Calcolo differenziale La derivata Sia : dom una funzione reale di variabile reale; sia 0 dom e supponiamo che sia definita in tutto un intorno (0) di 0. Fissato (0), 0, indichiamo con

= 0 l'incremento (positivo o negativo) della variabile indipendente tra 0 e , e con

= () (0) il corrispondente incremento della variabile dipendente. Dalle definizione, segue immediatamente che = 0 + e () = (0) + . Il quoziente

= () (0)

0= (0 + ) (0)

dicesi rapporto incrementale della funzione tra 0 e .

Mentre rappresenta lincremento assoluto della variabile dipendente nel passaggio da 0 a 0 + , il rapporto incrementale ne rappresenta il tasso di incremento.

Dal punto di vista geometrico, il rapporto incrementale tra 0 e un punto 1 nellintorno di 0 il coefficiente angolare della retta che passa per i punti 0 = 0,(0) e 1 = 1,(1) appartenenti al grafico della funzione; essa p detta retta secante il grafico di in 0 e 1.

Definizione 6.1 Sia una funzione definita in un intorno di 0 . Essa dicesi derivabile in 0 se esiste

finito il limite del rapporto incrementale

tra 0 e , per tendente a 0. Il numero reale

(0) = lim0

() (0) 0

= lim0

(0 + ) (0)

dicesi derivata (prima) di in 0.

Dal punto di vista fisico, la derivata (0) = (0) = lim0 rappresenta la velocit istantanea della particella allistante 0.

Poniamo poi dom = { dom: derivabile in } e definiamo la funzione : dom ,: (); essa associa ad ogni dom il valore della derivata di in . Tale funzione dicesi funzione derivata (prima) di .

Definizione 6.2 Sia un insieme contenuto in dom. La funzione dicesi derivabile su (o in 0), se derivabile in ogni punto di .

Stabiliamo innanzitutto una semplice ma significativa propriet delle funzioni derivabili.

Proposizione 6.3 Se una funzione derivabile in un punto 0, allora essa continua in 0.

Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione i) Consideriamo innanzitutto la funzione affine () = + , e sia 0 arbitrario. La derivata della

funzione () = + la funzione costante () = . Se una funzione costante ( = 0), la sua derivata identicamente nulla.

ii) Sia ora () = 2 e sia 0 . La derivata della funzione () = 2 la funzione () = 2. iii) Pi in generale, possiamo considerare la funzione () = con . La derivata della funzione

() = la funzione () = 1. iv) Unulteriore generalizzazione si ha considerando la funzione () = con . Sia 0 0 un

punto del suo dominio. Mediante la sostituzione = 0

ci riconduciamo al limite fondamentale e

dunque otteniamo

(0) = 01. v) Sia () = sin ed 0 . Usando il limite fondamentale e la continuit della funzione coseno,

concludiamo che

(0) = cos0. La derivata della funzione () = sin la funzione () = cos. Procedendo in modo analogo, e facendo ora ricorso alla formula di prostaferesi, otteniamo che la derivata della funzione () =cos la funzione () = sin.

vi) Da ultimo consideriamo la funzione esponenziale () = . Dunque, la derivata della funzione () = la funzione () = (log).

Teorema 6.7 (Derivata di una funzione composta) Sia () una funzione derivabile in un punto 0 . Sia poi () una funzione derivabile nel punto 0 = (0). Allora la funzione composta () = () derivabile in 0 e si ha ( )(0) = (0)(0) = (0)(0). (6.7) Teorema 6.8 (Derivata della funzione inversa) Sia () una funzione continua e invertibile in un intorno di un punto 0 ; inoltre, sia derivabile in 0 , con (0) 0 . Allora la funzione inversa 1() derivabile in 0 = (0) e si ha (1)(0) = 1(0) = 11(0) . (6.8) D = 1 ( )

D sin = cos D cos = sin D tan = 1 + tan2 = 1cos2 D arcsin = 1

1 2 D arccos = 11 2 D arctan = 11 + 2 D = (log) in particolare, D =

D log|| = 1(log ) in particolare, D log|| = 1 Propriet 6.14 Una funzione definita in un intorno di un punto 0 derivabile in 0 se e solo se derivabile da destra e da sinistra in 0 e le derivate destra e sinistra coincidono. In tal caso si ha

(0) = +(0) = (0). Se invece derivabile da destra e da sinistra in 0 ma le derivate destra e sinistra sono diverse (come accade alla funzione () = || nellorigine), diciamo che 0 un punto angoloso per . Il termine deriva dal fatto che, da un punto di vista geometrico, la derivata destra di in 0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente destra al grafico di in 0 = 0,(0), ossia della posizione limite delle rette secanti il grafico di in 0 e in punti = ,() con > 0 via via pi vicino a 0. Se la tangente destra e la tangente sinistra (definita in modo analogo) non coincidono, esse formano un angolo in 0.

Se +(0) e (0) sono entrambi infiniti e di segno concorde, diciamo che 0 un punto tangente verticale per .

Se invece +(0) e (0) sono entrambi infiniti ma di segno concorde, diciamo che 0 un punto di cuspide per .

Punti di estremo e punti critici di una funzione Definizione 6.18 Sia 0 dom. si dice che 0 punto di massimo relativo (o locale) per se esiste un intorno (0) di 0 tale che

(0) dom, () (0). Il valore (0) dicesi massimo relativo di . Si dice che 0 punto di massimo assoluto (o globale) per se

dom, () (0).

Il valore (0) dicesi massimo assoluto di . In tutti i casi, il massimo si definisce stretto se si ha () () per 0. Le definizioni di funzione concava (o avete concavit rivolta verso il basso) e strettamente concava si ottengono dalle precedenti sostituendo i simboli e > rispettivamente con e

(0), < 0, () (), > 0, () (),

(nel qual caso il flesso si dir ascendente): oppure

(0), < 0, () (), > 0, () (),

(nel qual caso il flesso si dir discendente).

Geometricamente, in un punto di flesso il grafico di attraversa la retta tangente.

Corollario 6.38 Sia derivabile due volte in un intorno di 0. Valgono le seguenti implicazioni:

a) se 0 punto di flesso di , allora (0) = 0. b) sia (0) = 0. Se di segno diverso a destra e a sinistra di 0, allora 0 punto di flesso per

(precisamente, il flesso ascendente se () 0 a sinistra di 0 e () 0 a destra di 0 , discendente nella situazione opposta). Se invece non cambia segno a destra e a sinistra di 0, allora tale punto non di flesso per .

Il teorema di de lHpital Teorema 6.40 Siano e due funzioni definite nellintorno di , tranne eventualmente in , e tali che lim

() = lim

() = ,

con = 0 oppure + oppure . Se e sono derivabili nellintorno di , tranne eventualmente in , con 0, e se esiste (finito o infinito)

lim

()(),

allora esiste anche

lim

()() (6.18)

e tale limite uguale al precedente.

Il teorema afferma, dunque che, se sono verificate le ipotesi, vale la formula

lim

()() = lim ()(). (6.19)

La derivataDerivate di funzioni elementari. Regole di derivazionePunti di estremo e punti critici di una funzioneI Teoremi di Rolle e LagrangeDerivate di ordine superioreConvessit e flessiIl teorema di de lHpital