5 - Esercizi: Probabilità e Distribuzioni di Probabilità (Uniforme, Gaussiana)
• Esercizio 1: Una variabile casuale e’ caratterizzata da una distribuzione uniforme tra 0 e 10. Calcolare
- a) la probabilità di ottenere un numero maggiore di 8.2
- b) la probabilità che estraendo 3 volte, si ottenga sempre un numero maggiore 8.2
• Soluzione Esercizio 1:
f(x) = 1b�a = 1
10�0 per 0 < x < 10
f(x) = 0 per x < 0U x > 10
P (x > x0) =Rx
max
x0f(x)dx =
R 108.2
110dx = (10� 8.2)/10 = 0.18 = 18%
P (x > x0 in 3 estrazioni indipendenti) = P (x > x0)3= 0.18
3= 0.58%
Distribuzione di probabilita uniforme da 0 e 10
• Esercizio 2: Disegnare la distribuzione di probabilità della variabile casuale data dalla differenza tra il valore di 2 dadi lanciati simultaneamente. Calcolare la probabilità che, lanciando per tre volte consecutive una coppia di dadi, si ottenga tutte e tre le volte lo stesso valore su ciascun dado.
• Soluzione Esercizio 2: Il risultato del lancio di un dado e’ una variabile casuale discreta x che puo
assumere 6 valori diversi (1,2,3,4,5,6)
x1 risultato del primo lancio, x2 risultato del secondo lancio
La di↵erenza tra i due risultati e’ anch’essa una variabile casuale � = x1�x2
di cui si vuole determinare la funzione di distribuzione di probabilita.
La variabile � e’ compresa tra -5 (quando x1 = 1 e x2 = 6) e +5 (viceversa),
assumendo i valori discreti: -5, -4, ...0, ..., +4, +5
Si calcola il numero di combinazioni dei risultati con cui si puo’ ottenere un
certo valore di � (casi favorevoli).
� = �5 ! x1 = 1 x2 = 6 ! N(�5) = 1
� = �4 ! x1 = 1 x2 = 5 ; x1 = 2 x2 = 6 ! N(�4) = 2
� = �3 ! x1 = 1 x2 = 4 ; x1 = 2 x2 = 5 ; x1 = 3x2 = 6 ! N(�3) = 3
� = �2 ! ... ! N(�2) = 4
� = �1 ! ... ! N(�1) = 5
� = 0 ! ... ! N(0) = 6
Si ottiene inoltre che N(��) = N(�) per simmetria. Il numero totale dei
casi Ntot
= 36 (casi possibili).
La probabilita di ottenere un certo valore di � e’ quindi P (�) = N(�)/Ntot
.
P (�5) = P (5) = 136 , P (�4) = P (4) = 2
36 , P (�3) = P (3) = 336 , P (�2) =
P (2) = 436 , P (�1) = P (1) = 5
36 , P (0) = 636 ,
Ottenere lo stesso risultato nei due lanci di dadi equivale a x1 = x2 ovvero� = 0. La probabilita di avere � = 0 in 3 serie consecutive di lanci di unacoppia di dadi e’ quindi P (0 3 volte) = P (0)3 = ( 6
36 )3 = 0.46%
La distribuzione di probabilita e’ quella riportata in figura (distribuzione
triangolare)
6− 4− 2− 0 2 4 62 - x1 = x∆
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
Prob
abilit
a'
• Esercizio 3: Una macchina confeziona sacchetti di caramelle del peso medio μ=200 g con una deviazione standard σ=10 g. Assumendo una distribuzione gaussiana, calcolare su un numero molto grande di sacchetti prodotti dalla macchina:
- a) la percentuale di sacchetti che pesano più di 220 g
- b) la percentuale di sacchetti che pesano più di 190 g
• Soluzione Esercizio 3: La percentuale di sacchetti che pesa piu di m1 = 220 g e’ uguale alla prob-
abilita P1(m > m1) =R +1m1
Gµ,�(x)dx.
Si calcola il numero di deviazioni standard (t1) che separano il valore m1 daµ: t1 = |m1�µ
� | = | 220�20010 | = 2 (2 deviazioni standard)
P1(m > m1) =R +1µ Gµ,�(x)dx�
R µ+t1�µ Gµ,�(x)dx = 50%�Q(t1)
dove l’integrale Q(t) =R µ+t�µ Gµ,�(x)dx viene riportato nelle tabelle gaussiane.
Quindi: P1(m > m1) = 50%�Q(t1) = 50%�Q(2) = 50%� 47.72% ⇠ 2.3%
NOTA: in questo caso non serviva utilizzare le tabelle gaussiane in quanto e’ben nota la probabilita che la variabile si trovi entro ±2� da µ, pari a circa il95.5%: quindi P1(m > m1) = P (m > µ+ 2�) = (100%� 95.5%)/2 ⇠ 2.3%
Si risolve analogamente per la probabilita che m > m2 = 190 g.
t2 = |m2�µ� | = | 190�200
10 | = 1 (1 deviazione standard)
Tenendo conto che m2 < µ:P2(m > m2) = 50% +Q(t2) = 50% +Q(1) = 50% + 34.13% ⇠ 84%
NOTA: anche in questo caso non serviva utilizzare le tabelle gaussiane inquanto e’ ben nota la probabilita che la variabile si trovi entro ±1� da µ, pari acirca il 68%. Quindi P2(m > m2) = P (m > µ�1�) ⇠ 68%+(100%�68%)/2 =84%
• Esercizio 4: Un bambino di 4 anni ha un peso di 22.5 Kg. Dalla tabella dei “percentili“ i suoi genitori desumono che si trova al 90-esimo percentile. Il cugino avente la stessa eta’ ha un peso di 18.2 Kg e si trova al 40-esimo percentile. Determinare μ e σ della distribuzione gaussiana che descrive i pesi dei bambini di 4 anni.
Si definisce “percentile” la probabilità che un valore sia minore del valore dato secondo la distribuzione in questione.
• Soluzione Esercizio 4: Il peso del bambino e’ una variabile casuale x distribuita secondo una gaus-
siana.
Il bambino 1 pesa x1 = 22.5 Kg: P (x < x1) = 90% (90-esimo percentile) ovvero
P (x > x1) = 10%.
Il bambino 2 pesa x2 = 18.2 Kg: P (x < x2) = 40% (40-esimo percentile) ovvero
P (x > x2) = 60%.
t1 = |x1�µ
�
| e t2 = |x2�µ
�
|Si conoscono le probabilita: P (x > x1) = 50% � Q(t1) = 10% e P (x > x2) =
50% + Q(t2) = 60% da cui Q(t1) = 40% e Q(t2) = 10%: utilizzando le tabelle
per Q(t) e’ possibile ottenere i valori di t1 e t2 che soddisfano le due equazioni
riportate sopra. Si ottengono t1 ⇠ 1.28 e t2 ⇠ 0.255.
Essendo x1 al 90-esimo percentile, x1 > µ da cui: x1 � µ = �t1.
Essendo x2 al 40-esimo percentile, x2 < µ da cui: �x2 + µ = �t2.
E’ un sistema di 2 equazioni in 2 incognite (µ e �):
� =
x1�x2t1�t2
=
22.5�18.21.28+0.255 Kg ⇠ 2.8 Kg
µ = x1 � �t1 = (22.5� 2.8 · 1.28) Kg ⇠ 18.9 Kg
• Esercizio 5: Si misura la grandezza x per N=6 volte e si ottengono i seguenti valori:
- 51, 53, 54, 55, 52, 53
• a) Assumendo che queste misure siano distribuite secondo una gaussiana, calcolare la miglior stime per il valor vero e la deviazione standard della distribuzione gaussiana.
• b) Assumendo che la σ sia esattamente uguale alla stima ottenuta tramite la deviazione standard del campione, calcolare la probabilità che una nuova misura cada al di fuori dell’intervallo delle prime sei (x<50.5 e x>55.5)
• c) Calcolare l’incertezza sulla stima della σ (δσ)
• d) Ricalcolare la probabilità richiesta al punto b) assumendo questa volta che il valore vero di σ sia σ+δσ o σ-δσ e confrontare i risultati con quelli del punto b)
• Soluzione Esercizio 5:
La media e’ miglior stima del parametro µ della gaussiana: x =P
i
x
i
N
= 53La deviazione standard campionaria e’ la miglior stima del parametro � della
gaussiana: �x
=qP
i
(xi
�x)2
N�1 =p2 ⇠ 1.4
x1 = 50.5 ed x2 = 55.5 da cui t1 = |x1�µ
�
| = 1.79 e t2 = |x2�µ
�
| = 1.79ovvero t1 = t2 = t = 1.79. Essendo l’intervallo simmetrico attorno a µ, la prob-abilita richiesta e’ quindi P (x < x1 ORx > x2) = 100% � P (x1 < x < x2) =100%� 2 ·Q(t) = 100%� 2 ·Q(1.79) = 100%� 2 · 46.33% ⇠ 7.3%
Si e’ assunto che � = �x
: questo e’ vero solo per un numero infinito di mis-ure (N ! 1). In questo caso in cui il numero di misure e’ piccolo (solo 6),questa stima e’ a↵etta da grandi incertezze statistiche. L’errore relativo sullastima della deviazione standard e’ ��
�
x
= 1p2(N�1)
= 1p2(6�1)
⇠ 32% da cui:
� = �x
± �� = 1.40± 0.45.
Si ricalcolano le probabilita della prima domanda assumendo due valori di-versi della deviazione standard: �+ = �
x
+ �� = 1.85 e �� = �x
� �� = 0.95.I corrispondenti valori di t sono: t1,+ = t2,+ = 1.35 e t1,� = t2,� = 2.63. Lecorrispondenti probabilita sono: P+(x < x1 ORx > x2) = 17.7% e P�(x <x1 ORx > x2) = 0.86%, da confrontare con il valore P (x < x1 ORx > x2) =7.3% calcolato per � = �
x
. E’ evidente che con un numero piccolo di misure leprobabilita ottenute in questo modo sono a↵ette da grandi incertezze.NOTA: Per un gran numero di applicazioni pratiche si puo dimostrare che questoe↵etto e’ sostanzialmente trascurabile se il numero di misure e’ superiore a circa20 (vedi distribuzione ”t-Student” per approfondimenti).
Q(t) =R µ+t�µ Gµ,�(x)dx
µ µ+ t�
Gaussiana
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