DISPENSA DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (Andrea Albero)
Teorema di Cauchy: {đĄđĄđđ} = [ đđ ] {đđ}
ïżœđĄđĄđđđđđĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ
ïżœ = ïżœđđđđ đĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđ đđđđ
ïżœ ïżœđđđđđđđđđđđđïżœ
------------------------------------------------------------------
Direzioni principali della tensione e invarianti:
âUna direzione Ăš definita principale se lungo tale direzione gli sforzi tangenziali sono nulli: questo accade quando una terna di versori locali ha un asse // allo sforzo totale e gli altri due sono ortogonali ad esso.â
[Ïn] = tensore idrostatico
[Ï]-[Ïn] = tensore deviatorico
[Ï] = tensore degli sforzi generico
{n} = vettore dei coseni direttori di un versore
{đĄđĄđđ} = [đđ] {đđ} â {đđ}đđ {đĄđĄđđ} = {đđ}đđ [đđ] {đđ} = [đđđđ] â {đĄđĄđđ} = [đđđđ] {đđ}
Dal teorema di Cauchy, sostituendo il primo membro con un prodotto matriciale del tipo {tn} = [Ïn] {n} (intendendo [Ïn] come tensore idrostatico, cioĂš con le componenti della sua traccia tutte uguali in valore a Ïn e tutte le componenti tangenziali tab = 0) sottraendolo ad ambo i membri, ed imponendo la condizione aggiuntiva di normalitĂ dei coseni direttori dei versori {n} (cioĂš quindi nel complesso si fa il lagrangiano del teorema di Cauchy) si ottiene un sistema di secondo grado, nella cui soluzione si definiscono:
âą Le direzioni principali, date da {n} âą Le tensioni principali, date da {Ïn} âą Gli invarianti scalari della tensione J1, J2 e J3
ïżœïżœ[đđ] â [đđđđ]ïżœ â {đđ} = 0đđđđ2 + đđđđ2 + đđđđ2 = 1
Ă possibile definire un sotto-sistema lineare omogeneo, in virtĂč del fatto che {n} non puĂČ essere uguale a 0:
[đđ] â [đđđđ] = 0
Equazione risolutiva del sistema lineare omogeneo:
đđđđ3 â đœđœ1 đđđđ2 â đœđœ2đđđđ â đœđœ3 = 0
âą J1 = Ïx + Ïy + Ïz (traccia di [Ï]) âą J2 = - Ïx Ïy - Ïy Ïz â Ïx Ïz + txy
2 + txz2
+ tzy 2 (-1 moltipl. i det. dei minori di [Ï])
âą J3 = Ïx (Ïy Ïz - tzy 2) + Ïy (Ïx Ïz - txz
2) + Ïz (Ïx Ïy - txy2) (det. di [Ï])
I 3 valori di Ïn sono autovalori del sistema di secondo grado, nonchĂ© le tensioni principali lungo le varie direzioni, e perciĂČ sostituendo tali autovalori nel sistema di secondo grado, si ottengono di volta in volta i coseni direttori di ogni direzione principale.
Da ogni autovalore si ottiene quindi un vettore {n}, composto da nx. ny, e nz, ed in totale si ottengono 3 vettori {n} che mi definiscono le direzioni principali del solido: lungo tali direzioni, le tensioni sono pari a Ïn1, Ïn2 e Ïn3.
[đđđđ] = {đđ}đđ {đĄđĄđđ} = {đđ}đđ [đđ] {đđ}
Se:
âą 3 autovalori diversi 1 sola terna di direzioni principali (stato tensionale triassiale) âą 2 autovalori uguali 1 direzione principale e 1 giacitura principale (stato tensionale cilindrico) âą 3 autovalori uguali tutte le direzioni sono principali (stato tensionale sferico)
------------------------------------------------------------------
Teorema della Divergenza:
ïżœ đ đ đ đ đ đ ({đđ}) đ đ đ đ = ïżœ{đđ} Ă {đđ} đ đ đ đ đ đ
đ đ
------------------------------------------------------------------
Sistema staticamente ammissibile:
ïżœïżœđđđđđđđđđđđđđđđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ = âïżœđčđčđđđđđčđčđđ đđđđ đŁđŁđđđŁđŁđŁđŁđŁđŁđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ
ïżœđđđđđđđđđđđđđđđđ đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđđ đ đŁđŁđđ = ïżœđčđčđđđđđčđčđđ đđđđ đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ
ïżœđčđčđđđđđčđčđđ đđđđ đŁđŁđđđŁđŁđŁđŁđŁđŁđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ = ïżœ {đčđč} đđđđđđ
= ïżœđčđčđđđčđčđđđčđčđđïżœ
ïżœđđđđđđđđđđđđđđđđ đŒđŒđđđĄđĄđđđđđđđđ = ïżœ [đĄđĄđđ]đŽđŽ
đđđđ = ïżœ [đđ] Ă {đđ}đŽđŽ
đđđđ = ïżœđđđđđŁđŁ ([đđ])đđ
đđđđ =
= ïżœ ïżœđđđđ đĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđ đđđđ
ïżœ
âŁâąâąâąâĄđđđđđđïżœ
đđđđđđïżœ
đđđđđčđčïżœ âŠâ„â„â„â€
đđ đđđđ = ïżœ [đđ]
đđ Ă {đđ} đđđđ
ïżœđčđčđđđđđčđčđđ đđđđ đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđđđ đđđđđĄđĄđđđđđđđđ = ïżœ {đ đ } đđđđđŽđŽ
= ïżœđ đ đđđ đ đđđ đ đđïżœ
ïżœđđđđđđđđđđđđđđđđ đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđđ đ đŁđŁđđ = [đĄđĄđđ] = [đđ] Ă {đđ}
Un sistema viene quindi definito staticamente ammissibile quando:
ïżœ[đđ] Ă {đđ} = â {đčđč}[đđ] Ă {đđ} = {đ đ }
Sistema cinematicamente ammissibile:
Un sistema composto da una deformazione [Δ] e uno spostamento [η] si dice cinematicamente ammissibile quando:
12
â
ââ
âŁâąâąâąâĄđđđđđđïżœ
đđđđđđïżœ
đđđđđčđčïżœ âŠâ„â„â„â€
Ă [đŁđŁ đŁđŁ đ€đ€] + ïżœđŁđŁđŁđŁđ€đ€ïżœ Ă ïżœđđ đđđđïżœ đđ
đđđđïżœ đđđđđčđčïżœ ïżœ
â
ââ
= [đđ]
Quindi scrivibile come
12
({đđ} â {đđ}đđ + {đđ}{đđ}đđ) = [đđ]
Con
[đđ] = ïżœđđđđ 1
2 đŸđŸđŠđŠđŠđŠ
12
đŸđŸđ§đ§đŠđŠ12
đŸđŸđŠđŠđŠđŠ đđđđ 12
đŸđŸđ§đ§đŠđŠ12
đŸđŸđŠđŠđ§đ§12
đŸđŸđŠđŠđ§đ§ đđđđïżœ đđ {đđ} = ïżœ
đŁđŁđŁđŁđ€đ€ïżœ
Notare che affinché un sistema sia cinematicamente ammissibile non sono posti vincoli traslazionali o rotazionali, in quanto sono contributi di moto rigido e pertanto limitati esclusivamente dai vincoli esterni.
Nella definizione della matrice deformativa [Δ], si puĂČ notare che la traccia costituisce le dilatazioni lineari del solido lungo le tre direzioni, mentre gli altri termini sono gli scorrimenti angolari nei vari piani che il corpo subisce.
------------------------------------------------------------------
Principio dei Lavori Virtuali (PLV) per corpi deformabili:
Definendo
{đđ} =
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđđđđđđđđđŸđŸđđđđđŸđŸđđđđđŸđŸđđđđâŠ
â„â„â„â„â€
đđ {đđ} =
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŠ
â„â„â„â„â€
E si abbia un sistema di forze esterne staticamente ammissibile {Fa} , {pa} con tensioni {Ïa}, ed un sistema di spostamenti e deformazioni {Δb} , {ηb} cinematicamente ammissibile, allora il principio dei valori virtuali, che esprime lâuguaglianza del lavoro delle forze interne con quello delle forze esterne, si puĂČ scrivere
ïżœ {đđđđ}đđđđ
Ă {đđđđ} đđđđ = ïżœ {đčđčđđ}đđ Ă {đđđđ}đđ
đđđđ + ïżœ {đ đ đđ}đđ Ă {đđđđ}đŽđŽ
đđđđ
Sancendo di fatto la possibilitĂ di scrivere il lavoro interno di deformazione come prodotto scalare tra vettore tensione e vettore deformazione.
Per ottenere il caso di corpo rigido, basta porre uguale a 0 il primo termine (deformazioni nulle).
------------------------------------------------------------------
Teorema di Kirchhoff o di UnicitĂ della Soluzione:
âUn sistema di sollecitazioni {F} , {p} , {η0} puĂČ generare una sola risposta deformativa/tensionale {ηa} , {Δa} , {Ïa}.â
------------------------------------------------------------------
Teorema di Clapeyron:
âPer un corpo elastico lineare, il lavoro di deformazione compiuto da un sistema di forze {F} , {p} che genera un campo di spostamento staticamente e cinematicamente ammissibile senza effetti dinamici Ăš:
12
ïżœ {đčđč}đđđđ
{đđ} đđđđ + 12
ïżœ{đ đ }đđđŽđŽ
{đđ} đđđđ
Con le rispettive condizioni di calcolo, puĂČ essere applicato ad ogni caso: ad esempio, se si sta trattando la deformazione di una trave, non si hanno forze {p} di superficie e il primo integrale di volume diventa un integrale di linea.
------------------------------------------------------------------
Teorema di Betti:
âIl lavoro di deformazione compiuto da due sistemi di forze ({F} , {p}) chiamati A e B, applicati in successione A B Ăš:
đżđżđđ+đđ = đżđżđđ + đżđżđđ + đżđżđđđđ
Mentre in successione B A Ăš:
đżđżđđ+đđ = đżđżđđ + đżđżđđ + đżđżđđđđ
Questi due lavori sono uguali solo quando lâultimo termine (cioĂš il lavoro mutuo) Ăš identico: questo accade solo se i due sistemi di forza A e B sono energeticamente ortogonali, cosa che avviene quando i sistemi di forze presentano una simmetria interna. Se questo non avviene, allora non si puĂČ ritenere valido il principio di sovrapposizione degli effetti per quanto concerne il lavoro di deformazione.
Rimane invece sempre applicabile (in caso di materiale elastico lineare) per gli spostamenti, per le deformazioni e per le tensioni.â
------------------------------------------------------------------
Legame costitutivo elastico:
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđđđđđđđđđŸđŸđđđđđŸđŸđđđđđŸđŸđđđđâŠ
â„â„â„â„â€
=
âŁâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâĄ
1đžđž
âđđđžđž
âđđđžđž
0 0 0
âđđđžđž
1đžđž
âđđđžđž
0 0 0
âđđđžđž
âđđđžđž
1đžđž
0 0 0
0 0 01đșđș
0 0
0 0 0 01đșđș
0
0 0 0 0 01đșđșâŠâ„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â€
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŠ
â„â„â„â„â€
CioĂš in forma compatta
{đđ} = [đ»đ»]â1 {đđ}
La relazione inversa Ăš scrivibile invece come:
12đșđș
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŠ
â„â„â„â„â€
=
âŁâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâĄ
1 â đđ1 â 2đđ
đđ1 â 2đđ
đđ1 â 2đđ
0 0 0đđ
1 â 2đđ1 â đđ
1 â 2đđđđ
1 â 2đđ0 0 0
đđ1 â 2đđ
đđ1 â 2đđ
1 â đđ1 â 2đđ
0 0 0
0 0 012
0 0
0 0 0 012
0
0 0 0 0 012âŠâ„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â€
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđđđđđđđđđŸđŸđđđđđŸđŸđđđđđŸđŸđđđđâŠ
â„â„â„â„â€
đșđș = đžđž
2 ( 1 + đđ )
đžđž > 0
đđđđđđđđđđđ đ đ đ đŁđŁđđđđđĄđĄđđ: â 1 < đđ <12
đđđ đ đđđđđđđŁđŁđđđđđĄđĄđ đ đŁđŁđŁđŁđđđđđĄđĄđđ: 0 < đđ <12
------------------------------------------------------------------
Equazioni Cardinali della Statica:
đžđžđžđžđŁđŁđđđŁđŁđđđžđžđđđđđđ đ đ đŁđŁđŁđŁđ đ đĄđĄđđđ đ đđđŁđŁđ đ đčđčđđđđđđđđ: ïżœ{đđ} = đđ â {đčđč} = đđ
đžđžđžđžđŁđŁđđđŁđŁđđđžđžđđđđđđ đ đ đŁđŁđŁđŁđ đ đđđđđĄđĄđ đ đčđčđđđđđđđđ: ïżœ{đđ} â {đđ} = đđ â {đŽđŽ} = đđ
------------------------------------------------------------------
Solido & Ipotesi di De Saint-Venant:
Solido: âUn solido di Saint-Venant Ăš una volume cilindrico, con un asse rettilineo Z, i cui punti costituiscono ciascuno il baricentro di una sezione ortogonale a tale asse. La sua sezione Ăš costante ed Ăš costituito da un materiale elastico, lineare, isotropo ed omogeneo.â
Ipotesi: âA sufficiente distanza da ciascuna base del solido di Saint-Venant, lo stato deformativo e tensionale dipende soltanto dalla risultante {R} delle forze agenti sulla base medesima e dal momento risultante {M} delle forze rispetto al baricentro di tale base.â
ApplicabilitĂ : affinchĂ© la teoria di De Saint-Venant sia valida, il solido deve possedere una snellezza sufficiente a far valere tale trattazione. In genere, si ritiene soddisfatta quando la dimensione Z Ăš almeno nellâordine di 5 volte superiore alle altre dimensioni.
------------------------------------------------------------------
Problema di De Saint-Venant:
Il problema di Saint-Venant Ăš un caso particolare del problema elastico: le equazioni necessarie a risolverlo sono le:
âą Equazioni Statiche [đđ] Ă {đđ} = â {đčđč}
âą Equazioni Cinematiche
12
({đđ} â {đđ}đđ + {đđ}{đđ}đđ) = [đđ]
âą Equazioni Costitutive
{đđ} = [đ»đ»]â1 {đđ}
âą Ipotesi semplificative e Condizioni al Contorno:
Il solido Ăš sollecitato solo sulle basi esclusivamente da forze di superficie. Le condizioni al contorno sono quindi:
đ”đ”đ đ đđđđ đđđđđŁđŁ đđđđđŁđŁđđđđđđ: đđđđ = đđđđ = 0, đđđđ = 1
ïżœđ đ đđđ đ đđđ đ đđïżœ = ïżœ
đđđđ đĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđ đđđđ
ïżœ ïżœ001ïżœ
đđđŁđŁđ đ đđđđđ đ đđđ đ đđ đżđżđ đ đĄđĄđđđđđ đ đŁđŁđđ: đđđđ = 0, đđđđ = đđđđ = 1
ïżœ000ïżœ = ïżœ
đđđđ đĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đđđđ đĄđĄđđđđđĄđĄđđđđ đĄđĄđđđđ đđđđ
ïżœ ïżœ110ïżœ
------------------------------------------------------------------
Legame fra Spostamenti e Tensioni, Curvatura e Rotazioni
Il legame costitutivo elastico, applicato ad un sistema cinematicamente ammissibile, dĂ luogo ad una correlazione diretta fra spostamenti e tensioni applicate: per rendere piĂč facilmente enunciabile tale relazione, si scriverĂ in termini di vettori spostamento e vettori tensione (anche se in realtĂ sono tensori):
âŁâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâĄđđđđđđ
0 0
0đđđđđđ
0
0 0đđđđđčđč
đđđđđđ
đđđđđđ
0
đđđđđčđč
0đđđđđđ
0đđđđđčđč
đđđđđđâŠâ„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â€
ïżœđŁđŁđŁđŁđ€đ€ïżœ =
âŁâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâĄ
1đžđž
âđđđžđž
âđđđžđž
0 0 0
âđđđžđž
1đžđž
âđđđžđž
0 0 0
âđđđžđž
âđđđžđž
1đžđž
0 0 0
0 0 01đșđș
0 0
0 0 0 01đșđș
0
0 0 0 0 01đșđșâŠâ„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â€
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŠ
â„â„â„â„â€
------------------------------------------------------------------
Sforzo Normale centrato, eccentrico, Flessione Retta, Deviata, Presso-Tenso-Flessione
Centro di sollecitazione âCâ: punto in cui se applico uno sforzo normale N ottengo ad uno stato di sollecitazione composto da N, Mx e My. Ă anche possibile data una terna sollecitante trovare il centro di sollecitazione. La sua distanza dal baricentro G Ăš espressa da ex ed ey:
đđđđ = đđđđ
đđ đđđđ = â
đđđđ
đđ
Sforzo Normale Centrato:
đđđđ = đđđđ = 0
Flessione Retta (solo Mx , ma potrebbe essere anche solo My con gli opportuni cambi di variabile e indice):
đđ = ïżœđđđđđŽđŽ
đđđđ = 0
đđđđ = ïżœđđđđ đđđŽđŽ
đđđđ â 0
Flessione Deviata (cioĂš somma di due flessioni rette):
đđ = ïżœđđđđđŽđŽ
đđđđ = 0
đđđđ = ïżœđđđđ đđđŽđŽ
đđđđ â 0
đđđđ = ïżœđđđđ đđđŽđŽ
đđđđ â 0
Presso-Tenso-Flessione Deviata (somma di flessione deviata e uno sforzo normale centrato: il tutto corrisponde complessivamente ad uno sforzo normale eccentrico):
đđ = ïżœđđđđđŽđŽ
đđđđ â 0
đđđđ = ïżœđđđđ đđđŽđŽ
đđđđ â 0
đđđđ = ïżœđđđđ đđđŽđŽ
đđđđ â 0
Equazione di Navier:
đđ = đđđđ
+ đđđđ â đđđœđœđđđ„đ„
+ đđđđ â đđđœđœđđđ„đ„
Per piccoli spostamenti di un solido di Saint-Venant (condizione che si considera soddisfatta quando il solido di De Saint-Venant Ăš sufficientemente snello) e sotto lâipotesi di conservazione delle sezioni piane, si ha:
đđđđđđ = đđđđ đđđčđč = đđđđ
đžđž đŒđŒđđ đđđčđč
đđđđ = đđđđ
đžđž đŒđŒđđ
đđđđđđ = đđđđ đđđčđč = đđđđ
đžđž đŒđŒđđ đđđčđč
đđđđ = đđđđ
đžđž đŒđŒđđ
Dove:
âą đđđđ Ăš lâangolo di rotazione del punto dovuto ad un momento đđđđ (e viceversa per la rotaz. Y) âą đđđđ Ăš la curvatura prodotta dalla flessione đđđđ(e viceversa per la rotaz. Y)
Si puĂČ facilmente applicare anche a un đđđđ quanto detto sopra.
Momento limite di una sezione: Ăš unâapplicazione dellâequazione di Navier, ed Ăš definito come il prodotto di una tensione limite moltiplicato il modulo di resistenza della sezione stessa: questo permette di capire direttamente dal momento sollecitante (se vale il principio di sovrapposizione degli effetti) il comportamento della sezione sotto quella sollecitazione:
Momento elastico limite: đđđđđđ,đđ = đ đ đđđŠđŠ â đđđđđđ,đđ
Momento ultimo limite: đđđđđđ,đđ = đđđąđą,đđ = đ đ đđđŠđŠ â đđđđđđ,đđ
Il modulo di resistenza elastico Ăš definito come quanto scritto prima, cioĂš Ăš il rapporto fra il momento dâinerzia rispetto ad un asse e la massima distanza di un punto della sezione da tale asse, mentre il modulo di resistenza plastico Ăš definito come la somma dei momenti statici rispetto allâasse interessato.
------------------------------------------------------------------
Torsione
La torsione Ăš una sollecitazione che tende a far ruotare una sezione attorno al proprio asse: Ăš causata da unâeccentricitĂ del taglio rispetto al centro di torsione. Ă possibile, dato che Ăš energeticamente ortogonale al taglio, trattare le due sollecitazioni separatamente e sommarne gli effetti.
Si definisce:
âą Ï = funzione di ingobbamento (Ăš una costante nel caso di torsione primaria, come quella che viene trattata di seguito, mentre Ăš variabile nel caso di torsione secondaria o di Vlasov-Timoshenko; Ăš una funzione armonica, cioĂš ha il laplaciano nullo)
âą (xc, yc) = coordinate del centro di taglio
In particolare si ha (C = contorno della sezione):
đđđđ = â1đđ
ïżœđđ đđđđđ¶đ¶
đđđđ = â1đđ
ïżœđđ đđđđđ¶đ¶
Si definisce inoltre lâangolo unitario di torsione, cioĂš lâangolo di le sezioni terminali della trave (solido snello) ruotano relativamente:
đđ = đđđđ
đșđș đŒđŒđĄđĄ
Dove It Ăš il fattore di rigidezza torsionale, al piĂč uguale al momento dâinerzia polare della sezione (caso di sezione circolare):
đŒđŒđĄđĄ = ïżœ(đđ2 + đđ2 + đđđđđđđđđđ
â đđđđđđđđđđđŽđŽ
) đđđđ
La tensione agente sulla sezione Ăš:
đđđđđđ = đđđđ
đŒđŒđĄđĄ ïżœđđđđđđđđ
â (đđ â đđđđ)ïżœ
đđđđđđ = đđđđ
đŒđŒđĄđĄ ïżœđđđđđđđđ
+ (đđ â đđđđ)ïżœ
La trattazione generale perĂČ risulta complessa da applicare, e la torsione risulta un parametro particolarmente importante nelle sezioni sottili, pertanto si fa riferimento a due tipologie di casi per la torsione: le sezioni aperte e le sezioni sottili chiuse.
------------------------------------------------------------------
Torsione nelle sezioni aperte
âą Circolare:
đđ = đđđđ
đșđș đŒđŒđĄđĄ
đŒđŒđĄđĄ = đŒđŒđđ = đđ đ đ 4
2
đđ = đđđđ
đŒđŒđĄđĄ đđ
âą Rettangolare (A= ab):
đđ = đđđđ
đșđș đŒđŒđĄđĄ
đŒđŒđĄđĄ = đœđœ đ đ đžđž3
đđđđđđ = đđđđ
đŒđŒđĄđĄ đđ
đđđđđđ = đđđđ
đŒđŒđĄđĄ đđ
a/b 1 1.5 2 3 10 â ÎČ 0.141 0.196 0.229 0.263 0.312 1/3
Sezione composta da piĂč rettangoli:
Si un nuovo coefficiente di rigidezza torsionale complessivo e un coefficiente di ripartizione torsionale:
đŒđŒđĄđĄ đĄđĄđĄđĄđĄđĄđđđđđđ = ïżœđŒđŒđĄđĄ đ đ đ đ đđđ„đ„đĄđĄđđđĄđĄ
đ đ đđđđđ đ đ đ .đđđđ đđđđđ đ đ đ đđđĄđĄđđđčđčđđđđđđđđ = đŒđŒđĄđĄâČ = đŒđŒđĄđĄ đ đ đ đ đđđ„đ„đĄđĄđđđĄđĄ
đŒđŒđĄđĄ đĄđĄđĄđĄđĄđĄđđđđđđ
Ogni rettangolo incassa una quota di Mz pari a
đđđđâČ = đđđđ đŒđŒđĄđĄâČ
Dopodiché, si tratta ogni rettangolo singolarmente, sicuri che la rotazione Ξ di tutta la sezione Ú uguale per ogni rettangolo.
------------------------------------------------------------------
Torsione nelle sezioni sottili chiuse:
La trattazione della torsione nelle sezioni sottili chiuse si basa sullâanalogia idrodinamica, e cioĂš che le tensioni torsionali sono come un flusso la cui portata Ăš costante in ogni tratto della sezione: ne consegue, che a spessori maggiori corrisponderanno tensioni torsionali minori e viceversa:
đđđđđ đ (đđ) â đžđž(đđ) = đ đ đđđđđĄđĄđ đ đđđĄđĄđđ
In particolare, Ăš valida la formula di Bredt:
đđđđđ đ = đđđđ
2 â Ω â đžđž(đđ)
Dove Ω Ăš lâarea della linea media del profilo sottile.
La formula
đđ = đđđđ
đșđș đŒđŒđĄđĄ
Ă ancora valida, ma IT ha una formulazione generale indipendente dalla funzione di ingobbamento:
đŒđŒđĄđĄ = 4 Ω2
âź 1đžđž(đđ) đđđđΩ
Dove il denominatore del secondo termine Ăš il perimetro della linea media pesata sullo spessore: pertanto, se lo spessore varia, lâintegrale di linea sarĂ la somma delle varie lunghezze divise ciascuna per il rispettivo spessore.
Si ha infatti che se lo spessore Ăš costante
đŒđŒđĄđĄ = 4 Ω2 đžđžđđ
------------------------------------------------------------------
Torsione nelle sezioni sottili chiuse con parti aperte:
La trattazione Ăš analoga a quelle giĂ viste:
âą Si scompone il momento torcente totale Mz in due parti, Mz1 in Mz2 in: la parte 1 verrĂ assorbita dalla parte scatolare mentre la parte 2 dalle parti aperte.
âą Si impone la congruenza angolare
ïżœđđ = đđ1 = đđ2 = đđđđ1
đșđș đŒđŒđĄđĄ1 =
đđđđ2
đșđș đŒđŒđĄđĄ2đđđđ1 + đđđđ2 = đđđđ
Dopodiché si risolve ciascuna parte (1 e 2) separatamente, ottenendo risultati congruenti.
------------------------------------------------------------------
Torsione nelle sezioni sottili chiuse pluriconnesse:
In sostanza, non cambia nulla da una sezione sottile chiusa normale, se nonchĂ© bisogna identificare il verso di rotazione della sezione ed imporre âlâuguaglianza delle portateâ (intese come tensioni torsionali lungo la linea ortogonale alla linea media) in analogia con lâidrodinamica: cioĂš, il fluire delle portate attraverso tutte le parti della sezione deve essere in equilibrio. Queste equazioni aggiuntive consentono di calcolare la torsione in ogni parte della sezione.
Bisogna fare perĂČ particolare attenzione: infatti, una volta definito il verso delle tensioni, in ogni parte singolarmente connessa bisogna far sĂŹ che le tensioni fluiscano in maniera coerente, e se il flusso delle tensioni in una zona Ăš contrario rispetto a quello definito, allora anche le tensioni saranno di verso opposto in quel punto.
------------------------------------------------------------------
Taglio Retto e Deviato
Il taglio si compone di: sforzo di taglio T, tensione di taglio Ï e scorrimenti Îł.
đđđđ = đđđđđđ
đđđčđč
đđđđ = đđđđđđ
đđđčđč
La tensione di taglio in genere varia specialmente nella direzione del taglio, ma anche ortogonalmente ad esso: questâultima variazione perĂČ spesso viene trascurata se non si hanno solidi compatti, e viene trascurata, approssimando il valore sulla corda della sezione ortogonale alla direzione del taglio al valore medio lungo tale corda, considerandolo di fatto costante. Questo Ăš ciĂČ che approssima la formula di Jourawski:
đđđđđ đ = đđđđđđđđđŽđŽâČ
đŒđŒđđ đžđž
Dove Sxaâ Ăš il momento statico di una parte della sezione tagliata dalla corda, mentre b Ăš la lunghezza della
corda e Ix Ăš il momento dâinerzia rispetto ad un asse baricentrico parallelo alla corda. In genere tale formula Ăš valida solo per sezioni sottili: negli altri casi infatti si sottostima troppo la tensione di taglio massima e si ricorre ad altri modelli semplificati, come il traliccio di Ritter-Mörsch per il cls.
Gli scorrimenti invece valgono:
đŸđŸđđ = đĄđĄđđđđđđđșđș đđ
Dove tx Ăš il fattore di taglio retto.
Taglio Deviato
Se si ha taglio deviato (cioĂš composizione di sollecitazioni taglianti Tx e Ty) bisogna considerare sia nella formula di Jourawski che negli scorrimenti angolari:
đđđđđ đ = đđđđđđđđđŽđŽâČ
đŒđŒđđ đžđž+
đđđđđđđđđŽđŽâČ
đŒđŒđđ đžđž
đŸđŸđđ = đĄđĄđđđđđđđșđș đđ
+ đĄđĄđđđđđđđđđșđș đđ
đŸđŸđđ = đĄđĄđđđđđđđđđșđș đđ
+ đĄđĄđđđđđđđșđș đđ
Dove in piĂč alla trattazione retta txy Ăš il fattore mutuo, che viene dal teorema di Betti.
Per le sezioni piĂč comuni, il fattore mutuo di taglio Ăš uguale a 0: infatti, se la sezione presenta almeno un asse di simmetria, esso si annulla.
I fattori di taglio retto invece non si annullano mai, e dipendono unicamente dalla geometria della sezione:
Tipo di sezione Fattore di taglio retto Rettangolare 6
5
Circolare 10
9
Circolare cava sottile 2
Doppio T oppure Scatolare â
đđđđđđđđđ đ đđđđ
Espressioni complete (â” = đŁđŁđđđđđđđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đđđđđčđčđđđđđđđđ đđđđđĄđĄđĄđĄđđđŁđŁđđ)
đĄđĄđđ = đđđŒđŒđđ2
ïżœđđđđ2
đžđžâ” đđđđ
đĄđĄđđ = đđđŒđŒđđ2
ïżœđđđđ2
đžđžâ” đđđđ
đĄđĄđđđđ = đđđŒđŒđđđŒđŒđđ
ïżœđđđđđđđđđžđžâ”
đđđđ
-----------------------------------------------------------------
Problema della trave (asse rettilineo z) alla De Saint-Venant tridimensionale â Equazioni matriciali finali:
q= carichi distribuiti ortogonali alla trave
p= carichi distribuiti assiali alla trave
m= momenti distribuiti (flettenti (x,y) e torcenti(z)) sulla trave
âŁâąâąâąâąâĄđŸđŸđđđŸđŸđđđđđđđđđđđđđđđđ âŠâ„â„â„â„â€
=
âŁâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâĄđđđđđčđč
0 0 0 â1 0
0đđđđđčđč
0 1 0 0
0 0đđđđđčđč
0 0 0
0 0 0đđđđđčđč
0 0
0 0 0 0đđđđđčđč
0
0 0 0 0 0đđđđđčđčâŠâ„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â€
âŁâąâąâąâąâĄđŁđŁđŁđŁđ€đ€đđđđđđđđđđđđâŠâ„â„â„â„â€
âŁâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâĄđđđđđčđč
0 0 0 0 0
0đđđđđčđč
0 0 0 0
0 0đđđđđčđč
0 0 0
0 â1 0đđđđđčđč
0 0
1 0 0 0đđđđđčđč
0
0 0 0 0 0đđđđđčđčâŠâ„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â€
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŠ
â„â„â„â„â€
+
âŁâąâąâąâąâĄđžđžđđđžđžđđđ đ đŁđŁđđđŁđŁđđđŁđŁđđâŠ
â„â„â„â„â€
=
âŁâąâąâąâąâĄ000000âŠâ„â„â„â„â€
âŁâąâąâąâąâĄđŸđŸđđđŸđŸđđđđđđđđđđđđđđđđ âŠâ„â„â„â„â€
=
âŁâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâąâĄđĄđĄđđđșđș đđ
đĄđĄđđđđđșđș đđ
0 0 0 0đĄđĄđđđđđșđș đđ
đĄđĄđđđșđș đđ
0 0 0 0
0 01đžđžđđ
0 0 0
0 0 01đžđžđŒđŒđđ
0 0
0 0 0 01đžđžđŒđŒđđ
0
0 0 0 0 01đșđșđŒđŒđĄđĄâŠ
â„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â„â€
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđđâŠ
â„â„â„â„â€
Energia di deformazione (se presente asse di simmetria -> fattore mutuo = 0 -> valido Princ. Sovrapp. Eff.)
đ đ đ đ đ đ đ đ
= đđđđ
ïżœđĄđĄđđđșđș đđ
đđđđ2 + đĄđĄđđđșđș đđ
đđđđ2 +2 đĄđĄđđđșđș đđ
đđđđđđđđ +1đžđžđđ
đđ2 +1đžđžđŒđŒđđ
đđđđ2 +
1đžđžđŒđŒđđ
đđđđ2 +
1đșđșđŒđŒđĄđĄ
đđđđ2 ïżœ
-----------------------------------------------------------------
Problema della trave (asse rettilineo z) alla De Saint-Venant â Equazioni matriciali finali:
q= carichi distribuiti ortogonali alla trave
p= carichi distribuiti assiali alla trave
m= momento distribuito flettente sulla trave
ïżœđŸđŸđđđđđđđđđđïżœ =
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđčđč
0 1
0đđđđđčđč
0
0 0đđđđđčđčâŠâ„â„â„â„â€
ïżœđŁđŁđ€đ€đđđđïżœ
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđčđč
0 0
0đđđđđčđč
0
â1 0đđđđđčđčâŠâ„â„â„â„â€
ïżœđđđđđđđđđđ
ïżœ+ ïżœđžđžđ đ đŁđŁïżœ = ïżœ
000ïżœ
ïżœđŸđŸđđđđđđđđđđïżœ =
âŁâąâąâąâąâĄđĄđĄđđđșđș đđ
0 0
01đžđžđđ
0
0 01đžđžđŒđŒđđâŠ
â„â„â„â„â€
ïżœđđđđđđđđđđ
ïżœ
-----------------------------------------------------------------
Problema della trave (asse curvilineo z) alla De Saint-Venant â Equazioni matriciali finali:
q= carichi distribuiti ortogonali alla trave
p= carichi distribuiti assiali alla trave
m= momento distribuito flettente sulla trave
ïżœđŸđŸđđđđđđđđđđïżœ =
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđčđč
â1đđ
1
1đđ
đđđđđčđč
0
0 0đđđđđčđčâŠâ„â„â„â„â€
ïżœđŁđŁđ€đ€đđđđïżœ
âŁâąâąâąâąâĄđđđđđčđč
1đđ
0
1đđ
đđđđđčđč
0
â1 0đđđđđčđčâŠâ„â„â„â„â€
ïżœđđđđđđđđđđ
ïżœ+ ïżœđžđžđ đ đŁđŁïżœ = ïżœ
000ïżœ
ïżœđŸđŸđđđđđđđđđđïżœ =
âŁâąâąâąâąâĄđĄđĄđđđșđș đđ
0 0
01đžđžđđ
0
0 01đžđžđŒđŒđđâŠ
â„â„â„â„â€
ïżœđđđđđđđđđđ
ïżœ
-----------------------------------------------------------------
Equazione Differenziale della Linea Elastica (travi ad asse rettilineo):
Lâequazione della linea elastica si puĂČ ritenere valida quando si tratta una trave ad asse rettilineo.
v= freccia verticale, cioĂš abbassamento verticale di un punto
A rigore, si ha una freccia dovuta sia alle sollecitazioni taglianti e una freccia dovuta alle sollecitazioni flettenti: tuttavia, le prime sono proporzionali alla lunghezza della trave, mentre le seconde sono proporzionali alla terza o quarta potenza della lunghezza; pertanto, la freccia totale puĂČ essere approssimata a quella dovuta ai momenti flettenti (ipotesi semplificativa di Eulero).
Freccia (reale)
đŁđŁđđđĄđĄđĄđĄđđđđđđ = đŁđŁđđđđđ„đ„đđđ đ đĄđĄ + đŁđŁđđđĄđĄđđđđđđđĄđĄđĄđĄ
Taglio (che verrà trascurato, perché utilizziamo la trattazione di Eulero-Bernoulli, nella trave di Timoshenko non viene trascurato):
đđđŁđŁđđ = đŸđŸđđ đđđčđč
Equazione approssimata (no taglio)
Momento Flettente:
đđđŁđŁđđ = âđđđđ đđđčđč â đđ2đŁđŁđđ
đđđčđč2= â
đđđđđđđđđčđč
= âđđđđ = âđđđđ
đžđž đŒđŒđđ â
đđ2đŁđŁđđđčđč2
CioĂš lâequazione che regge il legame costitutivo e la congruenza, trascurando lâapporto del taglio.
Scrivendo lâequazione di equilibrio alla traslazione e rotazione di un concio elementare di una trave semplicemente appoggiata e caricata con un carico distribuito q=costante (almeno su dz) e un carico assiale p si ha:
â©âȘâȘâš
âȘâȘâ§ïżœđčđčđđ â đđ â đđ = 0
ïżœđčđčđđ â đđ(đčđč) â đ đ đđđŁđŁ â đđ(đčđč) â đđđđ(đčđč) = 0
ïżœđđđđ â âđđ(đčđč) â đđ(đčđč)đđđčđč â đđđđđŁđŁ + đžđžđđđčđč2
2+ đđ(đčđč) + đđđđ(đčđč) = 0
âđđđđ
đžđž đŒđŒđđ â
đđ2đŁđŁđđđčđč2
Risolvendo il sistema (si trascurano gli infinitesimi di grado superiore al primo), si ottiene lâequazione di Eulero:
đžđž đŒđŒđđ âđđ4đŁđŁđđđčđč4
+ đđ â đđ2đŁđŁđđđčđč2
â đžđž(đčđč) = 0
Si Ăš ottenuta lâequazione della linea elastica con effetti del secondâordine. Si hanno quindi piĂč tipologie di equazioni della linea elastica:
đžđžđžđžđŁđŁđ đ đčđčđđđđđđđđ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đ đ đđđđđđ đđđ đ đ đ đđđĄđĄđĄđĄđđ đđđđđŁđŁ đđđđđ đ đđđđđđâČđđđđđđđđđđđđ:
đžđž đŒđŒđđ âđđ4đŁđŁđđđčđč4
+ đđ â đđ2đŁđŁđđđčđč2
â đžđž(đčđč) = 0
đžđžđžđžđŁđŁđ đ đčđčđđđđđđđđ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đ đ đđđđđđđ đ đđ đđđ đ đ đ đđđĄđĄđĄđĄđđ đđđđđŁđŁ đđđđđ đ đđđđđđâČđđđđđđđđđđđđ:
đžđž đŒđŒđđ âđđ4đŁđŁđđđčđč4
â đžđž(đčđč) = 0
đđđ đ đ đ đŁđŁđđđđ:
đđ2đŁđŁđđđčđč2
= âđđđđ
đžđž đŒđŒđđ
Per ottenere la freccia totale di un sistema statico, Ăš sufficiente integrare una delle equazioni sopra scritte: in base al problema che si ha in oggetto, si usa la prima (che Ăš sempre corretta) o la seconda (solo se non si hanno carichi assiali rilevanti).
In ogni caso, conviene sempre riferirsi ad un equazione differenziale di secondo grado: quindi si tende a sostituire la derivata quarta con la derivata seconda del momento, e sostituire il termine N/(E Iz) con α se si considerano gli effetti del secondo ordine, oppure utilizzare il legame costitutivo-congruenza se non si considerano gli effetti del secondâordine:
đžđžđžđžđŁđŁđ đ đčđčđđđđđđđđ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đ đ đđđđđđ đđđ đ đ đ đđđĄđĄđĄđĄđđ đđđđđŁđŁ đđđđđ đ đđđđđđâČđđđđđđđđđđđđ:
đđ2đđđđ
đđđčđč2+ đŒđŒ
đđ2đŁđŁđđđčđč2
âđžđž(đčđč)đžđž đŒđŒđđ
= 0
La soluzione di questâequazione ha una forma del tipo:
đŁđŁ(đčđč) = đđ cos(đŒđŒđčđč) + đ”đ” sin(đŒđŒđčđč) + đđđđ
Dove xp Ăš una soluzione particolare. In genere ha una forma del tipo
đđđđ = đ¶đ¶đčđč + đ·đ· + đžđž â đžđž(đčđč)
Se q=costante, la freccia assume la forma
đŁđŁ(đčđč) = đđ cos(đŒđŒđčđč) + đ”đ” sin(đŒđŒđčđč) + đ¶đ¶đčđč + đ·đ· + đžđžđčđč2
2đđ
Il valore delle costanti Ăš determinato dalle condizioni al contorno. Ă necessario arrivare fino alla derivata quarta per determinare tutte le costanti A, B, C, D, E.
Nei casi notevoli, la freccia Ăš definita come Forza / Rigidezza: una volta calcolata la freccia infatti, si ottiene una funzione freccia che dipende solo dalla forza applicata. Gli abbassamenti del caso quindi dipendono unicamente da questa, essendo la rigidezza definita dalle caratteristiche geometriche della trave e dalle condizioni al contorno.
Risoluzione di un equazione differenziale di 2° grado omogenea:
đ đ đđ2đŁđŁ(đčđč)đđđčđč2
+ đžđž đđđŁđŁ(đčđč)đđđčđč
+ đ đ đŁđŁ(đčđč) = 0
âą Scrivo il polinomio caratteristico (cioĂš sostituisco i differenziali con una variabile dello stesso ordine)
đ đ đđ2 + đžđž đđ + đ đ = 0
âą Trovo le radici del polinomio caratteristico âą In base a quante radici reali ha ho delle soluzioni standard dellâequazione differenziale di secondo
grado:
RADICI REALI
DELTA RADICI SOLUZIONE DELLâEQUAZ. DIFF.
2 distinte > 0 λ 1 â λ2 đŁđŁ(đčđč) = đ¶đ¶1đđđđ1 + đ¶đ¶2đđđđ2 2
coincidenti = 0 λ 1 = λ2 đŁđŁ(đčđč) = (đ¶đ¶1+ đ¶đ¶2)đđđđ
nessuna < 0 λ 1,2 = α ± iÎČ đŁđŁ(đčđč) = đđđŒđŒđđ(đ¶đ¶1 cos(đœđœđčđč) + đ¶đ¶2 sin(đœđœđčđč))
Per trovare la freccia in un punto, quindi, basta risolvere lâomogenea associata alla rispettiva equazione della linea elastica e, aggiungere la curvatura alla soluzione omogenea. Questo corrisponde ad una traslazione della soluzione dellâequazione differenziale.
Risoluzione di un equazione differenziale di 1° grado omogenea:
đđđŁđŁ(đčđč)đđđčđč
+ đ đ (đčđč) â đŁđŁ(đčđč) = đžđž(đčđč)
âą Moltiplico ambo i membri per una funzione đđâđŽđŽ(đđ)
Dove A(z) Ăš una primitiva di a(z)
âą Raggruppo tutto nella forma ïżœđđâđŽđŽ(đđ) â đŁđŁ(đčđč)ïżœ
đđđčđč= đđâđŽđŽ(đđ) đžđž(đčđč)
âą Integro e scrivo la costante C
-----------------------------------------------------------------
Criterio di resistenza di Von Mises (materiali duttili):
La tensione ideale massima di Von Mises deve essere inferiore a quella ammissibile:
đđđ đ đđ = ïżœđđđđ2 + đđđđ2 + đđđđ2 â đđđđđđđđ â đđđđđđđđ â đđđđđđđđ + 3đđđđđđ2 + 3đđđđđđ2 + 3đđđđđđ2 †đđđđđđđđ
In genere, Ăš utilizzato soprattutto per lâacciaio, e si pone đđđđ = 0, pertanto il criterio diventa
đđđ đ đđ = ïżœđđđđ2 + đđđđ2 â đđđđđđđđ + 3đđđđđđ2 †đđđđđđđđ
-----------------------------------------------------------------
Criterio di resistenza di Mohr-Coulomb (materiali fragili):
I cerchi di Mohr che caratterizzano la sollecitazione del solido devono essere al piĂč tangenti alla retta:
|đđđđđđđđ| = đ đ â đđ tan(đđ)
Dove đđ Ăš lâangolo di attrito interno, c Ăš la coesione e Ï Ăš la tensione normale sul piano. In realtĂ Ăš possibile anche sostituire la retta con una funzione piĂč complicata ed attendibile (criterio di Coulomb).
-----------------------------------------------------------------
Teorema Statico dellâanalisi limite: La struttura non perviene al collasso sotto un sistema di carichi in corrispondenza del quale esista
un insieme di azioni interne in equilibrio con i carichi ed allâinterno del dominio di ammissibilitĂ .
-----------------------------------------------------------------
Teorema Cinematico dellâanalisi limite: La struttura certamente collassa sotto un sistema di carichi a cui Ăš associata una potenza esterna
piĂč grande della potenza dissipata in corrispondenza ad un potenziale meccanismo di collasso.
Riassunto formule generali:
đđ = ïżœđđđđđŽđŽ
đđđđ â 0
đđđđ = ïżœđđđđ đđđŽđŽ
đđđđ â 0
đđđđ = ïżœđđđđ đđđŽđŽ
đđđđ â 0
đđđđ = đđđđ
đđ đđđđ = â
đđđđ
đđ
Jourawski:
đđđđđ đ = đđđđđđđđđŽđŽâČ
đŒđŒđđ đžđž+
đđđđđđđđđŽđŽâČ
đŒđŒđđ đžđž
đŸđŸđđ = đĄđĄđđđđđđđșđș đđ
+ đĄđĄđđđđđđđđđșđș đđ
đŸđŸđđ = đĄđĄđđđđđđđđđșđș đđ
+ đĄđĄđđđđđđđșđș đđ
Torsione Sez. Rettangolare:
đđ = đđđđ
đșđș đŒđŒđĄđĄ
đŒđŒđĄđĄ = đœđœ đ đ đžđž3
đđđđđđ = đđđđ
đŒđŒđĄđĄ đđ
đđđđđđ = đđđđ
đŒđŒđĄđĄ đđ
a/b 1 1.5 2 3 10 â ÎČ 0.141 0.196 0.229 0.263 0.312 1/3
đżđżđđđżđżđ đ đŁđŁđđ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đđ đ đ đđđđđĄđĄđđđĄđĄđŁđŁđĄđĄđđđŁđŁđđ đ đ đđđđđżđżđđđŁđŁđđđđđĄđĄđđ đ đ đđđđ đđđ đ đđđĄđĄđđđđđđ đđđđ đžđžđŁđŁđŁđŁđđđđđđ (đđđđđŁđŁđ đ đđđđ đŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđ)
âđđđđ
đžđž đŒđŒđđ â
đđ2đŁđŁđđđčđč2
đžđžđžđžđŁđŁđ đ đčđčđđđđđđđđ đđđđđŁđŁđŁđŁđ đ đŁđŁđđđđđđđ đ đđđŁđŁđ đ đđđĄđĄđđđ đ đ đ đđđđđđ đđđ đ đ đ đđđĄđĄđĄđĄđđ đđđđđŁđŁ đđđđđ đ đđđđđđâČđđđđđđđđđđđđ (đ đ đđđđĂš đŒđŒ â 0):
đđ2đđđđ
đđđčđč2+ đŒđŒ
đđ2đŁđŁđđđčđč2
âđžđž(đčđč)đžđž đŒđŒđđ
= 0
đŒđŒ = đđđžđž đŒđŒđđ
Se q=costante
đŁđŁ(đčđč) = đđ cos(đŒđŒđčđč) + đ”đ” sin(đŒđŒđčđč) + đ¶đ¶đčđč + đ·đ· + đžđžđčđč2
2đđ
Momento elastico limite: đđđđđđ,đđ = đ đ đđđŠđŠ â đđđđđđ,đđ
Momento ultimo limite: đđđđđđ,đđ = đđđąđą,đđ = đ đ đđđŠđŠ â đđđđđđ,đđ
Il modulo di resistenza elastico Ăš definito come quanto scritto prima, cioĂš Ăš il rapporto fra il momento dâinerzia rispetto ad un asse e la massima distanza di un punto della sezione da tale asse, mentre il modulo di resistenza plastico Ăš definito come la somma dei momenti statici rispetto allâasse interessato.
Criterio di Von Mises
đđđ đ đđ = ïżœđđđđ2 + đđđđ2 + đđđđ2 â đđđđđđđđ â đđđđđđđđ â đđđđđđđđ + 3đđđđđđ2 + 3đđđđđđ2 + 3đđđđđđ2 †đđđđđđđđ
Criterio di Mohr-Coulomb
|đđđđđđđđ| = đ đ â đđ tan(đđ)
Top Related