CALCOLO SUBLIME “Tornare” alle basi storiche del calcolo infinitesimale con l’Analisi Non-Standard
Nicola Fusco
Liceo Scientifico “A. Scacchi”, Bari
Bari, 21-22 Aprile 2017 Convegno
Il 24° Problema della Matematica ‒ Comunicare: cosa, come, perché
MOTIVAZIONI
Diluire le difficoltà mnemoniche e concettuali dell’analisi, di solito concentrate al quinto
anno;
Ampliare il tempo al quinto anno per esercitazioni e complementi;
Amplificare la confidenza degli alunni con l’analisi, aumentando il tempo in cui ne fanno
uso;
Aggirare lo scoglio concettuale del limite e del suo bagaglio insiemistico.
POSSIBILE SOLUZIONE: L’ANALISI NON-STANDARD
L’Analisi Non-Standard costruisce gli strumenti dell’analisi senza la definizione
di limite.
Si parte dalle derivate collegando l’analisi
con problemi (tangenza e massimo/minimo).
Si introduce lo studio delle funzioni partendo dai polinomi, molto più semplici
rispetto alle altre funzioni.
RISULTATI OSSERVATI FINORA
Al quinto anno si parte da settembre (o al massimo da metà ottobre) con gli integrali!
Gli alunni arrivano all’esame sapendo svolgere correttamente gli esercizi base dell’analisi.
Le costruzioni fisiche che usano il concetto di infinitesimo (es. integrale di Clausius o formule dei campi di oggetti estesi) sono comprese più
facilmente.
Nessuna difficoltà ulteriore per chi studia
analisi standard in ambito accademico.
FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-1
Newton e Leibniz inventarono l’analisi a partire dall’uso di quantità “piccole” che venivano
considerate sia maggiori di zero sia uguali a zero.
Tale idea proveniva dal lavoro di matematici di tutte le epoche.
FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-2
Gli “indivisibili” con cui Cavalieri giustificò il suo principio per stabilire l’equivalenza tra aree e
volumi.
FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-3
Il metodo “euristico” con cui Fermat
determinava massimi, minimi e tangenti di una curva algebrica.
FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-4
I segmenti “spessi” (accostati in
numero infinito formano una superficie) con cui Archimede calcola l’area del settore
parabolico e collega lunghezza e area della circonferenza.
FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-5
Rigorosamente questa formulazione lasciava a desiderare…
«[…] E che cosa sono questi
incrementi evanescenti? Essi non sono né quantità finite, né quantità infinitamente piccole e
neppure niente. Non possiamo chiamarli i fantasmi di quantità estinte?» (Berkeley, 1734)
Ma l’Analisi di Newton e Leibniz si
era rivelata troppo efficace per abbandonarla.
FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-6 Per un secolo si attese una sistemazione formale che arrivò con
il limite.
Ma si paga un prezzo didattico alto: il limite è un concetto complesso,
anche a causa delle definizioni preliminari.
00 /
lim0
xJDxIxfxJlI
lxf
f
xx
Robinson (’60) e Keisler (’80) riformularono l’Analisi seguendo l’idea di Newton e Leibniz.
Partendo dagli IperReali, un’estensione dei Reali, formularono l’Analisi Non-Standard.
Le basi dell’ANS hanno lo stesso rigore dell’Analisi basata sul
limite.
FORMULAZIONE ANTICA E MODERNA-7
INSIEMI NON-STANDARD-1
Teorema di Compattezza di Goedel.
“Se un insieme infinito di proposizioni
ammette un modello per ogni suo sottoinsieme finito, allora esiste un modello per l’intero insieme infinito di proposizioni”.
Il modello per l’intero insieme di proposizioni è detto Modello Non-Standard.
INSIEMI NON-STANDARD-2
Consideriamo la proposizione “Dato n
naturale, esiste un numero positivo minore di 1/n”.
Al variare di n abbiamo un insieme infinito di proposizioni che singolarmente o a
gruppi finiti, sono sempre vere in R.
1/ rr R
21/ rr R
31/ rr R
...
INSIEMI NON-STANDARD-3
Esiste quindi un insieme in cui esse sono tutte vere contemporaneamente.
Tale insieme non è R: non esiste un reale
positivo minore di tutti gli inversi dei naturali.
È un insieme nuovo: gli IperReali.
I NUMERI IPERREALI-1
In IR valgono le proprietà algebriche e di
ordinamento dei reali (tranne quella archimedea).
IR contiene un numero, ʘ, caratterizzato da
Tutti gli IperReali con questa proprietà sono
detti numeri infinitesimi (indicati anche con
dx, dy, …).
ʘ è detta unità infinitesima o infinitesimo.
I NUMERI IPERREALI-2
Intuitivamente un infinitesimo si può
pensare come un granello di sabbia rispetto all’intera
spiaggia.
I NUMERI IPERREALI-3
In termini geometrici si può pensare ad un
infinitesimo come all’angolo che si forma
tra una circonferenza e la sua tangente.
Misurato con i numeri reali vale 0, ma intuitivamente la situazione appare diversa rispetto a due rette sovrapposte.
I NUMERI IPERREALI-4 In termini algebrici si può pensare alla
differenza tra 1 e
0.(9).
1‒0.(9)<10‒n per ogni
n naturale, ma non c’è modo di calcolare direttamente questa differenza.
Nei reali non può che
essere nulla, ma negli IperReali le cose cambiano.
I NUMERI IPERREALI-5
A partire da ʘ si costruiscono altri numeri
iperreali.
Un iperreale notevole è l’inverso di ʘ,
È un numero infinito: l’unità infinita o infinito
Tra gli infiniti ci sono gli IperNaturali che sono isomorfi agli ordinali transfiniti di Cantor.
I NUMERI IPERREALI-6 Un modo meno formale per introdurre gli IperReali sfrutta la geometria analitica.
I reali sono in corrispondenza biunivoca con le semirette orizzontali nel semipiano cartesiano destro
I NUMERI IPERREALI-7
Estendiamo ora l’insieme agli oggetti
geometrici descritti da equazioni del tipo
y=xrp(x) Ordiniamoli in modo che f >g se ciò è vero
per le ordinate delle curve da un qualche x in poi.
Questo insieme “contiene” i reali come
sottoinsieme, ma contiene anche altri elementi “esotici”.
I NUMERI IPERREALI-8
Gli oggetti e
sono rispettivamente più piccolo e più grande
di qualunque “reale” positivo
I NUMERI IPERREALI-9 Ogni monomio iperreale ha la sua Magnitudo.
M(r)=0 M(rʘn)= ‒n M(r∞n)=n
Il Termine Dominante (o Parte Standard se il TD è reale) è il monomio di magnitudo maggiore.
Dom[‒3∞2+4∞+2‒4ʘ]= ‒3∞2
Dom[5+ln2‒4ʘ+2ʘ2]=5+ln2
Dom[7ʘ+3ʘ2]=7ʘ
Il TD determina l’ordinamento degli IperReali (solo se il TD è uguale si confrontano gli altri
termini).
I NUMERI IPERREALI-10
Il TD di un prodotto o di un rapporto è uguale
al prodotto o al rapporto tra i TD
I NUMERI IPERREALI-11A Il TD di una somma va valutato caso per caso
TD di magnitudo diversa
TD con stessa magnitudo
I NUMERI IPERREALI-11B TD che si cancellano
Tecniche identiche a quelle per i limiti: imparando a calcolare i TD si impara anche a risolvere i limiti. Ma il quadro concettuale è più semplice.
Le funzioni elementari sono definite dalle operazioni sui reali.
Quindi sono automaticamente definite anche sugli iperreali con le stesse proprietà (quasi).
Il TD sostituisce molto più intuitivamente il
limite, senza perdita alcuna di rigore.
fxf
xfxf
x
xx
Domlim
Domlim 00
ANALISI NON-STANDARD-1A
ANALISI NON-STANDARD-1B
Ad esempio il limite , che deve essere risolto mediante una scomposizione, è sostituito dal calcolo
algebrico
(il calcolo relativo ai due segni può anche
essere svolto separatamente)
Una funzione è continua se il suo valore cambia
infinitesimamente per variazioni infinitesime della variabile indipendente.
ANALISI NON-STANDARD-2
00Dom xfxf
Gli asintoti sono rette con distanza infinitesima dal grafico in punti con almeno una coordinata infinita.
x=x0 è A.V. se Dom[f(x0±ʘ)] è un infinito
y=k è A.Or. se Dom[f(±∞)]=k (un infinitesimo se k=0)
y=mx+q è A.Ob. se
ANALISI NON-STANDARD-3
La tangente è una retta che interseca la funzione
in due punti infinitesimamente vicini.
ANALISI NON-STANDARD-4
t è la tangente “vera”
s è una secante con incremento reale
u è una tangente non-standard (angolo
infinitesimo con t)
L’integrale definito è una somma infinita di aree di
rettangoli di base infinitesima:
Si divide [a,b] in infinitesimi dx con un IperNaturale,
ANALISI NON-STANDARD-5A
Si generano quindi infiniti rettangoli
di area f(x)dx,
La loro somma costituisce l’area
cercata.
Il volume dei solidi di rotazione è una somma infinita di volumi di “fettine” di spessore
infinitesimo:
Si divide [a,b] in infinitesimi dx con un IperNaturale,
ANALISI NON-STANDARD-5B
Si generano quindi infiniti cilindri
di volume pf(x)2dx,
La loro somma costituisce il volume cercato.
Alcune dimostrazioni diventano banali grazie alle proprietà di ordinamento degli IperReali
L’integrale è l’area di uno dei rettangolini
infinitesimi, se f è continua e crescente in x
ANALISI NON-STANDARD-6
ANALISI NON-STANDARD-7
Tutto ciò che nell’Analisi Standard non
coinvolge direttamente i limiti (calcolo e uso delle derivate, problemi di tangenza, problemi di massimo e minimo, integrazione definita e indefinita) si affronta nell’Analisi Non-
Standard in modo identico, sia in termini metodologici sia in termini formali.
SCANSIONE ARGOMENTI: III ANNO (PROPOSTA)
Geom. analitica fino alla circonferenza,
Eq. e dis. con VA e irrazionali,
Numeri IperReali,
Derivate (definizione, formule per potenza, prodotto, rapporto, composta)
Crescenza, convessità, studio di polinomi,
Problemi di massimo e minimo, Continuità e asintoti,
Frazioni algebriche, funzioni irrazionali.
SCANSIONE ARGOMENTI: IV ANNO (PROPOSTA)
Ellisse e Iperbole (sia tradizionalmente sia come casi particolari di funzioni),
Esponenziali e Logaritmi (e in parallelo le formule relative di analisi),
Trigonometria (e in parallelo le formule relative di analisi),
Funzioni goniometriche inverse.
SCANSIONE ARGOMENTI: V ANNO (PROPOSTA)
Integrali,
Definizione di limite e traduzione del formalismo standard in quello non-standard e viceversa,
Complementi,
Esercitazione per l’esame.
Abraham Robinson, Non-Standard Analisys, Princeton University Press. [non per la didattica]
Howard Jerome Keisler, Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, Dover Books (www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html).
Howard Jerome Keisler, Foundations Of Infinitesimal Calculus (www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html).
In rete si trovano molte altre risorse gratuite, anche in italiano, con diversi livelli di approfondimento. Parole chiave: infinitesimi, iperreali, analisi non-standard.
BIBLIOGRAFIA
RINGRAZIAMENTI
Il Prof. Sicolo, la Mathesis e il L. S. “Salvemini” per l’opportunità di parlarVi della mia esperienza;
Il DS G. Magistrale e il Dip. di Matematica e Fisica del L. S. “A. Scacchi” di Bari per il sostegno in questo esperimento didattico;
Il Prof. Sicolo, la Prof.ssa Bianca Fanti e la Prof.ssa Marina Muscarella per i consigli su questa presentazione (ma se non vi è piaciuta non è colpa loro);
I miei alunni, mie consapevoli “cavie”;
Voi tutti per la cortese attenzione.
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