5/24/2018 Geo Planar 2
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I) Semelhana de tringulos.
Definio. Dois tringulos so semelhantes setm os ngulos dois a dois congruentese os lados correspondentes dois a doisproporcionais.
Definio mais "popular". Dois tringulos so semelhantes seum deles a reduo ou a ampliaodo outro.
A
BC
D
EF
ABC DEF~
A DB EC F
eAB AC BCDE DF EF
k= =
K - razo da semelhanaou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois tringulos so semelhantes, a proporcionalidade se mantm constante para quaisquerdois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferncias inscritas, raiosdas circunferncias circunscritas, permetros, etc.
II) Casos de semelhana. (Como reconhecer a semelhana de tringulos)
1) Caso AA (importantssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
Dois tringulos so semelhantesse dois ngulos (AA) de um delesso congruentes a dois ngulos dooutro.
Dois tringulos so semelhantesse tm um ngulo congruente e osdois lados de um tringulo adjacen-tes ao ngulo so proporcionaisaos dois lados adjacentes ao ngu-lo do outro tringulo.
Dois tringulos so semelhantesse tm os trs lados dois a dois or-denadamente proporcionais.
a b
c
d e
f
a b cd e f
k= = =
a
c
d
f
a cd f
k= =
III) Como aplicar a semelhana de tringulos.
a) Reconhecer a semelhana atravs dos "casos de semelhana".
b) Desenhar os dois tringulos separados.c) Chamar de , e os trs ngulos de cada tringulo.d) Escolher um tringulo para ser o numerador da proporo.e) Montar uma proporo entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo tringulo nonumerador da proporo.
A
B C
D
12
4
x
=
semelhante
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 08
Semelhana de tringulos.
Exerccio 01 - Utilizando a tcnica de aplicao da semelhana de tringulos acima descrita, determine ovalor de x na figura abaixo.
Jeca 84
5/24/2018 Geo Planar 2
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I) Semelhana de tringulos.
Definio. Dois tringulos so semelhantes setm os ngulos dois a dois congruentese os lados correspondentes dois a doisproporcionais.
Definio mais "popular". Dois tringulos so semelhantes seum deles a reduo ou a ampliaodo outro.
A
BC
D
EF
ABC DEF~
A DB EC F
eAB AC BCDE DF EF
k= =
K - razo da semelhanaou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois tringulos so semelhantes, a proporcionalidade se mantm constante para quaisquerdois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferncias inscritas, raiosdas circunferncias circunscritas, permetros, etc.
II) Casos de semelhana. (Como reconhecer a semelhana de tringulos)
1) Caso AA (importantssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
Dois tringulos so semelhantesse dois ngulos (AA) de um delesso congruentes a dois ngulos dooutro.
Dois tringulos so semelhantesse tm um ngulo congruente e osdois lados de um tringulo adjacen-tes ao ngulo so proporcionaisaos dois lados adjacentes ao ngu-lo do outro tringulo.
Dois tringulos so semelhantesse tm os trs lados dois a dois or-denadamente proporcionais.
a b
c
d e
f
a b cd e f
k= = =
a
c
d
f
a cd f
k= =
III) Como aplicar a semelhana de tringulos.
a) Reconhecer a semelhana atravs dos "casos de semelhana".
b) Desenhar os dois tringulos separados.c) Chamar de , e os trs ngulos de cada tringulo.d) Escolher um tringulo para ser o numerador da proporo.e) Montar uma proporo entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo tringulo nonumerador da proporo.
Exerccio 01 - Utilizando a tcnica de aplicao da semelhana de tringulos acima descrita, determine ovalor de x na figura abaixo.
A
B C
D
12
4
x
=
semelhante
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 08
Semelhana de tringulos.
Jeca 84
A
B Cx
16
4
x
Semelhana de tringulos
x4
16x=
2x = 64
Portanto x = 8 (resp)
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A
B C
D E
A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cme BE mede 10 cm e paralelo a CD. Determine amedida dos segmentos AE e CD.
AB C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendoque BE paralelo a CD e que o permetro do tringu-lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm,CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BDinterceptam-se no ponto E. Determine a distnciaentre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BDmede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
02) Na figura abaixo o segmento DE paralelo base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-dida de DE 8 cm. Determine as medidas dos seg-mentos AD e AE.
06) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm,CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-seco dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-termine a altura relativa base AB do tringulo ABE.
Jeca 85
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A
B C
D E
02) Na figura abaixo o segmento DE paralelo base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-dida de DE 8 cm. Determine as medidas dos seg-mentos AD e AE. A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cme BE mede 10 cm e paralelo a CD. Determine amedida dos segmentos AE e CD.
AB C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendoque BE paralelo a CD e que o permetro do tringu-lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm,CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BDinterceptam-se no ponto E. Determine a distnciaentre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
06) Na figura, o trapzio ABCD tem bases AB = 8 cm,CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-seco dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-termine a altura relativa base AB do tringulo ABE.
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BDmede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
Jeca 85
8
12
x y9
13
Semelhana de tringulosx9
y
138
12==
x = 9 . 8 / 12 = 6 cmy = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp)
7
56
x
10
y
Semelhana de tringulos.7
12=
xx + 6
10y=
12x = 7x + 42
5x = 42
x = 42/5 cm
7y = 120
y = 120/7 cm
Respostas
5
37
Per = 45 cmACD
Semelhana de tringulos.
Semelhana de tringulos.
Semelhana de tringulos.
Semelhana de tringulos.
7AD
3CD
5AC
=PerABEPerACD
7 + 5 + 345
1545
13
= = = = =
5AC
= 13
AC = 15 cm
3CD
=13
CD = 9 cmRespostas
8 cm
18
12
12 - d
ABE ~ CDE
818
=12 - d
d
8d = 216 - 18d
26d = 216
d = 108/13 cm Resposta
8
18
12
d
8 =18 dd + 12 18d = 8d + 96d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm Resposta
8
4
x14 - x
x14 - x =
48
8x = 56 - 4x
12x = 56
x = 56/12 = 14/3 cm Resposta
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P
A
B
C
xy
z5040
45
13) (ESPM) Um mastro vertical mantido nessa posi-o por 3 cabos esticados que partem da extremidadeP e so fixados no cho nos pontos A, B e C, confor-me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distnciasrespectivas desses pontos ao p do mastro, determineo valor de z em funo de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE um losangoinscrito no tringulo ABC. Determine a medida do ladodesse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o tringulo ADE tem base DE = xe altura h. Sabendo-se que o tringulo ABC tem baseBC = ye as bases BC e DE so paralelas, determine amedida da altura H do trapzio BCED em funo de x,y e h.
Hx
y
A
B CD E
FG
h=6
cm
11) Os quadrados representados na figura abaixo tmlados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida dopermetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm eDE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
09) Na figura abaixo, ABC um tringulo de altura 6cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG um qua-drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
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P
A
B
C
xy
z5040
45
13) (ESPM) Um mastro vertical mantido nessa posi-o por 3 cabos esticados que partem da extremidadeP e so fixados no cho nos pontos A, B e C, confor-me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distnciasrespectivas desses pontos ao p do mastro, determineo valor de z em funo de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE um losangoinscrito no tringulo ABC. Determine a medida do ladodesse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o tringulo ADE tem base DE = xe altura h. Sabendo-se que o tringulo ABC tem baseBC = ye as bases BC e DE so paralelas, determine amedida da altura H do trapzio BCED em funo de x,y e h.
Hx
y
A
B CD E
FG
h=6
cm
11) Os quadrados representados na figura abaixo tmlados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida dopermetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm eDE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
8
12
x
x
x
x 12 - x
ABC ~ CDF
12 - x12
=x8
12x = 96 - 8x20x = 96x = 96/20 = 4,8 cm (resp)
Semelhana de tringulos
baseBase
alturaAltura
=
xy
hh + H
=
xh + xH = yhxH = yh - xh
H = (yh - xh) / x (resp)
ou H = h(y - x) / x (resp)
8
x 20 - x
5
Semelhana de tringulos.
x5
820 - x= >
2x - 20x + 40 = 0
Resolvendo, tem-se
x = 10 + 2 15 cm ou x = 10 - 2 15 cm (resp)
45
50
40
D
PDC isscelesDC = PD = z
ADP ~ BDP
z
xz
zy=
z = x . y (resp)
09) Na figura abaixo, ABC um tringulo de altura 6cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG um qua-drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
x
x
12 cm
6 - x
Semelhana de tringulos.
x12
6 - x6=
6x = 72 - 12x
18x = 72
x = 4 cm Resposta
3
6
x6 - x
Semelhana de tringulos.
x6
= 6 - x3
3x = 36 - 6x
9x = 36
x = 4 cm
Per = 4.x = 16 cm Resposta
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IV) Potncia de um ponto em relao a uma circunferncia.
Dada uma circunferncia e um ponto P, P no pertencente a ,se A e B so os pontos de interseco entre e a reta secante a por P, define-se potncia de P em relao a o produto PA x PB.
Propriedade. Dados e P, a potncia de P em relao a constante,
qualquer que seja a reta AB secante a por P.
A
BP
Potncia = PA x PB
1 caso: O ponto P interior a . 2 caso: O ponto P exterior a .
A
BP
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
OP
O
T
AB
C
D
T ponto de tangncia
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem circunferncia . Sabendo que PA = 6, PB = 8e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
AB
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem circunferncia . Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-termine a medida do segmento PC.
A B
C
D
P
O
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem circunferncia . Sabendo que PA = 6, AB = 8e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem circunferncia de centro O. Determine a medida doraio da circunferncia sabendo que PA = 6, PB = 10 e
PO = 4.
Jeca 87
5/24/2018 Geo Planar 2
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IV) Potncia de um ponto em relao a uma circunferncia.
Dada uma circunferncia e um ponto P, P no pertencente a ,se A e B so os pontos de interseco entre e a reta secante a por P, define-se potncia de P em relao a o produto PA x PB.
Propriedade. Dados e P, a potncia de P em relao a constante,
qualquer que seja a reta AB secante a por P.
A
BP
Potncia = PA x PB
1 caso: O ponto P interior a . 2 caso: O ponto P exterior a .
A
BP
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
OP
O
T
AB
C
D
T ponto de tangncia
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem circunferncia . Sabendo que PA = 6, PB = 8e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
AB
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem circunferncia . Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-termine a medida do segmento PC.
A B
C
D
P
O
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-cem circunferncia . Sabendo que PA = 6, AB = 8e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem circunferncia de centro O. Determine a medida doraio da circunferncia sabendo que PA = 6, PB = 10 e
PO = 4.
Jeca 87
Potncia de ponto
PA . PC = PB . PD
6 . x = 8 . 12
x = 96/6 = 16 cm (resp)
6
8
12
x
C
D
6
10
4
R
PC = R - 4PD = R + 4
PotnciaPA x PB = PC x PD6 x 10 = (R - 4).(R + 4)
2 2R - 4 = 60
2R = 76
R = 2 19 uc (resp)
Potncia de ponto
2
PA . PB = PC
24.(4 + 12) = PC
2PC = 64
PC = 8 (Resp.)
6 8
5
xPotncia de ponto
PA x PB = PC x PD
6 . 14 = x.(x + 5)
2x + 5x - 84 = 0
Razes
x = -12 (no convm)
x = 7 cm Resposta
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A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm.Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC a bissetriz do ngulo BCD. Determine a medida dosegmento CD.
A
B
C
D
21) No tringulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, at oponto P, formando-se o tringulo PAB, semelhante aotringulo PCA. Determine o comprimento do segmen-to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Aps um tremor de terra, dois muros pa-ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-te abalados. Os moradores se reuniram e decidiramescorar os muros utilizando duas barras metlicas, co-mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros tmalturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura donvel do cho as duas barras se interceptam ?Despreze as espessuras das barras.
h3 m
9 m
Jeca 88
5/24/2018 Geo Planar 2
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A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm.Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC a bissetriz do ngulo BCD. Determine a medida dosegmento CD.
A
B
C
D
21) No tringulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, at oponto P, formando-se o tringulo PAB, semelhante aotringulo PCA. Determine o comprimento do segmen-to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Aps um tremor de terra, dois muros pa-ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-te abalados. Os moradores se reuniram e decidiramescorar os muros utilizando duas barras metlicas, co-mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros tmalturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura donvel do cho as duas barras se interceptam ?Despreze as espessuras das barras.
h3 m
9 m
Jeca 88
A
B C
E
D
C5
12
3
y
x
2 2 2Pitgoras y = 5 + 12
y = 13 cmSemelhana de tringulos
x = 39/5 cm (resp)
x13
=35
P
A B
P
A
Cx + 7
x
y y
6
8
Semelhana de tringulos
x + 7y
yx
86
= =
y
8x
6= =4x3
8y = 6(x + 7)
8.(4x/3) = 6x + 42
32x = 18x + 126
x = 126/14 = 9 uc (resp)
A
B C
DE
x y
ABE ~ CDE BFE ~ BCD
39 = yx
F
xx + y
h3
== x + y12
x + y h3x=x + y = 12x9
=12x9h
3x
h = 9/4 = 2,25 m (resp)
8
10
7 x
Semelhana de tringulos
x10
= 107
x = 100/7 cm (resp)
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A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB o dimetro da circunfern-cia de raio 10 cm e a reta PA tangente a essacircunferncia. Determine a medida do segmento BQ,sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t tangente
circunferncia no ponto A e paralela ao segmentoDE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida dosegmento BD ser:
a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-
rncia. Os segmentos EA e ED interceptam essacircunferncia nos pontos B e A, e, C e D respectiva-mente. A corda AF da circunferncia intercepta osegmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4,GD = 3 e AG = 6, ento GF vale:
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o tringulo ABC retngulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Alm disso, oponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence aocatero BC e o ponto F pertence hipotenusa AC, de talforma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2,ento a rea do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
632512558255625115
A
B C
D
E
F
Jeca 89
5/24/2018 Geo Planar 2
12/145
A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB o dimetro da circunfern-cia de raio 10 cm e a reta PA tangente a essacircunferncia. Determine a medida do segmento BQ,sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t tangente
circunferncia no ponto A e paralela ao segmentoDE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida dosegmento BD ser:
a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-
rncia. Os segmentos EA e ED interceptam essacircunferncia nos pontos B e A, e, C e D respectiva-mente. A corda AF da circunferncia intercepta osegmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4,GD = 3 e AG = 6, ento GF vale:
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o tringulo ABC retngulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Alm disso, oponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence aocatero BC e o ponto F pertence hipotenusa AC, de talforma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2,ento a rea do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
632512558255625115
A
B C
D
E
F
Jeca 89
A B
P
Q
A B
x
x + 3
2 10
2 10
Semelhana de tringulos
x + 3
2 10=
x2 10
2x + 3x - 40 = 0
x = -8 ou x = 5
x = 5 cm (resp)
6 5
7
P
Os ngulosPAB , ADE e BCA socongruentes e iguais a .
PAB e ADE so colaterais internosPAB = ngulo de segmentoBCA = ngulo inscrito
Semelhana de tringulos.
60 = 6x + 366x = 24x = 4 (resp)
612
=5
x + 6
x
A
D
B
C
E
F
G
5
74
3
6
x
y
Potncia de pontoEB.EA = EC.ED5.(5 + 7) = 4.(4 + y + 3)y = 8
Potncia de pontoAG.GF = DG.GC6 . x = 3 . 8x = 4 Resposta d
4
3
5
3/2h
b3 - b
Semelhana de tringulos
h
4
3 - b 3/2
5
=
3
=
h = 12/10
b = 21/10
S = b . h 1210
21= .10
=252100
S 6325= Resposta a
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13/145
01) Na figura abaixo, o segmento DE paralelo ao segmento BC. Provar que os tringulos ABC e ADE sosemelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y9
cm
11cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes ecalcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d6cm
03) Na figura abaixo, o ponto E o ponto de interseco das diagonais do trapzio ABCD. Sendo AB = 8 cm,CD = 14 cm e tendo o trapzio 6 cm de altura, provar que os tringulos ABE e CDE so semelhantes edeterminar a distncia d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x
4c
m
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaSemelhana de tringulos e
Potncia de ponto.Exerccios complementares da aula 08.
Jeca 90
5/24/2018 Geo Planar 2
14/145
01) Na figura abaixo, o segmento DE paralelo ao segmento BC. Provar que os tringulos ABC e ADE sosemelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y9
cm
11cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes ecalcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d6cm
03) Na figura abaixo, o ponto E o ponto de interseco das diagonais do trapzio ABCD. Sendo AB = 8 cm,CD = 14 cm e tendo o trapzio 6 cm de altura, provar que os tringulos ABE e CDE so semelhantes edeterminar a distncia d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x
4c
m
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaSemelhana de tringulos e
Potncia de ponto.Exerccios complementares da aula 08.
Jeca 90
Semelhana de tringulos
x = 9 . 8 / 12 = 6 cmy = 11 . 8 / 9 = 88 / 9 cm (resp)
x9
y11
812
= =
D AEB ~ D CDE
6 - d bB
hH
=
=814
6 - dd
d = 42/11 cm (Resp.)
8
5
10
x
y
z
Pitgoras
2 2 2x = 8 + 10
2x = 64 + 100 = 164
x = 2 41 cm
Os tringulos ABC e DEC so semelhantes pelocaso AA.
85
= 10yxz=
8.y = 50
y = 50/8 = 25/4 cm
8.z = 5.x = 5 . 2 41
z = 5 41 /4 cm
Semelhana de tringulos.
35
=x
x + 4
5x = 3x + 122x = 12x = 6 cm Resposta
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05) Na figura abaixo, ABCD um retngulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os tringulos ABC, ABEe BCE so semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E3
cm
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os tringulos ABC e BCD so semelhantes edeterminar a medida do segmento BC.
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem circunferncia de centro C. Provar que os tringulosABP e DEP so semelhantes e que vale a relao AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC um tringulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os tringulos ABC e AGFso semelhantes e determinar a rea do quadrado DEFG inscrito no tringulo ABC.
A
B CD E
FG
h=8cm
A
Ex
09) Na figura abaixo, provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes e determinar uma expresso quefornea t como funo de x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
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05) Na figura abaixo, ABCD um retngulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os tringulos ABC, ABEe BCE so semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E3
cm
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os tringulos ABC e BCD so semelhantes edeterminar a medida do segmento BC.
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem circunferncia de centro C. Provar que os tringulosABP e DEP so semelhantes e que vale a relao AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC um tringulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os tringulos ABC e AGFso semelhantes e determinar a rea do quadrado DEFG inscrito no tringulo ABC.
A
B CD E
FG
h=8cm
A
Ex
09) Na figura abaixo, provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes e determinar uma expresso quefornea t como funo de x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
4 cm
2 2 2Pitgoras (AC) = 3 + 4 = 25 AC = 5 cm
Semelhana de tringulos.ADC ~ ABE
ADBE
=ACAB
DCAE
=
= =3
BE54
4AE
BE = 3 . 4 / 5 = 12 / 5 cmAE = 4 . 4 / 5 = 16 / 5 cm (resp)
A
B C
D
B C14
x
4
x
aa
bc
c
b 4
x
x
14=
2x = 4 . 14
x = 2 14 cm (Resp.)
C um vrtice comum aosdois tringulos.Os tringulos so semelhantespelo caso AA.
Os tringulos ABP e DEP so semelhantes pelo caso AA.
APDP
=PBPE
Portanto AP x PE = DP x PB (CQD)
x
x
8 - x
Os tringulos AGF e ABC so semelhantes pelo caso AA.
x16
=8 - x
8
16 cm
128 - 16x = 8x
24x = 128x = 128/24 = 16/3 cm
2 2 2S = x = (16/3) = (256/9) cm Resposta
90-
90-
Os tringulos CDE e ABC so semelhantes pelo caso AA.
ty =
zx
t =y . z
xResposta
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A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ngulos ACB e ADE socongruentes, provar que os tringulos ABC e ADE so semelhantes e determinar as medidas dos segmentosAE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC um tringulo retngulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm.Sendo AE igual a 1 cm, provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes e determinar a medida dosegmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm so duas alturas de um tringulo ABC de lado AB = 6 cm,determinar a medida do lado AC desse tringulo.
13) O tringulo ABC da figura abaixo eqiltero de lado 10 cm e M o ponto mdio do lado AB. Sendo CD = 6cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B C D
N
M
14) Considere a circunferncia circunscrita a um tringulo ABC. Seja AE umdimetro desta circunferncia e AD altura do tringulo. Sendo AB = 6 cm,
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.h
A
B CD
E
O
Jeca 92
5/24/2018 Geo Planar 2
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A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ngulos ACB e ADE socongruentes, provar que os tringulos ABC e ADE so semelhantes e determinar as medidas dos segmentosAE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC um tringulo retngulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm.Sendo AE igual a 1 cm, provar que os tringulos ABC e CDE so semelhantes e determinar a medida dosegmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm so duas alturas de um tringulo ABC de lado AB = 6 cm,determinar a medida do lado AC desse tringulo.
13) O tringulo ABC da figura abaixo eqiltero de lado 10 cm e M o ponto mdio do lado AB. Sendo CD = 6cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B CD
N
M
14) Considere a circunferncia circunscrita a um tringulo ABC. Seja AE umdimetro desta circunferncia e AD altura do tringulo. Sendo AB = 6 cm,
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.h
A
B CD
E
O
Jeca 92
A
B C
A
D
E
12
8
9
5
ABAE
= ACAD
BCDE
=
= =12
AE9
AD85
AE = 12 . 5 / 8 = 15 / 2 cm
AD = 9 . 5 / 8 = 45 / 8 cm (resp)
P
5
5
5 5 6
11
6012060
120
Seja P ponto mdio de BC.
Ento MP // ACMP = AC/2 = 10/2 = 5 cmDBMP equiltero..Ento os ngulos MPD e NCD so congruentes.
Semelhana de tringulos MPD ~ NCD
NC = 30/11 cm (resp)
5 NC5
611
=
34
3x
Os tringulos so semelhantes pelo caso AA.
Pitgoras
2 2 2y = 3 + 4 = 25
y = 5
y
Semelhana de tringulos
x3
=35
x = 9/5 cm Resposta
A
B C
E
F 45
6c
m
C
F
4
B
E
5
A
6c
m
Semelhana de tringulos
x
x6
45
=
x = 24/5 cm Resposta
10
30
6Semelhana de tringulos. ABD ~ ACE
630
=h10
h = 2 cm Resposta
Observao - Os ngulos ABC e AEC socongruentes pois so ngulos inscritos nomesmo arco AC.
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15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados tm lados 5 cme 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo tm lados t e y. Determinar a medida de x em funo de t ede y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo tm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida dopermetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD um retngulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto mdio do lado CD,
provar que os tringulos ABP e MCP so semelhantes e determinar a altura h do tringulo MCP.
A M N B
PQ
C
4cm
19) No tringulo acutngulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essabase tambm mede 4 cm. MNPQ um retngulo cujos vrtices M e N pertencemao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o permetro desseretngulo.
20) O trapzio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cme altura igual a 6 cm. Sendo P a interseco dos prolongamentos dos lados noparalelos do trapzio, determine a distncia entre o ponto P e a base maior de
ABCD.A B
CD
Jeca 93
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15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados tm lados 5 cme 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo tm lados t e y. Determinar a medida de x em funo de t ede y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo tm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida dopermetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD um retngulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto mdio do lado CD,
provar que os tringulos ABP e MCP so semelhantes e determinar a altura h do tringulo MCP.
A M N B
PQ
C
4cm
19) No tringulo acutngulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essabase tambm mede 4 cm. MNPQ um retngulo cujos vrtices M e N pertencemao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o permetro desseretngulo.
20) O trapzio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cme altura igual a 6 cm. Sendo P a interseco dos prolongamentos dos lados noparalelos do trapzio, determine a distncia entre o ponto P e a base maior de
ABCD.A B
CD
Jeca 93
5
8 - 5 = 3
Semelhana de tringulos.
x = 5 . 5 / 3 = 25 / 3 cm (resp)
5
35
5x
=
yy
t - y
yx =
t - yy
Semelhana de tringulos
2y = x.(t - y)
2x = y /(t - y) Resposta
4
8 - x x
x8
=
8
8 - x4
Semelhana de tringulos
4x = 64 - 8x
12x = 64
x = 64/12 = 16/3 cm
Per = 2p = 4x = 64/3 cm Resposta
9
x x
9 - h
2xOs tringulos ABP e MCP so semelhantes pelo caso AA.
2xx =
9 - hh
2h = 9 - h
3h = 9
h = 3 cm Resposta
4 cm
x
y
4 - xSemelhana de tringulos.y4 =
4 - x4
x + y = 4
Per = 2p = x + y + x + y
Per = 4 + 4 = 8 cm Resposta
8
14
6
hSemelhana de tringulos.
hh + 6 =
814
14h = 8h + 48
6h = 48
h = 8 cm
d = h + 6
d = 8 + 6
d = 14 cm Resposta
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21) Considere as trs circunferncias da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida dacorda BC em funo de R, sabendo que a reta r tangente circunferncia de centro O .3
AB
C
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x12
cm
14cm
10cm
15 cm
23) Na figura, ABCD um retngulo tal que a base o dobro da altura. Determinea medida do permetro desse retngulo.
12cm
16 cm
A B
CD
a
a
24) No tringulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9cm 11cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6cm
5cm
7cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
5/24/2018 Geo Planar 2
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21) Considere as trs circunferncias da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida dacorda BC em funo de R, sabendo que a reta r tangente circunferncia de centro O .3
A
BC
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x12
cm
14cm
10cm
15 cm
23) Na figura, ABCD um retngulo tal que a base o dobro da altura. Determinea medida do permetro desse retngulo.
12cm
16 cm
A B
CD
a
a
24) No tringulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9cm 11cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6cm
5cm
7cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
R R R R R
RR
x
Semelhana de tringulos.
x = 3R / 52 2 2
Pitgoras R = y + (3R/5)2 2 2 2
y = R - 9R /25= 16R /25
BC = 2y = 2 . 4R/5 = 8R/5 Resposta
3R5R
=xRy
1224
x 14
15
Semelhana de tringulosx
12 =1524
x = 12 . 15 / 24 = 180 / 24
x = 15/2 cm Resposta
h
2h
12 - hSemelhana de tringulos
2h16
=12 - h
12
24h = 192 - 16h
40 h = 192
h = 192/40
Permetro = 2p = 6h
2p = 6 . 192/40 = 144/5 cm Resposta
x y
Semelhana de tringulosx
x + 9y
=y + 11
516
=
16x = 5x + 45
11x = 45
x = 45/11 cm
16y = 5y + 55
11y = 55
y = 55/11 = 5 cm cm
Respostas
56
6+x
12
Semelhana de tringulos
6 + x5
=126
36 + 6x = 606x = 24
x = 24/6 = 4
x = 4 cm Resposta
7
15
916
xy
Semelhana de tringulos
x9 =
y16
715
=
x = 9 . 7 / 15
x = 21 / 5 cm
y = 16 . 7 / 15
y = 112 / 15 cm
Respostas
5/24/2018 Geo Planar 2
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27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm,PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na soluo doexerccio.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sendo M ponto mdio dosegmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada nasoluo do exerccio.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cme BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na soluo do exerccio.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem circunferncia de centro C e raio 6 cm. A reta PD tangente circunfernciano ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na soluo do exerccio.
AB
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem circunferncia de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t,determine t em funo de x, y e z.
Jeca 95
5/24/2018 Geo Planar 2
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27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm,PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na soluo doexerccio.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sendo M ponto mdio dosegmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada nasoluo do exerccio.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cme BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na soluo do exerccio.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem circunferncia de centro C e raio 6 cm. A reta PD tangente circunfernciano ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na soluo do exerccio.
AB
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem circunferncia de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t,determine t em funo de x, y e z.
Jeca 95
Potncia de ponto.
PA x PC = PB x PD
4 . 6 = PB . 8
PB = 24 / 8 = 3 cm (resp)
4
6
8
Potncia de ponto.
AM x MC = BM x MD
9 . 4 = x . x2x = 36
x = 6 cm
BD = 2.x = 12 cm Resposta
x
x
9
4
Potncia de ponto.
PA x PD = PB x PC
5 . (5 + 9) = x . (x + 10)2x + 10x - 70 = 0
Razesx = - 95 - 5 (no convm)
x = ( 95 - 5) cm Resposta
5
9
10 x
Potncia de ponto.
2(PD) = PA x PB
2x = 17 . 5
x = 85 cm Resposta
6
x
5
6
xy
z
t
Potncia de ponto.
AD x AB = AF x AE
x.(x + y) = z.(z + t)
2x.(x + y) = z + z.t
2x.(x + y) - z = z.t
2t = [x.(x + y) - z ] / z Resposta
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Respostas dos exerccios da Aula 08.
01) 8
02) 6 cm e (26 / 3) cm
03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm
04) 15 cm e 9 cm
05) (108 / 13) cm
06) (48 / 5) cm
07) (14 / 3) cm
08) 24 / 5
09) 4 cm
10 ) h(y - x) / x
11) 16 cm
12) (10 - 2 15 ) cm ou (10 + 2 15 ) cm
13) x . y
14) 16
15) 8
16) 7
17) 2 19
18) (39 / 5) cm
19) (9 / 4) m
20) (100 / 7) cm
21) 9
22) 5 cm
23) a
24) c
25) d
Importante para mim. Se voc, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reproduo deste material sem a autorizao expressa do autor
Jeca 96
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Respostas dos exerccios complementares da Aula 08.
01) 6 cm e (22 / 3) cm
02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm
03) (42 / 11) cm
04) 6 cm
05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm
06) 2 14 cm
07) demonstrao - Utilizando ngulos inscritosprova-se que os tringulos so semelhantes.
208) (256 / 9) cm
09) y . z / x
10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm
11) (9 / 5) cm
12) (24 / 5) cm
13) (30 / 11) cm
14) 2 cm
15) (25 / 3) cm
2
16) y / (t - y)17) (64 / 3) cm
18) 3 cm
19) 8 cm
20) 14 cm
21) 8R / 5
22) (15 / 2) cm
23) (144 / 5) cm
24) (45 / 11) cm e 5 cm
25) 4 cm
26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm
27) 3 cm - potncia de ponto.
28) 12 cm - potncia de ponto.
29) ( 95 - 5) cm - potncia de ponto.
30) 85 cm - potncia de ponto.
231) [x(x + y) - z ] / z
Importante para mim. Se voc, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reproduo deste material sem a autorizao expressa do autor
Jeca 97
5/24/2018 Geo Planar 2
27/145
I) Relaes mtricas no tringulo retngulo.
Teorema. Em todo tringulo retngulo, a altura relativa hipotenusa divide o tringulo original em doistringulos menores, que so semelhantes entresi e semelhantes ao tringulo original.
A
B CH
bc
a
m n
h
2 2 2c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItgoras.
Em todo tringulo retngulo, o quadrado dahipotenusa igual soma dos quadrados doscatetos.
A
B C
bc
a
2 2 2a = b + c
A
B CH
III) Exerccios.
01) Na figura abaixo, sabendo-seque AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, BH, HCe AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-seque BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, AC, AB e
AH.A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-seque AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-mine as medidas de HC, HB, ABe BC.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 09
Relaes mtricas no tringulo retngulo.Teorema de Pitgoras.
Jeca 98
5/24/2018 Geo Planar 2
28/145
I) Relaes mtricas no tringulo retngulo.
Teorema. Em todo tringulo retngulo, a altura relativa hipotenusa divide o tringulo original em doistringulos menores, que so semelhantes entresi e semelhantes ao tringulo original.
A
B CH
bc
a
m n
h
2 2 2c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItgoras.
Em todo tringulo retngulo, o quadrado dahipotenusa igual soma dos quadrados doscatetos.
A
B C
bc
a
2 2 2a = b + c
A
B CH
III) Exerccios.
01) Na figura abaixo, sabendo-seque AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, BH, HCe AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-seque BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-mine as medidas de BC, AC, AB e
AH.A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-seque AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-mine as medidas de HC, HB, ABe BC.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 09
Relaes mtricas no tringulo retngulo.Teorema de Pitgoras.
Jeca 98
5 9
m n
h
a2 2 2
a = b + c2 2
= 9 + 5 = 81 + 25 = 106a = BC = 106 cm
2c = a . m
25 = 106 . BHBH = 25 / 106 = 25 106 / 106 cm
2b = a . n
29 = 106 . HCHC = 81 / 106 = 81 106 / 106 cm
a . h = b . c 106 . h = 9 . 5h = 45 / 106 = 45 106 / 106 cm
3 9 cm
BC = 3 + 9 = 12 cm
2(AC) = 12 . 9 = 108
AC = 108 = 6 3 cm
2(AB) = 12 . 3 = 36
AB = 6 cm
2(AH) = 3 . 9 = 27
AH = 3 3 cm
2b = a . n
2
c = a . m
2h = m . n
3
5 cm
Pitgoras
2 2 25 = 3 + (HC)
HC = 4 cm
23 = 4 . BH
BH = 9/4 cm
2(AB) = (4 + 9/4) . 9/4 = 225/16
AB = 225/16 = 15/4 cm
BC = BH + HC = 9/4 + 4 = 25/4 cm
2h = m . n
2c = a . m
5/24/2018 Geo Planar 2
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06) Num retngulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8.Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo quePB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q demodo que DQ = 7. Qual a distncia entre os pontosP e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual o permetro, em cm, de um losango cujasdiagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retngulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm eBC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P talque PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um pontoQ tal que DQ = 2 cm. Qual , em cm, a distncia entreos pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual o raio de uma circunferncia, se uma retasecante que dista 5 cm do centro da mesma,determina nessa circunferncia uma corda decomprimento 24 cm ?a) 8 cmb) 13 cmc) 15 cmd) 17 cme) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida de a, em funo de b,c, e d, :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d
2 2 2c) a = b - c - d
2 2 2d) a = d - b - c
2 2 2e) a = d - b + c
x13cm
10 cm
04) Determine o valor de x no tringulo retngulo abai-xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
5/24/2018 Geo Planar 2
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06) Num retngulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8.Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo quePB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q demodo que DQ = 7. Qual a distncia entre os pontosP e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual o permetro, em cm, de um losango cujasdiagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retngulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm eBC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P talque PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um pontoQ tal que DQ = 2 cm. Qual , em cm, a distncia entreos pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual o raio de uma circunferncia, se uma retasecante que dista 5 cm do centro da mesma,determina nessa circunferncia uma corda decomprimento 24 cm ?a) 8 cmb) 13 cmc) 15 cmd) 17 cme) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida de a, em funo de b,c, e d, :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d
2 2 2c) a = b - c - d
2 2 2d) a = d - b - c
2 2 2e) a = d - b + c
x13cm
10 cm
04) Determine o valor de x no tringulo retngulo abai-xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Pitgoras2 2 2
13 = 10 + x
2x = 169 - 100 = 69
x = 69 cm (resp)
3
6 cm
x
Pitgoras
2 2 2x = 3 + 6
2x = 9 + 36 = 45
x = 45 = 3 5 cm
Permetro = 2p = 4 . x
2P = 12 5 cm Resposta b
A B
CD
3 12P
3 4 8
8 cm8 x
Q
Pitgoras2 2 2x = 8 + 42x = 64 + 16 = 80
x = 80 = 4 5 cm Resposta b
2
5
1
8
15 cm
x
Pitgoras2 2 2x = 5 + 152x = 25 + 225 = 250
x = 250 = 5 10 cm Resposta d
5
12cm
R
Pitgoras
2 2 2R = 5 + 12
2R = 25 + 144 = 169
R = 13 cm Resposta b
x
Pitgoras
2 2 2x = a + b
2 2 2 2 2 2d = x + c = a + b + c
2 2 2 2a = d - b - c
2 2 2a = d - b - c Resposta d
5/24/2018 Geo Planar 2
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A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGHtem lado a, e obtido atravs de uma rotao de 45do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1,ento a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
22 - 1
23 - 1
22 - 1
2
22
10) (FUVEST-SP) Um tringulo retngulo tem cate-tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual adistncia AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M o pontomdio da corda PQ da circunferncia e PQ = 8. Osegmento RM perpendicular a PQ e RMCalcule:a) o raio da circunferncia;b) a medida do ngulo POQ, onde O o centro dacircunferncia.
4 3=3
.
P
QR
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-termine a distncia d entre P e A sabendo que oponto P equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cmpresilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de ao foi fixado a uma pare-de por meio de uma presilha retangular, como mostra afigura abaixo. A distncia x, da presilha at a parede,vale:a) 16 cmb) 17 cmc) 18 cmd) 19 cme) 20 cm
A
B
C D
E12cm
16 cm
14) A figura abaixo representa um retngulo e trs cir-cunferncias, sendo duas idnticas maiores e umamenor destacada. Determine o raio da circunfernciamenor, sabendo que A, B, C, D e E so pontos detangncia.
Jeca 100
5/24/2018 Geo Planar 2
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A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGHtem lado a, e obtido atravs de uma rotao de 45do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1,ento a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
22 - 1
23 - 1
22 - 1
2
22
10) (FUVEST-SP) Um tringulo retngulo tem cate-tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual adistncia AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M o pontomdio da corda PQ da circunferncia e PQ = 8. Osegmento RM perpendicular a PQ e RMCalcule:a) o raio da circunferncia;b) a medida do ngulo POQ, onde O o centro dacircunferncia.
4 3=3
.
P
QR
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-termine a distncia d entre P e A sabendo que oponto P equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cmpresilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de ao foi fixado a uma pare-de por meio de uma presilha retangular, como mostra afigura abaixo. A distncia x, da presilha at a parede,vale:a) 16 cmb) 17 cmc) 18 cmd) 19 cme) 20 cm
A
B
C D
E12cm
16 cm
14) A figura abaixo representa um retngulo e trs cir-cunferncias, sendo duas idnticas maiores e umamenor destacada. Determine o raio da circunfernciamenor, sabendo que A, B, C, D e E so pontos detangncia.
Jeca 100
A
B
C
P
E
d
d
4
3
-d
3
2 2 2Pitgoras (BC) = 3 + 4BC = 5 cm
Semelhana de tringulos.
5d = 12 - 4d9d = 12d = 12/9 = 4/3
3 - d
5 =
d
4
RR - 8
12
Pitgoras
2 2 2R = (R - 8) + 12
Resolvendo, tem-se
R = 13 cm
x = 2R - 8 = 26 - 8 = 18 cm Resposta c
1a
(Diagonal do quadrado de lado a) d = a 2
a 2 = 1 + a + 1
a 2 = a + 2
a 2 - a = 2
a = 22 - 1
Resposta e
16
8
16 - d
8
Pitgoras
2 2 2d = 8 + (16 - d)
2 2d = 64 + 256 - 32d + d
32d = 320
d = 10 cm Resposta
4
4
R
R -
Pitgoras
2 2 2R = 4 + (R - )
2 2
R = 16 + R - 8R 3 /3 + 16/3R 3 = 8
R = 8 3 /3 cm Resposta
b) sen (MOQ) = 4/R = 3 /2 MOQ = 60
Portanto POQ = 2 . MOQ = 2 . 60 = 120 Resposta
4 33
4 33
4 33
a)
44 4 4
R
R+4 8 - R
Pitgoras
2 2 2(R + 4) = (8 - R) + 4
2 2R + 8R + 16 = 64 - 16R + R + 16
24R = 64
R = 64/24 = 8/3 cm Resposta
5/24/2018 Geo Planar 2
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16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos demadeira num caminho de largura 2,5 m, conforme afigura abaixo. Cada tronco um cilindro reto, cujo raioda base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros :
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
31 +
1 + 73
1 + 74
74
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunfernciasabendo que AC e AD tangenciam a circunferncianos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, eAE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o tringulo issceles ABC est inscrito
na circunferncia de centro O. A base BC mede 6 cme AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferncia.
OP
T
A
19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferncia de
centro O, os pontos P, A e O esto alinhados e asdistncias PT e PA valem, respectivamente 15 cme 9 cm. Determine a medida do raio da circunferncia.
Jeca 101
5/24/2018 Geo Planar 2
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16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos demadeira num caminho de largura 2,5 m, conforme afigura abaixo. Cada tronco um cilindro reto, cujo raioda base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros :
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
31 +
1 + 73
1 + 74
74
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunfernciasabendo que AC e AD tangenciam a circunferncianos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, eAE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o tringulo issceles ABC est inscrito
na circunferncia de centro O. A base BC mede 6 cme AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferncia.
OP
T
A
19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferncia de
centro O, os pontos P, A e O esto alinhados e asdistncias PT e PA valem, respectivamente 15 cme 9 cm. Determine a medida do raio da circunferncia.
Jeca 101
1m
3/4 m
x
Pitgoras2 2 2
1 = x + (3/4)2x = 1 - 9/16 = 7/16
x = 7 / 4
h = x + 1 = 1 + 7 / 4 m (resp)
R
2
9
9 - R
R - 2
2Pitgoras
2 2 2R = (R - 2) + (9 - R)
2 2 2R = R - 4R + 4 + 81 - 18R + R
2R - 22R + 85 = 0
Razes
R = 17 cm (no convm porque maior que 9)
R = 5 cm Resposta
3
10
3 3
Pitgoras
2 2 2(3 10 ) = h + 3
290 = h + 9
2h = 81
h = 9 cm
Pitgoras
h
R
9 - R
2 2 2
R = 3 + (9 - R)2 2
R = 9 + 81 - 18R + R
18R = 90
R = 5 cm Resposta
15 cm
9
R
R
Pitgoras
2 2 2(R + 9) = R + 15
2 2R + 18R + 81 = R + 225
18R = 144
R = 8 cm Resposta
5/24/2018 Geo Planar 2
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A
B CH
D
E
20) O tringulo ABC abaixo retngulo em A, temcatetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE temcentro no vrtice A e tangencia a hipotenusa BC noponto H. Determine a rea da regio sombreada nafigura. A
B CD
21) O tringulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BCque medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm.Determine a medida da altura AD do tringulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado
16 cm, um arco de circunferncia com centro em A eraio AB e uma circunferncia de centro em E, quetangencia o arco e os lados do quadrado. Determine amedida do raio da circunferncia.
OA
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem
circunferncia de centro O. Os pontos A, O, C e Desto alinhados. Determine a medida do raio da cir-cunferncia, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e
AE = 15 cm.
Jeca 102
5/24/2018 Geo Planar 2
36/145
A
B CH
D
E
20) O tringulo ABC abaixo retngulo em A, temcatetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE temcentro no vrtice A e tangencia a hipotenusa BC noponto H. Determine a rea da regio sombreada nafigura. A
B CD
21) O tringulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BCque medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm.Determine a medida da altura AD do tringulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado
16 cm, um arco de circunferncia com centro em A eraio AB e uma circunferncia de centro em E, quetangencia o arco e os lados do quadrado. Determine amedida do raio da circunferncia.
OA
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem
circunferncia de centro O. Os pontos A, O, C e Desto alinhados. Determine a medida do raio da cir-cunferncia, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e
AE = 15 cm.
Jeca 102
12 16h
a
2 2 2Pitgoras a = 12 + 16 = 144 + 256 = 400
a = 20 cm
20 . h = 16 . 12
h = 192 / 20 = 48 / 5 cm
mas h = raio do setor circular
2S = S - S = 12 . 16 / 2 - . (48/5) / 4Tring Setor
2S = (96 - 576/25) cm (resp)
a . h = b . c
r x
r
16
AC = diagonalAC = 16 2
EC = diagonalEC = r 2
AC = 16 + r + r 2
16 2 = 16 + r + r 2
2r = 16( 2 - 1)
r = 16(3 - 2 2 ) cm (resp)
5 7
10
h
x 10 - x
Pitgoras
2 2 2 2 25 = h + x h + x = 25
2 2 27 = h + (10 - x)
2 249 = h + 100 - 20x + x
2 249 = (h + x ) - 20x + 100
49 = 25 - 20x + 100
20x = 125 - 49 = 76
x = 76/20 = 19/5
2 2h + (19/5) = 25
2h = 25 - 361/25 = (625 - 361)/25 = 264/25
h = 264/25 = 2 66 /5 cm Resposta
98c
m
7
R R
xPitgoras
2 2 215 = 9 + x
2x = 225 - 81 = 144
x = 12 cm
Semelhana de tringulos
2R15
=8
12
2R = 120/12 = 10
R = 5 cm Resposta
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37/145
01) No tringulo retngulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6cm
8cm
a
A
B C
02) No tringulo retngulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y zt
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC um tringulo retngulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
xy
zt
04) Determine o valor de x nos tringulos retngulos abaixo.a)
x
7cm
9 cm
13cm
12 cm
xx12
cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaRelaes mtricas num tringulo retngulo.
Teorema de Pitgoras.Exerccios complementares da aula 09.
Jeca 103
5/24/2018 Geo Planar 2
38/145
01) No tringulo retngulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6cm
8cm
a
A
B C
02) No tringulo retngulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y zt
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC um tringulo retngulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
xy
zt
04) Determine o valor de x nos tringulos retngulos abaixo.a)
x
7cm
9 cm
13cm
12 cm
xx12
cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaRelaes mtricas num tringulo retngulo.
Teorema de Pitgoras.Exerccios complementares da aula 09.
Jeca 103
2 2 2a = b + c
2 2= 8 + 6 = 100
a = 10 cm (resp)
2b = a . n
2c = a . m
a . h = b . c
28 = 10 . nn = 64/10 = 32/5 cm (resp)
26 = 10 . mm = 36/10 = 18/5 cm (resp)
10 . h = 8 . 6h = 48/10 = 24/5 cm (resp)
x = 9 + 3 = 12 cm
2y = 9 . 3 = 27
y = 3 3 cm
2h = m . n
Pitgoras
2 2 2t = y + 9 = 27 + 81 = 108
t = 108 = 6 3 cm
2z = 12 . 3 = 36
z = 6 cm
2 2 2a = b + c
2b = a . n
9
12
Pitgoras
2 2 2x = 9 + 12 = 225
x = 15 cm
2
9 = 15 . yy = 81 / 15 = 27/5 cm
2 2 2a = b + c
2b = a . n
2c = a . m
a . h = b . c
212 = 15 . z
z = 144 / 15 = 48 / 5 cm
15 . t = 9 . 12
t = 108 / 15 = 36 / 5 cm
Pitgoras
2 2 2
x = 7 + 92
x = 49 + 81 = 130
x = 130 cm Resposta
Pitgoras
2 2 213 = x + 12
2x = 169 - 144 = 25
x = 5 cm Resposta
Pitgoras
2 2 212 = x + 9
2x = 144 - 81 = 63
x = 3 7 cm Resposta
5/24/2018 Geo Planar 2
39/145
05) No tringulo retngulo abaixo, determinar x em funo de y e z.
xy
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
da a
a
a
07) Determinar a altura de um tringulo eqiltero de lado a.
a
a ah
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1cm
1cm1cm
1cmx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
146
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retngulo ABCD, um losango AICJ com vrtice I sobreo lado AB do retngulo e vrtice J sobre o lado CD. Se as dimenses dos lados do retngulo so AB = 25 cm eBC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
5/24/2018 Geo Planar 2
40/145
05) No tringulo retngulo abaixo, determinar x em funo de y e z.
xy
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
da a
a
a
07) Determinar a altura de um tringulo eqiltero de lado a.
a
a ah
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1cm
1cm1cm
1cmx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
146
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retngulo ABCD, um losango AICJ com vrtice I sobreo lado AB do retngulo e vrtice J sobre o lado CD. Se as dimenses dos lados do retngulo so AB = 25 cm eBC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
2 2 2y = x + z
2 2 2x = y - z
2 2x = y - z (resp)
A B
CD
I
J
x
x
x
x25 - x
1515
Pitgoras
2 2 2x = 15 + (25 - x)
Resolvendo, tem-se
x = 17 cm (Resposta)
Pitgoras
2 2 2 2d = a + a = 2a
2d = 2a
d = a 2 Resposta
a/2
Pitgoras
2 2 2a = h + (a/2)
2 2 2h = a - (a/2)
2 2h = 3.a /4
h = a 3 /2 Resposta
Pitgoras
2 2 2x = 1 + 1 = 2
x = 2
2 2 2y = x + 1 = 2 + 1 = 3
y = 3
2 2 2z = y + 1 = 3 + 1 = 4
z = 4 = 2 Respostas
Pitgoras
2 2 26 = x + y
2 2x + y = 36
2 2 214 = x + (y + 10)
2 2196 = x + y + 20y + 100
196 = + 20y + 100
20y = 196 - 100 - 36 = 60 y = 32
x = 36 - 9 = 27 x = 3 3 Resposta
36
5/24/2018 Geo Planar 2
41/145
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o tringulo ABC eqiltero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se
AD uma altura do tringulo ABC e M o ponto mdiode AD, calcule a medida de CM em centmetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadriltero ABCD da figura abaixo, E um ponto sobre o lado AD tal que o ngulo ABE me-de 60 e os ngulos EBC e BCD so retos. Sabe-setambm que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine amedida de AD.
A
B C
D
E
60
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D so os pontosmdios dos lados de um quadrado de permetro 4.Determine o raio da circunferncia inscrita noquadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado ke duas circunferncias interiores tangentes entre si etangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-ferncia menor em funo de k.
15) No trapzio retngulo ABCD da figura abaixo,determine a medida da diagonal AC sabendo-se queAB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A o ponto de tangnciada reta AB com a circunferncia de centro C. Sendo
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente,determine a medida do raio da circunferncia.
Jeca 105
5/24/2018 Geo Planar 2
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11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o tringulo ABC eqiltero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se
AD uma altura do tringulo ABC e M o ponto mdiode AD, calcule a medida de CM em centmetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadriltero ABCD da figura abaixo, E um ponto sobre o lado AD tal que o ngulo ABE me-de 60 e os ngulos EBC e BCD so retos. Sabe-setambm que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine amedida de AD.
A
B C
D
E
60
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D so os pontosmdios dos lados de um quadrado de permetro 4.Determine o raio da circunferncia inscrita noquadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado ke duas circunferncias interiores tangentes entre si etangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-ferncia menor em funo de k.
15) No trapzio retngulo ABCD da figura abaixo,determine a medida da diagonal AC sabendo-se queAB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A o ponto de tangnciada reta AB com a circunferncia de centro C. Sendo
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente,determine a medida do raio da circunferncia.
Jeca 105
8 8
4 4
2 2 2(AD) = 8 - 4 = 64 - 16 = 48
AD = 48 = 4 3 cm
DM = AD/2 = 2 3 cm2 2 2
(CM) = (DM) + (CD)2 2 2
(CM) = (2 3 ) + 42
(CM) = 12 + 16 = 28
CM = 28 = 2 7 cm (resp)
tg = 3 /1 = 3
= 60
Pitgoras
2 2 2y = ( 3 ) + 1 = 4
y = 2
O tringulo ADB retngulo
2 2 2x = ( 3 ) + 2
Portanto x = 7 (Resposta)
= 30
x
y
10cm
6
R
RPitgoras
2 2 2(R + 6) = R + 10
2 2R + 12R + 36 = R + 100
12R = 64
R = 64/12 = 16/3 cm Resposta
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
2R
2R
Pitgoras
2 2 2(2R) = (1/2) + (1/2)
24R = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
2R = 1/8R = 1/8
R = 1 / 2 2
R = 2 /4 Resposta
6 cm
5cm
6 4
h
Pitgoras
2 2 25 = 4 + h h = 3 cm
2 2 2(AC) = 6 + 3 = 36 + 9 = 45
AC = 45 = 3 5 cm Resposta
r
r2
r
r
k/2O
A
E
E
A
OA = (k/2) 2 (diagonal de um quadrado de lado k/2)
k/2
k 2
2 =
k
2+ r 2r + k( 2 - 1)
2r(1 + 2 )
=
r =k(3 - 2 2 )
2Resposta
5/24/2018 Geo Planar 2
43/145
17) As bases de um trapzio issceles circunscrito aum crculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura dessetrapzio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferncias de centros A e Bmedem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distnciaentre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ,sendo P e Q pontos de tangncia.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferncias de centros A e Bmedem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distnciaentre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos detangncia, calcule a distncia PQ.
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm.Calcule o raio da circunferncia da figura, sendo Tponto de tangncia.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferncias sotangentes entre si. Sendo C o centro da circunfernciamaior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2,determine o raio da circunferncia menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
5/24/2018 Geo Planar 2
44/145
17) As bases de um trapzio issceles circunscrito aum crculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura dessetrapzio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferncias de centros A e Bmedem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distnciaentre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ,sendo P e Q pontos de tangncia.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferncias de centros A e Bmedem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distnciaentre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos detangncia, calcule a distncia PQ.
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm.Calcule o raio da circunferncia da figura, sendo Tponto de tangncia.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferncias sotangentes entre si. Sendo C o centro da circunfernciamaior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2,determine o raio da circunferncia menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
4
1
3
2 2 25 = 3 + h
2h = 25 - 9 = 16
h = 4 cm (resp)
32
9cm
5
2
2d
d
Pitgoras
2 2 29 = 7 + d
2d = 81 - 49 = 32
d = 4 2 cm (Resposta)
y
Pitgoras
2 2 2 2 26 = x + y x + y = 36
2 2 212 = y + (x + 8)
2 2144 = y + x + 16x + 64
144 = 36 + 16x + 64
16x = 144 - 100
x = 44/16 = 11/4 Resposta
>
53 3
13cm
x
x
Pitgoras
2 2 213 = 5 + x
2x = 169 - 25 = 144
x = 12 cm Resposta
4 4
R 8 - R
R
Pitgoras
2 2 2R = 4 + (8 - R)
2 2R = 16 + 64 - 16R + R
16R = 80
R = 5 cm Resposta
2 2
2
R
R
4 - R
Pitgoras
2 2 2(2 + R) = 2 + (4 - R)
2 24 + 4R + R = 4 + 16 - 8R + R
12R = 16
R = 16/12 = 4/3 Resposta
5/24/2018 Geo Planar 2
45/145
10c
m
3 cm 3 cm
A
BD
C
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, esto representados doiscrculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si etangentes aos lados do retngulo ABCD. Determine amedida do lado AD do retngulo.
A B
CD
27) Uma circunferncia de raio 3 cm inscrita numtringulo issceles. Sabendo-se que a altura dotringulo 8 cm, determinar as medidas dos ladosdesse tringulo e o seu permetro.
25) Duas circunferncias de raios 6 cm e 8 cm sotangentes externamente. Determine a medida de umsegmento AB, sendo A e B os pontos de tangncia dareta AB com as circunferncias. 8cm
y
7cm
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
86
x
A B
C
D
E
6 62
28) Na circunferncia de centro C, AD = DB = 6 cm eED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
5/24/2018 Geo Planar 2
46/145
10c
m
3 cm 3 cm
A
BD
C
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, esto representados doiscrculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si etangentes aos lados do retngulo ABCD. Determine amedida do lado AD do retngulo.
A B
CD
27) Uma circunferncia de raio 3 cm inscrita numtringulo issceles. Sabendo-se que a altura dotringulo 8 cm, determinar as medidas dos ladosdesse tringulo e o seu permetro.
25) Duas circunferncias de raios 6 cm e 8 cm sotangentes externamente. Determine a medida de umsegmento AB, sendo A e B os pontos de tangncia dareta AB com as circunferncias. 8cm
y
7cm
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
86
x
A B
C
D
E
6 62
28) Na circunferncia de centro C, AD = DB = 6 cm eED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
2 2 210 = 6 + y
2y = 100 - 36 = 64y = 8 cm
2 2 2x = 3 + 8
2x = 9 + 64 = 73
x = 73 cm (resp)
xy
8
x
5
8+5=13
8 5y
8 + y + 5 = 20y = 20 - 13 = 7
Pitgoras2 2 2
13 = 7 + x2
x = 169 - 49 = 120x = 120 = 2 30
AD = 8 + x + 5
AD = (13 + 2 30 ) cm (resp)
142x
Pitgoras
2 2 214 = 2 + x
2x = 196 - 2 = 192
x = 8 3 cm
Resposta
Pitgoras
2 2 2(x + y) = 7 + 8 = 113
x + y = 113 cm
Relaes mtricas no tringulo retngulo.
2c = a . m
2b = a . n
27 = 113 . x
x = 49 . 113 / 113 cm
28 = 113 . y
y = 64 . 113 / 113 cm
Respostas
3
5
3
xPitgoras
2 2 25 = 3 + x
x = 4 cm
y
Semelhana de tringulos
3y
x8=
3y
48
=
y = 6 cm
Pitgoras
2 2 2
(AB) = 6 + 8 AB = 10 cmAB = AC = 10 cm , BC = 2 . 6 = 12 cm
Permetro = AB + AC + BC = 32 cm Respostas
RR - 2
Pitgoras2 2 2
R = (R - 2) + 6
2 2R = R - 4R + 4 + 36
4R = 40
R = 10 cm
CD = R - 2 = 10 - 2
CD = 8 cm Resposta
5/24/2018 Geo Planar 2
47/145
30) A figura abaixo representa 4 circunferncias deraio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunfernciamenor tangente s quatro maiores. Determinar o raioda circunferncia menor.
29) No tringulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5cm
2 13cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retngulo ABCD da figura abaixo tem lados AB =40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar amedida do segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferncias tm raio 10cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, sotangentes entre si e tangentes ao quadrado que tembase na reta AB. Determine a medida do lado dessequadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel comdimenses 6 x 8 dobrada de modo que dois vrticesdiagonalmente opostos coincidam. Determine ocomprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma deum quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seusvrtices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-ade maneira que o vrtice D fique sobre o lado AB (figu-ra 2). Seja D esta nova posio do vrtice D e x a dis-tncia de A a D.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BDx
Determine a funo que expressa a rea do tringulosombreado em funo de x.
(Fazer a resoluo em outro espao)
Jeca 108
5/24/2018 Geo Planar 2
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30) A figura abaixo representa 4 circunferncias deraio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunfernciamenor tangente s quatro maiores. Determinar o raioda circunferncia menor.
29) No tringulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5cm
2 13cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retngulo ABCD da figura tem lados AB = 40 cme BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medidado segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferncias tm raio 10cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, sotangentes entre si e tangentes ao quadrado que tembase na reta AB. Determine a medida do lado dessequadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel comdimenses 6 x 8 dobrada de modo que dois vrticesdiagonalmente opostos coincidam. Determine ocomprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma deum quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seusvrtices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-ade maneira que o vrtice D fique sobre o lado AB (figu-ra 2). Seja D esta nova posio do vrtice D e x a dis-tncia de A a D.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BDx
Determine a funo que expressa a rea do tringulosombreado em funo de x.
(Fazer a resoluo em outro espao)
Jeca 108
x 9 - x
2 2 2
x + h = 5 = 252 2 2 2 2
(2 13 ) = h + (9 - x) = h + 81 - 18x + x
2 252 = x + h - 18x + 81 = 25 - 18x + 8118x = 54x = 3
2 23 + h = 25
2h = 25 - 9 = 16h = 4 cm (resp)
90-
6
y
x
8 - 2y
8-y 6
yy
8 - yA B
CD
E
F
G
6
Os tringulos AEF e ADG so congruentes pelo caso A.L.A.
2 2 2Pitgoras (8 - y) = 6 + y
y = 7/4
O tringulo FGH retngulo
Pitgoras
2 2 2x = 6 + (8 - 2.7/4) = 36 + 81/4 = 225/4
x = FG = 15/2 Resposta
yH
8
8
8 8
8
8
2r
Diagonal do quadrado delado 16 cmd = 16 2 cm
Mas d = 8 + 2r + 8 d = 16 + 2r
Ento 16 2 = 16 + 2r
2r = 16 2 - 16 = 16( 2 - 1)
r = 8( 2 - 1) cm Resposta
x x
10 10 - x
10 - (x/2)
Pitgoras
2 2 210 = (10 - x) + [10 - (x/2)]
2
x - 24x + 80 = 0Razes
x = -20 (no convm pois maior que o raio)
x = 4 cm Resposta
x/2
Resoluo na prxima pgina
Pitgoras
2 2 2(BD) = (AB) + (BC)
2 2 3(BD) = 40 + 30
2(BD) = 2 500
BD = 50 cm
Semelhana de tringulos
ABF ~ DEF
x
50-x
1030
40
4030
x50 - x=
2 000 - 40 x = 30 x
2 000 = 70 x
x = 2 000/70 = 200/7 cm Resposta
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Jeca 109
figura 2
A BDx
y
21
-y
21
21-y
Pitgoras
2 2 2(21 - y) = y + x
2 2 2441 - 42y + y = y + x
2-42y = x - 441
242y = 441 - x
2y = (441 - x ) / 42
rea do tringuloS = b . h /2 = x . y /2
S =
x .2
(441 - x )42
2=
3441x - x
84
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Respostas dos exerccios da Aula 09.
01)106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm
e (45 106 / 106) cm
02)
12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm
03)4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm
04) 69 cm
05) b
06) b
07) d
08) b09) d
10) 4 / 3
11) e
12) 10 cm
13)a) 8 3 / 3b) 120
14) (8 / 3) cm
15) c
16) e
17) 5 cm
18) 5 cm
19) 8 cm
220) (96 - (576/ 25)) cm
21) (2 66 / 5) cm
22) 16(3 - 2 2 ) cm
23) 5 cm
Importante para mim. Se voc, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reproduo deste material sem a autorizao expressa do autor
Jeca 110
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Respostas dos exerccios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm
2 205) x = y - z
06) d = a 2
07) h
08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm
09) x = 3 3 y = 3
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
a 32
=
=k(3 - 2 2 )
2
31) BF = 200 / 7 cm
32) A
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
=3
-x + 441x84
21) x = 11 / 4
22) r = 4 / 3
23) AB = 8 cm AD = 73 cm
24) AD = (13 + 2 30 ) cm
25) AB = 8 3
26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm
27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perm = 32 cm
28) CD = 8 cm
29) h = 4 cm
30) r = 8( 2 - 1 ) cm
Importante para mim. Se voc, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reproduo deste material sem a autorizao expressa do autor
Jeca 111
2cm
Respostas dos exerccios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm
2 205) x = y - z
06) d = a 2
07) h
08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm
09) x = 3 3 y = 3
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
a 32
=
=k(3 - 2 2 )
2
31) BF = 200 / 7 cm
32) A
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
=3
-x + 441x84
21) x = 11 / 4
22) r = 4 / 3
23) AB = 8 cm AD = 73 cm
24) AD = (13 + 2 30 ) cm
25) AB = 8 3
26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm
27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perm = 32 cm
28) CD = 8 cm
29) h = 4 cm
30) r = 8( 2 - 1 ) cm
Importante para mim. Se voc, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande umamensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected] assim, poderei corrigir eventuais erros. Obrigado.
Jeca
Proibida a reproduo deste material sem a autorizao expressa do autor
Jeca 111
2cm
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I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.
Em todo tringulo, a razo entre a medida de umlado e o seno do ngulo oposto constante e vale odobro do raio da circunferncia circunscrita aotringulo.
Em todo tringulo, a medida de qualquer ladodepende das medidas dos outros dois lados e dongulo entre eles.
a
sen A
=b
sen B
c
sen C
2R=
A
B C
RO
Lei dos senos
= 2 2 2x = a + b - 2.a.b.cos
Lei dos cossenos
xa
b
III) Propriedades dos tringulos.
1) Em todo tringulo, ao maior ladoope-se o maior ngulo e ao menorlado ope-se o menor ngulo.
2) Condio de existncia de umtringulo. Em todo tringulo, a medida dequalquer lado menor que a somae maior que a diferena das medi-das dos outros dois lados.
3) Natureza de um tringulo. Quanto natureza um tringulopode ser:a) tringulo retngulo;b) tringulo obtusngulo;c) tringulo acutngulo.
Reconhecimento da natureza deum tringulo.
Seja a o maior lado de um trin-gulo de lados a, b e c.
2 2 2- Se a = b + c tringulo
retngulo.2 2 2
- Se a > b + c tringulo obtusngulo.
2 2 2- Se a < b + c tringulo
acutngulo.
b - c < a < b + c
Condio de existncia.
onde a, b e c so as medidasdos lados do tringulo.
a
b
c
a < b < c < <
onde a, b e c so as medidasdos lados do tringulo.
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2cos 2a = cos a - sen a
IV) Pr-requisitos de trigonometria. (Podero ser usados em exerccios mais complexos deste captulo)
Exerccios.
01) Dados trs segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um trin-gulo com esses segmentos. Se for possvel, determinar a natureza desse tringulo.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 10
Relaes mtricas num tringulo qualquer.
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a
bc
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I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.
Em todo tringulo, a razo entre a medida de umlado e o seno do ngulo oposto constante e vale odobro do raio da circunferncia circunscrita aotringulo.
Em todo tringulo, a medida de qualquer ladodepende das medidas dos outros dois lados e dongulo entre eles.
a
sen A
=b
sen B
c
sen C
2R=
A
B C
RO
Lei dos senos
= 2 2 2x = a + b - 2.a.b.cos
Lei dos cossenos
xa
b
III) Propriedades dos tringulos.
1) Em todo tringulo, ao maior ladoope-se o maior ngulo e ao menorlado ope-se o menor ngulo.
2) Condio de existncia de umtringulo. Em todo tringulo, a medida dequalquer lado menor que a somae maior que a diferena das medi-das dos outros dois lados.
3) Natureza de um tringulo. Quanto natureza um tringulopode ser:a) tringulo retngulo;b) tringulo obtusngulo;c) tringulo acutngulo.
Reconhecimento da natureza deum tringulo.
Seja a o maior lado de um trin-gulo de lados a, b e c.
2 2 2- Se a = b + c tringulo
retngulo.2 2 2
- Se a > b + c tringulo obtusngulo.
2 2 2- Se a < b + c tringulo
acutngulo.
b - c < a < b + c
Condio de existncia.
onde a, b e c so as medidasdos lados do tringulo.
a
b
c
a < b < c < <
onde a, b e c so as medidasdos lados do tringulo.
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2cos 2a = cos a - sen a
IV) Pr-requisitos de trigonometria. (Podero ser usados em exerccios mais complexos deste captulo)
Exerccios.
01) Dados trs segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um trin-gulo com esses segmentos. Se for possvel, determinar a natureza desse tringulo.
Estudos sobre Geometria realizadospelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(So Joo da Boa Vista - SP)
Geometria planaAula 10
Relaes mtricas num tringulo qualquer.
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a
bc
Existncia|b - c| < a < b + c|12 - 8| < 15 < 12 + 84 < 15 < 20 VerdadeiroEsse tringulo existe.
Natureza2 2
a = 15 = 2252 2 2 2
b + c = 12 + 8 = 144 + 64 = 208225 > 208
2 2 2
a > b + cEsse tringulo obtusngulo.
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02) Dadas as medidas de trs segmentos, verificar se possvel construir um tringulo com esses segmentos edeterminar a natureza desse tringulo, se o mesmo existir.
a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.
c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.
e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.
h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.
Existncia Natureza Existncia Natureza
Existncia Natureza Existncia Natureza
Existncia Natureza Existncia Natureza
Existncia Natureza Existncia Natureza
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02) Dadas as medidas de trs segmentos, verificar se possvel construir um tringulo com esses segmentos edeterminar a natureza desse tringulo, se o mesmo existir.
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