Analisi e controllo di sistemi non
lineari con applicazione ad un Robot
sottoattuato
Tesi di Laurea in Ingegneria Elettronica
Universita “La Sapienza” di Roma
Alessandro BernardiniRelatore: Prof. Giuseppe Oriolo
Correlatore: Prof. Leonardo Lanari
Febbraio 2006
PanoramicaAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 2 / 28
Aspetti teorici
Premessa
Definizioni fondamentali
Esempio del pendolo semplice
Integrali primi
Traiettorie di sistemi planari hamiltoniani
Sistemi planari conservativi
Teorema di Poincare-Bendixon
Funzioni di Lyapunov
Principio di invarianza
Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot
Sistemi sottoattuati
Il Pendubot
Simulazioni numeriche
Conclusione
Considerazioni finali
Note tecniche
Aspetti teorici
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
PremessaAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 4 / 28
Importanza dello studio di sistemi non lineari:
PremessaAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 4 / 28
Importanza dello studio di sistemi non lineari:
■ I modelli matematici dei sistemi reali sono, salvo eccezioni, EquaDiff nonlineari.
PremessaAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 4 / 28
Importanza dello studio di sistemi non lineari:
■ I modelli matematici dei sistemi reali sono, salvo eccezioni, EquaDiff nonlineari.
■ La linearizzazione e una tecnica adatta al piu allo studio locale di un sistemadinamico non lineare.
PremessaAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 4 / 28
Importanza dello studio di sistemi non lineari:
■ I modelli matematici dei sistemi reali sono, salvo eccezioni, EquaDiff nonlineari.
■ La linearizzazione e una tecnica adatta al piu allo studio locale di un sistemadinamico non lineare.
■ I risultati di una simulazione numerica relativa ad un sistema non linearepossono essere del tutto insoddisfacenti se non supportati anche da uno studioqualitativo teorico condotto con gli strumenti della Teoria dei Sistemi Dinamici:si pensi al caos deterministico o ad un punto di sella di un sistema nonlineare. . .
PremessaAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 4 / 28
Importanza dello studio di sistemi non lineari:
■ I modelli matematici dei sistemi reali sono, salvo eccezioni, EquaDiff nonlineari.
■ La linearizzazione e una tecnica adatta al piu allo studio locale di un sistemadinamico non lineare.
■ I risultati di una simulazione numerica relativa ad un sistema non linearepossono essere del tutto insoddisfacenti se non supportati anche da uno studioqualitativo teorico condotto con gli strumenti della Teoria dei Sistemi Dinamici:si pensi al caos deterministico o ad un punto di sella di un sistema nonlineare. . .
■ La Teoria dei Sistemi Dinamici e capace di fornire risultati qualitativi generali,mentre la simulazione numerica puo, al piu, stimare approssimativamenteandamenti per particolari condizioni iniziali e particolari parametri.
PremessaAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 4 / 28
Importanza dello studio di sistemi non lineari:
■ I modelli matematici dei sistemi reali sono, salvo eccezioni, EquaDiff nonlineari.
■ La linearizzazione e una tecnica adatta al piu allo studio locale di un sistemadinamico non lineare.
■ I risultati di una simulazione numerica relativa ad un sistema non linearepossono essere del tutto insoddisfacenti se non supportati anche da uno studioqualitativo teorico condotto con gli strumenti della Teoria dei Sistemi Dinamici:si pensi al caos deterministico o ad un punto di sella di un sistema nonlineare. . .
■ La Teoria dei Sistemi Dinamici e capace di fornire risultati qualitativi generali,mentre la simulazione numerica puo, al piu, stimare approssimativamenteandamenti per particolari condizioni iniziali e particolari parametri.
■ Si osservi che anche un sistema come il doppio pendolo o l’oscillatore diColpitts puo essere caotico.
Definizioni fondamentaliAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 5 / 28
Sono stati considerati sistemi descritti da EquaDiff del tipo
x = f(x) x ∈ D ⊆ Rn
Definizioni fondamentaliAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 5 / 28
Sono stati considerati sistemi descritti da EquaDiff del tipo
x = f(x) x ∈ D ⊆ Rn
■ Indicheremo con φ(t, ξ) la soluzione (unica stanti opportune ipotesi) delsistema considerato relativa alla condizione iniziale ξ. Si haφ(t, ξ) = f(φ(t, ξ)) e φ(0, ξ) = ξ, per ξ ∈ D
Definizioni fondamentaliAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 5 / 28
Sono stati considerati sistemi descritti da EquaDiff del tipo
x = f(x) x ∈ D ⊆ Rn
■ Indicheremo con φ(t, ξ) la soluzione (unica stanti opportune ipotesi) delsistema considerato relativa alla condizione iniziale ξ. Si haφ(t, ξ) = f(φ(t, ξ)) e φ(0, ξ) = ξ, per ξ ∈ D
■ La traiettoria passante per ξ, indicata da noi con O(ξ) e il luogo dei punti{x ∈ D ⊆ R
n : ∃ t t.c. x = φ(t, ξ)}
Definizioni fondamentaliAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 5 / 28
Sono stati considerati sistemi descritti da EquaDiff del tipo
x = f(x) x ∈ D ⊆ Rn
■ Indicheremo con φ(t, ξ) la soluzione (unica stanti opportune ipotesi) delsistema considerato relativa alla condizione iniziale ξ. Si haφ(t, ξ) = f(φ(t, ξ)) e φ(0, ξ) = ξ, per ξ ∈ D
■ La traiettoria passante per ξ, indicata da noi con O(ξ) e il luogo dei punti{x ∈ D ⊆ R
n : ∃ t t.c. x = φ(t, ξ)}■ O+(ξ) sara la semitraiettoria positiva per ξ.
Definizioni fondamentaliAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 5 / 28
Sono stati considerati sistemi descritti da EquaDiff del tipo
x = f(x) x ∈ D ⊆ Rn
■ Indicheremo con φ(t, ξ) la soluzione (unica stanti opportune ipotesi) delsistema considerato relativa alla condizione iniziale ξ. Si haφ(t, ξ) = f(φ(t, ξ)) e φ(0, ξ) = ξ, per ξ ∈ D
■ La traiettoria passante per ξ, indicata da noi con O(ξ) e il luogo dei punti{x ∈ D ⊆ R
n : ∃ t t.c. x = φ(t, ξ)}■ O+(ξ) sara la semitraiettoria positiva per ξ.■ Una traiettoria omoclina e t.c. limt→±∞φ(t) = xE con f(xE) = 0
Definizioni fondamentaliAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 5 / 28
Sono stati considerati sistemi descritti da EquaDiff del tipo
x = f(x) x ∈ D ⊆ Rn
■ Indicheremo con φ(t, ξ) la soluzione (unica stanti opportune ipotesi) delsistema considerato relativa alla condizione iniziale ξ. Si haφ(t, ξ) = f(φ(t, ξ)) e φ(0, ξ) = ξ, per ξ ∈ D
■ La traiettoria passante per ξ, indicata da noi con O(ξ) e il luogo dei punti{x ∈ D ⊆ R
n : ∃ t t.c. x = φ(t, ξ)}■ O+(ξ) sara la semitraiettoria positiva per ξ.■ Una traiettoria omoclina e t.c. limt→±∞φ(t) = xE con f(xE) = 0■ Chiameremo phase portrait il “ritratto” o meglio l’insieme di tutte le traiettorie
di un dato sistema.
Definizioni fondamentaliAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 5 / 28
Sono stati considerati sistemi descritti da EquaDiff del tipo
x = f(x) x ∈ D ⊆ Rn
■ Indicheremo con φ(t, ξ) la soluzione (unica stanti opportune ipotesi) delsistema considerato relativa alla condizione iniziale ξ. Si haφ(t, ξ) = f(φ(t, ξ)) e φ(0, ξ) = ξ, per ξ ∈ D
■ La traiettoria passante per ξ, indicata da noi con O(ξ) e il luogo dei punti{x ∈ D ⊆ R
n : ∃ t t.c. x = φ(t, ξ)}■ O+(ξ) sara la semitraiettoria positiva per ξ.■ Una traiettoria omoclina e t.c. limt→±∞φ(t) = xE con f(xE) = 0■ Chiameremo phase portrait il “ritratto” o meglio l’insieme di tutte le traiettorie
di un dato sistema.■ Conoscere e/o caratterizzare qualitativamente l’insieme di tutte le traiettorie e
il fine della Teoria dei Sistemi Dinamici.
Esempio del pendolo sempliceAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 6 / 28
Consideriamo ad esempio le traiettorie del pendolo non dissipativo, descritto dalsistema:
{
x1 = x2
x2 = − sin x1
Esempio del pendolo sempliceAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 6 / 28
Consideriamo ad esempio le traiettorie del pendolo non dissipativo, descritto dalsistema:
{
x1 = x2
x2 = − sin x1
Notare le omocline (su cui E = Etop). A destra e il campo vettoriale f(x).
-3 -2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4
-2
0
2
4
In ascissa vi sono i valori di x1, in ordinata quelli di x2.
Integrali primiAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 7 / 28
In generale non e possibile individuare esattamente l’andamento delle traiettorie edi solito si studiano solo qualitativamente le proprieta di queste (per es. laconvergenza verso stati di equilibrio). Ma per particolari classi di sistemi e possibiledeterminare esattamente l’andamento di tutte le traiettorie del sistema. Per talisistemi esistono infatti degli integrali primi che sono invarianti lungo le traiettorie.
Integrali primiAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 7 / 28
In generale non e possibile individuare esattamente l’andamento delle traiettorie edi solito si studiano solo qualitativamente le proprieta di queste (per es. laconvergenza verso stati di equilibrio). Ma per particolari classi di sistemi e possibiledeterminare esattamente l’andamento di tutte le traiettorie del sistema. Per talisistemi esistono infatti degli integrali primi che sono invarianti lungo le traiettorie.
Per sistemi planari{
x1 = f(x1, x2)x2 = g(x1, x2)
si ha che una funzione F (x1, x2) e un integrale primo (per Def) se e solo se
∂F
∂x1
f +∂F
∂x2
g = 0
In tal caso F e costante lungo una qualsiasi traiettoria del sistema e dunque talitraiettorie sono contenute nelle curve di livello di F .
Traiettorie di sistemi planari hamiltonianiAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 8 / 28
In particolare se ∃H(x1, x2) t.c.
∂H
∂x1
(x1, x2) = −g(x1, x2)∂H
∂x2
(x1, x2) = f(x1, x2)
le traiettorie saranno contenute nelle curve di livello di H che prende il nome difunzione di Hamilton (sistemi hamiltoniani).
Traiettorie di sistemi planari hamiltonianiAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 8 / 28
In particolare se ∃H(x1, x2) t.c.
∂H
∂x1
(x1, x2) = −g(x1, x2)∂H
∂x2
(x1, x2) = f(x1, x2)
le traiettorie saranno contenute nelle curve di livello di H che prende il nome difunzione di Hamilton (sistemi hamiltoniani).
Sotto opportune ipotesi si ha:
H(x1, x2) = H(x, y) =
∫ y
y0
f(x, v)dv −
∫ x
x0
g(w, y0)dw
Usando tale procedimento ed individuando le curve di livello di H e stato possibiletrovare esplicitamente le traiettorie del pendolo semplice non dissipativo.
Sistemi planari conservativiAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 9 / 28
Consideriamo un sistema planare con variabili di stato (x, x) e conservativo, nelsenso che la somma dell’energia potenziale V (x) e di quella cinetica T (x, x)rimane costante nel tempo: per un tale sistema alcune traiettorie tipiche (nellospazio di stato (x, x)) sono riportate nelle Figure che seguono, insiemeall’andamento dell’energia potenziale V (x). E = T + V e integrale primo.
Sistemi planari conservativiAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 9 / 28
Consideriamo un sistema planare con variabili di stato (x, x) e conservativo, nelsenso che la somma dell’energia potenziale V (x) e di quella cinetica T (x, x)rimane costante nel tempo: per un tale sistema alcune traiettorie tipiche (nellospazio di stato (x, x)) sono riportate nelle Figure che seguono, insiemeall’andamento dell’energia potenziale V (x). E = T + V e integrale primo.
x
z
x0
x
y
(x0,0)
x
z
x0
x
y
(x0,0)
xA x
z
x0
x
y
(x0,0)
xM
(xM,0)
In Fig. z = V (x) e y = x. Notare le omocline ed eterocline. Si ripensi al pendolo.
Teorema di Poincare-BendixonAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 10 / 28
Il teorema di Poicare-Bendixon afferma che per un sistema planare (autonomo) letraiettorie
Teorema di Poincare-BendixonAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 10 / 28
Il teorema di Poicare-Bendixon afferma che per un sistema planare (autonomo) letraiettorie
■ o convergono verso un punto di equilibrio
Teorema di Poincare-BendixonAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 10 / 28
Il teorema di Poicare-Bendixon afferma che per un sistema planare (autonomo) letraiettorie
■ o convergono verso un punto di equilibrio■ o divergono
Teorema di Poincare-BendixonAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 10 / 28
Il teorema di Poicare-Bendixon afferma che per un sistema planare (autonomo) letraiettorie
■ o convergono verso un punto di equilibrio■ o divergono■ o tendono verso una traiettoria periodica
Teorema di Poincare-BendixonAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 10 / 28
Il teorema di Poicare-Bendixon afferma che per un sistema planare (autonomo) letraiettorie
■ o convergono verso un punto di equilibrio■ o divergono■ o tendono verso una traiettoria periodica
Con questo si esclude il caos nei sistemi autonomi planari. Una traiettoria caotica euna traiettoria limitata che non converge ne ad un punto di equilibrio ne verso unatraiettoria periodica.
Teorema di Poincare-BendixonAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 10 / 28
Il teorema di Poicare-Bendixon afferma che per un sistema planare (autonomo) letraiettorie
■ o convergono verso un punto di equilibrio■ o divergono■ o tendono verso una traiettoria periodica
Con questo si esclude il caos nei sistemi autonomi planari. Una traiettoria caotica euna traiettoria limitata che non converge ne ad un punto di equilibrio ne verso unatraiettoria periodica.
Si pensi all’attrattore di Lorenz, al doppio pendolo, o anche all’oscillatore diColpitts.
Funzioni di LyapunovAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 11 / 28
Una funzione continua e differenziabile V : D → R, con D ⊆ RN si chiama
funzione di Lyapunov per il sistema x = f(x), con x ∈ RN , se la funzione
V (x) :=N
∑
i=1
∂V
∂xi
(x)fi(x)
soddisfa alla seguente disequazione
V (x) ≤ 0 ∀x ∈ D
Funzioni di LyapunovAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 11 / 28
Una funzione continua e differenziabile V : D → R, con D ⊆ RN si chiama
funzione di Lyapunov per il sistema x = f(x), con x ∈ RN , se la funzione
V (x) :=N
∑
i=1
∂V
∂xi
(x)fi(x)
soddisfa alla seguente disequazione
V (x) ≤ 0 ∀x ∈ D
Una funzione di Lyapunov e sempre decrescente (strettamente o non) lungo unaqualsiasi traiettoria. Infatti vale:
d
dtV (µ(t)) = gradV (µ(t)) · µ(t) = gradV (µ(t)) · f(µ(t)) = V (µ(t)) ≤ 0
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 12 / 28
Per capire l’importanza di una funzione di Lyapunov puo essere utile considerare laseguente figura
x y
Spazio di fase
Funzione di Ljapunov
Notare come la funzione di Lyapunov decresce lungo la traiettoria indicata.
Principio di invarianzaAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 13 / 28
■ Un insieme A e invariante se ξ ∈ A ⇒ O+(ξ) ∈ A. Questo vuol dire, cioe, chel’evoluzione del sistema rimane in A, per ogni condizione iniziale ξ ∈ A.
Principio di invarianzaAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 13 / 28
■ Un insieme A e invariante se ξ ∈ A ⇒ O+(ξ) ∈ A. Questo vuol dire, cioe, chel’evoluzione del sistema rimane in A, per ogni condizione iniziale ξ ∈ A.
■ Principio di invarianza: Se ogni semitraiettoria positiva O+(ξ) e limitata, alloraindicando con M il massimo insieme invariante contenuto in{x ∈ D : V (x) = 0} si ha che
limt→∞
dist(φ(t, ξ),M) = 0
Useremo tali risultati per teorizzare un controllore per il sistema del Pendubot.
Applicazioni ad un Robot
sottoattuato, il Pendubot
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Sistemi sottoattuatiAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 15 / 28
■ Quando un sistema a n gradi di liberta, ossia un sistema il cui stato e dato dan variabili (q1, . . . , qn) = q ∈ R
n e dalle loro derivate q, viene controllato conun numero di ingressi di controllo inferiore ad n, allora si dice che il sistema inquestione e sottoattuato.
Sistemi sottoattuatiAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 15 / 28
■ Quando un sistema a n gradi di liberta, ossia un sistema il cui stato e dato dan variabili (q1, . . . , qn) = q ∈ R
n e dalle loro derivate q, viene controllato conun numero di ingressi di controllo inferiore ad n, allora si dice che il sistema inquestione e sottoattuato.
■ In caso di rottura di attuatori in sistemi attuati si ha che il sistema diventasottoattuato.
Sistemi sottoattuatiAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 15 / 28
■ Quando un sistema a n gradi di liberta, ossia un sistema il cui stato e dato dan variabili (q1, . . . , qn) = q ∈ R
n e dalle loro derivate q, viene controllato conun numero di ingressi di controllo inferiore ad n, allora si dice che il sistema inquestione e sottoattuato.
■ In caso di rottura di attuatori in sistemi attuati si ha che il sistema diventasottoattuato.
■ Alcuni tipici sistemi sottoattuati che si incontrano nella Letteratura(rispettivamente il cart pendulum, l’Acrobot, il Furuta Pendulum, il Butterfly):
A
Il PendubotAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 16 / 28
Il sistema sottoattuato di cui ci occuperemo e il Pendubot posto presso il D.I.S.“Antonio Ruberti”:
x
y
m1
m2
q1
q2
a1l1
CM1
CM2
a2
l2
t1
O
Nel seguito considereremo le costanti θ1, . . . , θ5 che dipendono dai parametri delPendubot. Lo stato sara: x1 = q1, x2 = q2, x3 = q1, x4 = q2.
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 17 / 28
■ Il nostro fine e quello di realizzare lo swing up del Pendubot.
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 17 / 28
■ Il nostro fine e quello di realizzare lo swing up del Pendubot.■ Per swing up si intende il portare il sistema ad avere tutti e due i bracci fermi
verso l’alto.
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 17 / 28
■ Il nostro fine e quello di realizzare lo swing up del Pendubot.■ Per swing up si intende il portare il sistema ad avere tutti e due i bracci fermi
verso l’alto.■ Al fine di realizzare lo swing up definiremo una opportuna legge di controllo
τ1(x): dato uno stato x la coppia che agisce sul primo braccio (per effettodell’attuatore) dovra essere τ1(x)
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 17 / 28
■ Il nostro fine e quello di realizzare lo swing up del Pendubot.■ Per swing up si intende il portare il sistema ad avere tutti e due i bracci fermi
verso l’alto.■ Al fine di realizzare lo swing up definiremo una opportuna legge di controllo
τ1(x): dato uno stato x la coppia che agisce sul primo braccio (per effettodell’attuatore) dovra essere τ1(x)
■ Abbiamo cioe realizzato un controllore senza memoria a retroazione dallo stato
e questo presuppone che lo stato sia (istantaneamente) misurabile.
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 17 / 28
■ Il nostro fine e quello di realizzare lo swing up del Pendubot.■ Per swing up si intende il portare il sistema ad avere tutti e due i bracci fermi
verso l’alto.■ Al fine di realizzare lo swing up definiremo una opportuna legge di controllo
τ1(x): dato uno stato x la coppia che agisce sul primo braccio (per effettodell’attuatore) dovra essere τ1(x)
■ Abbiamo cioe realizzato un controllore senza memoria a retroazione dallo stato
e questo presuppone che lo stato sia (istantaneamente) misurabile.■ Lo scopo del nostro controllore e in prima linea quello di portare per t → ∞ il
sistema ad avere il primo braccio fermo verso l’alto ed il secondo che evolve inmodo t.c. q2 e q2 evolvano lungo le omocline relative all’equilibrio instabile chesi desidera raggiungere (secondo braccio in alto).
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 17 / 28
■ Il nostro fine e quello di realizzare lo swing up del Pendubot.■ Per swing up si intende il portare il sistema ad avere tutti e due i bracci fermi
verso l’alto.■ Al fine di realizzare lo swing up definiremo una opportuna legge di controllo
τ1(x): dato uno stato x la coppia che agisce sul primo braccio (per effettodell’attuatore) dovra essere τ1(x)
■ Abbiamo cioe realizzato un controllore senza memoria a retroazione dallo stato
e questo presuppone che lo stato sia (istantaneamente) misurabile.■ Lo scopo del nostro controllore e in prima linea quello di portare per t → ∞ il
sistema ad avere il primo braccio fermo verso l’alto ed il secondo che evolve inmodo t.c. q2 e q2 evolvano lungo le omocline relative all’equilibrio instabile chesi desidera raggiungere (secondo braccio in alto).Ossia vogliamo che per effetto del controllore, per t → ∞ si abbia
q1 →π
2q1 → 0 E → Etop
Etop e l’energia del sistema nella top position ossia nella posizione data da tutti e due i bracci in alto e fermi
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 18 / 28
Tendendo l’evoluzione del secondo braccio del Pendubot verso le traiettorieomocline di cui si e parlato, si avra che lo stato del sistema si avvicinera semprepiu alla top position (π
2, 0, 0, 0) al passare del tempo: tuttavia tale stato non
restera mai definitivamente in un intorno (piccolo a piacere) della top position edunque al fine di realizzare lo swing up vero e proprio e necessario l’interventoanche di un controllore locale di stabilizzazione attorno alla top position.
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 18 / 28
Tendendo l’evoluzione del secondo braccio del Pendubot verso le traiettorieomocline di cui si e parlato, si avra che lo stato del sistema si avvicinera semprepiu alla top position (π
2, 0, 0, 0) al passare del tempo: tuttavia tale stato non
restera mai definitivamente in un intorno (piccolo a piacere) della top position edunque al fine di realizzare lo swing up vero e proprio e necessario l’interventoanche di un controllore locale di stabilizzazione attorno alla top position.Anticipiamo alcuni andamenti tipici di φ2 = q2
10 20 30 40 50t
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Φ2
151 152 153 154 155 156t
895
900
905
910
915
920
Φ2
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 19 / 28
Al fine di definire una opportuna legge di controllo τ1(x):
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 19 / 28
Al fine di definire una opportuna legge di controllo τ1(x):
■ abbiamo ricercato una possibile funzione di Lyapunov V (x) s.d.p. ponendo
V (x) =kE
2(E(x) − Etop)
2 +kD
2x2
3 +kP
2
(
x1 −π
2
)2
Tale funzione si annullera solamente nei punti appartenenti alle omocline versocui si vuole che il sistema converga. Sia V0 = {x : V (x) = 0}
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Al fine di definire una opportuna legge di controllo τ1(x):
■ abbiamo ricercato una possibile funzione di Lyapunov V (x) s.d.p. ponendo
V (x) =kE
2(E(x) − Etop)
2 +kD
2x2
3 +kP
2
(
x1 −π
2
)2
Tale funzione si annullera solamente nei punti appartenenti alle omocline versocui si vuole che il sistema converga. Sia V0 = {x : V (x) = 0}
■ abbiamo scelto la legge di controllo τ1 in modo t.c. V fosse effettivamente unafunzione di Lyapunov con V = −x2
3 ≤ 0
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Al fine di definire una opportuna legge di controllo τ1(x):
■ abbiamo ricercato una possibile funzione di Lyapunov V (x) s.d.p. ponendo
V (x) =kE
2(E(x) − Etop)
2 +kD
2x2
3 +kP
2
(
x1 −π
2
)2
Tale funzione si annullera solamente nei punti appartenenti alle omocline versocui si vuole che il sistema converga. Sia V0 = {x : V (x) = 0}
■ abbiamo scelto la legge di controllo τ1 in modo t.c. V fosse effettivamente unafunzione di Lyapunov con V = −x2
3 ≤ 0■ abbiamo applicato il principio di invarianza, ovvero il principio di LaSalle,
secondo cui l’evoluzione del sistema converge vero il massimo insieme
invariante M contenuto in {x ∈ R4 : V (x) = 0}.
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Al fine di definire una opportuna legge di controllo τ1(x):
■ abbiamo ricercato una possibile funzione di Lyapunov V (x) s.d.p. ponendo
V (x) =kE
2(E(x) − Etop)
2 +kD
2x2
3 +kP
2
(
x1 −π
2
)2
Tale funzione si annullera solamente nei punti appartenenti alle omocline versocui si vuole che il sistema converga. Sia V0 = {x : V (x) = 0}
■ abbiamo scelto la legge di controllo τ1 in modo t.c. V fosse effettivamente unafunzione di Lyapunov con V = −x2
3 ≤ 0■ abbiamo applicato il principio di invarianza, ovvero il principio di LaSalle,
secondo cui l’evoluzione del sistema converge vero il massimo insieme
invariante M contenuto in {x ∈ R4 : V (x) = 0}.
■ abbiamo ricercato tale insieme M . E abbiamo trovato opportune condizionirelativamente alle costanti kE , kD, kP affinche sia
M = V0 ∪(π
2,−π[+2kπ], 0, 0
)
k ∈ Z
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Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 20 / 28
Pertanto il sistema o converge a V0 (come si desidera contenendo V0 le omocline dicui si e detto) e dunque si rende possibile lo swing up o converge in modoindesiderato verso un punto di equilibrio del sistema retroazionatoxEIND
= (π2,−π, 0, 0). Ma tale punto di equilibrio indesiderato e instabile, come e
stato mostrato con considerazioni topologiche.
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Pertanto il sistema o converge a V0 (come si desidera contenendo V0 le omocline dicui si e detto) e dunque si rende possibile lo swing up o converge in modoindesiderato verso un punto di equilibrio del sistema retroazionatoxEIND
= (π2,−π, 0, 0). Ma tale punto di equilibrio indesiderato e instabile, come e
stato mostrato con considerazioni topologiche.
Pertanto il controllore teorizzato e semiglobale, nel senso che “funziona” per ognicondizione iniziale, eccetto al piu quelle sulla varieta stabile del punto di equilibrioinstabile xEIND
.
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Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 20 / 28
Pertanto il sistema o converge a V0 (come si desidera contenendo V0 le omocline dicui si e detto) e dunque si rende possibile lo swing up o converge in modoindesiderato verso un punto di equilibrio del sistema retroazionatoxEIND
= (π2,−π, 0, 0). Ma tale punto di equilibrio indesiderato e instabile, come e
stato mostrato con considerazioni topologiche.
Pertanto il controllore teorizzato e semiglobale, nel senso che “funziona” per ognicondizione iniziale, eccetto al piu quelle sulla varieta stabile del punto di equilibrioinstabile xEIND
.
In definitiva la legge di controllo proposta e:
τ1(x) =−kDF (x) − (θ1θ2 − θ2
3 cos2 x2)(
x3 + kP
(
x1 −π2
))
(θ1θ2 − θ23cos2 x2)kE(E(x) − Etop) + kDθ2
ove le costanti k devono verificare opportune diseguaglianze.
Aspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 21 / 28
Mediante linearizzazione nel caso particolare del Pendubot conservato presso ilD.I.S. “Antonio Ruberti” (ed al variare dei valori di k), si e mostrato che lojacobiano Df(xEIND
), calcolato in xEIND, presenta una coppia di auotvalori
complessi e coniugati a parte reale positiva ed una coppia di autovalori c.c. a partereale negativa. Cio implica che xEIND
sia un punto di sella non lineare e chepertanto esiste, appunto, una varieta stabile relativa ad esso.
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Mediante linearizzazione nel caso particolare del Pendubot conservato presso ilD.I.S. “Antonio Ruberti” (ed al variare dei valori di k), si e mostrato che lojacobiano Df(xEIND
), calcolato in xEIND, presenta una coppia di auotvalori
complessi e coniugati a parte reale positiva ed una coppia di autovalori c.c. a partereale negativa. Cio implica che xEIND
sia un punto di sella non lineare e chepertanto esiste, appunto, una varieta stabile relativa ad esso.
Essendo pero in ogni caso xEINDun punto di equilibrio instabile, bastera una
piccola perturbazione per fare convergere l’evoluzione del sistema retroazionatoverso V0 e dunque per poter realizzare lo swing up come desiderato.
Simulazioni numericheAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
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Mediante simulazioni numeriche abbiamo ottenuto i grafici:
10 20 30 40 50t
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2Φ1
10 20 30 40 50t
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Φ2
2 4 6 8 10t
0.2
0.4
0.6
0.8
1V
Incrementando (ulteriormente) il parametro kE si ha:
2 4 6 8 10t
-2
-1
1
2
3
Φ1
1 2 3 4 5t
20
40
60
Φ2
5 10 15 20 25t
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
V
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Presentiamo adesso alcune evoluzioni tipiche del Pendubot retroazionato
-1-0.5
00.5
1
SinHx2L-1-0.5
00.5
1
CosHx2L
-10
0
10
x4
-0.50
0.51
H L-1
-0.50
0.51
SinHx2L-1-0.5
00.5
1
CosHx2L
-10
0
10
x4
-0.50
0.51
H L-1
-0.500.5
1
SinHx2L-1-0.5
00.51
CosHx2L
-10
0
10
20
x4
-1-0.5
00.5
1
SinHx2L
Notare sempre la convergenza a V0 (ossia verso le omocline. . . ). Inoltre φ1 → π2
eφ3 → 0 per t → ∞.
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Nel tempo l’evoluzione del Pendubot si presenta tipicamente quale:
Il secondo link compie tipicamente o giri completi (fig a DX) oppure no, oscillando(fig a SX).
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Riportiamo un esempio di convergenza verso xEIND:
-1-0.5
00.5
1
SinHx2L-1
-0.50
0.51
CosHx2L
-100
0
100
200
x4
-0.50
0.51
H L
3 4 5 6 7 8 9 10t
-8
-6
-4
-2
Φ2
In ogni caso comunque xEINDe instabile e pertanto basta una piccola
perturbazione per realizzare comunque lo swing up.
Conclusione
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Considerazioni finaliAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
Alessandro Bernardini Analisi e controllo di sistemi non lineari con applicazione ad un Robot sottoattuato – 27 / 28
Grazie ai risultati ottenuti nella prima parte del testo, e stato possibile teorizzareun controllore capace di realizzare lo swing up del Pendubot. La teorizzazione diquesto controllore, chiaramente, e un lavoro costruttivo e non la sempliceapplicazione di risultati generali: infatti ogni sistema dinamico non lineare vastudiato caso per caso, usando gli strumenti della teoria generale e non applicandoquesti in modo algoritmico. Numerose simulazioni numeriche hanno corroborato lavalidita dei risultati ottenuti.
Note tecnicheAspetti teorici Applicazioni ad un Robot sottoattuato, il Pendubot Conclusione
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Questa presentazione e stata realizzata in LATEX con la powerdot class.
I grafici e le simulazioni sono realizzati con Mathematica e i disegni con FreeHand.
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