Implementazione del problema della
approssimazione ai minimi quadrati
Definizione del problema
CASO DISCRETO: siano dati m punti (x1,y1),…,(xm,ym). Si vuole determinare un polinomio p*(x) nello spazio dei polinomi di grado ≤n che indichiamo con Pn, con n<m ed n,m interi, tale che lo scarto quadratico medio ε2 così definito:
risulti minimo rispetto ai coefficienti del polinomio.
22
1
*( )m
i ii
p x y
Chiaramente ε2 = ε 2(a0,…an) dove gli ai sono i coefficienti del
polinomio p*(x).
Caso di approssimazione lineare
Nel caso in cui n=1 vogliamo determinare il polinomio di primo grado p(x)=ax+b (geometricamente una retta) che costituisce la migliore approssimazione ai minimi quadrati. Vogliamo cioè, noti m punti (xi,yi) i=1…m trovare i valori di a e b che minimizzano:
2
1
( , ) ( )m
i ii
F a b y ax b
Come minimizzare tale funzione ? Calcolando le derivate prime di F rispetto ad a e rispetto a b e ponendole uguali a zero.
1
/ 2 ( ) 0m
i i ii
F a y ax b x
Si ottiene così un sistema di due equazioni in due incognite che risolto consente di esprimere a e b (le incognite !) in funzione delle coordinate degli
m punti.
1
/ 2 ( ) 0m
i ii
F b y ax b
Il sistema che si ottiene è il seguente:
1 1 1
2
1 1 1
1m m m
i ii i i
m m m
i i i ii i i
b a x y
b x a x y x
ovvero, in forma matriciale:
1 1 1
2
1 1 1
1m m m
i ii i i
m m m
i i i ii i i
x yb
ax x y x
Le soluzioni del sistema ottenute applicando la regola di Cramer sono:
1 1 1
2 2
1 1
( )( )
( )
m m m
i i i ii i i
m m
i ii i
m x y x ya
m x x
2
1 1 1 1
2 2
1 1
( )( ) ( )( )
( ) ( )
m m m m
i i i i ii i i i
m m
i ii i
x y x x yb
m x x
Definizione del problema (caso continuo)
CASO CONTINUO: Si vuole determinare p*(x) appartenente a Pn in modo tale da minimizzare la grandezza ε2 o scarto quadratico medio così definita:
22 *( ) ( )b
ap x f x dx
Chiaramente ε2 = ε2(a0,…an) dove gli ai sono i coefficienti delpolinomio p*(x).
Soluzione del problema
Consideriamo lo spazio V=C[a,b], ovvero lo spazio delle funzioni continue in [a,b], vogliamo trovare i coefficienti a0,…,an del polinomio p*(x) in Pn, che approssima f appartenente a V.
Dobbiamo minimizzare:
Come si fa a minimizzare tale funzione ? Calcolando le derivate prime di F rispetto ai valori a0,…,an e ponendole uguali a zero. Otteniamo il seguente sistema di n+1 equazioni nelle n+1 incognite a0,…,an, :
2
0
( ,... ) ( ( ) )nb j
o n jaj
F a a f x a x dx
nel caso in cui [a,b] = [0,1] il sistema diventa:
0
( )n b bi j i
j a aj
a x dx f x x dx
i=0…n
i=0…n
0
/ 2 ( ( ) ) 0nb j i
i jaj
F a f x a x x dx
1
00
1( )
1
ni
jj
a f x x dxi j
i=0…n
ovvero:
• Il sistema in forma matriciale si scrive:
00 0 0 0
1
n
m mn n n
h h a b
h h a b
dove :
1
0( ) i
ib f x x dx
Cosa significa mal condizionata?
Che se si risolve un sistema lineare con questa matrice dei coefficienti, “piccole” perturbazioni sui dati possono provocare “grandi” perturbazioni sulle soluzioni .
Problema
,
1
1i jh i j
Si tratta della matrice di Hilbert che è una matrice
i,j=0,..n
malcondizionata
La matrice dei coefficienti è quella con elementi:
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