Algebra
π π₯
π· π₯ βΉ π· π₯ β 0
con π pari
π΄(π₯)π
βΉ π΄ π₯ β₯ 0
logπ΄ π₯ π΅(π₯) βΉ
|||
con πΌ > 0 irraz.
π π₯ πΌ βΉ π π₯ β₯ 0
con πΌ < 0 irraz.
π π₯ πΌ βΉ π π₯ > 0
π π₯ π π₯ βΉ π π₯ > 0
tan π(π₯) βΉ π π₯ β π
2+ ππ
sec π(π₯) βΉ π π₯ β π
2+ ππ
cosec π(π₯) βΉ π π₯ β ππ
cotan π(π₯) βΉ π π₯ β ππ
arccos π(π₯) βΉ β1 β€ π π₯ β€ 1
arcsin π(π₯) βΉ β1 β€ π π₯ β€ 1
Non hanno particolari condizioni:
π2 π₯ π π₯3
π π₯ cos π π₯ sin π π₯ 2π π₯ arctan π(π₯)
β Condizioni di Esistenza
β Definizione di valore assoluto
Caso banale
β Equazioni di secondo grado
ππ₯2 + ππ₯ + π = 0
Ξ = π2 β 4ππ
Se Ξ > 0: due soluzioni distinte π₯1,2 =βπ Β± π2 β 4ππ
2π
Se Ξ = 0: due soluzioni coincidenti π₯1,2 = βπ
2π
Se Ξ < 0: equazione impossibile
β Scomposizione di un trinomio di secondo grado
ππ₯2 + ππ₯ + π = π(π₯ β π₯1)(π₯ β π₯2) Se Ξ > 0:
ππ₯2 + ππ₯ + π = π π₯ β π₯12 Se Ξ = 0:
ππ₯2 + ππ₯ + π Se Ξ < 0:
(il trinomio Γ¨ un quadrato)
non si puΓ² scomporre in β
π΄ π₯ = π΄ π₯ se π΄ π₯ β₯ 0
βπ΄ π₯ se π΄ π₯ < 0
Propr pot Propr radici
π΄ π₯ > 0
π΄ π₯ β 1
π΅ π₯ > 0
||
β Equazioni e disequazioni irrazionali con radici quadrate
Propr pot Propr radici
β Teorema dβoro
β Teorema dβargento
π΄ π₯ β π΅ π₯ βΉ π΄π π₯ β π΅π(π₯)
Elevando entrambi i membri di unβequazione o disequazione ad un esponente dispari si ottiene unβequazione o
disequazione equivalente.
Elevando entrambi i membri di unβequazione o disequazione ad un esponente pari si ottiene unβequazione o
disequazione equivalente solo se entrambi i membri sono positivi o nulli.
Se π Γ¨ dispari: β π΄ π₯ , π΅ π₯
π΄ π₯ β π΅ π₯ βΉ π΄π π₯ β π΅π(π₯) Se π Γ¨ pari: solo se π΄ π₯ , π΅ π₯ β₯ 0
Estraendo una radice ad indice dispari di entrambi i membri di unβequazione o disequazione si ottiene unβequa-
zione o disequazione equivalente.
Estraendo una radice ad indice pari di entrambi i membri di unβequazione o disequazione si ottiene unβequa-
zione o disequazione equivalente solo se entrambi i membri sono positivi o nulli.
Attenzione ai moduli: se π Γ¨ pari, π΄π π₯π
= |π΄ π₯ |.
π΄ π₯ β π΅ π₯ βΉ π΄(π₯)π
β π΅(π₯)π
Se π Γ¨ dispari: β π΄ π₯ , π΅ π₯
π΄ π₯ β π΅ π₯ βΉ π΄(π₯)π
β π΅(π₯)π
Se π Γ¨ pari: solo se π΄ π₯ , π΅ π₯ β₯ 0
β Equazioni e disequazioni con un valore assoluto
Scorciatoie
π΄ π₯ = π βΉ π΄ π₯ = βπ β¨ π΄ π₯ = π
π΄ π₯ > π βΉ π΄ π₯ < βπ β¨ π΄ π₯ > π
π΄ π₯ < π βΉ βπ < π΄ π₯ < π
Caso generale
π΄ π₯ β π΅ π₯ βΉ
||| π΄ π₯ β₯ 0
π΄ π₯ β π΅(π₯) β¨
||| π΄ π₯ < 0
βπ΄ π₯ β π΅(π₯)
π΄(π₯) > π΅ π₯ βΉ || π΅ π₯ β₯ 0
π΄ π₯ > π΅2(π₯) β¨
π΅ π₯ < 0
π΄ π₯ β₯ 0
π΄(π₯) = π΅ π₯ βΉ
|||
π΄ π₯ β₯ 0
π΅ π₯ β₯ 0
π΄ π₯ = π΅2(π₯)
π΄(π₯) < π΅ π₯ βΉ
|||
π΄ π₯ β₯ 0
π΅ π₯ β₯ 0
π΄ π₯ < π΅2(π₯)
β Lunghezza di un segmento di estremi π(ππ, ππ) e π(ππ, ππ)
A
B
XA XB
YA
YB
π΄π΅ = (ππ΅ β ππ΄)2 + (ππ΅ β ππ΄)2
β Punto medio di un segmento di estremi π(ππ, ππ) e π(ππ, ππ)
ππ =ππ΄ + ππ΅
2
A
B
XA XB
YA
YBM
XM
YM
ππ =ππ΄ + ππ΅
2
Caso particolare: il segmento Γ¨ orizzontale
Caso particolare: il segmento Γ¨ verticale
πΆπ· = |ππ· β ππΆ|
πΈπΉ = |ππΉ β ππΈ|
C D
XC XD
YC β‘ YD E
F
XE β‘ XF
YE
YF
β Distanza del punto π(ππ, ππ) dalla retta π«: ππ + ππ + π = π
π(π, π) =|π ππ + π ππ + π|
π2 + π2
r
P
β Equazione della retta
ππ₯ + ππ¦ + π = 0Equazione implicita:
π¦ = ππ₯ + πEquazione esplicita:
Caso particolare: retta orizzontale π¦ = π
Caso particolare: retta verticale π₯ = β
r
q
rk
r
h
β Coefficiente angolare di un segmento di estremi π(ππ, ππ) e π(ππ, ππ)
ππ΄π΅ =βπ¦
βπ₯=ππ΅ β ππ΄ππ΅ β ππ΄
A
B
XA XB
YA
YB
βπ¦
βπ₯
βπ¦
βπ₯
π =βπ¦
βπ₯
Due rette sono parallele se e solo se π1 = π2
Due rette sono perpendicolari se e solo se π1 = β1
π2
Geometria Analitica
β Equazione della retta dati due punti di passaggio π(ππ, ππ) e π(ππ, ππ)
π₯ β ππ΄ππ΅ β ππ΄
=π¦ β ππ΄ππ΅ β ππ΄
β Equazione della retta dato il coefficiente angolare m e un punto di passaggio π(ππ, ππ)
π¦ β ππ = π(π₯ β ππ)
β Equazione della parabola
π¦ = ππ₯2 + ππ₯ + πParabola con asse verticale:
F
ππ πV
ππΉ
XF β‘ XV
π βπ
2π,β
β
4π
πΉ βπ
2π, β
β
4π+
1
4ππ: π¦ = β
β
4πβ
1
4π
πΉπ =1
|4π|
π₯ = ππ¦2 + ππ¦ + πParabola con asse orizzontale:
π βπ
2π,β
β
4π
πΉ βπ
2π, β
β
4π+
1
4ππ: π¦ = β
β
4πβ
1
4π
πΉπ =1
|4π|
π
F
ππ
π
VππΉ β‘ YV
XF π
β Area di un segmento parabolico
Due parabole sono congruenti se e solo se |π1| = |π2|
C
π
A
BD
π΄ =2
3π΄π΄π΅πΆπ·
β Equazione della circonferenza
π₯2 + π¦2 + ππ₯ + ππ¦ + π = 0 rappresenta una circonferenza se βπ
2
2+ β
π
2
2β π β₯ 0
πΆ βπ
2,β
π
2
π = βπ
2
2
+ βπ
2
2
β π
CππΆ
XC
β Equazione di una circonferenza dato il centro π ππ, ππ e il raggio r
(π₯ β ππΆ)2 + (π¦ β ππΆ)
2 = π2
β Equazione dellβellisse
Ellisse coi fuochi sullβasse x Ellisse coi fuochi sullβasse y
π
π
π
π
π₯2
π2+π¦2
π2= 1 con π > π
π
π
π
π
π₯2
π2+π¦2
π2= 1 con π > π
πππ π‘ = 2π
0 β€ π =π
π< 1
π2 = π2 + π2
πππ π‘ = 2π
0 β€ π =π
π< 1
π2 = π2 + π2
π1(π, 0) π2(βπ, 0)
π3(0, π) π4(0, βπ)
πΉ1(π, 0) πΉ2(βπ, 0)
π1(π, 0) π2(βπ, 0)
π3(0, π) π4(0, βπ)
πΉ1(0, π) πΉ2(0, βπ)
β Equazione dellβiperbole riferita ai propri assi di simmetria
Iperbole coi fuochi sullβasse x Iperbole coi fuochi sullβasse y
π
π
π
π₯2
π2βπ¦2
π2= 1 β
π₯2
π2+π¦2
π2= 1
πππ π‘ = 2π
π =π
π> 1
π2 = π2 + π2
πππ π‘ = 2π
π =π
π> 1
π2 = π2 + π2
π1(π, 0) π2(βπ, 0)
πΉ1(π, 0) πΉ2(βπ, 0)
π1(0, π) π2(0, βπ)
πΉ1(0, π) πΉ2(0, βπ)
ππ
π
π
π
β Equazione di ellissi o iperboli traslate con centro nel punto π(ππ, ππ)
Unβiperbole si dice equilatera se e solo se i suoi asintoti sono perpendicolari
se e solo se i suoi asintoti sono le bisettrici π¦ = Β±π₯
se e solo se π = π
asintoti: y = Β±π
ππ₯ asintoti: y = Β±
π
ππ₯
π
πP
XP
YP
Β±π₯ β ππ
2
π2Β±
π¦ β ππ2
π2= 1
β Equazione dellβiperbole equilatera riferita ai propri asintoti
π¦ =π
π₯
con π > 0
π¦ =π
π₯
con π < 0
β Equazione della funzione omografica
π¦ =ππ₯ + π
ππ₯ + π
con π β 0 e π
πβ
π
π
π
π
βπ
π
π
π
β π
π
β Altre curve importanti
π¦ = |π₯| π¦ = 1 β π₯2π¦ = π₯
1
1
1
1
2
4
1
1
Goniometria e Trigonometria
β Principali funzioni goniometriche
Caso banale
Propr pot Propr radici
|| π¦ = ππ₯
π > 1
cos(πΌ) = ππ
sin(πΌ) = ππ
tan(πΌ) = ππ
sec(πΌ) =1
cos πΌ= ππ
cosec(πΌ) =1
sin πΌ= ππ
cotan(πΌ) =cos πΌ
sin πΌ= ππ
1
π π
π
π
π
0
π: π₯2 + π¦2 = 1 π₯ = 1
π¦ = 1
πΌ
β Prima proprietΓ fondamentale
cos2 π₯ + sin2 π₯ = 1
tan π₯ =sin π₯
cos π₯
β Radiante
Un radiante Γ¨ lβampiezza dellβangolo al centro di una circonferenza che sottende un
arco di circonferenza avente la stessa lunghezza del raggio.
1 πππ
π
π 1 πππ β 57,3Β°
Vale la seguente proporzione tra la misura in gradi e in radianti di uno stesso angolo πΌ:
πΌ Β° βΆ πΌ πππ = 180Β° βΆ π
β Lunghezza dellβarco e area del settore circolare
πΌ
π
π
π πΌ βΆ π = 2π βΆ 2ππ
πΌ βΆ π = 2π βΆ ππ2
β Seconda proprietΓ fondamentale
β Relazione tra angolo e coefficiente angolare di una retta
πΌ tanπΌ =
Ξπ¦
Ξπ₯= π
Ξπ¦
Ξπ₯
cosen
o
seno
ta
ng
ente
tan
gen
te
cota
ng
ente
cosen
o
seno
β
Fun
zion
i gon
iom
etriche d
ei prin
cipali an
goli
β Grafico della funzione Seno
π
2
3
2π
5
2π β
5
2π β
3
2π β
π
2
β1
1
π¦ = sin(π₯)
π 2π 3π β3π β2π βπ 0
π· = β πΆππ· = [β1,1]
β Grafico della funzione Coseno
π
2
3
2π
5
2π β
5
2π β
3
2π β
π
2
β1
1
π¦ = cos(π₯)
π 2π 3π β3π β2π βπ 0
π· = β πΆππ· = [β1,1]
β Grafico della funzione Tangente
π
2
3
2π
5
2π β
5
2π β
3
2π β
π
2
π¦ = tan(π₯)
π 2π 3π β3π β2π βπ 0
π· = β βπ
2+ ππ πΆππ· = β
π· = β βπ
2+ ππ
π· = β β ππ
β Grafico della funzione Secante π¦ = sec(π₯)
πΆππ· = ] β β,β1 βͺ 1, +β[
β Grafico della funzione Cotangente π¦ = cotan(π₯)
π· = β β ππ πΆππ· = β
π
2
3
2π
5
2π β
5
2π β
3
2π β
π
2 π 2π 3π β3π β2π βπ 0
π
2
3
2π
5
2π β
5
2π β
3
2π β
π
2 π 2π 3π β3π β2π βπ 0
β1
1
β Grafico della funzione Cosecante π¦ = cosec(π₯)
πΆππ· = ] β β,β1 βͺ 1, +β[
π
2
3
2π
5
2π β
5
2π β
3
2π β
π
2 π 2π 3π β3π β2π βπ 0
β1
1
β Grafico della funzione Arcoseno π¦ = arcsin(π₯)
β Grafico della funzione Arcocoseno π¦ = arccos(π₯)
π· = [β1,1] πΆππ· = [0, π]
β Grafico della funzione Arcotangente π¦ = arctan(π₯)
π· = β
β1
π
2
π
0 1 β1
π
0 1 β1
π
2
βπ
2
0
π
2
βπ
2
π· = [β1,1] πΆππ· = βπ
2,π
2
πΆππ· = βπ
2,π
2
β Formule di addizione e sottrazione
cos πΌ + π½ = cos πΌ β cos π½ β sin πΌ β sin π½
cos πΌ β π½ = cos πΌ β cos π½ + sin πΌ β sin π½
sin πΌ + π½ = sin πΌ β cosπ½ + cosπΌ β sin π½
sin πΌ β π½ = sin πΌ β cos π½ β cosπΌ β sin π½
β Formule di duplicazione
cos 2πΌ = cos2 πΌ β sin2 πΌ
= 1 β 2 sin2 πΌ
sin 2πΌ = 2 sin πΌ β cos πΌ
= 2 cos2 πΌ β 1
tan 2πΌ =2 tanπΌ
1 β tan2 πΌ
tan πΌ + π½ =tanπΌ + tanπ½
1 β tanπΌ β tan π½
tan πΌ β π½ =tanπΌ β tanπ½
1 + tanπΌ β tan π½
β Formule di bisezione
cosπΌ
2= Β±
1 + cos πΌ
2 sin
πΌ
2= Β±
1 β cosπΌ
2 tan
πΌ
2=
sin πΌ
1 + cosπΌ
β Formule per lβabbassamento di grado
cos2 πΌ =1 + cos 2πΌ
2 sin2 πΌ =
1 β cos 2πΌ
2 cos πΌ β sin πΌ =
1
2sin 2πΌ
β Formule parametriche
cos πΌ =1 β π‘2
1 + π‘2 sin πΌ =
2π‘
1 + π‘2 π‘ = tan
πΌ
2 dove
β Triangoli rettangoli
cos πΌ =πππ‘. ππππππππ‘π
ππππ‘πππ’π π sin πΌ =
πππ‘. πππππ π‘π
ππππ‘πππ’π π tan πΌ =
πππ‘. πππππ π‘π
πππ‘. ππππππππ‘π
πΌ
π½ cos πΌ = sin π½
sin πΌ = cosπ½
β Area di un triangolo qualunque
πΎ
π
π
π΄ =1
2π π sin πΎ
β Teorema del coseno
π
π π πΌ
π2 = π2 + π2 β 2 π π cos πΌ
β Teorema del seno
π
sin πΌ=
π
sin π½
π
π πΌ
π½
β Teorema della corda
π = 2π sin πΌ
π
πΌ
β Corde notevoli e rispettivi angoli alla circonferenza
π 3
60Β°
π 2
45Β°
π
30Β°
Triangolo equilatero Quadrato Esagono regolare
Esponenziali e logaritmi
β ProprietΓ delle potenze
1) ππ β ππ = ππ+π
2) ππ: ππ = ππβπ
3) ππ β ππ = π β π π
4) ππ: ππ = π: π π
5) ππ π = ππβ π
β Definizione di logaritmo
Il logaritmo in base π di π Γ¨ quel numero π a cui va elevato π per ottenere π.
π = logπ π βΊ ππ = π
5π) logπ π = log1π 1
π
3) π β logπ π = logπ ππ
4) logπ π =logπ π
logπ π
5) logπ π = logππ ππ
3π) logπ π = β logπ 1
π
4π) logπ π β logπ π = logπ π 4π) logπ π =1
logπ π
β ProprietΓ dei logaritmi
1) logπ π + logπ π = logπ(π + π)
2) logπ π β logπ π = logπ(π: π)
β Grafico della funzione esponenziale
1
π
1
|| π¦ = ππ₯
π > 1
1 π
1
|| π¦ = ππ₯
0 < π < 1
β Grafico della funzione logaritmica
1 π
1
|| π¦ = logπ π₯
π > 1 1 π
1 || π¦ = logπ π₯
0 < π < 1
β Formula per equazioni e disequazioni logaritmiche
π = logπ ππ
Esempio: logπ π₯ = π βΉ logπ π₯ = logπ ππ βΉ π₯ = ππ
β Teorema per le disequazioni esponenziali
Siano π, π₯1, π₯2 β β e sia π > 1. Allora:
ππ₯1 < ππ₯2 βΊ π₯1 < π₯2
Siano π, π₯1, π₯2 β β e sia 0 < π < 1. Allora:
ππ₯1 < ππ₯2 βΊ π₯1 > π₯2
β Teorema per le disequazioni logaritmiche
Siano π, π₯1, π₯2 β β e sia π > 1. Allora:
logπ π₯1 < logπ π₯2 βΊ π₯1 < π₯2
Siano π, π₯1, π₯2 β β e sia 0 < π < 1. Allora:
logπ π₯1 < logπ π₯2 βΊ π₯1 > π₯2
β Formula per equazioni e disequazioni esponenziali
π = πlogπ π
Esempio: ππ₯ = π βΉ ππ₯ = πlogπ π βΉ π₯ = logπ π
F
ππ π V
ππΉ
XF β‘ XV
β Lunghezza di un segmento di estremi π e π
π΄π΅ = (ππ΅ β ππ΄)2 + (ππ΅ β ππ΄)2+ (ππ΅ β ππ΄)2= π΅ β π΄
Se il segmento Γ¨ parallelo allβasse x: π΄π΅ = |ππ΅ β ππ΄|
Geometria nello spazio
β Operazioni con i vettori
Siano dati due vettori π£ =
π£1
π£2
π£3
e π€ =
π€1
π€2
π€3
, e π β β.
Addizione e sottrazione
π£ + π€ =
π£1
π£2
π£3
+
π€1
π€2
π€3
=
π£1 + π€1
π£2 + π€2
π£3 + π€3
π£ β π€ =
π£1
π£2
π£3
β
π€1
π€2
π€3
=
π£1 β π€1
π£2 β π€2
π£3 β π€3
Prodotto per uno scalare
π β π£ = π β
π£1
π£2
π£3
=
π β π£1
π β π£2
π β π£3
Prodotto scalare
π£ β π€ =
π£1
π£2
π£3
β
π€1
π€2
π€3
= π£1 β π€1 + π£2 β π€2 + π£3 β π€3
Se π£ β₯ π€ : π£ + π€ = π£ 2 + π€ 2
Se π£ β₯ π€ : π£ + π€ = π£ | + |π€
π β π£ = |π| β π£
π£ β π€ = π£ β π€ β cos πΌ
Prodotto vettoriale
π£ Γ π€ =
π£1
π£2
π£3
Γ
π€1
π€2
π€3
=
π£2π€3 β π£3π€2
π£3π€1 β π£1π€3
π£1π€2 β π£2π€1
π£ Γ π€ = π£ β π€ β sin πΌ
(Γ¨ il prodotto tra la lunghezza di un vettore e la lunghezza della proiezione dellβaltro vettore su di esso)
(Γ¨ un vettore di intensitΓ pari allβarea del parallelogramma generato dai due vettori e perpendicolare ad esso - regola mano dx)
Se il segmento Γ¨ parallelo allβasse y: π΄π΅ = |ππ΅ β ππ΄|
Se il segmento Γ¨ parallelo allβasse z: π΄π΅ = |ππ΅ β ππ΄|
Due vettori sono paralleli se e solo se π£ Γ π€ = 0
Due vettori sono perpendicolari se e solo se π£ β π€ = 0
Due vettori sono paralleli se e solo se esiste π β β0 tale che π£ = π β π€
π£
π€
π£
βπ€
π€
π£
π β π£
π£
π€
πΌ
πΌ π£
π€
π£ Γ π€
π£ = π£12 + π£2
2 + π£32
β Operazioni con i vettori
Modulo di un vettore
β Punto medio di un segmento di estremi π e π
ππ =ππ΄ + ππ΅
2 ππ =
ππ΄ + ππ΅2
ππ =ππ΄ + ππ΅
2
β Equazione del piano
ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0
Caso particolare: retta orizzontale π¦ = π
Equazione cartesiana
Equazione vettoriale π₯π¦π§
=ππ
ππππ
+
π£1
π£2
π£3
,
π€1
π€2
π€3
Equazione parametrica
π₯ = ππ + π π£1 + π‘π€1
π¦ = ππ + π π£2 + π‘π€2
π§ = ππ + π π£3 + π‘π€3
Se il piano Γ¨ perpendicolare allβasse x: π₯ = π
Se il piano Γ¨ perpendicolare allβasse y: π¦ = π
Se il piano Γ¨ perpendicolare allβasse z: π§ = π
Da equazione cartesiana a parametrica: porre due variabili rispettivamente uguali a π e π‘, ricavare π₯, π¦ e π§.
Da equazione parametrica a cartesiana: ricavare π e π‘ e sostituirli nella terza equazione del sistema.
β Vettore perpendicolare a due vettori π e π
π =πππ
Vettore normale al piano:
Metodo 1 π = π£ Γ π€
Metodo 2 Ricavare il vettore π normale ad un piano generato da π£ e π€.
β Equazione del piano dati un punto P e due generatori π e π
π: π₯π¦π§
=ππ
ππππ
+
π£1
π£2
π£3
,
π€1
π€2
π€3
β Equazione del piano dati tre punti P, Q e R
π: π₯π¦π§
=ππ
ππππ
+
π£1
π£2
π£3
,
π€1
π€2
π€3
π£ = π β π
π€ = π β π
Siano
β Equazione del piano dati un punto P e il vettore normale π(π, π, π)
(dove π viene determinato imponendo il passaggio per π) π: ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0
β PerpendicolaritΓ e parallelismo tra piani Due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono i loro vettori normali.
Due piani sono paralleli se e solo se lo sono i loro vettori normali.
β Vettori perpendicolari a un vettore π
Ricavare i vettori generatori di un piano avente vettore normale π (esistono infinite soluzioni).
π£ π€
π
π
β Distanza di un punto P da un piano π : ππ + ππ + ππ + π = π
π(π, π) =|π ππ + π ππ + π ππ + π|
π2 + π2 + π2
β Equazione della retta
Equazione cartesiana
Equazione vettoriale π₯π¦π§
=ππ
ππππ
+
π£1
π£2
π£3
Equazione parametrica
π₯ = ππ + π‘π£1
π¦ = ππ + π‘π£2
π§ = ππ + π‘π£3
Da equazione cartesiana a parametrica: porre una variabile uguale a π‘, ricavare π₯, π¦ e π§.
Da equazione parametrica a cartesiana: ricavare π‘ e sostituirla nelle altre equazioni del sistema.
π1π₯ + π1π¦ + π1π§ + π1 = 0π2π₯ + π2π¦ + π2π§ + π2 = 0
β Equazione della retta dati un punto P e il generatore π
π: π₯π¦π§
=ππ
ππππ
+
π£1
π£2
π£3
β Equazione della retta dati due punti P e Q
π£ = π β π Sia
β Equazione della retta dati un punto P e il piano perpendicolare π
Sia π la normale al piano
β PerpendicolaritΓ e parallelismo tra piani Due rette sono perpendicolari se e solo se lo sono i loro vettori generatori.
Due rette sono parallele se e solo se lo sono i loro vettori generatori.
π: π₯π¦π§
=ππ
ππππ
+
π£1
π£2
π£3
π: π₯π¦π§
=ππ
ππππ
+
π1
π2
π3
β Distanza di un punto P da una retta π
Determinare H, il punto della retta di minima distanza da r: Γ¨ il punto di intersezione tra r e il piano passante per P e perpendicolare a r.
π(π, π) = ππ»
β Equazione della superficie sferica
Equazione esplicita: π₯ β ππΆ2 + π¦ β ππΆ
2 + π§ β ππΆ2 = π2
Equazione esplicita: π₯2 + π¦2 + π§2 + ππ₯ + ππ¦ + ππ§ + π = 0
πΆ βπ
2,β
π
2,β
π
2 π = β
π
2
2
+ βπ
2
2
+ βπ
2
2
β π se βπ
2
2+ β
π
2
2+ β
π
2
2β π β₯ 0
π
π
π π£
π
π»
β Equazione del cilindro di raggio r
π₯2 + π¦2 = π2 (asse: asse z)
π¦2 + π§2 = π2 (asse: asse y)
π§2 + π₯2 = π2 (asse: asse x)
β Equazione del cono
π₯2 + π¦2 = π2π§2 (asse: asse z)
π¦2 + π§2 = π2π₯2 (asse: asse y)
π§2 + π₯2 = π2π¦2 (asse: asse x)
β Equazione dellβellissoide
π₯2
π2+
π¦2
π2+
π§2
π2= 1
β Equazione del paraboloide ellittico
π₯2
π2+
π¦2
π2= 2π§
π¦2
π2+
π§2
π2= 2π₯
π§2
π2+
π₯2
π2= 2π¦ (asse: asse y)
(asse: asse z)
(asse: asse x)
β Equazione del paraboloide iperbolico (sella)
Β±π₯2
π2β
π¦2
π2= 1
Β±π¦2
π2β
π§2
π2= 1 Β±
π§2
π2β
π₯2
π2= 1 (asse: asse y)
(asse: asse z)
(asse: asse x)
β Equazione dellβiperboloide a una falda
+π₯2
π2+
π¦2
π2β
π§2
π2= 1
+π₯2
π2β
π¦2
π2+
π§2
π2= 1 β
π₯2
π2+
π¦2
π2+
π§2
π2= 1 (asse: asse y)
(asse: asse z)
(asse: asse x)
β Equazione dellβiperboloide a una falda
βπ₯2
π2β
π¦2
π2+
π§2
π2= 1
βπ₯2
π2+
π¦2
π2β
π§2
π2= 1 +
π₯2
π2β
π¦2
π2β
π§2
π2= 1 (asse: asse y)
(asse: asse z)
(asse: asse x)
β Teorema delle tre perpendicolari
Siano dati due vettori π£ =
π£1
π£2
π£3
e π€ =
π€1
π€2
π€3
, e π β β.
Se dal piede di una perpendicolare ad un piano si manda la perpendi-colare a una qualunque retta del piano, questβultima risulta perpen-dicolare al piano delle prime due.
π
π
π‘
π
π
π β₯ π
π β₯ π‘ π‘ β₯ π
β Principio di Cavalieri
Due solidi che possono essere disposti in modo che ogni piano paral-lelo ad uno dato li tagli secondo sezioni equivalenti, sono equivalenti.
β Proporzioni tra solidi
Se due solidi Ξ1 e Ξ2 sono simili:
π1: π2 = π12 βΆ π2
2 π1: π2 = π13 βΆ π2
3
β Superfici e volumi dei principali solidi
Prisma
π = 2ππ΅ + ππΏ π = ππ΅ β β
Cilindro
π = 2ππ΅ + ππΏ = 2ππ2 + 2ππβ π = ππ΅ β β
Cono
π = ππ΅ + ππΏ = ππ2 + πππ π =1
3 ππ΅ β β
Piramide
π = ππ΅ + ππΏ π =1
3 ππ΅ β β
Sfera
π = 4ππ2 π =4
3ππ3
β Solidi platonici
Tetraedro 4 tr. equilateri
4 vertici
Esaedro 6 quadrati
8 vertici
Ottaedro 8 tr. equilateri
6 vertici
Dodecaedro 12 pentagoni
20 vertici
Icosaedro 20 tr. equilateri
12 vertici
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