Geometria analitica

•Gli assi cartesiani

•Distanza di due punti

•Punto medio di un segmento

•Esercizi

Materia: Matematica Autore: Mario De Leo

Rielaborato da iprof

Gli assi cartesiani

Un sistema di due assi ortogonali (perpendicolari) orientati (ai quali è dato il verso), in cui è stabilita l’unità di misura, è detto sistema di riferimento cartesiano.

Per convenzione l’asse orizzontale è detto asse delle ascisse (X) e quello verticale è detto asse delle ordinate (Y).

Il punto di intersezione delle due rette (O) è detto origine degli assi.

Le parti in cui il piano cartesiano è diviso dagli assi ortogonali si chiamano quadranti.

ESEMPIO:

Individua in un sistema di assi cartesiani i punti:

1776

6335

;D;C

;B;A

In esso ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata (coppia in cui è stabilito a chi è riferito il primo valore e a chi il secondo) di valori.Tali valori sono chiamati coordinate cartesiane ed in particolare ascissa (x) il primo valore e ordinata (y) il secondo [es. P (2;-3) il punto P ha ascissa 2 e ordinata –3].

Il verso delle frecce indica il verso crescente dei numeri; l’origine (valore zero) separa i numeri positivi da quelli negativi.

Sistema di riferimento cartesiano nel piano

• Determina le coordinate dei punti rappresentati nel piano:

.B

.D

.A

.E.G

.H

.F.C

.KA(2;5)

B(5;4)

C(7;0)

D(7;-5)

E(0;-4)

F(-7;-4)

G(-4;0)

H(-8;3)

K(-4;5)

© Casa Editrice G. Principato 2009

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I segmenti

• Se un segmento rappresentato nel piano cartesiano è orizzontale la sua lunghezza è la differenza delle ascisse in valore assoluto.

AB =|xB − xA|• Se un segmento rappresentato nel piano cartesiano è

verticale la sua lunghezza è la differenza delle ordinate in valore assoluto.

CD =|yD − yC|

• Dati due punti di coordinate A(xa,ya) e B(xb,yb)

– si considera • il punto H di intersezione tra tali rette• il triangolo rettangolo ABH

– si conducono le retteparallele agli assipassanti per i due punti

Distanza tra due punti dati -

H

– si applica il teorema di Pitagora:

O x

y B

AA’’

B’’

A’ B’

222222 '''''' ABAB yyxxABBABHAHAB

- lunghezza di un segmento

RICAPITOLANDO…Distanza di due punti

Dati due punti A (xA ;yA) e B (xB ;yB), per calcolare la loro distanza dobbiamo distinguere tre casi:

- segmento parallelo all’asse X (le ordinate sono uguali)

- segmento parallelo all’asse Y (le ascisse sono uguali)

- segmento obliquo

ESEMPI:

BA xxAB

BA yyAB 22 )yy()xx(AB BABA

446236321 AB;B;A)

885352322 AB;B;A)

52591634

636266323

22

22

AB;B;A)

Punto medio di un segmento

Per trovare le coordinate del punto medio di un segmento basta calcolare la media aritmetica delle ascisse e la media aritmetica delle ordinate; le formule da utilizzare saranno quindi:

ESEMPIO:

22BA

MBA

M

yyy;

xxx

2

3

2

25

22

4

2

73

2753

M

M

y

x

;B;A

2

32;M

Esercizi1) Rappresenta sul piano cartesiano i seguenti punti: A (+2;+5) B (+4;-3) C (-1;+6) D (-5;-2) E (+6;0) F (0;-6) G (-3/2;-7/2) H (+11/3;-1/4)

2) Calcola la distanza tra: A (+2;-3) e B (+4;-3) C (-5;+6) e D (-5;-2) E (+6;-7) e F (-

3;+5)

3) Dopo averlo rappresentato calcola, in cm, il perimetro del triangolo di vertici:

A (+2;-5) ; B (-6;+1) ; C (-6;-5).

4) Calcola le coordinate dei punti medi di: A (+2;-3) e B (+4;-3) C (-1;+6) e D (-5;-2) E (+6;-7) e F (-

3;+5)

5) Dopo averlo rappresentato calcola, in cm, perimetro e area del poligono di vertici:

A (+2;+5) ; B (-4;+5) ; C (-1;+1) ; D (+2;+1).

6) Dopo averlo rappresentato calcola, in cm, perimetro e area del triangolo di vertici:

A (-3;+2) ; B (-1;-4) ; C (+5;-2).

cmp 242

218182 cmArea;cmp

220541042 cmArea;cmp

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