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Modulo di Elementi di Fluidodinamica Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali/Meccanica A.A. 2004/2005 Ing. Paola CINNELLA

ESERCIZI SVOLTI DI FLUIDODINAMICA Parte 3: Equazione di Bernoulli

Versione 1.0

Esercizio 1_______________________________________________________________________ Si consideri un serbatoio dotato di unapertura circolare di diametro d. Si vuole confrontare la portata uscente dal serbatoio nel caso in cui sia presente la sola apertura e nel caso in cui questultima sia collegata ad un tubo verticale di lunghezza L (vedere la figura 4.1). Si consideri il fluido come ideale.

1. Determinare nei due casi la velocit del liquido ad una distanza verticale L dalluscita del

serbatoio, posto che il pelo libero del serbatoio sia posto ad unaltezza h rispetto al fondo. Trascurare labbassamento del pelo libero con lo svuotamento.

2. Qual la velocit del liquido nella sezione di uscita del serbatoio nei due casi ? 3. Dedurne la portata uscente nelluno e nellaltro caso. Qual il dispositivo pi efficace ? 4. Qual la lunghezza massima che pu avere il tubo di uscita senza che si produca cavitazione ?

Quanto vale la portata per tale valore ? DATI. : h = 5 m ; d = 20 cm ; pressione di vapore del liquido a 20C = 2,34 kPa.

________________________________________________________________________________ 1. Applichiamo lequazione di Bernoulli ad una traiettoria che va da un punto A situato vicino al pelo libero del serbatoio ad un punto L situato verticalmente al di sotto dellapertura, ad una distanza L da questa.

Caso 1:

( )2 2

2 2A A L Lp V p Vg H L

+ + + = + (1)

In questa espressione, pA=pL=patm, e VA0. Se ne deduce che ( )2LV g H L= + .

h

L

d d

- figura 4 1

2

Caso 2. Lequazione di Bernoulli scritta tra il pelo libero del serbatoio e un punto L alluscita del tubo si scrive esattamente come prima (1) e si ha ancora pA=pL=patm. Ne deduciamo che le due velocit sono identiche.

2. Stavolta scriviamo lequazione di Bernoulli tra un punto prossimo al pelo libero ed un punto B situato nella sezione di uscita del serbatoio.

Caso 1.

( )22

2 2U UA A p Vp V g H L gL

+ + + = + + (2)

dove pA=pU=patm, e VA0. Ne deduciamo che 2LV gH=

Caso 2. Lequazione di Bernoulli non cambia, ma stavolta il punto U non si trova a pressione atmosferica. Infatti, per lequazione di continuit, nel condotto la velocit deve essere costante, dato che il fluido incomprimibile e la sezione costante. Si ha dunque VU= VL. Dove VL stata calcolata precedente mente. La velocit di efflusso dal serbatoio dunque maggiore nel caso 2.

3. Le portate di efflusso nei due casi sono

( )2 2

1 22 ; 24 4d dQ gH Q g H L = = +

Il dispositivo pi efficace dunque il secondo. 4. Applichiamo lequazione di Bernoulli tra lingresso e luscita del condotto. Troviamo:

2 2

2 2U U L Lp V p VgL

+ + = + (3)

dove VU= VL, da cui U L atmp p gL p gL = = . La sezione di ingresso del condotto dunque a rischio di cavitazione. Si ha incipiente cavitazione se la pressione del punto U uguaglia la pressione di vapore dellacqua alla temperatura di esercizio del sistema (supposta pari a 20). Posto che la pressione atmosferica sia pari ad 1bar, la lughezza massima del tubo prima che sia abbia cavitazione si ottiene ponendo:

( )atm vapU atm vap

p pp p gL p L

g

= = = = 9.96 m

In questo caso la portata vale:

( )2

2 24dQ g H L= + = 0.538 m3.

Esercizio 2_______________________________________________________________________ Il dispositivo rappresentato in figura 4.2 deve disperdere una miscela dacqua e di insetticida. La portata di insetticida deve essere pari a Qi = 75 ml.min-1 mentre la portata dacqua Qa = 4 l.min-1. Calcolare, in tali condizioni, il valore della pressione nel punto A e il diametro D del dispositivo. ________________________________________________________________________________

A

insetticida

acqua acqua +

insetticida

2,5 mm D

0,4 mm 15 cm

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Applichiamo lequazione di Bernoulli tra un punto I situato nel condotto di estrazione dellinsetticida, allaltezza del pelo libero, e il punto A:

2 2

2 2A A I Ip V p VgH

+ + = +

dove H rappresenta la distanza tra il peo libero del serbatoio ed il punto A. Nellipotesi che linsetticida nel serbatoio sia praticamente in quiete, VI0 e l distribuzione delle pressioni idrostatica, per cui la pressione pI uguagli la pressione del pelo libero, ovvero quella atmosferica. La velocit dellinsetticida nel punto A, alluscita del condotto di estrazione, pu essere dedotta dalla portata di insetticida e dai dati geometrici del condotto:

2

, 4i A idQ V = VA,i=9.95 m/s

Pertanto, la pressione relativa del punto A : pA=-0.495 bar. Calcoliamo la portata che fluisce attraverso il dispositivo. La portata uscente da questultimo la somma della portata di acqua pi quella dellinsetticida. La velocit della miscela alluscita del dispositivo pu essere ricavata dalla relazione:

2

4u

i a uDQ Q V + = Vu=13.8 m/s

Se adesso applichiamo lequazione di Bernoulli alla traiettoria di una particella dacqua che si sposta da un punto subito a monte di A (dove il fluido che scorre nel dispositivo solo acqua alluscita, abbiamo:

2 2,

2 2A a u uA V p Vp

+ = + ,

e da questa possiamo ricavare la velocit dellacqua subito a monte del punto A: VA,a=17.0 m/s

Nota tale velocit, possiamo finalmente calcolare il diametro D dalla relazione: 2

, 4a A aDQ V = D=2.23mm.

Esercizio 3_______________________________________________________________________ Un tubo di Pitot viene immerso in un fluido che scorre con velocit v. Se tale fluido aria e il liquido manometrico contenuto nel tubo acqua, determinare la velocit del fluido quando la differenza di altezza del liquido manometrico h=0.65 cm.

(Per la densit dell'aria usare aria =1.29 kg/m) __ Applichiamo l'equazione di Bernoulli ai punti a e b (vedere figura), dove b si suppone sia il punto di arresto del fluido e la sua densit:

.

4

Del resto, se h la differenza di altezza del liquido nei due rami del manometro e la sua densit, possiamo scrivere:

. Confrontando le due equazioni, si ricava per la velocit dell'aria l'espressione:

. Sostituendo i relativi valori delle densit, dell'altezza e dell'accelerazione di gravit, si trova infine il valore cercato della velocit:

v=0.31 m/s

Esercizio 4_______________________________________________________________________ Nellipotesi di liquido perfetto (=8825 N/m3), calcolare la portata Q del sifone in figura. Individuare inoltre il massimo valore della portata scaricabile dal sifone, al variare della quota della sezione di sbocco.

Dati: h=2m, diametro del sifone:D=0.075m, H=3m 1. Applichiamo innanzi tutto lequazione di Bernoulli tra il pelo libero del serbatoio (punto A)

e la sezione di uscita (punto S). In ambo i punti regna la pressione ambiente (pressione relativa nulla). Avremo dunque:

Ap

2

2AVg

+ Az+ Sp

=

2

2S

SV z

g+ +

dove abbiamo assunto il pelo libero del serbatoio come quota di riferimento (zA=0) e dove zs=-H. Se ne ricava una velocit di efflusso pari a:

2 7.67 m/sSV gH= = e dunque una portata scaricata pari a:

2

33.9 l/s4S

DQ V = = .

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2. Consideriamo adesso che la quota H dello scarico del sifone rispetto al pelo libero del serbatoio possa variare. Dato che 2SV gH= , ci aspettiamo che allaumentare di H aumenti la velocit di efflusso e dunque la portata scaricata. La quota H non pu tuttavia essere aumentata indefinitamente. Infatti la pressione assoluta nel punto pi alta del serbatoio, data da (applicando Bernoulli tra il punto M e il punto S e tenendo conto che, per la conservazione della portata, VS=VM):

( )M ap p H h= + non pu divenire negativa. Il massimo valore ammissibile di H sar dunque quello per cui nel punto M la pressione si annulla:

max 9.47 mapH a

= = ,

dove si assunto pa=pressione ambiente=1 atm. Noto Hmax possiamo calcolare la portata corrispondente:

2

max max2 60.2 l/s4DQ gH = = .

In realt, il massimo valore ammissibile a quello trovato: infatti a partire dal momento in cui la pressione pM uguaglia la tensione di vapore dellacqua alla temperatura di esercizio insorgeranno fenomeni di cavitazione (vaporizzazione dellacqua) che limiteranno ulteriormente la possibilit di abbassare la sezione di sbocco del sifone.