Elementi di Geometria delle Masse
BARICENTRO
Si consideri un sistema costituito da N punti materiali P1, P2 ... PN dotati di massa m1, m2 ... mN , soggetti alla forza peso FP1, FP2, ... FPN . Ciascun punto è soggetto ad una forza diretta verso il basso e con proporzionale alla propria massa.La risultante delle forze peso è data da:
jgmF iPi
jgmjgmFR iiPiP
Il baricentro del sistema di masse è il punto in cui si considera applicata la risultante delle forze di massa.La posizione del baricentro si trova dall’espressione del momento: la somma dei momenti delle forze i-esime rispetto ad un polo qualsiasi deve essere uguale al momento della risultante rispetto allo stesso polo
Ciascuna forza peso è applicata al punto materiale cui compete, identificato dal vettore posizione ri.La risultante delle forze di massa è data dalla loro somma
j
O
1r
R ir
P1, m1
G
Pi, mi
Gr
2r
P2, m2
1F
2F
iF
jgmrFrM iiPiiPi
BARICENTRO
Il momento rispetto ad un generico punto O della generica FPi è
Il momento risultante è la somma di tutti i contributi i-esimi
jgmrjgmrRrM iGiGPGP
jgmrjgmrjgmrMM iiiiiiPiP
Il momento risultante MP deve essere anche uguale al momento della risultante R
rispetto ad O. La risultante è applicata nel baricentro G, identificato dal vettore rG .
i
ii
Gm
mrr
dall’uguaglianza dei secondi
membri delle ultime due
espressioni si trova la posizione
del baricentro:
j
O
1r
R ir
P1, m1
G
Pi, mi
Gr
2r
P2, m2
1F
2F
iF
BARICENTRO
Dato un corpo costituito da N punti materiali m1, m2 ... mN , identificati dai vettori r1,
r2 ... rN , il vettore rG che identifica il baricentro del corpo è
M
rm
m...mm
rm...rmrmr ii
N21
NN2211G
dove M è la massa complessiva del corpo.Per un corpo costituito da un insieme continuo di materia avente densità , la posizione del baricentro è data da
M
dVr
r VG
ρ
= densitàdV = elemento infinitesimo di volume (se si lavora nel piano sarà un elemento di area)r = vettore posizione di dV
se è costante (ovvero se il corpo è omogeneo) può essere portata fuori dall’integrale e la posizione del baricentro dipende solo dalla geometria.Se il corpo è rigido, la posizione del baricentro rispetto ad un SDR solidale con il corpo stesso è costante.
BARICENTRO
Ovviamente, alle relazioni vettoriali viste precedentemente sono associate le
corrispettive equazioni scalari, per cui le coordinate del baricentro possono essere
scritte anche come
M
zmz
M
ymy
M
xmx
ii
G
ii
G
ii
G
M
dmz
z
M
dmy
y
M
dmx
x
VG
VG
VG
Nel caso si studi un sistema piano, sono sufficienti le coordinate lungo gli assi x ed y (prime due equazioni di ciascun gruppo)
BARICENTRO – Proprietà
a) Il baricentro o centro di massa di due corpi assimilabili a punti materiali, si trova sul segmento che li congiunge e divide questo in parti inversamente proporzionali alle masse dei punti materiali.
b) Se il corpo si estende su un piano o lungo una retta, il baricentro appartiene al piano o alla retta
c) Se il corpo ammette un piano di simmetria materiale, il baricentro si trova su tale piano.
d) Se il corpo ammette due piani di simmetria materiale e dunque la loro intersezione è asse di simmetria materiale, il baricentro si trova su tale asse. Se inoltre esistono tre piani di simmetria materiale, il loro punto di intersezione è centro di simmetria materiale. Il baricentro coincide con tale punto. Il baricentro di un corpo omogeneo che ha forma di poligono o poliedro regolare, coincide col centro geometrico della figura.
e) Il baricentro gode della proprietà distributiva. Se il corpo viene suddiviso in due o più parti e di ognuna di queste viene determinato il baricentro, ivi ritenendo localizzata la massa di ciascuna parte, il baricentro dell’intero corpo coincide con quello dei punti materiali così ottenuti.
f) Se un corpo omogeneo presenta delle cavità, il baricentro si ottiene attribuendo al corpo densità ρ costante e alle cavità la densità fittizia −ρ. Lo stesso si verifica nel caso bidimensionale, in cui sono presenti fori, e nel caso unidimensionale di figure formate da archi separati.
BARICENTRO – esempi
La determinazione della posizione del baricentro è molto semplice se il corpo è rigido, se presenta geometrie regolari (es assi o piani di simmetrie materiali), se è omogeneo, se è scomponibile in corpi di geometrie più semplici.Nel caso di figure piane/lineari, il baricentro appartiene al piano/linea.Per il calcolo si associa al corpo densità di superficie/lineare.
Baricentro di un rettangoloSi trova nell’intersezione delle due diagonali.
Baricentro di un cerchioSi trova nel suo centro.
Baricentro di un triangoloSi trova nell’intersezione delle mediane(ciascuna delle tre mediane viene divisa dal baricentro in due parti in rapporto 2:1, la parte contenente il vertice è doppia rispetto all'altra.)
Baricentro di un arco di circonferenzaIl sistema presenta un asse di simmetria (l’asse Y), per cui il baricentro si troverà su tale asse. Occorre determinarne la posizione yG
0
0
2
G
s
sG
sinRsinR
dR
dcosR
dR
dRcosR
y
cosR) y(dRdm dm
ydm
y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
BARICENTRO – esempi
YY
O
G
R
2R0Rd
0
d
X
y
Baricentro di un settore circolareIl sistema presenta un asse di simmetria (l’asse Y), per cui il baricentro si troverà su tale asse. Occorre determinarne la posizione yG
Il settore elementare relativo all’angolo infinitesimo d si può assimilare ad un triangolo di altezza R e base Rd, il cui baricentro è localizzato ad un terzo dell’altezza, dalla base
0
0
G
2
3
G
s
sG
sinRsinRy
dR
dcosR
dR
cosRdR
y
cosR) y(dRdm dm
ydm
y
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
2
3
2
ρ2
1
ρ3
1
2
1ρ
3
2
2
1ρ
3
2
2
1ρ
R
R
R
YY
O
G
R
2R0Rd
0
d
X
R/3
2/3R
BARICENTRO – esempi
BARICENTRO – esempi
Baricentro di geometrie riconducibili a geometrie note
Se il corpo di cui si vuole determinare il baricentro possiede una geometria tale da
poter essere scomposta in un sistema di geometrie di cui è nota la posizione del
baricentro, il baricentro del sistema completo è dato dal baricentro dei baricentri
dei singoli sottosistemi.
y2A2
A1
Y
y1
X
21
2211G
AA
yAyAy
21
2211G
AA
xAxAx
A1
A2
Y
X
y2
G yG
BARICENTRO – esempi
Baricentro di geometrie riconducibili a geometrie note
Se il corpo di cui si vuole determinare il baricentro possiede una geometria tale da
poter essere considerato come il risultato della differenza di geometrie di cui è
nota la posizione del baricentro, il baricentro del sistema si trova come barcentro
dei baricentri dei singoli sottosistemi, considerando negativa la massa dei corpi in
sottrazione.
21
22
21
2211G
AA
yA
AA
yAyAy
BARICENTRO – esempi
Baricentro di un tronco di cono
R1
R2
R(z)
z
22
22
22
222
2222
22222
0
322
22
0
422
322
0
3222
0
42322
0
222
0
3222
0
222
0
222
0
2
0
2
0
0
2
22
πρ
πρ
233πρ
368πρ
2πρ
2πρ
πρ
πρ
2πρ
2πρ
2πρ
2zπρ
πρ
πρz
πρ
πρz
2
πρρ
1122
1122G
1122
1122
22112122
22112122
G
2221121
22
2221121
22
22
22
G
22
22
22
22
G
2
2
2
2
G
2211221
221
2
2
s
sG
RRRR
3RRR2Rh
4
1z
RRRRh3
1
3RRR2Rh12
1
RRRRRRR3Rh3
1
RRR3RRRR8R6h12
1
z
zh
RRRR
3
1z
h
RRRzR
zh
RRRR
4
1z
h
RRR
3
2zR
2
1
z3
1zRzR
z4
1zR
3
2zR
2
1
z
dzzzRR
dzzzRzR
dzzzRR
dzzzRR
z
dzzR
dzzR
dzzR
dzzR
z
h
RRRR A;
h
RR A
zRzh
RRRzR dzzRdvdm
dm
zdm
z
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
AA
AA
AA
AA
AA
AA
A
A
A
O
1r
ir
P1, m1
Pi, mi
2r
P2, m2
k
i
ω ω,
Si consideri un sistema costituito da N punti materiali P1, P2 ... PN dotati di massa m1, m2 ... mN , ogni punto si muove intorno ad O con una certa velocità angolare ed accelerazione angolare. Ogni punto sarà soggetto ad una accelerazione data da:
ii
ii
μω;λω
μωλωωω(ω
iiti2
in
itinii2
iii
ra ra
aarrr)ra
iiiIi,t mrF μω
1112
nI1, mrF λω
111I1,t mrF μω
Ciascun punto materiale sarà dunque soggetto ad una forza di inerzia che ha due componenti, una parallela ed una ortogonale al vettore posizione rispetto al polo O.
112r- λω
11r μω
j
ii2r- λω
iii
2nIi, mrF λω
MOMENTO DI INERZIA
O
1r
ir
P1, m1
Pi, mi
2r
P2, m2
k
i
ω ω,
ii2 mr ω
Il momento complessivo è dato dalla somma dei singoli contributi:
112r- λω
11r μω
Le forze di inerzia che si oppongono alla variazione del regime di rotazione sono quelle tangenziali, che sono quelle che hanno momento rispetto ad O diverso da zero. Il momento della forza di inerzia dell’i-esimo punto materiale è
kmrmrrM i
2
iiiiiiIi
ωμωλ
kmrkmrmr(rMM i
2
ii
2
iiiiiiIiI
ωω)μωλ
iir μω
j
iiiIi,t mrF μω
111I1,t mrF μω
ω
IMI
i
2
i mrI è il momento di inerzia del sistema di masse rispetto all’asse Z (polo O, nel piano), per cui si può scrivere:
00
00
MOMENTO DI INERZIA POLARE
Si consideri un sistema di punti materiali Pi (di massa mi), identificati dai vettori ri
rispetto ad un punto di riferimento O (polo).Si definisce momento di inerzia polare la quantità:
i
2
iii
2
iiO OPmrmI
Se O è anche l’origine del sistema di riferimento Oxyz
ii
2
ii
2
i
2
i
2
iiO
2
i
2
i
2
i
2
iii
2
i
iiiii
dmzyxmI
dzyxrrr
kzjyixOPr
Dove di è la distanza del generico punto i dal polo O
MOMENTO D’INERZIA RISPETTO AD UN PIANO
Si consideri un sistema di punti materiali Pi (di massa mi), identificati dai vettori ri
rispetto ad un punto di riferimento O appartenente ad un piano π.Il momento di inerzia rispetto al piano π è definito come:
i
2
iii
2
iii
2
ii dmOPnmrnmI
π
dove n è il versore normale al piano π, e di è la distanza del punto i-esimo dal piano π.Se si considerano i piani coordinati yz, xz ed xy, i versori normali sono rispettivamente i, j e k ed i relativi momenti di inerzia sono dati da:
i
2
ii
i
2
ii
i
2
ii
zmI
ymI
xmI
xy
xz
yz
momenti di inerzia rispetto ai piani coordinati
MOMENTO D’INERZIA RISPETTO AD UN’ASSE
Si consideri un sistema di punti materiali Pi (di massa mi), identificati dai vettori ri
rispetto ad un punto di riferimento O appartenente ad una retta s.Il momento di inerzia rispetto alla retta s è definito come:
i
2
iii
2
iii
2
ii dmOPumrumI
s
dove u è il versore della retta s e di è la distanza del punto i-esimo dalla retta s.Se si considerano gli assi coordinati x, y e z, i versori sono rispettivamente i, j e k ed i relativi momenti di inerzia sono dati da:
2
i
2
ii
iz
i
2
i
2
iiy
i
2
i
2
iix
yxmI
zxmI
zymI
momenti di inerzia rispetto agli assi coordinati
RELAZIONI TRA MOMENTI D’INERZIA
yzxzz
yzxyy
xzxyx
III
III
III
i
2
i
2
i
2
iiO zyxmI
2
i
2
ii
iz
i
2
i
2
iiy
i
2
i
2
iix
yxmI
zxmI
zymI
i
2
ii
i
2
ii
i
2
ii
zmI
ymI
xmI
xy
xz
yz
xyxzi
2
iii
2
iii
2
ii
2
iii
2
i
2
iix IIzmymzmymzymI
xyxzyz
2
ii
2
ii
2
ii
2
ii
2
ii
2
ii
2
i
2
i
2
iiO
IIIzmymxm
zmymxmzyxmI
i i i
ii
xyxzyzO IIII
Esplicitando i calcoli si ottengono le seguenti relazioni tra i momenti di inerzia:
polare rispetto ad una retta rispetto ad un piano
yzxzz
yzxyy
xzxyx
III
III
III
xyxzyzO IIII
RELAZIONI TRA MOMENTI D’INERZIA
Si osserva che i momenti d’inerzia (o momenti di secondo grado) rispetto agli assi e rispetto ai pianicoordinati dipendono della terna di riferimento
mala loro somma dipende soltanto dalla posizione
dell’origine e quindi non varia al variare dell’orientazione degli assi, se l’origine del sistema di riferimento O rimane fissata
MOMENTI DI INERZIA: ESTENSIONE AI CORPI RIGIDI
polare
rispetto ad una retta
rispetto ad un piano
V
2
i
2
i
2
i
m
2
i
2
i
2
iO dVzyxdmzyxI ρ
Vm
Vm
Vm
dVdm
dVdm
dVdm
2222z
2222y
2222x
yxyxI
zxzxI
zyzyI
V
2
m
2
V
2
m
2
V
2
m
2
zzI
yyI
xxI
dVdm
dVdm
dVdm
xy
xz
yz
Per un corpo costituito da un insieme continuo di materia avente densità , i momenti di inerzia assumono la forma:
RELAZIONI TRA MOMENTI D’INERZIA
Si consideri adesso il baricentro G di un sistema di masse puntiformi, il piano πG
parallelo a π passante per G e la retta sG passante per G e parallela alla retta s. Osservando che:
0rrmmrrmrmrm)rr(mm
infatti
mdI
mr2mrm
rm2mrm
r2rmrmrmI
Gi
iii
iGi
iiGi
ii
iiGi
iii
i
2/
i iiG
i
2
i
2
Gi
i iGi
i
2
i
2
Gi
iG
22
Gii
2
Gii
2
iiO
Mi
OGG
ii
ii
iii
si può scrivere:ii
Giii
G
ii
rr
P baricentro al rispetto P di posizione Vettore r -r
O origineall' rispetto P baricentro del posizione Vettore r
O origineall' rispetto P di posizione Vettore r
anche scrivere può si oriferiment di sistema del O originel' moconsideria se
G
G
G
RELAZIONI TRA MOMENTI D’INERZIA
2G/
i iiG
i
2
Gi
2
i
i iGi
i
2
Gi
2
i
iG
2
G
2
ii
2
Gii
2
ii
mdI
mnrn2rnmnm
rnnm2rnmnm
rnn2rnnmrnmrnmI
G
ii
ii
iii
2G/ss
i iiG
i
2
Gi
2
i
i iGi
i
2
Gi
2
i
2
iGi
i
2
Gii
2
iis
mdI
muru2rumum
ruum2rumum
ruumrumrumI
G
ii
ii
ii
TEOREMA DI HUYGENS
Il momento di inerzia polare (o rispetto ad un piano o rispetto ad una retta) di un sistema di masse è pari al momento di inerzia baricentrico (polare rispetto al baricentro, rispetto ad un piano baricentrico e parallelo a quello dato, rispetto ad una retta baricentrica parallela a quella data) sommato al momento di inerzia del baricentro.
Il momento d’inerzia polare IP rispetto ad un generico punto P è pari al momento di inerzia calcolato rispetto al baricentro più il prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza ddel baricentro G dal polo P.
2mdII GP
2mdIIG
2mdIIG
ss
Il momento d’inerzia Iπ rispetto ad un generico piano π è pari al momento di inerzia calcolato rispetto al piano baricentrico πG
parallelo a π più il prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza d del baricentro G dal piano π.
Il momento d’inerzia Iπ rispetto ad una generica retta s è pari al momento di inerzia calcolato rispetto alla retta baricentrica sG
parallela ad s più il prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza d del baricentro G dalla retta s.
MOMENTI DI INERZIA: esempi
Sbarretta omogenea
G
dx
X
Y
2Y
332
L
2L-
32L
2L-
2Y
M
2Y
ML12
1I
L12
1
8
L2
3
1
3
xdxxI
dxdm dmxI
ρρρρ
ρ
Il momento d’inerzia di una sbarretta omogenea calcolato rispetto ad un asse ortogonale all’asse della sbarretta stessa e passante per il suo baricentro si può calcolare come:
L
x
MOMENTI DI INERZIA: esempi
Rettangolo omogeneo
G
dx
X
Y
2Y
332
a
2a-
32a
2a-
2Y
M
2Y
Ma12
1I
ab12
1
8
a2b
3
1
3
xbdxbxI
dxbdm dmxI
ρρρρ
ρ
Il momento d’inerzia di un rettangolo omogeneo calcolato rispetto ad un asse di simmetria (es: y) può essere calcolato come:
a
x
b
Analogamente, se si considera il momento di inerzia rispetto all’altro asse di simmetria (x) si ottiene:
2X Mb
12
1I
MOMENTI DI INERZIA: esempi
y
r
R
dr dr
X
Y
24
z
2
0
4R
0
2
0
2z
m
2z
MR2
1
2
RI
d4
RdrdrrI
drdrdm dmrI
πρ
ρρ
ρ
ππ
24
X
42
0
4
X
R
0
2
0
3R
0
2
0
2
X
m
2X
MR1
R
I
Rd
RI
drdrdrdrrI
r ydrdrdm dmyI
44ρ
)cos()sin(2
1
24ρ)(sin
4ρ
)(sinρρ)sin(
)sin(ρ
2
0
π2
π2
π
disco omogeneo (spessore unitario)
Momento di inerzia rispetto all’asse del disco (z):
Momento di inerzia rispetto ad un asse diametrale (es: x). Per motivi di simmetria materiale, tutti i momenti d’inerzia calcolati rispetto ad un qualsiasi asse diametrale sono uguali.
d
MOMENTI DI INERZIA: esempi
cilindro omogeneo
Momento di inerzia rispetto all’asse del cilindro (Z):
h Y
R
X
Z
2z
4
z
2
0
42h
2h-
R
0
2
0
2z
m
2z
MR2
1I
2
RhI
d4
RhdzdrdrrI
dz drdrdm dmrI
πρ
ρρ
ρ
ππ
MOMENTI DI INERZIA: esempi
cilindro omogeneo
h Y
R
X
Z
Momento di inerzia rispetto ad un asse trasversale baricentrico (es: X):Si consideri un elemento infinitesimo di massa costituito da un disco di spessore infinitesimo dz, il cui baricentro si trovi alla quota z. Il momento di inerzia del disco rispetto ad un suo diametro è pari a
222diam RdzR
4
1MR
4
1dI ρπ
Il momento di inerzia dello stesso elemento, rispetto all’asse X è pari al momento diametrale sommato al momento di trasporto Md2 (M = massa dell’elemento, d = distanza del baricentro dall’asse X, in questo caso pari alla quota z)
22X
3242
h
2
h
324
X
2
h
2
h
224224X
222222X
h12
1R
4
1MI hR
12
1hR
4
1
3
zRzR
4
1I
dzzRR4
1dzzRdzR
4
1dI
zdzRRdzR4
1MdMR
4
1dI
ρπρπρπρπ
ρπρπρπρπ
ρπρπ
MOMENTI DI INERZIA: esempi
Tronco di cono
Momento di inerzia rispetto all’asse di simmetria del solido (Z):
Momento di inerzia rispetto ad un asse trasversale baricentrico (es: X):
R1
R2
R(z)
z
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