-ciòaggiungeinformazioninonconsideratedallealtreequazioni.Nell’equazioneperilnodoDvisonosolocorrentigiàapparsenelleequazionideglialtritrenodiA,BeC.Essaquindiriportainformazionigiàcontenutenelleequazioniprecedenti.L’equazionedelnodoDèunacombina-zionelinearedellealtretreequazioni.InfattidallaLKCalnodoDsiricava:

i3-i4=0Questaequazionesiottieneanchedallasommaalgebrica(A)-(B)+(C).Perungenericocircuitoelettrico,qualoraessosiacostituitodannodi,n-1equazionidinodosonolinearmenteindipendenti.

LeggediKirchhoffdelletensioni(LKT)SiconsideriunalineachiusalCchepassiperalcuninodidiuncircuitoenonintersechielementicir-cuitali. Poiché il vettore campo elettricoE è unvettore conservativo all’esterno degli elementicircuitalilacircuitazionediElungolCènulla:

edanche:

0in

1kk =∑

=

0 d =×òCl

lE

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Poichégli integralidi lineaconsideratisono integralidiunvettoreconservativopercuiE=- Ñv(x,y,z),essisonougualialledifferenzefraivalorichelafunzionepotenzialev(x,y,z)assume su nodi successivi per cui passa la linea lC. QuindidallaLKTsiottienechelasommaalgebricadelledifferenzedipotenziale fra inodipercuipassauna lineachiusaènulla:

vAB+vBC+….+vHI+vIA=0QualoralalineachiusalCsiacostituitadaunamagliadiuncircuitosiottieneilseguentecorol-lario:lasommaalgebricadelletensionidiramolungounamagliaènulla.L’equazioneot-tenutaprendeancheilnomediequazionedimaglia.SiconsiderinolemaglieADCAeABCAdelcircuitoinfigura.PerlaLKTsiottiene:

-v4-v3+v5=0v1-v2+v5=0 Tutteletensionidiramosonocompresenelledueequazionidimagliaprecedenti.PerlamagliaABCDAdallaLKTsiottieneun’equazionechenoncontienetensionidiramooltreaquellecom-presenelledueequazioniprecedentiequindinonintroduceinformazioniaggiuntive.Perungenericocircuitoelettrico,qualorauncircuitosiacostituitodarrami,r-n+1equazionidima-gliasonolinearmenteindipendenti.

IlProblemadianalisicircuitale:EquazionitopologicheedequazionidiramoUncircuitoelettricodirramiednnodièdescrittodartensionidiramoedrcorrentidiramo,intotalequindida2rgrandezze.DallaLKTsiottengonor-n+1equazionidimaglialinearmenteindipendentiedallaLKCsiderivanon-1equazionidinodolinearmenteindipendenti.Intuttodalle leggidiKirchhoffsiottengonorequazioniomogenee, linearmente indipendenti. Ilproblemadianalisicircuitaleèdefinitoqualorasianodeterminatele2rgrandezzeincognite,datedalletensionidiramoedallecorrentidiramo.Ilproblemahaunaedunasolasoluzionequalorasiabbiano2requazionipariallesuegrandezzeincognite.Lerequazionimancantisonodatedallerequazionidiramo(oequazionicaratteristichedeglielementicircuitali).LeequazioniderivantidalleleggidiKirchhoffdipendonosolodalnumerodiramiedinodi,edalleinterconnessionifrairamidelcircuito.Dipendonocioèdallatopologiadelcircuitoenondallecaratteristichediciascunramo.PerciòlerequazionidefinitedalleleggidiKichhoffpren-donoancheilnomediequazionitopologichedelcircuito(topologyequations).Uncircuitoperciòèdescrittoinmodounivoco(conunaedunasolasoluzione)dalseguentesistemadiequazioni:

0dd.....

.....ddA

I

I

H

C

B

B

A

=×+×+

+×+×

òòòò

lE lE

lE lE

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Iregimichevengononormalmentedescrittidalsistemadiequazionichesiottienedalleequa-zionitopologicheedalleequazionidiramosono:ilregimeincorrentecontinuaCC(DC)incuilecorrentieletensionisonocostantineltempo,ilregimeincorrentealternataCA(AC)incuitaligrandezzesonodescrittedafunzionisinusoidalineltempoafre-quenzadataedilregimetransitoriocongrandezzeelettrichetempo-dipendenti.EsempiodianalisicircuitaleIlcircuitoinfiguraècompostodatrerami(r=3)eduenodi(n=2).Siindividuanoquinditrecorrentidiramoetre tensionidiramo.Nelcaso inesame leequazionitopologichesonotreetresonoleequazionidiramo.Ilproblemacircuitaleconsistequindidiseiequazioniinseiincognite.DalleleggidiKiechhoffsiottengonon-1=1equazionedinodoer-n+1=2equazionidimaglia.Quindi le treequazionitopologichesono:

i1-i2-i3=0-v1-v2=0v2-v3=0

Leequazionicaratteristichedeglielementicircuitali(equazionidiramo)sononoteinquantodatidelproblema.Essesonoinnumeroparialnumerodeirami. NeiramidelcircuitosonopresentitreresistorieduegeneratoriditensioneinCC(correntecontinua).Le equazioni caratteristiche di questi ele-menti circuitali sono riportate nelle due fi-gurea fianco.LeresistenzeR1,R2edR3e letensionideigeneratorivs1evs2sonodatidelproblema.Letreequazionicaratteristichedeitreramidelcircuitosono:

v1=R1i1-vs1v2=R2i2+vs2 v3=R3i3

Leseiequazioninelleseiincognitei1,i2,i3,v1,v2ev3descrivonoilcircuitoinmodounivoco.Unramopuòanchecontenerepiùdiunelementocircuitaleconfunzionidiverse.Infattinelcir-cuitoinesameletensionideirami1e2sonodateda:

ramodiequazioniifv

equazioninrLKTdav

equazioninLKCdai

kk

nrkk

nkk

)(

1,0

1,0

1

1

=

+-=

-=

å

å

+-=

-=

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v1=R1i1-vs1v2=R2i2+vs2

L’approssimazionecircuitaleaparametriconcentratiLegrandezzeelettricheinuncircuitopossonoaveretempidivariazionerapidiolentirispettoaitempiditransitofraglielementicircuitalidelcircuito.L’approssimazioneintrodottadalladescrizioneaparametriconcentratiassumecheitempiditransitosianotra-scurabilirispettoaitempidivariazionedellegrandezzeelettriche,tensioniecorrentichesonoiparametriconcentratidelladescrizionecircuitale.

Nellatrattazionedigrandezzeondulatorieadelevatafrequenzaferidottalunghezzad’ondal,l’approssimazioneaparametriconcentratiassumecheitempiditransitofraglielementicir-cuitalisianonulliocomunquemoltoinferioririspettoallevariazionidellegrandezzeelettricheneltempoequindirispettoalperiododellasinusoidechedescriveladipendenzatemporaledellegrandezzeelettrichecoinvolte.Legrandezzeelettrichesipropaganoconlavelocitàdellalucec@3´108m/s.Perunadistanzadfradueelementicircuitaliadiacenticonterminaliaffac-ciatiAeB,iltempoditransitoaffinchéunsegnaleelettricopassidaunelementoall’altroètAB=d/c.IlperiododellasinusoideèT=1/f=l/c.L’approssimazionecircuitalerichiedeche:

Nell’esempioinfigurailsegnalesinusoidalericevutodall’antennahafrequenzaf=100MHz.Lafrequenzaangolarecorrispondenteèw=2pf=2p108.SiconsiderinoipuntiAeBsulcon-nettorechecollegal’antennaaduncircuitodiamplificazione.Ilconnettoresisupponearesi-stenzanulla(conducibilitàinfinita).Iduepuntisonoadunadistanzad=1.5m.InAunsegnaleditensioneall’istantetè:

vA(t)=V0sinωt=V0sin(2π×108t)

In B il segnale arriva dopo un intervallo di tempo Dt = d/c =1.5/(3´108)s.QuindiinBilsegnaleall’istantetèugualealsegnaleregistratoinAall’istantet-Dt:

vB(t)=vA(t-Δt)==V0sin[2π×108(t-Δt)]==V0sin[2π×108(t-0,5×10-8)]==V0sin(2π×108t-π)==-V0sin(2π×108t)=-vA(t)

All’istantetinBsihaunsegnaleoppostoaquelloregistratonellostessoistanteinA.Quindiinquestocasol’approssimazionecircuitaleaparametriconcentratinonèvalida.

Esempidifrequenzeelunghezzed’onda

Modellicircuitalidelbipolo

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L’equazionecaratteristicachedefinisceillegamefratensionediramov,differenzadipoten-zialefraidueterminalidelramo,ecorrentediramoi,chevifluisceattraverso,èdefinitadaifenomenifisicicheavvengonoalsuointerno.Senell’equazione caratteristica la correnteappare come incognita indipendente, il bipolo sidiceesserecontrollatoincorrente:

v=f(i)Qualoralatensionediramovsial’incognitaindipendente,ilbipolosidiceesserecontrollatointensione:

i=g(v)

Ilbipolopassivoassorbeocomunquenonproduceenergia.Perlacon-venzionedelbipolopassivolacorrentediramoèpositivaqualoraentrinel bipolo dal terminale a potenzialemaggiore. Secondo tale conven-zionel’energiaw(t)delbipolosinoaltempotrisultapositivaonulla:

w(t)=∫ v-t'/i(t')dt' ≥ 0t-∞

Ilbipoloattivoimmetteenergianelcircuito.Sonobipoliattiviigenera-toriindipendentiditensioneedicorrente,chesonolesorgentidelcir-cuito.Lebatterieegliaccumulatorisonobipoliattivi.Perlaconvenzionedelbipoloattivosidefiniscepositivalacorrenteentrantedalterminaleapotenzialeminore.Ilbipololineareèdescrittodaun’equazionecontuttiiterminilineari:

v(t)=a+bi(t)+c di(t)dt+d ∫ i(t')dt't

*"

Ilbipolononlineareèdescrittodaun’equazionecontermininonlineari:

v(t)=a’+b’i2(t)L’elementocircuitalepuòessereunbipoloindipendentedaltempoodunbipolotempo-di-pendente.Nelprimocasodibipolotempoindipendenteicoefficientidell’equazionecaratteri-sticanondipendonodaltempo:icoefficientia,b,c,d,a’eb’sonocostantineltempo.Nelcasodelbipolotempodipendenteicoefficientia,b,c,d,a’eb’,odalcunidiloro,varianoneltempo.Ibipolisenzamemoriasonodescrittidaunarelazionetravedialmedesimoistanteditempo:

Peribipoliconmemoria(storageelement)latensionedipendedaciòcheaccadràallacor-renteodaciòcheèavvenutoallacorrente.Nelprimocasovdipendedaunafunzionedelladerivatatemporaledii.Nelsecondocasovdipendedaunafunzionediunintegraledii.Esempideiduecasisonorispettivamente:

[ ]i(t)sin c (t)i b a v(t) 2 ++=

dtdi c i(t) b a v(t) ++=

ò¥

=t

-

dt' )i(t' a v(t)

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Quantodettosiriferisceaibipoliconmemoriacontrollati incorrente.Nelcasodibipoliconmemoriacontrollatiintensione,lacorrenteèespressadaunafunzionedell’integraledellaten-sionenelprimocasoodauna funzionedelladerivata temporaledella tensionenelsecondocaso.

BipoliidealipassiviIbipoliidealipassivisono:ilresistoreideale(idealresistor)ilcondensatoreideale(idealcapacitor)e l’induttore ideale (ideal inductor). Ciascuno diquesti elementi descrive un singolo processo elet-tromagnetico (EM) elementare. In un bipolo realenonèmaipresenteununicoprocessoEM,ancheseunodeitreèilprocessodominante.Leequazionica-ratteristicheperitrebipoliidealisono:

- resistore: v(t)=Ri(t)

- condensatore: v(t)=+, ∫ i-t'/dt't

-∞

- induttore: v(t)=L !"!#

IlresistoreIlresistoreèunelementobipolarepassivochedissipaener-gia.Ilcampoelettricofornisceenergiaallecaricheelettricheaccelerandole.L’energiaelettricadivieneintalmodoener-gia cinetica delle particelle carche associata alla correnteelettricacheattraversailresistore.Lecaricheelettricheinmotourtanocontroleparticelledelmaterialeconcuiilresi-storeècostituitoecedonoloropartedellapropriaenergiacineticachedivieneenergiatermicadiquestomateriale.Permantenere inmoto le cariche e la corrente elettrica asso-ciata,ènecessariofornireallecarichel’energiaspesanegliurtisottoformadilavorodelcampoelettrico,lavorochedi-pendedallatensioneacuiilresistoreèsottoposto.Inunresistorevièunarelazionefravelocitàdellecaricheelettriche e lavoro speso per mantenere tale velocità equindifracorrenteelettricaetensionedelresistore:

v(t)=f[i(t)]

Unresistoreidealeelementareèunelementotempo-indipendenteincuivèproporzionaleadi.L’equazionecaratteristicadelbipoloidealeèdatadallaleggediOhm(Ohm’slaw):

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v(t)=Ri(t)dove R è la resistenza elettrica(electrical resistance), caratteri-sticadelresistore,lacuiunitàdimi-sura nell’SI è l’ohm [simbolo: W].L’inversodellaresistenzaG=1/Rèla conduttanza (conductance),L’unità dimisura della conduttanzanell’SI[simbolo:S].La resistenza elettrica definisce laproprietàdelresistorediopporsialflussodicaricaeperciòallacorrenteelettrica che attraversa il resistorestesso.Essaèdatadallatensionene-cessariapermantenereunacorrenteunitaria:

v=RiÞR=v/iRèunagrandezzamacroscopica.Laproprietà microscopica del mate-rialediopporsialflussodicaricaperunità di superficie perpendicolarealla densità di corrente è la resisti-vitàr: r=1/s

L’unitàdimisuradirnelsistemaSIèl’ohm×metro[simbolo:Wm].sèlaconducibilitàelettricaconunitàdimisuraSI:simens/metro[simbolo:S/m].Nellafiguraafiancosonotabulatiivaloridellaresistivitàdeimaterialiisolanti,semiconduttorieconduttori.Laresistivitàdiunbuoniso-lanteèdicirca1012-1019Wm(vetro-1012Wm;ceramica–1019Wm).Laresistivitàdiuncon-duttore(alluminio,rame,oroeferro)haunaresistivitàminoredicirca10-8Wm.Ladifferenzafraleresistività(oleconducibilitàdeiduetipidimaterialièdiunordinedigrandezzaparia1019-1026.

Ingenerelaresistivitàèunacaratteristicadelpuntoenonèuniformeall’internodiunresistore.Perun resistore costituitodaun cilindrodimaterialedi resistivitàuniformee costanteneltempo,condirezionedelflussodellecarichelungol’assedelcilindro,laresistenzaRèpropor-zionale,oltrecheallaresistività,allalunghezzaldell’altezzadelcilindroedinversamentepro-porzionaleallasuperficieSdellasezionedelcilindro:

R=rl/SLaleggediOhminterminimicroscopicihalaseguenteespressione:

J=sEÛE=rJ

Nellafiguraèriportatalaresistivitàdimaterialiutilizzatiindiverseapplicazionitecnologiche.Ingeneresidividonoinmaterialiconduttori,semi-conduttoriedisolanti.

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Ilcondensatoreèunelementobipolarepassivocheassorbeenergia dal circuito e l’immagazzina sotto forma di energiaelettrostatica. Èpoi ingradodi restituirecompletamentealcircuito l’energia immagazzinata. Il condensatore è un ele-mentoconmemoria(storageelement).Ilcondensatoreèco-stituitodaduearmature(conductingplates),piastredima-terialeconduttore,separatedaunisolante.Unacaricaqpor-tata su una delle due armature conduttrici induce nell’iso-lanteuncampoelettricocherichiamaunacaricaugualeedop-posta–qsullaarmaturaopposta.Sigeneraaseguitodiciòuncampoelettriconellaregionedell’isolante,originediunaten-sionefraleduearmature.L’energiaimmagazzinataaseguitodell’accumulodicaricavienefornitaalcondensatoredalcircuito.Essavienerestituitaalcir-cuitoquandolecarichelascianolearmature.Larelazionefrailmodulodellacaricaqsull’armaturaelatensionevfraleduearmatureindottadaqèingeneralelaseguente:

q=f(v)Lacorrenteelettricacheentradal terminalepositivo,èdatada:

i=!$!#Þi=!%(#)

!#

Uncondensatoreidealeèunelementotempo-indipendentelinearedescrittoda:

q(t)=Cv(t)Þi(t)=C dv(t)dt La capacità (capacitance) C del condensatore nel si-stemaSIsimisurainfarad[simboloSI:F].Essaèlaca-ricarichiamatasuciascunadelleduearmatureperunitàditensione.Considerandouncondensatorecostituitodaduearmatureuguali,pianeeparallele,disuperfi-cieAedadistanzad(sivedafigura),perunisolanteuniformelacapacitàCèdatada

C=+,e

doveeèlacostantedielettrica(dielectricconstant)delmaterialeisolante.

Perilcondensatoreidealesiha:

q(t)=Cv(t)Þdq=CdvÞi(t)=!$!#=C!-

!#

i(t)=C!-!#Þdv=

./i(t)dtÞ

Þv(t)=./∫ i(t0)dt′#

12 sesiassumechev(-¥)=0,odanche

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v(t)=v(t0)+./∫ i(t0)dt′##!

,"t>t0

L’energiaWCimmagazzinatadalcondensatoreall’istantet,sottoformadienergiaelettrostatica,èdatada:

WC(t)=∫ v(t0)i(t0)dt′#12 =∫ v(q0)dq′$(#)

3 =./∫ q′dq′$(#)

3 Þ

ÞWC(t)=.4$(#)"

/=.4Cv(t)4[siassumecheq(-¥)=0]

Inregimestazionario(incorrentecontinua–DCcurrent)uncondensatoreèuncircuitoaperto(nell’isolanteR=+¥):

Ø Atensionecostanteneltempo,lacorrentecheattraversailcondensatoreènulla(i=Cdv/dt=0)

Ø Uncondensatorecollegatoadunabatteriasicarica(q=Cv).

Latensioneelacaricainuncondensatorenonpossonova-riareistantaneamente:

Ø Poichéperuncondensatoreq=dv/dtedi=dq/dt=C

dv/dt,unavariazionefinitadellatensioneinuntempoinfinitesimocomporterebbeunacaricaelettricaedunacorrenteinfinite.Inoltreancheunavariazionefinitadellacaricapresenteinciascunadelleduearmatureinuntempoinfinitesimo comporterebbe una corrente infinita. Ciò non è fisicamente possibile.Quindiilcondensatoresiopponeasaltiistantaneidellatensioneedellacaricaelettrica.

Ø Dall’espressionedell’energia di un condensatore, unavariazionefinitadellatensioneedellacaricacomporte-rebberounavariazionefinitadell’energiaelettrostaticaimmagazzinata in un tempo infinitesimo. Ciò corri-sponde ad una potenza infinita in quell’istante ditempo.Quindi,peravereunsaltofinitodellacaricaedellatensioneinuncondensatore,ènecessariaunapo-tenzainfinita.

Ilcondensatoreèunbipolopassivochenondissipaenergia.L’energiavieneimmagazzi-natasottoformadienergiaelettrostatica.L’energiavieneutilizzatapercreareilcampoelettricoindottodallecarichedepostesullearmature.L’energiaimmagazzinataèpoire-stituitaquandolecarichelascianolearmatureelacorrentecambiadirezione.

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H ⋅dll∫ = iCnct Φ = B ⋅ n̂ dS

S∫∫

L’induttoreL’induttoreèunelementobipolarepassivoche,attraver-satodaunacorrenteelettrica, induceuncampodi indu-zionemagnetica ed un flussomagnetico associato. Essoperciòassorbeenergiadalcircuitopergenerareilcampo,eimmagazzinataleenergiasottoformadienergiaelettro-magnetica.Quandolacorrente,ediconseguenzailflussomagneticodiminuiscono,essorestituiscealcircuitol’ener-giaimmagazzinata.L’induttoreèl’altroelementoconme-moria(storageelement)dellateoriacircuitale.Ésolitamentecostituitodaunconduttorepercorsodacor-renteavvoltoattornoadunnucleodimaterialeferroma-gnetico(vedifigura).Lacorrentegeneraunflussomagne-tico nel nucleo. Una variazione del flusso induce per laleggedell’induzione(2°leggediMaxwell)unatensioneaicapidelconduttore,terminalidell’induttorestesso.

Dallaleggedellacircuitazione(1°leggediMaxwell),dallaleggedilegamematerialeeperladefinizionediflussoma-gneticosiha:

,B=f2(H),BÞ

Quindiilflussomagneticorisultadipenderedallacorrenteelettrica.IngeneralelarelazionechelegaFBadiè:

FB=f(i)SisuppongacheFBsiailflussoattraversolasuperficieSilcuicontornoèdefinitodalcircuitodellacorrentei.Intalcasoilflussoèilflussoconcatenatoconlacorrentei.Perlaleggedell’induzione(2°equazionediMaxwell)siha:

v=,5#,6

Þv= 𝑑𝑑𝑡f(i)Uninduttoreidealeèunelementotempo-indipendenteli-nearedescrittoda:

FB(t)=Li(t)Þv(t)=L,",6

L’induttanzaLnelsistemaSIsimisurainhenry(simboloSI:H).L’induttanzaèilflussomagneticoindottoperunitàdicorrente.PeruninduttoreconnucleoinferrocilindricodilunghezzalesezioneAdimaterialeferroma-gneticouniformeattornoalqualesiavvolgeunconduttoreconunnumeroNdispire,l’indut-tanzaè:

L=9"+:µ

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Doveµèlapermeabilitàmagnetica(magneticpermeability)delnucleoinferroesimisurainhenryalmetro(simboloSI:H/m).Perl’induttoreidealesiha:

FB(t)=Li(t)ÞdFB=LdiÞv(t)=!5#!#=L!"

!#

v(t)=L!"!#Þdi=

.;v(t)dtÞ

Þi(t)=.;∫ v(t0)dt′#

12 sesiassumechei(-¥)=0,odanche

i(t)=i(t0)+.;∫ v(t0)dt′##!

,"t>t0

L’energiaWL immagazzinatadall’induttoreall’istantet,sottoformadienergiaelettromagne-tica,èdatada:

WL(t)=∫ v(t0)i(t0)dt′#12 =∫ Li′di′"

3 Þ

ÞWL(t)=.4 Li(t)4[siassumechei(-¥)=0]

Inregimestazionario(incorrentecontinua–DCcurrent)uninduttoreèuncircuitochiuso(ilconduttoresiassumesiaaconducibilitàinfinitapercuiR=0):

Ø Quandolacorrenteècostanteneltempolatensioneindottadall’induttoreènulla(v=L(di/dt).

Lacorrentecheattraversauninduttorenonpuòvariareistantaneamente:

Ø Poichéinuninduttorev=Ldi/dt,unavariazionefinitadellacorrenteinuntempoinfinitesimocomporterebbeuna tensione infinita. Ciò non è fisicamente possibile.Quindil’induttoresiopponeasaltiistantaneidellacor-renteelettrica.

Ø Dall’espressionedell’energiadiuninduttore,unavaria-zione finita della corrente comporterebbe una varia-zionefinitadell’energiamagneticaimmagazzinatainuntempoinfinitesimo.Ciòcorri-spondeadunapotenzainfinitainquell’istanteditempo.Quindi,peravereunsaltofinitodellacorrenteinuninduttoreènecessariaunapotenzainfinita.

L’induttore è un bipolo passivo che non dissipa energia.L’energiavieneimmagazzinatasottoformadienergiaelet-tromagnetica. L’energia viene utilizzata per creare ilcampo magnetico indotto dalla corrente che fluisce nelconduttoreavvoltoattornoalnucleo.L’energiaimmagaz-zinataèpoirestituitaquandolacorrentediminuisce.

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Bipoliattivi:generatoriindipendentiI generatori indipendenti di ten-sione e di corrente ideali sono ri-portati in figura. Essi sono le sor-genti indipendenti del circuito. Ilgeneratore indipendente di ten-sione con tensione comunque va-riabile nel tempo è rappresentatodal primo simbolo a sinistra in fi-gura. Il secondo simbolo rappre-sentaungeneratoreditensionecostante(batteriaodaccumulatore).Ilterzosimbolosiriferi-sceadungeneratoredicorrenteindipendente.

IlgeneratoreindipendenteditensionePerilgeneratoreindipendenteditensioneideale,latensionegeneratanonvariaalvariaredellacor-rentecheattraversa ilbipolo. Inquesta ipotesisitrascura la resistenza internadelbipolo chepro-duceunatensionechesiopponeallatensionege-nerataecheaumentaall’aumentaredellacorrente.

Poichéneigeneratorirealilatensioneindottadallaresistenza interna al passaggio della corrente siopponeallatensionedelgeneratore,essaèanchedettaunacadutaditensione.Ungeneratoreindipendenterealeèperciòrappre-sentato da un ramo con un generatore ideale ditensione in serie (vedi figura) ad una resistenzacheèlaresistenzainternaRidelgeneratorereale(duebipoliinseriehannounterminaleincomunee la stessa corrente attraversa prima l’uno e poil’altrobipolo).Latensioneaiterminalidelgenera-torerealeèperciòdatadallatensionedelgenera-toreidealevsmenolacadutaditensionedovutaalpassaggiodicorrenteattraversolaresistenzainterna:

v=vs-Rii QualorasicolleghialgeneratorerealeunaresistenzadicaricoRL(sivedacircuitoinfiguraoveilsimboloperRLindicaunaresistenzachepuòesserevariata),dallaLKTsiottiene:

RLi+Rii–vS=0RLi–vL=0 ovevLèlatensioneacuièsottopostoilcarico.

Þ vL= <$<$=<%

vS

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IlgeneratoreindipendentedicorrentePerilgeneratoreindipendentedicorrenteideale,lacorrentegeneratanonvariaalvariaredellatensioneacuiilbipoloèsottoposto.Ungeneratoreindipendenterealeècostituitodadueramiinparallelo(vedifigura):ungeneratoreidealedicorrenteeunaresistenzacheèlaresistenzainternaRidelgeneratorereale.Idueramiinparallelohannoentrambiiterminaliincomuneesonosottopostiallastessatensione.InquestocasopartedellacorrentegeneratafluisceattraversolaresistenzaRiconricircolointerno.Lacorrenteidelgeneratorerealeè:

i=is–v/Ri ove isè lacorrentegeneratadalgeneratore idealeev/Rièlacorrentechericircolaall’internodelgenera-torerealeattraversolaresistenzainterna.Qualorasicolleghialgeneratorerealeunaresistenzadi caricoRL,dallaLKCsiottiene:

i–iS+vL/Ri=0vL=RLi ovevLèlatensioneaicui

èsottopostoilcarico.

Þ i= <%<$=<%

iS

GeneratoripilotatiNei generatori pilotati o generatoridipendenti di tensione o di corrente(controlledsources–dependantsources)latensione generata o la corrente generatadipendonodalla tensioneodalla corrente inunaltroramodelcicuito.

Le equazioni caratteristiche dei generatoripilotatisono:

v=µvr perilgeneratoreditensione pilotatointensione

v=rmir perilgeneratoreditensione pilotatoincorrente

i=gmvr perilgeneratoredicorrente pilotatointensione

i=air perilgeneratoredicorrente pilotatoincorrente

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ovevreirsonotensioneecorrentepilotantiinramidiversidaquellidelgeneratoredipendente.rmegm hannoledimensionidiunaresistenzaediunaconduttanzarispettivamente.µedasononumeripuri.

CircuitoapertoUnramoincircuitoaperto(opencircuit)nonpermetteilpassaggiodi corrente per qualsiasi valore della tensione ai due terminali delramo. Questo ad esempio è il comportamento di un interruttoreaperto.Unramoincircuitoapertopuòessereconsideratocome:

• ungeneratoredicorrenteindipendenteconiS=0• unresistoreconR=+¥

L’equazionecaratteristicaè:

i=0,"v

CortocircuitoUnramoincortocircuito (closedcircuit)permette ilpassaggiodiunacorrentediqualsiasivaloreinducendounatensionenullafraisuoidueterminali.Questoadesempioèilcomportamentodiuninterruttorechiuso.Unramoincortocircuitopuòessereconsideratocome:

• ungeneratoreditensioneindipendenteconvS=0• unresistoreconR=0

L’equazionecaratteristicaè:

v=0,"i

IldiodoIldiodoideale(idealdiode)èunbipolochefungedacir-cuitoapertoperunacorrentepositivaedacircuitochiusoperunacorrentenegativa.Quandov<0(diodopolariz-zatonegativamente) la correnteènulla. Quando i>0(diodoinconduzione)latensioneènulla.L’equazioneca-ratteristicadeldiodoidealeè:

vi=0Ü :i = 0perv < 0v = 0peri > 0

Idiodiagiunzionepn(pn-junctiondiode)sonoelementicircuitalirealiconunaregionedifunzionamentodefinitadav>vA.Pertensioniinferiorisihalarotturadeldiodo.L’equazionecaratteristicaé:

i=I- Aexp C./#D − 1G

vA•

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doveIS[~µA]èlacorrentedisaturazione(saturationcurrent).VT=kT/e(perT=300KsihaVT=0,026eV)èlatensionetermica(thermaltension).

SeriediresistoriDue o più resistori si dicono in serie(in series) quando sono posti uno diseguitoall’altro(vedifigura).Inodiincomunecolleganoesclusivamenteduedei resistori in serie. Attraverso cia-scun resistore fluisce la stessa cor-rente.Dallafigurasiottiene:

v1,n=v12+v23+....+vn-1,n

v12 = R1i, v23 = R2i, .... , vn-1,n = Rn-1i Þ

Þ v1,n = i (R12 + R23 + … + Rn-1,n) Þ

Þ Req=(R12 + R23 + … + Rn-1,n)=∑ 𝑅012+03+

Req è la resistenza equivalente alla serie di resistori attraverso cui per la stessa tensione fra i nodi 1 ed n fluisce la medesima corrente. Si ha anche:

+4$%

= ∑ +4&

12+03+

ParallelodiresistoriDueopiùresistorisidiconoinparallelo(inparallel)quandohannoincomuneiterminalidiingressoediterminalidiuscitadellacorrente.Tuttiiresistorisonosottopostiallastessaten-sione.Dallafigurasiottienequantosegue:

i = i1 + i2 +....+ in

v1n = R1i1 = R2i2, .... = Rnin

Þ i = v1n - .<& +.<"+⋯+ .

<'0 = -&(

<)*

Þ.<)*

= .<&+ .

<"+⋯+ .

<'= ∑ .

<+>?@.

Req è la resistenza equivalente al parallelo di resistori attraverso cui per una data tensione fra i nodi 1 ed n è attraversata dalla corrente pari alla somma delle correnti che attraversano i resistori in parallelo posti fra quella tensione. Si ha anche:

Geq=∑ 𝐺ABA@.

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Esempidiresistoriinserieeparallelo

Nellafigurasonoriportatialcuniesempiparticolaridiresistoriinserieedinparallelo.

Esempiodianalisicircuitaleconresi-stenzeinserieeparallelo

Datidelproblema:

R1=1W,R2=1W,R3=3W,R4=2W,R5=2W,R6=0.5W,R7=1W,R8=6W,R9=1W,R10=1W.Vs=40V

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Sidetermininoletensionielecorrentidiramo.Sisostituisconoviavia i resistori inserieeparalleloconiresistoriadessiequivalenti:

R1eq=!!!"!!"!"

=1W v1eq=i1eqR1eq=3.33V

i4=v1eq/R4,i4=1.67A

ß i5=v1eq/R5,i5=1.67A

ß Ý

R2eq=R1+R2+R1eq i3=v3eq/R3=-3.33A

=3W i1=i2=-i1eq=v3/R2eq

i1=i2=-i1eq=-3.33A

ß Ý

i6=-i7=i3eq=i4eq=-6-67A

R3eq=!#$%!&!#$%"!&

= v4eq=v3eq+v6-v7

=1.5W v3eq=v4eq-R6i6+R7i7=-10V

ß Ý

R4eq=R6+R7+R3eq= v5eq=v4eq=v8=-20V

=3W i4eq=v4eq/R4eq;i8=v8/R8

ß i4eq=-6.67A;i8=-3.33A Ý

R5eq=!!$%!'!!$%"!'

= v9+v5eq+v10=-Vs

=2W v5eq+R9i9+R10i9=-Vsß v5eq=-20V

REq=R9+R10+R5eq= Ý

=4WÞÞ i9=-Vs/REq=-10A

Trovatalatensioneequivalentedelcircuito,percorrendoilpercorsoinversosicalcolanoleten-sionielecorrentidiramo.

Partitoreditensione

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Latensionefrailterminaledi ingressoequellodiuscitadiunaseriediresistorisisuddivideinmodotalepercuilatensioneaicapidiciascunresistoreèdirettamenteproporzionalealrapportofralasuaresistenzaelaresistenzatotaledellaserie.Perilcircuitoinfiguracondueresistoriinseriesiha:

Req=R1+R2Þ i=#(!$%

=#(

!)"!#

DaleggeLKT: v1+v2-Vs=0

Þ v1=Vs–v2=Vs–R2i Þ v1=!)

!)"!#Vs

v2=Vs–v1=Vs–R1i Þ v2=!#

!)"!#Vs

PartitoredicorrenteLacorrenteentranteiningressoinunterminalecollegatoapiùresistoriinparallelosisuddividefradiessiinmodotaleper cui la corrente attraverso ciascun resistore è diretta-menteproporzionalealrapportofralapropriaconduttanzaelaconduttanzatotaledelparallelo.Perilcircuitoinfiguracondueresistoriinparallelosiha:

Geq=1/R1+1/R2=1/Req=!)"!#!)!#

Þ v=Is/Geq=ReqIs=R1R2R1+R2

ISDaleggeLKC:

i1+i2-Is=0

Þ i1=Is–i2=Is–G2vÞi1=Is–G2Is/GeqÞi1=Is5'5()

Þi1= 6*6'76*

Is

i2=Is–i1=Is–G1v Þi2=Is–G1Is/GeqÞi2=Is5*5()

Þi2= 6'6'76*

Is

ConnessionediresistenzeastellaedatriangoloUnsistemacircuitaleditreresistoripuòessereconnessoatriangolo(deltaconnection)odastella (wye connection). Esempi di connes-sioneatriangoloedastellasonoriportatinellafiguraafianco.

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Èpossibiletrasformareunastelladiresistenzeinuntriangolodiresistenzecheoperainmodoequivalenteallastellaeviceversa.Itreresistoricollegatiastellaeditrecollegatiatriangolooperanoinmodoequivalentequando,qualorainodi1,2e3sianosottopostiallestesseten-sioni,richiamanodalcircuitolestessecorrenti.

Moltospessoquestaoperazionerisultadiparticolareefficacianell’analisicircuitale.Sisuppongadiconnettereadunareteilnodo1edilnodo2edilasciareilnodo3noncon-nessosianeltriangolochenellastella.Laresi-stenzaequivalentedellaconnessioneastellaR12(Y)vistadallareteèdatadallaseriedelleresistenzeRY1 edRY2. La resistenza equiva-lentedellaconnessioneatriangoloR12(Δ)vi-stadallareteèdatadalparallelodiRΔ1conlaseriedelleresistenzeRΔ2edRΔ3:

R12(Y)=RY1+RY2;R12(Δ)=RΔ1//(RΔ2+RΔ3)Analogamentequalorasicolleghinoinodi2e3esilasciscollegatoilnodo1,esuccessivamentesicolleghinoinodi3ed1esilasciscollegatoil2siottiene:

R23(Y)=RY2+RY3;R23(Δ)=RΔ2//(RΔ1+RΔ3) R31(Y)=RY1+RY3;R31(Δ)=RΔ3//(RΔ1+RΔ2)

Perl’equivalenzafrailsistemaastellaedilsistemaatriangolodeveperciòessere:

R12(Y)=R12(Δ);R23(Y)=R23(Δ);R31(Y)=R31(Δ)Perl’equivalenzastella-triangolotaliuguaglianzedevonoessereverificateperqualsiasicollegamentodeitrenodi1,2e3affinchéciò si verifichi ancheper leparticolariconnessionidescrittesopra.Daesseperciòsiottengonoleespressioniditrasformazionedalleresistenzeatrian-goloalleequivalentiresistenzeastella:

PerRΔ1=RΔ2=RΔ3=RΔeRY1=RY2=RY3=RY,sihaRY=RΔ/3.

Perlatrasformazionedalleresistenzeastellealleequivalentiresistenzeatriangolorisulta:

321

32Y3

c321

21Y2

321

31Y1

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

DDD

DD

DDD

DD

DDD

DD

++=

++=

++=

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PerRY1=RY2=RY3=RYeRΔ1=RΔ2=RΔ3=RΔ,sihaRΔ=3RY.

SeriedicondensatoriDueopiù condensatori sono in serie quandosonopostiunodiseguitoall’altro.Inodiinco-mune collegano esclusivamente due dei con-densatoriinserie.Attraversociascunodeicon-densatorifluiscelastessacorrente.Dallafigurasiha:

v=v1+v2+....+vn-1

dove: vk = +8+∫ i(t9)dt9 +v:(t;)<<"

Þ

Þ v1,n = +8'∫ i(t9)dt9<<"

+ +8*∫ i(t9)dt9<<"

+⋯+ +8,-'

∫ i(t9)dt9<<"

+v+(t;) + v=(t;) + ⋯+ v>2+(t;) Þ

Þ v=C +8'+ +

8*+⋯+ +

8,-'D ∫ i(t9)dt9<

<"+ v+(t;) + ⋯+ v>2+(t;)

Þ v = +8()

∫ i(t9)dt9 + v(t;)<<"

Ceq è la capacità del condensatore equivalente alla serie di condensatori che per la stessa tensione fra i nodi 1 ed n è attraversato dalla medesima corrente:

+8()

= C +8'+ +

8*+⋯+ +

8,-'D

Y2

Y1Y3Y3Y2Y2Y13

Y1

Y1Y3Y3Y2Y2Y12

Y3

Y1Y3Y3Y2Y2Y11

RRRRRRRR

RRRRRRRR

RRRRRRRR

++=

++=

++=

D

D

D

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ParallelodicondensatoriDueopiùcondensatorisonoinparalleloquandohannoincomuneiterminalidiingressoediterminalidiuscitadellacorrente.Tuttiicondensatorisonosottopostiallastessatensione.PerlaLKCsiottienequantosegue:

i = i1 + i2 +....+ in

dove: ik = C:?.?<

Þ i = C+?.?<+ C=

?.?<+⋯+ C>

?.?<

Þ

Þ i = (C+ + C= +⋯+ C>)?.?<

Þ

Þ i = C@A?.?<

Ceq è la capacità di un condensatore equivalente al parallelo di condensatori che per una data tensione fra i nodi 1 ed n è attraversato dalla corrente pari alla somma delle correnti che attraversano i con-densatori in parallelo posti fra quella tensione:

Ceq=C1+C2+....+Cn

SeriediinduttoriDueopiùinduttorisonoinseriequandosonopostiunodiseguitoall’altro.Inodiincomunecolleganoesclusivamenteduedegli induttoriinserie.Attraversociascunodegliinduttoriinseriefluiscelastessacorrente.Dallafigurasiha:

v = v1 + v2 +....+ vn-1

dove: vk = L:?B?<

Þ v = L+?B?<+ L=

?B?<+⋯+ L>2+

?B?<

Þ

Þ v = (L+ + L= +⋯+ L>2+)?B?<

Þ

Þ i = L@A?B?<

Leq è l’induttanza dell’induttore equivalente alla serie di induttori che per la stessa tensione fra i nodi 1 ed n è attraversato dalla medesima corrente:

Leq=L1+L2+....+Ln-1

ElettrotecnicaT Capitolo2

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ParallelodiinduttoriDueopiùcondensatorisonoinparalleloquandohannoinco-muneiterminalidiingressoediterminalidiuscitadellacor-rente.Tuttiicondensatorisonosottopostiallastessatensione.PerlaLKCsiottienequantosegue:

i=i1+i2+....+in

dove: ik = +C+∫ v(t9)dt9 +i:(t;)<<"

Þ

Þ i = +C'∫ v(t9)dt9<<"

+ +C*∫ v(t9)dt9<<"

+

+⋯+ +C,∫ v(t9)dt9 +<<"

+i+(t;) + i=(t;) + ⋯+ i>(t;)

Þ i=C +C'+ +

C*+⋯+ +

C,D ∫ v(t9)dt9<

<"+ i+(t;) + ⋯+ i>(t;)

Þ i = +C()

∫ v(t9)dt9 + i(t;)<<"

Ceq è l’induttanza di un induttore equivalente al parallelo di induttori che per una data tensione fra i nodi 1 ed n è attraversato dalla corrente pari alla somma delle correnti che attraversano gli induttori in parallelo posti fra quella tensione:

+C()

= C +C'+ +

C*+⋯+ +

C,D

Induttorimutuamenteaccoppiati

Larelazionefraflussomagneticoecorrenteelettricachelogenera,conessaconcatenato,perla1°leggediMaxwellè:

FB=f(i)Inoltreperla2°leggediMaxwellè:

v=,5#,6

Þv= 𝑑𝑑𝑡f(i)Peruninduttoreideale:

FB(t)=Li(t)Þv(t)=L,",6

Questarelazioneassumechelacorrentechegenerailflussomagneticosiaunica.

Qualoralecorrentisianodue,i1edi2, icontributialflussosonodue:uncontributogeneratodallaprimacorrenteedunodallaseconda.Inoltreilflussopuòessereilflussocheattraversalasuperficie ilcuibordoècostituitodalcircuitodi i1,quindiadessaconcatenato,oquellocheattraversaunasuperficieilcuibordoècostituitodalcircuitodii2econessaconcatenato.

ElettrotecnicaT Capitolo2

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Ilcontributoalflussoconcatenatoconilcircuitodovefluiscei1egeneratodallacorrentei1èF1(i1).Ilcontri-butoalflussoconcatenatoconilcircuitodii1egeneratodallacorrentei2èF1(i2).Ilflussototaleconcatenatoconi1èdatodallasovrapposizionedeiduecontributi:

FC1=F1(i1)+F1(i2)Qualorailsistemasialineare:

FC1=L1i1+M12i2InquestaespressioneL1è l’autoinduttanza (self in-ductance)edM12èlamutuainduttaza(mutuainduc-tance).Percircuititempoindipendenti,percuiL1edM12nondipendonodaltempo,siottiene:

v1= ?D.'?<

= L+?B'?<+M+=

?B*?<

Analogamenteilflussototaleconcatenatoconi2èdatodallasovrapposizionedeicontributido-vutialleduecorrentidii1ei2:

FC2=L2i2+M21i1latensioneindottanelcircuitodii2è:

v2= ?D.*?<

= L=?B*?<+M=+

?B'?<

Leautoinduttanzesonosemprepo-sitive mentre le mutue induttanzepossono essere positive o negative.Ciòdipendedalreciprocoposiziona-mentodeiduecircuiti.Inoltresidi-mostracheM12=M21.Due induttori mutuamente accop-piati si indicanocomenella figuraafianco.Laconvenzionedeiduepalliniriguarda il segno di M12. M12 > 0quando i pallini corrispondono aiterminali dei due induttori con cor-renteentranteinentrambioppureuscentedaentrambi.Nelcasoincuiipallinisianopostiunovicinoadunterminaleincuilacorrenteentrael’altrovicinoadunterminaledacuilacorrenteesce,alloraM12<0.

L’energiaWL immagazzinatadaidue induttoriaccoppiatimagneticamenteall’istante t, sottoformadienergiaelettromagnetica,èdatada:

WL(-¥,t)=∫ [v+(t9)i+(t9) + v=(t9)i=(t9)]dt′<2E =

=∫ PL+i+?B'?<+M+= Ai+

?B*?<+i=

?B'?<G + L=i=

?B*?<Q dt<

2E =

=∫ d A+=L+i+= +M+=i+i= +

+=L=i==G

<2E Þ

ElettrotecnicaT Capitolo2

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ÞWL(-¥,t)=+= L+I+= +M+=I+I= +

+=L=I==

dovei1(-¥)=i2(-¥)=0.InoltreI1edI2sonoivaloridellecorrentii1edi2all’istantet.

ElementocircuitalemultiportaUnelementocircuitaleconunnumeropariditerminali2Npuòes-sereorganizzato comeelemento circuitalemultiporta (Nportcircuit element). La corrente entrante per un terminale di cia-scuna porta è uguale alla corrente uscente dall’altro terminaledellaportamedesima.Ogniportadell’elementoèdescrittodallacorrenteedallatensionefraidueterminali.Unmultiportachesicomportacometaleindipendentementedaisuoicollegamentiesternisidicemultiportaintrinseco(intrinsicNportelement).IlsistemadiequazionicaratteristichediunelementoadNporteèdatodaNequazioniscalarichemettonoinrelazioneleNtensionidiportaalleNcorrentidiporta:

v1=f1(i1,i2,....,iN) v2=f2(i1,i2,....,iN) ......................... vN=fN(i1,i2,....,iN)Lapotenzaassorbitadall’elementomultiportaé:

p(t)=v1i1+v2i2+..........+vNiNL’energiaassorbitaaltempotè:

W(t)=∫ p(t)dt<2E

ElementocircuitalebiportaUnelementocircuitaleadueporteobiporta(twoportcircuitelement)èmoltocomunenellatecnica.Essoèunquadripoloorganizzatoindueporte.Solitamentesiindividuaunaportadiingressocontensionev1ecorrentei1,edunadiuscita,contensionev2ecorrentei2,comenelcasodiunamplificatorediunimpiantoHI-FI,odiuntrasformatoremonofaseadueavvolgi-menti.Ilsegnaledaamplificareentranell’elementodallaportadiingressoedesceamplificatodaquelladiuscita.Cosìneltrasformatoreentradall’ingressoilsegnaledatrasformarecheescetrasformatodaquellad’uscita.L’equazione caratteristica per un elementobiportaè:

v1=f1(i1,i2) v2=f2(i1,i2)Perunbiportalinearelefunzionif1edf2sonofunzioniintegro-differenzialilinearinelleva-riabilii1edi2.

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Lapotenzadelbiportaè:

p(t)=v1i1+v2i2

Due induttorimutuamente accoppiati possono es-sereconsideratiunelementocircuitaleadueporte,dove:

v1= L+?B'?<+M+=

?B*?<

v2= L=?B*?<+M+=

?B'?<