CorsoMeccanica–AnnoAccademico2016/17–Provadiesonerodel14/06/2017

Esercizion.1Inunesperimentoinorbita(accelerazionegravitazionaletrascurabile)unagocciasfericadiMercurio(densità=𝜌),dimassaM, fermarispettoalsistemadiriferimentodel laboratorio,viene colpita centralmente da un'altra goccia di mercurio avente massa m e velocità𝑣, inrotazione attorno ad un asse parallelo alla direzione del moto e con il vettore velocitàangolare𝜔orientatonelversodelmoto.Nelprocessod'urtolegoccesifondonoinun'unicagocciadimassaM'=M+m,ancheessasferica,cheprosegueilsuomotoconvelocità𝑣′ruotandoconvelocitàangolare𝜔′.L'urtoèdaintendersitotalmenteanelastico.Calcolare:

1. raggio r e momento d'inerzia Imdella goccia di massa m in motoprimadell'urto

2. raggio R' e momento d'inerzia I'della gocciadimassaM' formatasiconl'urto

3. modulo e direzione della velocità𝑣′ , dopo l'urto, della goccia dimassaM'

4. moduloedirezionedelvettorevelocitàangolare,𝜔!,dellagocciadimassaM'5. l'energiadissipatadurantel'urto

Datinumerici:M=10.0g;m=1.0g; 𝑣 =1.0ms-1; 𝜔 =1.0rads-1;𝜌=13.58∙103kgm-3.Esercizion.2IlsistemainfiguraècostituitodaduedischiomogeneidiraggiR1eR2emassapariaM1eM2,rispettivamente. Essi possono ruotare senza attrito attorno a due assi fissi orizzontali,paralleliepassantiperi lorocentridimassagrazieaduepernichelisostengono.Traiduedischivièattrito,chepermettelorodiruotareacontattol’unodell’altrosenzaslittare.Suciascunodeidischièfissatounrocchettodimassatrascurabileeraggiorsucuièavvoltounfiloinestensibileedimassatrascurabile.Alfilodeldisco1sonoappeseduemasse,m1em,collegatefralorotramiteunaltrofilo,sempreinestensibileedimassatrascurabile.Alfilodeldisco2èappesalamassam2.

1. Calcolare il valore della massa maffinché il sistema sia in equilibrio.Sempre all’equilibrio, calcolare laforza di attrito che si scambiano iduedischi.

2. Di nuovo all’equilibrio, calcolare lereazionivincolariV1eV2cheiperniesercitanosuiduedischi.

3. Auncerto istante il filochecollegamaldisco1vienetagliato.Calcolarel’accelerazione di m2 e la tensionedelfilochelegam2aldisco2.

Datinumerici: R1=10,0cm;eR2=20,0cm;M1=1,0kg;M2=4,0kg;r=3,0cm;m1=1,0kg;m2=3,0kg

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Soluzioneesercizio1:1. Ilvolumedellagocciadimassaminmotopuòesserecalcolatodividendolamassaperla

densitàdelmercurio:𝑉! = !!.Invertendolarelazione𝑉! = !

!= !

!𝜋𝑟!siottiene

𝑟 = !!!!"

!!=0.260∗10-2m.Diconseguenzailmomentod'inerziarispettoadunasse

passanteperilcentrosaràI! = !!mr! = !

!m

!!

!!"#

!!=2.70⋅10-9kgm2.

2. Legoccesonodelmedesimomaterialeedidensitàcostante,quindiilvolumedellanuova

gocciasaràlasommadeivolumiprimadell'urto.Procedendoanalogamenteaquantogiàfattocalcoliamoilraggiodellanuovagoccia

𝑅! = !(!!!)!!"

!!=0.578∗10-2medilsuomomentod'inerziarispettoadunassecentrale

è𝐼! = !!(𝑚 +𝑀)𝑅!! = !

!(𝑚 +𝑀)

!!

!!!"

!!=147⋅10-9kgm2.

3. Nell'istantedell'urtononsonopresentiforzeimpulsivepertantosiconservalaquantitàdi

motototaledelsistema.Leduemassesiscambianounimpulsolungolacongiungenteilorocentri,rettasucuigiaceanchelavelocitàiniziale𝑣. Perlaconservazionedellaquantitàdimotototalelavelocitàfinale𝑣′saràugualeallavelocitàdelcentrodimassaprimadell'urto𝑣! = 𝑣!" = !

!!!𝑣epertantosaràparallelaediversoconcordecon𝑣.

Ilmodulo 𝑣! =9.09⋅10-2ms-1.4. Nell'istantedell'urtononsonopresentimomentidiforzeimpulsivepertantosiconservail

momentodellaquantitàdimotorispettoalladirezionedivolodelproiettilechecoincideconilsuoassedirotazione.Pertantopossiamoscrivere𝐼!𝜔 = 𝐼!𝜔!.Datalerelazionericaviamointantocheilvettore𝜔!èparalleloedhalostessoversodi𝜔.Possiamo

anchecalcolarneilmodulo 𝜔! = !!!!𝜔 = !

!!!

!! 𝜔 =1.84⋅10-2rads-1.

5. Nell'urtototalmenteanelasticounapartedell'energiaèdissipatadalleforzed'attrito

interne.L'energiadissipataèdatada:

∆𝐸 = !!𝑚𝑣! + !

!𝐼!𝜔! − !

!𝑚 +𝑀 𝑣! ! − !

!𝐼′𝜔′!=0.454⋅10-3J

Soluzioneesercizio2:1. Possiamoscriverelasecondaequazionecardinaleperiseguentiduesistemi:ilprimoe’

costituitodaldisco1edallemassem1edm,mentreilsecondodaldisco2edallamassam2.Comepolipossiamousareipuntiincuigliassidirotazioneintersecanoilpianodeidischi.All’equilibriosiottiene

𝑚 +𝑚! 𝑔𝑟 − 𝑓!𝑅! = 0𝑚!𝑔𝑟 − 𝑓!𝑅! = 0 esplicitando𝑚e𝑓!siottiene

𝑚 = !!

!!𝑚! −𝑚! = 0.500 kg

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𝑓! =!!!"!!

= 4.41 N2. Percalcolarelereazionivincolarielaforzadiattritoscriviamolaprimaequazione

cardinaleperiduedischi

𝑉! − 𝑚 +𝑚! +𝑀! 𝑔 − 𝑓! = 0𝑉! − 𝑚! +𝑀! 𝑔 + 𝑓! = 0 esplicitando 𝑉!,𝑉!siottiene

𝑉! = 𝑚 +𝑚! +𝑀! 𝑔 + 𝑓! = 28.9 𝑁 𝑉! = 𝑚! +𝑀! 𝑔 − 𝑓! = 64.3 𝑁

3. Percalcolarel’accelerazionedelsistemausiamolestesseequazionidelpunto1con

accelerazionediversadazero,senzam.

𝑚!𝑔𝑟 − 𝑓!𝑅! = 𝐼!"!!𝜔!𝑚!𝑔𝑟 − 𝑓!𝑅! = 𝐼!"!!𝜔!

Poiche’idischirotolanosenzastrisciareesonolegatiall’accelerazionedellamassa2valgonoleseguentirelazioni𝜃!𝑅! = −𝜃!𝑅! ⇒ 𝜔!𝑅! = −𝜔!𝑅! ;𝑥! = 𝜃!𝑟 ⇒ 𝑎! = 𝑎 = 𝜔!𝑟Combinandosiottiene

𝑚!𝑔𝑟 − 𝑓!𝑅! = −𝐼!"!!𝑎𝑅!/(𝑅!𝑟)𝑚!𝑔𝑟 − 𝑓!𝑅! = 𝐼!"!!𝑎/𝑟

Eliminando𝑓!siottiene !!

!!− !!

!!𝑔𝑟 = 𝐼!"!!

!!!!!!

+ 𝐼!"!!!!!!

𝑎dacui𝑎 = !!

!!− !!

!!𝑔𝑟/ 𝐼!"!!

!!!!!!

+ 𝐼!"!!!!!!

Imomentidiinerzia𝐼!"!! e𝐼!"!!valgono𝐼!"!! =

!!

𝑀!𝑅!! + 𝑚!𝑟! = 5.90 10!! 𝑘𝑔 𝑚!𝐼!"!! =

!!

𝑀!𝑅!! + 𝑚!𝑟! = 8.27 10!! 𝑘𝑔 𝑚!Aquestopuntopossiamoricavarel’accelerazione𝑎 = 8.31 10!! 𝑚/𝑠!Latensionesiricavadalsecondoprincipiodelladinamicarelativoallamassa𝑚!−𝜏 +𝑚!𝑔 = 𝑚!𝑎dacui𝜏 = 𝑚! 𝑔 − 𝑎 = 29.2 𝑁