8/3/2019 Zeta multipla

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Zeta multipla

Rosario Turco

Dicembre 2011

Il concetto di zeta multipla non nuovo; fu per la prima volta discusso via epistolare da Eulero e Goldbach

nel 1742 e approfondito successivamente da Eulero nel 1771. Oggi una strada che riprende consistenza

ed interesse in vari ambiti, compreso quello fisico. Eulero, tra laltro, anticip anche quelle che oggi si

chiamano L-serie.

Nella Sigma notation una zeta multipla (MZV) definita nel seguente modo:

1 21 2

1 2 ...1 2 ... 1

1( , , ..., )ki i ik

kkn n n

i i in n n

(1)

Se k=1 riotteniamo la zeta di Riemann classica, con k=2 si tratta del prodotto di due zeta e si parla anche di

shuffle product o di prodotto armonico.

Per comprendere la (1) proviamo a moltiplicare tra loro solo due zeta di Riemann:

1 1

1 1( ) * ( )

m n

k k

m nk k

(2)

Sviluppiamo la (2) ad esempio nel seguente modo:

1 1 1 1 1 11 ... * 1 ...

2 3 4 2 3 4m m m n n n

Per ogni termine di sinistra otteniamo vari prodotti che di seguito elenchiamo:

1 1 11 ...

2 3 4n n n

1 1 1 ...2 1 2 2 2 3

m n m n m n

1 1 1...

3 1 3 2 3 3m n m n m n

Etc

Osserviamo la diagonale dei tre termini di sopra, cio mettendo insieme i termini in modo diverso, ma

sapendo che la somma non cambia:

1 11 ... ( )

2 2 3 3m n m n

m n

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Osserviamo invece il termine sotto la diagonale, introducendo l1, sapendo che il prodotto non cambia:

1 1 1 1... ( , )

2 1 3 1 3 2 4 1m n m n m n m n

m n

Qui in ogni denominatore abbiamo dei terminim n

a b con a>b>1, cio in Sigma notation 1

1m n

a b a b , cio

quella che Michael Hoffman definisce una multi-zeta value (MZV) ( , )m n . Inoltre i termini sopra la

diagonale analogamente rappresentano ( , )n m .

Per cui dalla (2) si ottiene la formula

( ) * ( ) ( ) ( , ) ( , )m n m n m n n m (3)

Una leggera differenza si ha se si considera il segno al posto del segno > e in tal caso se si definisce:

1

1* ( , )

m n

a b

m na b

Per cui *( , ) ( ) ( , )m n m n m n , da cui :

( ) * ( ) *( , ) ( ) *( , )m n m n m n n m (4)

La (3) permette calcoli semplici. Ad esempio sappiamo che

2

(2)6

e

4

(4)90

per cui se m=n=2 dalla

(3) :

42

(2) (4) 2 * (2, 2)36

=

4

2* (2,2)90

Da cui ricaviamo che

4

(2,2)120

La zeta esaminata qui con k=2 nella (1), spesso chiamata double-zeta value. Eulero usava notazioni

differenti da quelle odierne ma riusc a calcolare correttamente molti valori, ma su qualcuno invece il

risultato errato.

La (3) per sintetizzare a volte scritta senza il simbolo della zeta (vedi [1]) nel seguente modo:

(m)*(n)=(m,n)+(n,m)+(n+m)

Ad esempio

(2)*(3)=(2,3)+(3,2)+(5)

Inoltre ad esempio :

(2,1)*(3)=(2,1,3)+(2,3,1)+(3,2,1)+(2,4)+(5,1)

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Riferimenti

[1]http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~carr/pizzatalk.pdf

http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~carr/pizzatalk.pdfhttp://www.mathematik.uni-muenchen.de/~carr/pizzatalk.pdfhttp://www.mathematik.uni-muenchen.de/~carr/pizzatalk.pdfhttp://www.mathematik.uni-muenchen.de/~carr/pizzatalk.pdf