1. NUMERI ED OPERAZIONI SUI NUMERI
/m
m nn
x x x
1 0 1 2
1
2
3
4
5
4
a b a b a b a b
1
2
Operazioni sui numeri
3
Nota: operazione impossibile
non esiste!
1
0 0
aa
4
1 2
volte
0 , , n
n
n a a a a a a a a a a 310 1000
00 1n a
volte
1 10, : 0 n j
j
j
n j n a aa a a aa
33
110 0,001
10
Proprietร delle potenze:
5
Scomposizione di un numero secondo (le potenze di) numeri primi
๐ รจ un numero primo se รจ divisibile solamente per lโunitร e se stesso: numeri primi: 2,3,5,7,11,13,17,โฏ
6
Come riconoscere lโequivalenza (o non) tra frazioni?
Frazioni equivalenti (non equivalenti) hanno la stessa (diversa) forma irriducibile
Sรฌ, รจ irreducibile
7
Prodotto di numeri razionali:
Somma di numeri razionali: 1) via minimo comune multiplo
2) via diretta
Risultati delle operazioni non necessariamente irreducibili!
8
Rappresentazione decimale dei numeri
Numero razionale: cifre decimali finite o periodiche
Numero irrazionale: numero infinito di cifre decimali
Troncamento con numero di cifre crescenti: restringimento dellโintervallo in cui si colloca il numero esatto
9
Troncamento nella rappresentazione decimale di un parametro chimico-fisico: stesso significato ma diversa origine!
Esempio: distanza ๐ misurata con un regolo avente suddivisioni (tacche) in millimetri: ๐ = 12,1 cm
nel significato di: 12,05 cm< ๐ โค 12,15 cm
In questo caso il troncamento non รจ scelto a priori, ma รจ determinato dallโincertezza (errore) della misura
Stima dellโerrore (incertezza) ๐๐ della misura del parametro ๐: ๐๐ = 0,05 cm
Cifre significative di un parametro: cifre decimali riportate e non affette da errore
๐ = 12,1 cm: 3 cifre significative
Normalmente si suppone che tutte le cifre riportate siano significative
Esempio: come si dovrebbe riportare in metri una distanza ๐ = 3,5 km?
3,45km< ๐ โค 3,55km ๐๐ = 50m
๐ = 3500m โ 3499,5m< ๐ โค 3500,5m, ๐๐ = 0,5m : sbagliato!
๐ = 35 โ 102m โ 34,5 โ 102m< ๐ โค 35,5 โ 102m, ๐๐ = 50m : corretto!
10
Stesso significato per i parametri chimico-fisici tabulati, ad esempio costante dei gas: ๐ = 8,314 J/mol K
Implicito: ๐ di per sรฉ รจ un numero con infinite cifre decimali (numero irrazionale) e se ne riporta la forma troncata con 4 cifre significative, cioรจ: 8,3135 J/mol K < ๐ โค 8,3145 J/mol K
๐
11
Quali cifre riportare nella somma di parametri?
Esempio: dati due parametri ๐1 = 12,1 e ๐2 = 0,512 , quale valore riportare per la loro somma ๐ = ๐1 + ๐2?
Riportando la soma algebrica, ๐ = 12,1 + 0,512 = 12,612 , si attribuirebbe a ๐ una incertezza ๐๐ = 0,0005. Eโ corretto?
Estremo inferiore/superiore di ๐ = somma degli estremi inferiori/superiori degli addendi
๐1
๐1 โ ๐๐1 ๐1 + ๐๐1
๐2
๐2 โ ๐๐2 ๐2 + ๐๐2
๐
๐ โ ๐๐ ๐ + ๐๐
๐ + ๐๐ = ๐1 + ๐๐1 + ๐2 + ๐๐2 = ๐1 + ๐2 + ๐๐1 + ๐๐2 ๐๐ = ๐๐1+๐๐2 = 0,05 + 0,0005 โ 0,05
Nella somma prevale la maggiore delle incertezze degli addendi!
Risultato corretto: ๐ = 12,6 12.55 < ๐ โค 12,65
Somma degli errori assoluti nellโaddizione!
12
E se i due parametri nella somma hanno la stessa incertezza?
Ad esempio: ๐1 = 12,1 ๐2 = 0,5 ๐๐1 = ๐๐2 = 0,05 ๐๐ = ๐๐1 + ๐๐2 = 0,1 ?
Una analisi piรน accurata prederebbe un addensamento dei valori piรน probabili verso il centro dellโintervallo โ Sovrastima dellโincertezza con ๐๐ = 0,1
In pratica si tronca alla stessa cifra decimale:
๐ = ๐1 + ๐2 = 12,6 12,55 < ๐ โค 12,65 ๐๐ = 0,05
E nellโoperazione di sottrazione?
๐ = ๐1 โ ๐2 = ๐1 + (โ๐2)
Equivalenza con la somma attraverso lโopposto โ stesse regole della somma per lโindividuazione dellโincertezza
13
Quali cifre riportare nel prodotto di parametri?
Un esempio: ๐1 = 12,1 ๐2 = 0,15 ๐ = ๐1๐2?
Estremi inferiore/superiore di ๐ = prodotti degli estremi inferiori/superiori dei fattori
๐1
12,05 12,15
12,1 ๐2
0,145 0,155
0,15
๐
12,05 โ 0,145 12,15 โ 0,155
12,1 โ 0,15 ๐
1,74725 1,88325
1,815
Ragionevole intervallo di incertezza: ๐
1,75 1,85
1,8 Risultato: ๐ = 1,8
14
Cโรจ una strada piรน diretta: confronto tra gli errori (incertezze) relativi
Errori relativi sui fattori: ๐๐1 ๐1 = 0,05 12,1 โ 0,004 ๐๐2 ๐2 = 0,005 0,15 โ 0,03
Incertezza sul prodotto dallโestremo superiore:
๐ 1 + ๐๐ ๐ = ๐ + ๐๐ = (๐1 + ๐๐1) ๐2 + ๐๐2 = ๐1๐2(1 + ๐๐1 ๐1 )(1 + ๐๐2 ๐2)
1 + ๐๐ ๐ = (1 + ๐๐1 ๐1 )(1 + ๐๐2 ๐2)
๐๐ ๐ = ๐๐1 ๐1 + ๐๐2 ๐2 +(๐๐1 ๐1) (๐๐2 ๐2 ) โ ๐๐1 ๐1 + ๐๐2 ๐2
Trascurabile!
Gli errori relativi si sommano nel prodotto ๐๐ ๐ โ 0,004 + 0,03 โ 0,03 = ๐๐2 ๐2
Nel prodotto prevale la maggiore delle incertezze relative
๐๐ โ 0,03 โ ๐ โ 0,06 โ ๐ = 1,8
Regola pratica: numero cifre significative nel prodotto = minimo del numero di cifre significative dei fattori โ 12,1 โ 0,15 = 1,8
3 2 2
15
Nella precedente trattazione era implicito che tutti i parametri fossero positivi
Generalizzazione a parametri generici: errore relativo (sempre positivo): ๐๐ |๐|
errore relativo nel prodotto ๐ = ๐1 โ ๐2: 1 2
1 2| | | | | |
p pp e ee
p p p
E nella divisione ๐ = ๐ ๐ = ๐ โ 1 ๐ ?
Eโ sufficiente valutare lโerrore ๐1 ๐ del reciproco 1 ๐ , noto lโerrore ๐๐ sul
parametro ๐
๐ โ ๐๐ ๐ + ๐๐
๐
1 ๐ โ ๐1 ๐
1 ๐
1 ๐ + ๐1 ๐
1/ 1/1 1 1 1 b
b bb b b
ee e
b b e b e b b b e
1/
1 /b b b
b
e e e
b b e b
Errore relativo sul reciproco = errore relativo sul parametro
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