Corso di Analisi Matematica 1Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica – Prof. A. Iannizzotto
Prove d’esame
Versione del 15 settembre 2018
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14 gennaio 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle. Quindi, data una funzione f : [−1, 1]→ Rpari e derivabile, dimostrare che esiste x ∈]− 1, 1[ tale che Df(x) = 0.
2. Studiare la funzione
f(x) =
√x2 − 1
x2 + 1,
disegnandone il grafico.3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π
4
0
1 + sin(x)2
2 cos(x)2dx.
4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=1
(−1)n ln(n+ 1
n
).
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchyu′′ + u′ + u = x+ 2
u(0) = 0
u′(0) = 1.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per lafunzione
f(x) = ln(x2 + 1).
7. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare il Teorema della Media Integrale.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14 gennaio 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange. Quindi, data una funzione f :[−1, 1]→ R dispari e derivabile, dimostrare che esiste x ∈]−1, 1[ tale che Df(x) = f(1).
2. Studiare la funzione
f(x) =
√x− 1
x+ 1,
disegnandone il grafico.3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π
4
0
1 + cos(x)2
2 sin(x)2dx.
4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=1
(−1)n ln(n2 + 1
n2
).
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchyu′′ − u′ + u = cos(x)
u(0) = 1
u′(0) = 0.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per lafunzione
f(x) = ex2−1.
7. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare il Teorema di Unicita del Limite.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 4 febbraio 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Enunciare e dimostrare uno dei teoremi di de l’Hopital. Applicandolo, calcolare
limx→0
ln(1 + x)
2x.
2. Studiare la funzione
f(x) = arctan(x− 1
x+ 1
),
disegnandone il grafico. Determinare l’estremo superiore di f nel suo insieme didefinizione, precisando se si tratta di un massimo.
3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x+ 2
x2 + 4x+ 3dx.
4. (Programma da 9 crediti) Calcolare i seguenti limiti di successioni
limn
ln(2) + ln(3) + . . .+ ln(n)
n!, lim
n
n!
nn.
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchy{u′ = tan(u)
u(0) =π
2.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare l’area del dominio
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, (x− 1)2 + y2 6 1}.7. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R→ R una funzione derivabile: dimostrare che f
e continua. E vero l’inverso (giustificare la risposta con un esempio)?.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 4 febbraio 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Enunciare e dimostrare uno dei teoremi di de l’Hopital. Applicandolo, calcolare
limx→0
tan(x)
2x.
2. Studiare la funzione
f(x) = arctan(x+ 1
x− 1
),
disegnandone il grafico. Determinare l’estremo inferiore di f nel suo insieme didefinizione, precisando se si tratta di un minimo.
3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x+ 1
x2 − 4x+ 4dx.
4. (Programma da 9 crediti) Calcolare i seguenti limiti di successioni
limn
n
√sin( 1
n
), lim
n
n
√sin( 1
en
).
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchy{u′ = x(1 + 4u2)
u(0) = 0.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare l’area del dominio
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, (x+ 1)2 + y2 6 1}.7. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R → R una funzione derivabile t.c. Df(x) > 0
per ogni x ∈ R: dimostrare che f e crescente. E vero l’inverso (giustificare la rispostacon un esempio)?.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 25 febbraio 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Scrivere e dimostrare la formula per la derivata di una funzione composta. Quindideterminare tutti i punti critici della funzione f(x) = tan(x2 + x) nel suo insieme didefinizione.
2. Studiare la funzionef(x) = x+ ln(|x|),
disegnandone il grafico.3. Studiare la convergenza dell’integrale generalizzato∫ +∞
2
(ln(x+ 1)− ln(x− 1)
)dx.
4. (Programma da 9 crediti) Enunciare e dimostrare la formula del binomio di Newton.Applicandola, calcolare
10∑k=0
(10k
).
5. (Programma da 9 crediti) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
u′ +u
x= ex
definite in ]0,+∞[.6. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore della
funzione f :]0, π]→ R definita da
f(x) =sin(x)
x,
precisando se si tratta di massimo e minimo.7. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare tutte le primitive della funzione
f(x) =|x− 1|x2 − 1
nel suo insieme di definizione.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 25 febbraio 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Scrivere e dimostrare la formula per la derivata di una funzione inversa. Quindicalcolare la derivata di f(x) = arcsin(x+ 1) nel suo insieme di definizione.
2. Studiare la funzionef(x) = x− ln(|x|),
disegnandone il grafico.3. Studiare la convergenza dell’integrale generalizzato∫ +∞
1
ln(x)
x2dx.
4. (Programma da 9 crediti) Enunciare e dimostrare la formula del binomio di Newton.Applicandola, calcolare
10∑k=0
(10k
)2k.
5. (Programma da 9 crediti) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
u′ − u
x= x2
definite in ]0,+∞[.6. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore della
funzione f : [−π, 0[→ R definita da
f(x) =sin(x)
x,
precisando se si tratta di massimo e minimo.7. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare tutte le primitive della funzione
f(x) =|x+ 1|x2 − 1
nel suo insieme di definizione.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14 aprile 2016 – Tempo: 150 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Dimostrare il Teorema dei valori intermedi (o di esistenza degli zeri). Applicandolo,dimostrare che l’equazione
tan(ex) = 0
ammette infinite soluzioni in ]0,+∞[.2. Studiare la funzione
f(x) = 3√x(x− 1)2,
disegnandone il grafico (omettere lo studio della derivata seconda). Descrivere ilcomportamento di f nei punti x = 0, 1.
3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 2
0
x− 2
x2 + 4x+ 5dx.
4. (Programma da 9 crediti) Enunciare e dimostrare il Criterio di Leibniz per le serienumeriche, illustrandolo con un esempio.
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ +
u
x= cos(x)
u(π) = 0.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Dire, motivando la risposta, per quali valori di α > 0converge l’integrale generalizzato ∫ 1
0
1
xαdx.
7. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare l’area dell’insieme
D = {(x, y) ∈ R2 : |y − 1|+ x2 6 1}.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 9 giugno 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare, senza fare uso dei Teoremi di de l’Hopital, il seguente limite:
limx→+∞
ln(x2 + x)− ln(x)√x+ 1
.
2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) =x2 − |x|+ 1
x+ 1.
3. Enunciare e dimostrare la formula di integrazione per parti. Applicandola, calcolare ilseguente integrale definito: ∫ π
2
0
ex cos(2x) dx.
4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie∞∑n=1
(−1)n tan( n
n2 + 1
).
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ = u(2− u)
u(0) = 1.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R→ R la funzione definita da
f(x) =
{sin(x ln(|x|)) se x 6= 0
0 se x = 0.
Dire, motivando la risposta, se f e continua o derivabile in 0.7. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per
f(x) = tan(x2),
quindi usarlo per dimostrare che f ha un minimo in 0.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 9 giugno 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare, senza fare uso dei Teoremi di de l’Hopital, il seguente limite:
limx→+∞
ln(x2 − x)− ln(x)√x− 1
.
2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) =x2 + |x|+ 1
x− 1.
3. Enunciare e dimostrare la formula di integrazione per parti. Applicandola, calcolare ilseguente integrale definito: ∫ π
2
0
ex sin(2x) dx.
4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie∞∑n=1
(−1)n sin( n
n2 + 1
).
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ = u(3− u)
u(0) = 2.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R→ R la funzione definita da
f(x) =
{tan(x ln(|x|)) se x 6= 0
0 se x = 0.
Dire, motivando la risposta, se f e continua o derivabile in 0.7. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per
f(x) = sin(x2),
quindi usarlo per dimostrare che f ha un minimo in 0.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 23 giugno 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limnn2(e
1n − e
1n2).
2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) = (x+ 1)e1x+1 .
3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin(2x)− cos(x)
sin(x)2 − cos(x)2dx.
4. Determinare il punto di massimo globale della funzione f : [π2, 3π
2]→ R definita da
f(x) =
∫ x
π2
sin(t)
tdt.
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + cos(x)u = cos(x)
u(0) = 0.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare uno dei Teoremi di de l’Hopital.Applicandolo, calcolare il seguente limite:
limx→0
arctan(ex − 1)
ln(x2 + 1).
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 23 giugno 2016 – Tempo: 150 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limnn(e
1n − e
1n2).
2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) = (x− 1)e1
x−1 .
3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin(2x)− sin(x)
sin(x)2 − cos(x)2dx.
4. Determinare il punto di minimo globale della funzione f : [π, 2π]→ R definita da
f(x) =
∫ x
π
cos(t)
tdt.
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + sin(x)u = sin(x)
u(0) = 0.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare uno dei Teoremi di de l’Hopital.Applicandolo, calcolare il seguente limite:
limx→0
tan(ex − 1)
ln(x2 + 1).
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 22 luglio 2016 – Tempo: 150 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) =x2
ln(|x|).
2. Determinare gli estremi superiore e inferiore dell’insieme
A ={x− 1
x: x ∈]0,+∞[
}.
3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ √20
x+ 2
x2 + 2dx.
4. Calcolare, facendo uso dei Teoremi di de l’Hopital, il limite
limx→+∞
ln(π
2− arctan(x)
)x+ ln(x)
.
5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − u′ = cos(x)
u(0) = 0
u′(0) = 1.
6. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f(x) = ex2+x. Determinare il polinomio di grado 2
che meglio approssima f in un intorno di 0.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 23 settembre 2016 – Tempo: 150 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Dimostrare il Teorema della media integrale. Applicandolo, dimostrare la seguentediseguaglianza:
cos(1) 6 sin(1) 6 1.
2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) =ln(1− x)
x− 1.
3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1
0
√1 + x dx.
4. Determinare i punti di accumulazione dell’insieme numerico
A ={n+ 1
n2: n ∈ N, n > 1
}.
5. (Programma da 9 crediti) Studiare il carattere della serie∞∑n=0
tan( 1
n+ 3− 1
n+ 4
)(suggerimento: usare il criterio del confronto asintotico).
6. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare il seguente limite:
limx→0
ln(1− x2)sin(x)2
.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello per fuori-corso del 18 ottobre 2016 – Tempo: 150 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Determinare tutti i punti di frontiera in R dell’insieme
A = {x ∈ Q : 0 6 x 6 1}.2. Calcolare il seguente limite:
limnn(esin(1/n) − 1
).
3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) =ex
x2 + 1
(suggerimento: l’unica radice reale del polinomio x3 − 3x2 + 5x+ 1 e x = −0, 179...).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1
0
x
x2 + 2x+ 2dx.
5. Determinare il polinomio di Maclaurin di ordine 4 della funzione f(x) = cos(x).Dimostrare quindi che, se f e una funzione pari, anche i suoi polinomi di Maclaurinsono funzioni pari.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 14 novembre 2016 – Tempo: 90 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Sia f : [a, b]→ R una funzione derivabile e convessa. Dimostrare che essa e massimaagli estremi dell’intervallo di definizione, cioe
maxx∈[a,b]
f(x) = max{f(a), f(b)}.
Applicando il precedente risultato, determinare il massimo della funzione f(x) = x4 − xnell’intervallo [−2, 1].
2. Studiare il carattere della serie∞∑n=0
ln(en + 1)
n3 + 1.
3. Studiare la funzione f(x) =√x4 − 1 nel suo insieme di definizione, tracciandone il
grafico. Precisare se f ammette massimo o minimo globali.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 14 novembre 2016 – Tempo: 90 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Sia f : [a, b]→ R una funzione derivabile e convessa. Dimostrare che essa e massimaagli estremi dell’intervallo di definizione, cioe
maxx∈[a,b]
f(x) = max{f(a), f(b)}.
Applicando il precedente risultato, determinare il massimo della funzione f(x) = ex2
nell’intervallo [−2, 1].2. Studiare il carattere della serie
∞∑n=0
ln(en + 1)
n2 + 1.
3. Studiare la funzione f(x) =√x2 − 1 nel suo insieme di definizione, tracciandone il
grafico. Precisare se f ammette massimo o minimo globali.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 19/12/2016 – Tempo: 180 minuti (Simulazione)
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. Applicandolo, determinare gli estremidella funzione f :]−
√π,√π[→ R definita da
f(x) = sin(x2).
2. Calcolare il seguente limite:
limnnn tan
(e
1n! − 1
).
3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:
f(x) = exx+1 .
4. Stabilire se il seguente integrale generalizzato converge:∫ +∞
2
ln(
1 +1
x2
)dx.
5. Stabilire se la funzione f(x) = sinh(x) e analitica in 0. Quindi usare le serie diMaclaurin di f e di Df per dimostrare che
sinh(x) + cosh(x) = ex.
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − 2u′ + u = x2
u(0) = 1
u′(0) = 1.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 12/1/2017 – Tempo: 180 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Determinare gli estremi superiore e inferiore del seguente insieme, precisando se sitratta di minimo o massimo:
A ={n2 + 1
n+ 1: n ∈ N
}.
2. Studiare la convergenza della serie∞∑n=0
en(n3 + n)
n!.
3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:
f(x) = x2 + 2 ln(|x+ 2|).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e
1
1
x ln(x)2 + xdx.
5. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1
tan( 1
n
)xn.
6. Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:
u′′ + 4u′ + 4u = 1 + e−x.
7 Calcolare la media integrale della funzione f : [0, 2]→ R definita da
f(x) =
{x2 se x ∈ [0, 1]
x3 se x ∈ ]1, 2].
Gli studenti che hanno superato la prova parziale svolgano i quesiti 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 9 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 12/1/2017 – Tempo: 180 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Determinare gli estremi superiore e inferiore del seguente insieme, precisando se sitratta di minimo o massimo:
A ={n2 − 1
n+ 2: n ∈ N
}.
2. Studiare la convergenza della serie∞∑n=0
en(n2 + 1)
n!.
3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:
f(x) = x2 + 2 ln(|x+ 1|).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e
1
ln(x)
x ln(x)2 + xdx.
5. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1
sin( 1
n
)xn.
6. Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:
u′′ + 4u′ + 4u = 1− e−x.7 Calcolare la media integrale della funzione f : [0, 2]→ R definita da
f(x) =
{x3 se x ∈ [0, 1]
x2 se x ∈ ]1, 2].
Gli studenti che hanno superato la prova parziale svolgano i quesiti 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 9 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 27/1/2017 – Tempo: 180 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Dimostrare, per induzione, che per ogni n ∈ N, n > 1
13 + 23 + . . .+ n3 =n2(n+ 1)2
4.
2. Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=0
(−1)n ln(n2 + 1
n2
).
3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:
f(x) = arctan( x
x+ 1
).
4. Studiare la convergenza del seguente integrale:∫ 1
0
1
sin(x)dx.
5. Applicando la formula di Maclaurin, calcolare il seguente limite:
limx→0
ex − cos(x)− xx2
.
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′ =ln(x)
uu(1) = 1.
7 Dimostrare il Teorema di Lagrange.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 27/1/2017 – Tempo: 180 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Dimostrare, per induzione, che per ogni n ∈ N, n > 1
1 + 3 + . . .+ (2n− 1) = n2.
2. Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=0
(−1)n sin(n+ 1
n3
).
3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:
f(x) = arctan( x
x− 1
).
4. Studiare la convergenza del seguente integrale:∫ 1
0
1
ln(x+ 1)dx.
5. Applicando la formula di Maclaurin, calcolare il seguente limite:
limx→0
sin(x)− arctan(x)
x3.
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′ =sin(x) cos(x)
uu(0) = 1.
7 Dimostrare il Teorema di Rolle.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 16/2/2017 – Tempo: 180 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Sia f : R→ R derivabile due volte: dimostrare che f e convessa se e solo se D2f(x) > 0per ogni x ∈ R. Dimostrare che se f e convessa e non costante, allora f e superiormenteillimitata.
2. Calcolare il seguente limite:
limx→0
ln(ex − x)
1− cos(x).
3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:
f(x) = ln(x2 + 1)− x.4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1/2
0
2x2
x4 − 1dx.
5. Determinare il carattere della seguente serie numerica:∞∑n=0
(√n2 + 1− n
).
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ + 4u = sin(2x)
u(0) = 1
u′(0) = 0.
7 Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 16/2/2017 – Tempo: 180 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Sia f : R→ R derivabile due volte: dimostrare che f e concava se e solo se D2f(x) 6 0per ogni x ∈ R. Dimostrare che se f e concava e non costante, allora f e inferiormenteillimitata.
2. Calcolare il seguente limite:
limx→0
ln(ex − x)
x sin(x).
3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:
f(x) = ln(x2 + 1) + x.
4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1/2
0
2
x4 − 1dx.
5. Determinare il carattere della seguente serie numerica:∞∑n=1
(n−√n2 − 1
).
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ + 4u = cos(2x)
u(0) = 0
u′(0) = 1.
7 Enunciare e dimostrare il Teorema di unicita del limite per le funzioni.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 11/4/2017 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.2. Calcolare il seguente limite:
limx→+∞
(√x2 + x−
√x2 + 1
).
3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:
f(x) = xe1x .
4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π/4
0
1
sin(x)2 + 1dx.
5. Studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie numerica:∞∑n=0
(−1)n√n2 + 1
.
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ + u = x2 + 1
u(0) = 0
u′(0) = 1.
7 La funzione
f(x) = arctan(x− 1
x
)ha in 0 una discontinuita: di che tipo?
Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 8/6/2017 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limx→0
ln(1 + arctan(x2))
ex − 1.
2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) =x2 + 2|x|+ 1
x+ 1.
3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1
0
e2x + 2ex
e2x + 1dx.
4. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.5. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie di potenze:
∞∑n=1
(1− cos
( 1
n
))xn.
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + cos(x)u = cos(x)
u(0) = 0.
7 Determinare e classificare i punti di discontinuita della seguente funzione:
f(x) =sin(x) + 1
x+ 1.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 26/6/2017 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limx→+∞
(x2 + 1
x+ 1
) 1x.
2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) = x− 2 arctan(x).
3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e
1
ln(x)2 dx.
4. Enunciare e dimostrare il Teorema della media integrale.5. Studiare la convergenza delle seguenti serie:
∞∑n=1
tan( 1
n
)n,∞∑n=1
cos( 1
n
)n.
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + tan(x)u = cos(x)
u(0) = 1.
7 Dimostrare che la funzione F : [0,+∞[→ R definita da
F (x) =
∫ x
0
(et − t) dt
e convessa.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14/7/2017 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limn
(ln(n2 + n)− ln(2n2)
).
2. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:
f(x) = ex−x3
(omettere la localizzazione dei punti di flesso, limitandosi a indicarne il numero).3. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 1
0
ln(x+√x) dx.
4. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi.5. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:
∞∑n=1
tan( √nn+ 1
)xn.
6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:
u′′ + 4u′ + 3u = e−x.
7. La funzione continua
f(x) =ex
x− 1assume valori positivi e negativi, ma non si annulla mai. Com’e possibile?
Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 12/9/2017 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limx→+∞
ex + ln(1 + x2)
2x + sin(x).
2. Stabilire se la funzione g(x) = |x|3x e derivabile in 0, e in caso affermativo calcolareDg(0) = 0.
3. Studiare la funzione f(x) = ln(1 + 2x2), tracciandone il grafico e deteminandone gliestremi globali.
4. Calcolare il seguente integrale:∫ e
1
1 + ln(x)
x2dx.
5. Studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie numerica:∞∑n=1
(−1)n(e
1n − 1
).
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ =
√xu2
u(1) = 1.
7. Determinare tutti i punti critici della funzione
I(x) =
∫ x
0
sin(t)
tdt.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 9 novembre 2017 – Tempo: 90 minuti
Compito A (Simulazione)
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Dimostrare, per induzione su n, la seguente eguaglianza:n∑i=0
(2i+ 1) = (n+ 1)2.
2. Calcolare i seguenti limiti:
limx→0
ln(cos(x))
x2, limx→+∞
arctan(e
1x − 1
)ln(1x
+ 1) .
3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:
f(x) = ln(x2 − 2|x|+ 1
x+ 1
).
Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 9 novembre 2017 – Tempo: 90 minuti
Compito B (Simulazione)
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Determinare i punti interni, di frontiera e di accumulazione dell’insieme
A ={ n2
n2 + 1: n ∈ N
}.
2. Calcolare i seguenti limiti:
limn
(1 + e−n
)n!, lim
n
(1 + e−n
)n2
.
3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) = x− arctan(x+ 1).
Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 17/11/2017 – Tempo: 90 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Data la successione
an = ln( n2
n2 + 1
),
dimostrare che (an) e monotona. Quindi calcolare
infn∈N0
an, supn∈N0
an.
2. Sia f : R → R una funzione pari, derivabile, tale che f(0) = 0, e sia g(x) = xf(x).Dimostrare che g e dispari e che 0 e un punto critico sia per f che per g.
3. Studiare la funzione f(x) = x2e1x , tracciandone il grafico e determinandone gli estremi
globali.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 17/11/2017 – Tempo: 90 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Data la successione
an = ln(n2 + 1
n2
),
dimostrare che (an) e monotona. Quindi calcolare
infn∈N0
an, supn∈N0
an.
2. Sia f : R→ R una funzione dispari, derivabile, e sia g(x) = xf(x). Dimostrare che ge pari e che 0 e un punto critico per g.
3. Studiare la funzione f(x) = xe1x2 , tracciandone il grafico e determinandone gli estremi
globali.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 20/12/2017 – Tempo: 180 minuti
Compito A (Simulazione)
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limn
(n2 + 1
n2
)2 ln(n).
2. Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 della funzione sinh(x). Applicando laformula di Maclaurin, calcolare
limx→0
sinh(x)− xx3
.
3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:
f(x) =ex
ex − 1.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos(x)2
2 cos(x)2 + sin(x)2dx.
5. Enunciare e dimostrare il Teorema della media integrale. Applicandolo, dimostrareche se f : [0, 1]→ R e una funzione crescente e f denota la sua media integrale, allora
f(0) 6 f 6 f(1).
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − 4u = xe2x
u(0) = 1
u′(0) = 0.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 20/12/2017 – Tempo: 180 minuti
Compito B (Simulazione)
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limx→+∞
e2x2+1
x3 − 1
ln(1 + 1/x
) .2. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle. Applicandolo, dimostrare che se f :
[−1, 1]→ R e una funzione pari derivabile, allora Df(0) = 0.3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:
f(x) = arctan(x2 − 1
x2
).
4. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 1
0
ln(x)√xdx.
5. Calcolare il seguente limite:
limx→0+
∫ x0
sin(ln(t+ 1)) dx
x2.
6. Risolvere la seguente equazione differenziale:
u′′ + 2u′ − 3u = x2 + x.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 18/1/2018 – Tempo: 180 minuti
Compito A
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limnn2(
ln(n2 + 1)− ln(n2)).
2. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. Applicandolo, determinare i punti diestremo locale della funzione f(x) = 3x3 − 2x2 + 1.
3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) =
√x2 + 1
x+ 1
(lo studio del segno della derivata seconda non va completato).4. Calcolare il seguente integrale:∫ 1
0
e2x + ex
e3x + 1dx.
5. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 1
0
1
ln(√x+ 1)
dx.
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ − 2xu = x
u(0) = 1.
7. Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑n=1
sin( 1
n2
),
∞∑n=1
1
sin(n2).
Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 18/1/2018 – Tempo: 180 minuti
Compito B
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limnn(
ln(n2 + n)− ln(n2)).
2. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. Applicandolo, determinare i punti diestremo locale della funzione f(x) = 2x3 − 3x2.
3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) =
√x2 + 1
x− 1
(lo studio del segno della derivata seconda non va completato).4. Calcolare il seguente integrale:∫ 1
0
e2x − ex
e3x − 1dx.
5. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 1
0
1
ln(x2 + 1)dx.
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + 2xu = 2x
u(0) = 1.
7. Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑n=1
ln(
1 +1
n2
),
∞∑n=1
1
ln(1 + n2).
Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 1/1/2018 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare i seguenti limiti:
limx→±∞
arctan( |x|+ 1
x+ 1
).
2. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi. Applicandolo, dimostrare cheesiste x ∈ R t.c. ex = x2. (Facoltativo: dimostrare che tale x e unico.)
3. Studiare, disegnandone il grafico, la seguente funzione:
f(x) = x− ln(|x+ 1|).4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫
(x+ 1) arctan(x− 1) dx.
5. Determinare i punti critici della funzione F : [0, 2]→ R definita da
F (x) =
∫ x
0
sin(t2)
t+ 1dt.
6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:
u′′ + 4u′ + 4u = sin(2x).
7. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=0
(1 +
1
n2
)nxn.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 15/2/2018 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Determinare i punti di accumulazione dell’insieme
A ={1 + n
en: n ∈ N0
}.
2. Determinare e classificare i punti di discontinuita della funzione
f(x) =arctan(1/x)
1− x2.
3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) = ln(x+ 1
x− 1
).
4. Calcolare il seguente integrale:∫ e
1
ln(x)− 1
x ln(x)2 + xdx.
5. Calcolare il polinomio di Maclaurin di ordine 3 della funzione f(x) = sin(2x), quindiapplicandolo calcolare
limx→0
sin(2x)− 2x
x3.
6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ +
u
x+ 1= ex
u(0) = 1.
7. Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=0
(−1)n2n
n!.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 7 giugno 2018 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limnn2 ln
(cos(1/n)2 + 2 sin(1/n)2
).
2. Determinare gli estremi globali della funzione f(x) = x+2|x| nell’intervallo I = [−1, 1].3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) = ln( x2
1 + x2
).
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫e2x + 2ex
1 + exdx.
5. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:
u′′ + 5u′ + 6u = e−2x.
7. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1
xn
3√n.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 25 giugno 2018 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limx→0+
ln(1 + xx).
2. Sia (an) una successione a termini reali crescente, tale che an 6 1 per ogni n ∈ N.Dimostrare che (an) e convergente.
3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:
f(x) =x2 + |x|x2 + 1
(calcolare la derivata seconda senza determinare esplicitamente i punti di flesso).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1
0
arctan(x+ 1) dx.
5. Stabilire se la funzione f : R→ R definita da
f(x) =
{x ln(|x|) se x 6= 0
0 se x = 0
ammette le derivate destra e sinistra in 0.6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{
u′ = x(1 + u2)
u(0) = 0.
7. Studiare la convergenza assoluta e semplice della seguente serie numerica:∞∑n=1
(−1)n2n
n!.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 18/7/2018 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limn
n2e2n
n!(suggerimento: dimostrare che la successione e definitivamente decrescente...)
2. Calcolare gli estremi superiore e inferiore dell’insieme
A ={
ln(n+ 1
n
): n ∈ N0
},
specificando se si tratta di massimo o minimo.3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:
f(x) =ex
2x+ 1.
4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin(ln(x))
xdx.
5. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:
u′′ + 2u′ + u = cos(x).
7. Determinare l’insieme di convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1
xn
2n + n.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.
Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14/9/2018 – Tempo: 180 minuti
Nome e Cognome
Matricola
Corso di Laurea
Crediti
Docente
1. Calcolare il seguente limite:
limx→0
ln(cos(x))
ln(x+ 1).
2. Enunciare il Teorema di Weierstraß. Quindi stabilire, motivando la risposta, se lafunzione f(x) = e
1x ammette massimo o minimo globali in R \ {0}.
3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:
f(x) =√x2 − 2x− 3.
4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1
0
x+ 2
x2 + 4dx.
5. Enunciare e dimostrare la formula della derivata di un prodotto.6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{
u′ + cos(x)u = sin(2x)
u(0) = 0.
7. Determinare il carattere della seguente serie:∞∑n=0
n2 + 1
en.
Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.
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