Viaggio nella Scienza thaca - CORE · 17 Calcolo delle Variazioni e segmentazione di immagini...

DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA"Ennio De Giorgi"

Numero II Anno 2013

Il calcolo delle variazioni

Viaggio nella Scienza

thaca

Ithaca: Viaggio nella Scienza

Una pubblicazione del Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi dellUniversita del Salento.

Registrazione presso il Tribunale di Lecce n. 6 del 30 Aprile 2013.e-ISSN: 2282-8079

Direttore ResponsabileLuigi Spedicato

IdeatoreGiampaolo Co

Comitato di RedazioneRocco Chiriv,

Maria Luisa De Giorgi,Luigi Martina,

Giuseppe Maruccio,Marco Mazzeo,

Francesco Paparella,Carlo Sempi.

Segreteria di RedazioneDaniela DellAnna.

2013 Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio de Giorgi. 2013 per i singoli articoli dei rispettivi autori.

Il materiale di questa pubblicazione puo essere riprodotto nei limiti stabiliti dalla licenzaCreative Commons Attribuzione Condividi allo stesso modo 3.0 Italia (CC BY-SA 3.0 IT).

Per il testo della licenza: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/it/deed.it

Ithaca: Viaggio nella Scienzae disponibile sul sito:

http://ithaca.unisalento.it/

Scriveteci allindirizzo:

[email protected]

IthacaViaggio nella Scienza

II 2013

3 .

5 In questo numero

7 Il problema di Newton dei profili aerodinamiciottimiGiuseppe Buttazzo

17 Calcolo delle Variazioni e segmentazione diimmaginiMichele Carriero, Antonio Leaci, Franco Tomarelli

29 Il problema isoperimetricoAlessio Figalli

33 Integrale di Feynman e limite classicoMatteo Beccaria

41 Il principio variazionale nella fisica dei sistemiquantistici a molticorpiGiampaolo Co

e-ISSN: 2282-8079 Indice 1

49 Adam Smith, John Nash, il prezzo dellanarchia ela decadenza della societ modernaVittorio Bil

57 La fine del ghiaccio artico ed il futuro del climaFrancesco Paparella

La lezione mancata

67 Lequazione di EuleroLagrangeRocco Chiriv

e-ISSN: 2282-8079 Indice 2

. (Costantino P. Kavafis) Poeta greco, 1863 1933.

Quando ti metterai in viaggio per Itaca >,devi augurarti che la strada sia lunga , fermo guida il tuo spirito e il tuo corpo. .I Ciclopi e Lestrgoni, no certo ,n nellirato Nettuno incapperai ,se non li porti dentro ,se lanima non te li mette contro. .

Devi augurarti che la strada sia lunga. ,madreperle, coralli, ebano e ambre > ,tutta merce fina, anche profumi , > ,penetranti dogni sorta, pi profumi ,inebrianti che puoi, .va in molte citt egizie ,impara una quantit di cose dai dotti. > .

Sempre devi avere in mente Itaca - .raggiungerla sia il pensiero costante. > .Soprattutto, non affrettare il viaggio; > .fa che duri a lungo, per anni, e che da vecchio .metta piede sullisola, tu, ricco > ,dei tesori accumulati per strada ,senza aspettarti ricchezze da Itaca. >.Itaca ti ha dato il bel viaggio, > > .senza di lei mai ti saresti messo .Fatto ormai savio, con tutta la tua esperienza addosso ^ , ,gi tu avrai capito ci che Itaca vuole significare. > .

Traduzione italiana di Nelo Risi e Margherita Dalmati

Ithaca: Viaggio nella Scienza II, 2013 3

Ithaca: Viaggio nella Scienza II, 2013 4

In questo numero

Il tema conduttore di questo numero di Ithaca costituito dal Calcolo delle Variazioni. Si trat-ta di un tema classico tanto per la Matematicaquanto per la Fisica. Bench abbia la sua originenel Settecento con i lavori di Maupertuis, Euler eLagrange (tra gli altri), ha acquistato nuova vitacon il passare del tempo e ha continuato a affa-scinare matematici e fisici; ne sia testimone lalezione speciale di Richard Feynman nelle sueLectures [1]. Il lettore trover articoli che mostra-no la straordinaria vitalit che questo tema anco-ra mostra, adattandosi perfettamente ai recentisviluppi. Brevemente

Buttazzo ricerca il profilo di un corpo solidoche presenti la minima resistenza al moto,un problema che risale a Newton;

Carriero, Leaci e Tomarelli applicano il Cal-colo delle Variazioni alla segmentazionedelle immagini;

Figalli affronta da un punto di vista moltomoderno il problema antichissimo, noto tal-volta come il problema di Didone, di trovareper un perimetro di lunghezza fissata quelloche racchiude larea massima;

Beccaria se ne serve per mostrare come, uti-lizzando il formalismo degli integrali diFeynmann, sia possibile trattare i proble-mi della meccanica quantistica mantenendouno stretto contatto con il suo limite classico;

Co usa un principio variazionale perdescrivere sistemi quantistici a molti corpi;

Bil applica la teoria dei giochi a problemidi scienze sociali: anche in questo caso si

tratta di trovare, fra tutte le possibili soluzio-ni, quelle che rendano massima o minimauna predeterminata quantit.

Il numero completato dallarticolo di Paparel-la sulle fluttuazioni delle dimensioni della ban-chisa dellArtico, che non rientra nel tema prin-cipale, ma offre uninformazione aggiornata suun argomento di attualit. Chiude questo nume-ro la lezione mancata di Chiriv che pu servireda introduzione per il lettore che non abbia maiincontrato il calcolo delle variazioni.

Il numero si apre con una poesia di Kavafis suItaca, che, letta con gli occhi di chi interessatoalla scienza, trasporta nel mito Omerico lo sforzoe la tensione della ricerca scientifica, ponendolaccento sul momento della ricerca del risultatopi che sul risultato stesso.

Z M Y

[1] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: The FeynmanLectures on Physics, Cap. 19 - Vol.II, Addison Wesley,London (1969).

\ d [

Ithaca: Viaggio nella Scienza II, 2013 In questo numero 5

Ithaca: Viaggio nella Scienza II, 2013 In questo numero 6

Il problema di Newton deiprofili aerodinamici ottimiGiuseppe Buttazzo Dipartimento di Matematica, Universit di Pisa

La ricerca del profilo di un corpo so-lido che presenta la minima resi-stenza al moto uno dei primi pro-blemi del calcolo delle variazioni e fu po-sto da Newton nel 1685. Newton nondisponeva della teoria dei fluidi e delleequazioni a derivate parziali della fluido-dinamica, tuttavia svilupp un modellomolto semplice per calcolare la resisten-za al moto di un corpo solido in un fluido.

Nel suo Principia Mathematica Newton scrive:

Si globus & cylindrus qualibus diametris de-scripti, in medio raro ex particulis qualibus& ad quales ab invicem distantias libere di-spositis constante, secundum plagam axis cy-lindri, quali cum velocitate moveantur: eritresistentia globi duplo minor quam resisten-tia cylindri. [. . . ] Quam quidem propositio-nem in construendis navibus non inutilemfuturam esse censeo.1

1Libro II, Proposizione XXXIV, Teorema XXVIII: Una sferaed un cilindro di uguale diametro si muovano parallelamenteallasse del cilindro, immersi in un mezzo rarefatto compostodi particelle identiche, disposte senza vincoli a distanza co-stante luna dallaltra: la resistenza della sfera sar la metdella resistenza del cilindro. Nel successivo scolio: Sen-za dubbio ritengo che la proposizione non sar inutile perlingegneria navale.

Per capire quanto la resistenza incide sul motodi un corpo partiamo da un semplice problemadi balistica: il lancio di un oggetto nel vuoto. Talefenomeno governato dalla legge di Newton

massa accelerazione = forze in gioco

dove le forze in gioco si riducono nel nostro casoalla sola forza di gravit. Supponendo la gravitcostante, ipotesi ragionevole per lanci di brevegittata, ma non per lanci balistici di migliaia dikm, con facili calcoli si ricava lequazione dellatraiettoria:

y = x tan g(1 + tan2 )

2v2x2

La traiettoria dunque un arco di parabola chenon dipende dalla massa del corpo lanciato;nellequazione precedente abbiamo indicato con

= angolo di tiro;v = velocit iniziale;g = accelerazione di gravit.

Ad esempio, usando i dati:

v 100 km/h 27.78 m/sec;g 9.8 m/sec2 (sulla terra)

si trovano le traiettorie riportate in Figura 1, congittata

L =2v2 tan

g(1 + tan2 )

Ithaca: Viaggio nella Scienza II, 2013 Il problema di Newton dei profili aerodinamici ottimi 7

0 10 20 30 40 50 60 70 80Lunghezza (m)

05

1015202530

Alte

zza

(m)

Figura 1:L 68.2 m con = 30,L 68.2 m con = 60,L 78.7 m con = 45.

Si trova, come ben noto, che la gittata massimaLmax vale

Lmax =v2

gin corrispondenza di = 45

Unmodello matematico pi realistico (almenoper lanci balistici sulla Terra) deve per tenerconto della resistenza dellaria che una forza Rche dipende dalla velocit:

R = c (v)

dove una funzione che si ricava sperimental-mente e c una costante che dipende dalla formadelloggetto lanciato.Utilizzando ad esempio (v) = v lequazione

del moto unequazione differenziale ordinarialineare del secondo ordine a coefficienti costanti esi trova con facili calcoli unespressione esplicitadella traiettoria, data da:

y = x tan +gm

c

[x

v cos +

+m

clog(

1 cxmv cos

)]Le traiettorie non sono pi archi di parabola; inol-tre esse dipendono dalla massa delloggetto lan-ciato e dalla costante c, che a sua volta dipendedalla forma delloggetto stesso. Alcune traietto-rie sono riportate in Figura 2, dove si usatoun coefficiente c piuttosto grande per evidenzia-re meglio leffetto della resistenza dellaria e lanatura non parabolica delle curve.

Va notato che la gittata massima non si ottienepi per = 45 ma per angoli pi piccoli, dipen-denti dai dati del problema. Inoltre, la resisten-za dellaria fa diminuire notevolmente la gittatamassima; la tabella in Figura 3 mostra leffetto

della resistenza dellaria sulla gittata massima dialcuni proiettili comuni.La resistenza aerodinamica di un oggetto

data daR =

1

2SCv2

dove la densit del fluido in cui avvie-ne il moto, v la velocit delloggetto, S lareadella sezione ortogonale al moto, C il coeffi-ciente aerodinamico dipendente dalla formadelloggetto.Nella pratica, si calcola la resistenza tramite

galleria del vento e si deduce il coefficiente C dallaformula precedente. Qui di seguito, in Figura 4alcuni coefficienti aerodinamici di alcune noteautomobili, ed in Figura 5 alcuni altri coefficientiaerodinamici.

Il modello di Newton per calcolare la resisten-za aerodinamica di un corpo solido si ottienefacilmente supponendo le condizioni seguenti:

il fluido supposto costituito da particel-le indipendenti che si muovono con velocitcostante;

la resistenza dovuta soltanto agli urti del-le particelle del fluido con la superficie delcorpo, urti che sono supposti perfettamenteelastici;

ogni particella urta la superficie del corposolido al pi una sola volta;

si trascurano lattrito tangenziale ed altrieffetti quali la vorticit e le turbolenze.

Notiamo cha la condizione di singolo urto siha ad esempio se il corpo solido in questione convesso.

Con facili argomenti di trigonometria elemen-tare si trova allora che la pressione in un punto


0 2 4 6 8 10 12Lunghezza (m)

0

2

4

6

8Al

tezz

a (m

)

Figura 2: = 30, = 60, = 45.

del profilo del corpo proporzionale a sin2 , do-ve linclinazione del profilo del corpo rispettoalla direzione del moto, come illustrato in Figura6.Descrivendo il profilo del corpo mediante

il grafico di una funzione u(x) definita sullasezione ortogonale al moto, si trova

sin2 =1

1 + tan2(/2 )=

1

1 + |u|2

e la resistenza totale sar quindi proporzionale a

F (u) =

1

1 + |u|2dx

tramite il coefficiente di proporzionalit v2,dove la densit del fluido e v la sua velocit.

Dividendo la resistenza totale per larea dellasezione otteniamo la resistenza relativa delprofilo u (spesso chiamata coefficiente Cx):

C(u) =F (u)

||

Le seguenti osservazioni sono immediate:

si ha sempre 0 C(u) 1;

se il corpo ha un profilo piatto, cio se u costante, si ha C(u) = 1;

se il corpo una semisfera di raggio R si ha

u(x) =R2 |x|2 e si trova

C(u) =F (u)

R2=

2

R2

R0

R2 r2

R2r dr =

1

2

in accordo con quanto previsto da Newtonnel 1685.

Alcuni corpi con C(u) = 1/2 (o vicino a 1/2)sono illustrati nelle Figure 7 e 8.Studiamo ora il problema di trovare il profilo

ottimo in una classe di profili ammissibili:

min{F (u) : u profilo ammissibile

}

Calibro Velocit m/s Gittata in m. nel vuoto m.4,5 mm aria compressa 120 100 14694,5 mm aria compressa 200 200 40826/9 mm Flobert 225 700 5166.22 corto 260 1000 6898.22 Long Rifle 350 1370 12500.22 Long Rifle HS 370 1500 13969.22 Winch. Magnum 610 1800 37969243 Winch. 1070 3200 1168276,35 mm 220 800 49397,65 mm 285 1300 82889 mm corto 285 1300 82889 mm Para 350 1700 12500.45 ACP 300 1620 918430 M1Carb. 600 2000 367357x70 mm 830 3500 702968x57 mm JS 830 3500 702966,5x57 mm 1020 4000 1061637x57 mm 850 4500 737246,5x68 mm 1150 5000 134949

Figura 3: Effetto della resistenza dellaria sulla gittata dialcuni proiettili.


Alfa Romeo Giulia 1964 0,43Alfa Romeo Alfetta 1972 0,42Alfa Romeo 33 1983 0,36Alfa Romeo 90 1984 0,37Alfa Romeo 75 1985 0,32Alfa Romeo 75 Turbo Evoluzione 1987 0,30Alfa Romeo 164 1988 0,31Alfa Romeo RZ/SZ 1989 0,30Alfa Romeo 155 1992 0,29Alfa Romeo 156 Berlina 1997 0,31Alfa Romeo 156 Sportwagon 1999 0,30Alfa Romeo 159 2006 0,32Alfa Romeo Mi.To. 1.6 JTDm 120 cv 2008 0,29Alfa Romeo Mi.To. 78 cv 2008 0,35

Figura 4: I coefficienti aerodinamici di alcune AlfaRomeo.

Il problema considerato da Newton limitava laclasse dei profili ammissibili a quelli con simme-tria radiale, verificanti inoltre lipotesi di conves-sit in modo da verificare la condizione di urtosingolo delle particelle di fluido con la superficiedel corpo solido. La stessa limitazione venivaimposta in tutti i trattati di calcolo delle variazio-ni (Bliss, Bolza, Carathodory, Cesari, Hestenes,Miele, Tonelli, Young, . . . ).

La prima formulazione generale del problemasi trova in [1] ed in [2]. I problemi che si pongonosono:

individuazione di una classe naturale diprofili ammissibili;

dimostrazione dellesistenza di un profiloottimo;

studio delle condizioni necessarie di ottimali-t che i profili ottimi verificano;

questione della radialit dei profili ottimi nelcaso in cui la sezione sia un cerchio;

eventuale rottura di simmetria nel casoin cui ci non avvenga e conseguente nonunicit della soluzione ottima.

Il funzionale F non convesso n coercivo, percui imetodi diretti del calcolo delle variazioni nonsono applicabili. Inoltre, senza ulteriori restri-zioni alla classe dei profili ammissibili, lestremoinferiore del funzionale F zero, come si vedesubito considerando le funzioni

un(x) = n dist(x, )

Rumpler Tropfenwagen 1921 0,29Volkswagen Maggiolino 1946 0,38Volkswagen New Beetle 1999 0,38Fiat 500 2009 0,32Maserati Gran Sport 2009 0,33Toyota Prius 2009 0,25Mercedes Classe E Coup 2009 0,24Ferrari 360 Modena Novitec 2004 0,35Aprilia RSV 1000 R 0,30Go Kart 0,80Formula Uno 0,90Aereo leggero 0,12Ciclista da turismo 1,00Goccia d'acqua 0,05

Figura 5: Alcuni altri coefficienti aerodinamici.

(coni di base ed altezza che tende a +), percui si ha

limn+

F (un) = 0

ed evidentemente nessun corpo solido ha resi-stenza nulla. Dunque senza ulteriori restrizionisulle funzioni ammissibili il profilo ottimo nonesiste.Si potrebbe erroneamente pensare che la non

esistenza del minimo di F sia dovuta al fattoche le funzioni un non verificano limitazioniuniformi. Tuttavia, anche imponendo ai profiliammissibili un vincolo del tipo

0 u(x) M x

si ottiene ancora che lestremo inferiore di F

P sin !2P sin !

P

!

Figura 6: La legge di pressione di Newton.


Figura 7: (a) semisfera; (b) cono.

zero, come mostrano ad esempio le funzioni

un(x) = M sin2(n|x|)

per le quali si ha ancora

limn+

F (un) = 0

Tuttavia, per profili del tipo del grafico diM sin2(n|x|) le particelle del fluido hanno urtimultipli con il corpo, ed il modello di Newton,che considera solo il primo urto, non pi valido.Consideriamo allora soltanto corpi convessi peri quali gli urti sono sempre singoli; in altri termi-ni, restringiamo lanalisi alle funzioni u(x) chesono concave, e quindi il problema di Newtondiventa:

min{F (u) : 0 u M, u concava in

}

Figura 8: (c) una forma piramidale; (d) unaltra formapiramidale.

Vedremo che questo problema risulta ben posto.Condizioni pi generali della convessit, che an-cora assicurano un solo urto delle particelle difluido con il corpo solido, sono state consideratead esempio in [3], [4].

Nel caso unidimensionale (o quando il profilodipende solo da una dimensione) il segmento[0, L] ed il problema diventa:

min{ L

0

1

1 + |u|2dx : 0 u M,

u concava in [0, L]}

In tal caso le soluzioni ottime sono le seguenti,illustrate in Figura 9:

se M L/2 il profilo ottimo dato daltriangolo isoscele di altezzaM ;


seM < L/2 il profilo ottimo dato dal trape-zio isoscele di altezzaM e pendenza lateraleuguale ad 1.

Nel caso bidimensionale di un cerchio diraggio R, e restringendosi alle funzioni u(r) consimmetria radiale, scrivendo la resistenza incoordinate polari si trova

F (u) = 2

R0

r

1 + |u(r)|2dr

e di conseguenza il problema di Newton percorpi a simmetria cilindrica diventa allora:

min{ R

0

r

1 + |u(r)|2dr : u(0) = M,

u(R) = 0, u concava}

Tale problema di minimo ammette lequazionedi Eulero-Lagrange

ru = C(1 + u

2)2 su {u 6= 0}conC < 0 costante. La soluzione u si pu calcola-re esplicitamente in forma parametrica utilizzandola funzione

f(t) =t

(1 + t2)2

(7

4+

3

4t4+t2log t

)t 1

che risulta strettamente crescente, e le quantit

T = f1(M/R), r0 =4RT

(1 + T 2)2

Si trova allora che il profilo ottimo u dato dau(r) = M per r [0, r0] e t [1, T ] r(t) =

r04t

(1 + t2)2

u(t) = M r04

( 7

4+

3

4t4 + t2 log t

)Osserviamo che:

il profilo radiale ottimo ha sempre una zonapiatta;

la soluzione ottima radiale lipschitziana ed unica;

la soluzione ottima radiale si annulla su ;

|u(r)| > 1 per ogni r > r0 ed |u(r+0 )| = 1;in particolare si ha |u(r)| /]0, 1[.

Figura 9: Profili ottimi in dimensione uno: M L/2(sinistra),M L/2 (destra).

Alcuni profili ottimi sono illustrati nelle Figure10, 11, 12.

La resistenza relativa C(u) dei corpi radialiottimi, ed il raggio r0 della zona piatta superiore,dipendono solo dal rapportoM/R. Ad esempiosi ha:

M/R = 1 M/R = 2 M/R = 3 M/R = 4

r0/R 0.35 0.12 0.048 0.023

C(u) 0.37 0.16 0.082 0.049

e perM/R + si hanno le stime asintotiche:

r0/R 27

16(M/R)3 perM/R +

C(u) 2732

(M/R)2 perM/R +

Nel problema di Newton, di minimo per ilfunzionale

1

1 + |Du|2dx

altri tipi di vincoli possono essere imposti(sempre mantenendo la condizione di concavit):

vincoli di volume

u dx m;

vincoli di superficie

1 + |u|2 dx m.

Per un panorama sulle possibili applicazionidel problema di Newton in aerodinamica si puconsultare ad esempio il libro di A. Miele [6].Il risultati di esistenza di un profilo aerodina-

mico ottimo il seguente

Teorema 1. Se la sezione convessa il problemadi Newton ha soluzione ottima nella classe dei profiliu(x, y) tali che

0 u M, u concava


1

Figura 10: La forma ottima radiale nel casoM = R.

2

Figura 11: La forma ottima radiale nel casoM = 2R.

Faremo ora vedere che nel caso in cui undisco, non si ha una soluzione con simmetria ra-diale. Mostreremo tale rottura di simmetria in varimodi. Un primo modo, sviluppato in [5], consi-ste nellesibire un profilo con resistenza inferioreal miglior profilo radiale. Considerando un pro-filo del tipo illustrato in Figura 13 e scegliendoopportunamente la lunghezza del segmento inalto, cio linsieme {u = M}, si pu calcolare laresistenza del profilo cos ottenuto e si trova perM/R +:

C(u) 0.77(M/R)2 < 2732

(M/R)2 C(urad)

1

Figura 12: La forma ottima radiale nel casoM = R/2.

0

2

Figura 13: Un profilo a cacciavite.

Dunque, per M/R abbastanza grande (mag-giore di 2 nel calcolo fatto in [5]) la soluzione nonpu essere radiale. Resta il casoM/Rpiccolo, chesi studia attraverso alcune condizioni necessariedi ottimalit, cio condizioni che una soluzione,per il fatto che ottima, deve verificare.

Teorema 2. Sia un insieme convesso diRN e sia uuna soluzione del problema di Newton. Supponiamoche in un aperto la funzione u sia di classe C2 e chein sia u < M . Allora si ha

det2u 0 in


Figura 14: Un profilo ottimo abbastanza alto (sinistra), un profilo ottimo pi basso (destra).

Figura 15: Un profilo ottimo ancora pi basso (sinistra), un profilo ottimo molto basso (destra).


Corollario 3. Il problema di Newton non ha solu-zioni radiali, per alcun valore di M . Infatti, appli-cando il teorema precedente alla soluzione radiale,in una regione dove essa regolare, si trova unacontraddizione.

Caratterizzare le soluzioni del problema diNewton ancora una questione aperta. In parti-colare non noto come deve essere fatta la zonasuperiore {u = M} e non si sa se u regolarenella zona {u < M}. Si hanno solo dei risulta-ti numerici sulla forma dei profili ottimi; quelliche mostriamo qui nelle Figure 14 e 15 sono statiottenuti da E. Oudet.

Z M Y

[1] G. Buttazzo, B. Kawohl: On Newtons problem ofminimal resistance.Math. Intelligencer, 15 (1993), 712.

[2] G. Buttazzo, V. Ferone, B. Kawohl: Minimum pro-blems over sets of concave functions and related questions.Math. Nachr., 173 (1995), 7189.

[3] M. Comte, T. Lachand-Robert: Existence of minimizersfor Newtons problem of the body of minimal resistanceunder a single impact assumption. J. Anal. Math., 83(2001), 313335.

[4] M. Comte, T. Lachand-Robert: Newtons problem ofthe body of minimal resistance under a single-impact as-sumption. Calc. Var. Partial Differential Equations, 12(2) (2001), 173211.

[5] P. Guasoni: Problemi di ottimizzazione di forma su classidi insiemi convessi. Tesi di Laurea, Universit di Pisa,1995-1996.

[6] A. Miele: Theory of Optimum Aerodynamic Shapes.Academic Press, New York (1965).

\ d [

Giuseppe Buttazzo: Ha conseguito la Laurea inMatematica nel 1976 presso lUniversit di Pisaed il Diploma nel 1976 presso la Scuola Norma-le Superiore di Pisa. Dal 1987 al 1990 statoprofessore ordinario di Analisi Matematica al-lUniversit di Ferrara e dal 1990 allUniversitdi Pisa. Si occupa di Calcolo delle Variazioni,Equazioni alle Derivate Parziali, Ottimizzazione.



Calcolo delle Variazioni esegmentazione diimmagini

In sintesi, credo che il Calcolo delle Variazioni sia un settoremolto vasto e variegato [....]; esso costituisce unottima pa-lestra per capire quali sono le radici etiche e culturali delmetodo scientifico.

Ennio De Giorgi

Michele Carriero Dipartimento di Matematica e Fisica E. De Giorgi - Universit del SalentoAntonio Leaci Dipartimento di Matematica e Fisica E. De Giorgi - Universit del SalentoFranco Tomarelli Dipartimento di Matematica - Politecnico di Milano

In questa presentazione esponiamo al-cuni problemi con discontinuit libererelativi alla segmentazione dimmagi-ni, introducendo in particolare lo studio,dal punto di vista analitico e numerico,dei funzionali di Mumford & Shah e diBlake & Zisserman.

Il Calcolo delle Variazioni lambito in cui pro-blemi di minimo o di massimo e nozioni diequilibrio energetico trovano un linguaggio pre-ciso e formalizzazioni per mezzo di principivariazionali.

La segmentazione di immagini un proble-ma rilevante sia nella elaborazione di immagi-ni digitali che nella comprensione della visionebiologica.

Qui presentiamo una breve rassegna di risulta-

ti recenti che sono collegati sia alla formulazionee alla sperimentazione di algoritmi per la seg-mentazione automatica di immagini digitali, siaalla comprensione della percezione visiva. Perunampia descrizione rinviamo al volume [1].

Una immagine digitale (che potremmo chia-mare discreta) proviene da un contesto conti-nuo, attraverso un processo di campionamentospaziale e di quantizzazione della luminosit. Inpratica limmagine reale (analogica) suddivisain piccoli rettangoli (i pixels), a ciascuno dei qua-li assegnato un numero (o tre numeri, per leimmagini a colori) ottenuto utilizzando la mediadella luminosit nel rettangolo.A partire dalla met degli anni 80, nella elabora-zione dimmagini sono stati utilizzati il Calcolodelle Variazioni e le Equazioni alle Derivate Par-ziali, settori della matematica gi ben consolidati

Ithaca: Viaggio nella Scienza II, 2013 Calcolo delle Variazioni e immagini 17

La misura di Hausdorff unidimensionaleLa misura di Hausdorff unidimensionaleLa misura di Hausdorff unidimensionale

La definizione formale la seguente: per ogni sottoinsiemeK di R2,

H1(K) = lim0H1(K) = sup

>0H1(K)

(possibilmente anche +) dove

H1(K) = inf

{ i=1

diamBi ; Ki=1

Bi, diamBi <

}

possibile definire le misure di Hausdorff Hs s-dimensionali per ogni numero reale s con0 s 2, inserendo nella serie il termine cs(diamBi)s. Queste misure intervengono nellateoria degli insiemi frattali. Per s = 0 si ottiene la misura che conta i punti, per s = 2 siottiene lusuale misura di Lebesgue nel piano: H2(K) = meas(K).

per lo studio del mondo fisico. In questo conte-sto sia limmagine sia la sua elaborazione sonodefinite in ogni punto del dominio. Una voltaformulato e risolto un problema di elaborazionedimmagini nel modello continuo, la soluzione solitamente approssimata con metodi numerici,che ci forniscono unimmagine digitale.

La descrizione si rivolge anche ai non speciali-sti nel Calcolo delle Variazioni; per questo trala-sciamo lanalisi in un contesto pi generale e cilimitiamo a casi modello: talvolta, al fine di sem-plificare lesposizione, i risultati sono espressicon ipotesi che non sono minimali.Esistono molti modi diversi per definire gli

obiettivi della segmentazione e non vi alcunanozione universalmente accettata: questa espo-sizione limitata ad alcuni modelli di decom-posizione di una immagine, in cui assegnatauna funzione che descrive lintensit del segnaleassociata a ciascun punto (tipicamente lintensitdella luce su uno schermo). In parole semplici, lasegmentazione di una immagine consiste nellascomposizione dellimmagine per evidenziarnele linee di maggiore discontinuit dellintensitluminosa.

La segmentazione pu essere ottenutamedian-te diverse tecniche (cfr. [1], [2]). Noi descriviamoalcuni approcci basati su un principio variaziona-le: la minimizzazione di una opportuna energia.Evidenziamo che le funzioni che descrivono lin-tensit della luce in segmentazioni ammissibilipossono presentare discontinuit.

Questimodelli di segmentazione sono utili nel-la descrizione della visione, e sono in grado difornire anche utili indicazioni su questioni rile-vanti per la fisiologia della visione. Per esempio,questi modelli possono aiutare nella compren-sione di come lenorme quantit di dati conte-nuti in una singola immagine possa essere ri-dotta e rapidamente trasformata, preservandonela geometria essenziale che fondamentale perlinterpretazione dellimmagine stessa.Le formalizzazioni variazionali dei modelli

per la segmentazione forniscono una pi profon-da comprensione dellanalisi di una immagine,producono questioni matematiche interessanti(alcune ancora aperte) la cui soluzione, con le sti-me globali che ne derivano, contribuisce ad unamigliore interpretazione della percezione visiva.

Questi modelli si inquadrano nellampia classedei problemi con discontinuit libere, introdot-ta da Ennio De Giorgi ([3]). In questo ambito,strumenti moderni di teoria geometrica della mi-sura, recenti sviluppi sulle superficie minime esulla regolarit delle estremali in Calcolo delleVariazioni, consentono lo studio di problemi diminimo per funzionali in cui sono presenti siatermini di massa sia termini di superficie (di li-nea, nel caso bidimensionale): in tale contestosono ammissibili funzioni discontinue (in sen-so matematico), e talvolta le loro discontinuitsono proprio le caratteristiche principali dellasoluzione.Qui delineiamo le principali propriet di due


modelli variazionali noti in letteratura come mo-dello di Mumford & Shah (cfr. [4]) e modellodi Blake & Zisserman (cfr. [5]). Questi approccibilanciano simultaneamente la regolarizzazionedel segnale e la lunghezza della segmentazione;spesso questi modelli sono pi accurati nel rile-vare le discontinuit, rispetto ad altre tecnichedi filtraggio.Limitiamo la nostra discussione a immagini

bidimensionali monocromatiche. Per le imma-gini a colori rimandiamo allanalisi di segnali avalori vettoriali ([6]).

Il funzionale di Mumford & Shah

Dato un aperto limitato R2, consideria-mo il seguente funzionale, introdotto in [4] daMumford & Shah,

MS(K,u) :=\K

(Du2 + |u g|2

)dx1dx2

+ length(K )

(1)

dove K R2 lunione di una famiglia di cur-ve (a priori incognite), x = (x1, x2) indica unpunto in , length(K ) indica la somma dellelunghezze di queste curve e u una funzionescalare differenziabile in \K; Du denota lanorma euclidea del gradienteDu = ( ux1 ,

ux2

) diu. Il dato g una funzione limitata definita su. Chiariamo nel successivo riquadro il termi-ne lunghezza (totale), richiamando la definizio-ne dellamisura di Hausdorff unidimensionaleH1: in questo modo il funzionaleMS ha sensoper ogni insieme chiusoK .

Vogliamo minimizzare il funzionaleMS sullaclasse di tutte le coppie ammissibili (K,u), conK chiuso e u regolare su \K. Nel seguito chia-meremo segmentazione ottimale ogni K checorrisponde ad un minimo diMS e immaginesegmentata la funzione correlata u.

Il funzionaleMS stato introdotto nellambi-to della computer vision in [4]. Linsieme rap-presenta lo schermo, il dato g unimmagine di-gitale. Pi precisamente, in tale contesto, g lim-magine in ingresso e g(x1, x2) descrive il livellodi intensit della luce nel punto (x1, x2) .Nella minimizzazione del funzionaleMS, lim-magine in ingresso (input) g si trasforma in una

immagine in uscita (output) u regolare fuori del-linsieme incognito K: il funzionaleMS pena-lizza grandi insiemi K e, al di fuori della lorounione, si richiede che la funzione u sia regolare(denoised) e vicina al dato g. Il primo termineforza u ad essere il pi regolare possibile in unaperto di , il secondo termine impone una pena-lizzazione (in norma L2()) per la deviazione diu da g, il terzo termine impedisce che linsiemesingolareK sia troppo lungo.

La scelta dei due parametri e corrispondea fissare soglie di scala e di contrasto. Pi preci-samente la sensibilit al contrasto di (42)1/4,la scala di 1/2, il limite di pendenza di(2/4)1/4 (valori di pendenza sopra questa so-glia vengono recuperati in modo non correttointroducendo una discontinuit artificiale) laresistenza al rumore ([5]).

La difficolt principale per minimizzare il fun-zionaleMS dovuta alla presenza dellinsiemeincognito K. Se linsieme chiuso K fosse asse-gnato, allora la funzione u per la qualeMS rag-giunge il suo minimo, sarebbe lunica soluzioneu(K) del seguente problema di Neumann

u+ (u g) = 0 in \K

u

n= 0 in K

(2)

dove u = 2ux21

+ 2ux22

loperatore di Lapla-ce di u, la frontiera di e un la deri-vata normale di u. Pertanto potremmo porreMS(K) = MS(K,u(K)), sicch il funzionaledipenderebbe dal solo insieme chiusoK.Daltra parte, possiamo supporre meas(K) =

0, altrimenti MS(K,u) = +. In questo ca-so la funzione u definita quasi ovunque in e K contiene linsieme di discontinuit K(u)di u, quindi u lunica variabile significativa eMS(u) = MS(K(u), u): in questo approcciolinsiemeK(u) non necessariamente chiuso.

Questa seconda strategia, proposta da DeGior-gi ([3]) molto generale, e ha portato a moltirisultati ([7], [8]), le cui dimostrazioni sono al-quanto tecniche e la loro descrizione va oltre gliscopi di questa esposizione. Tuttavia, per unamigliore comprensione, alcune definizioni e no-zioni basilari sono richiamate nellultima sezio-ne nellambito dei problemi con discontinuit


La -convergenzaLa -convergenzaLa -convergenza

Per chiarire la convergenza di tipo variazionale diMS ricordiamo la nozione di -convergenzaintrodotta da Ennio De Giorgi (cfr. [11]): dato uno spazio metrico V e i funzionali

F : V R {+} > 0

diciamo che F -converge a un funzionale F definito su V se, per ogni v V :

(v) : v v = F (v) lim inf0

F(v)

(v) : v v tale che F (v) lim sup0

F(v)

La principale propriet della -convergenza la seguente:se F -converge a F , v sono minimizzanti di F e v v allora, sotto ipotesi generali suifunzionali F, v un punto di minimo di F e lim

0F (v) = F (v).

libere.Va osservato che non ci si pu aspettare luni-

cit, considerata la dipendenza della segmenta-zione ottimale dai parametri e . Quando ilparametro molto grande, allora la segmen-tazione ottimaleK risulta essere vuota. Daltraparte, se molto piccola c un ampio insiemesingolare K, a meno che non siamo in un casobanale (g costante). Un argomento di continuitmostra che possiamo trovare un valore limite di che implica lesistenza di una segmentazioneottimaleK non vuota e allo stesso tempo mantie-ne anche linsieme vuoto come segmentazioneottimale.

Propriet dei minimi diMS

Il seguente teorema di esistenza stato dimostra-to in [8], [9].Teorema (Esistenza di soluzioni). Sia R2un aperto. Poniamo{

> 0, > 0, limitato,g limitata e misurabile in . (3)

Allora esiste almeno una coppia tra i sottoinsiemichiusi K di R2 e u C1( \ K), che minimiz-za il funzionale MS con energia finita. Inoltresup |u| sup |g| e linsieme K lunione (alpi numerabile) di archi regolari.

La dimostrazione del teorema, come gi detto, piuttosto lunga e tecnica ed stata ottenuta con

i metodi diretti del Calcolo delle Variazioni. Unaversione debole del problema di minimo posto,precisamente la minimizzazione del funzionaleF che dipende solo da u (per la definizione diF rinviamo allultima sezione), risolta dimo-strando semicontinuit inferiore e compattezzanello spazio funzionale delle immagini con ener-gia finita ([10]). Successivamente, provando lamaggiore regolarit dei minimi deboli (concettoopportunamente affinato al fine di essere essen-ziale) otteniamo una soluzione del problemainiziale ([8], [9]).Per descrivere le propriet di una segmenta-

zione ottimaleK usiamo la seguente notazione:per ogni x R2 e per ogni numero reale r > 0 in-dichiamo con Br(x) il disco di centro x e raggior, ovvero

Br(x) = { y R2 : y x < r }

Se (K,u) una coppia minimizzante perMS ,allora possiamo aggiungere a K ogni insiemechiuso con lunghezza nulla ottenendo una nuo-va coppia ottimale (K , u). Per questo motivo utile introdurre la nozione di coppia mini-mizzate essenziale che ha la propriet seguente:H1(K Br(x)) > 0 per ogni x K e Br(x) .Le quattro proposizioni che seguono, relati-

ve a una coppia essenziale minimizzante (K,u),possono essere dimostrate con lipotesi (3) ([2]).Per semplicit consideriamo |g(x1, x2)| 1. Conil termine densit media intendiamo il rapporto


tra la misura della parte di insieme singolareallinterno di un disco e il raggio del disco.Limitazione dallalto per la densit mediaPer ogni x , per ogni 0 < r 1, conBr(x) ,risulta

H1(K Br(x)) (

2 +

)r

Limitazione dal basso per la densit media.Esiste > 0 tale che per ogni x K, per ogni0 < r 1 con Br(x) risulta

H1(K Br(x)) r

Propriet di concentrazione uniforme. Per ogni > 0 esiste () > 0 tale che per ogni x K, perogni R 1 con BR(x) , esiste Br(y) BR(x)con r ()R e

H1(K Br(y)) (2 )r

Le precedenti propriet esprimono il fatto che unalgoritmo idoneo pu eliminare le parti diK chesono essenzialmente isolate, dal momento che lateoria garantisce che con questa eliminazione lasegmentazione migliora, nel senso (variazionale)che il valore del funzionaleMS diminuisce.Contenuto di Minkowski della segmentazio-ne. Per ogni aperto vale la seguenteuguaglianza

limr0

|{x ; d(x,K ) < r }|2r

= H1(K

)La precedente uguaglianza esprime la relazio-ne tra la misura di Hausdorff e il contenuto diMinkowski di K. Questa una informazioneutile per le applicazioni; permette, ad esempio,di utilizzare lo schema di approssimazione intro-dotto in [12] che produce gli algoritmi sviluppatisuccessivamente.

Approssimazione variazionale diMS

MinimizzareMS abbastanza difficile a causadella difficolt dovuta alla presenza dellinsiemedi discontinuit libera K. Dal momento che K incognito, stato necessario sviluppare nuovimetodi per trovare soluzioni numeriche.Il primo approccio alla minimizzazione nu-

merica di MS fu proposto e attuato da Bla-ke & Zisserman nel libro [5]: the Graduated

Non-Convexity algorithm, che corrisponde adun rilassamento della parte non-convessa delfunzionale.

Qui descriviamo un altro metodo, proposto in[12] e implementato numericamente in [13] e in[14].Lidea principale di questo metodo consiste

nellintrodurre una funzione ausiliaria z, che as-sume valori prossimi a 1 lontano da K e valoriprossimi a 0 vicino a K. Consideriamo, allora,i seguenti funzionali dipendenti da una coppiadi funzioni (funzionali pi gestibili, dal punto divista numerico, di quanto lo siaMS): con > 0:

MS(z, u) =

(z2Du2 + |u g|2)dx1dx2

+

(Dz2 + (z 1)

2

4

)dx1dx2

(4)Lultimo addendo forza z a essere quasi ovunqueuguale a 1, mentre il secondo integrale approssi-ma la lunghezza di K nella minimizzazione diMS, per che tende a 0.Presi V = L2() L2(), F(z, u) =MS(z, u) e

F (z, u) =

{F(u) se z = 1 q.o. in + altrove

dove F una versione debole del funzionaleMS (vedi ultima sezione), sussiste il seguenterisultato [12].Teorema. Poniamo (3). Allora i funzionaliMS-convergono a F per 0+.Eseguendo variazioni regolari e con suppor-

to compatto in un intorno di una coppia mini-mizzante (z, u) del funzionaleMS troviamo leequazioni di Eulero in

z2u+ 2zDz Du = (u g)

z =z 142

+z

Du2

u

n=z

n= 0, in

Questo sistema ora pu essere risolto numerica-mente con schemi alle differenze finite (vedi [13],[14]).


50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Figura 1: Segmentazione di una immagine ottenuta utilizzando il funzionaleMS

Equazioni di Eulero perMS, regolaritdellinsieme singolare ottimale e unacongettura di E. De Giorgi

Oltre a (2), ulteriori condizioni di Eulero sonostate ottenute per i minimi diMS ([4], [15]).Curvatura diK e salto del gradiente al quadra-to. Sia (K,u) unminimo diMS in, g C1()e B un disco aperto tale che K B il graficodi una funzione C2 e sia B+ (risp. B) lepigrafico(risp. sottografico) aperto connesso di tale funzionein B. Posto u C1(B+) C1(B), risulta[[Du2+|ug|2

]]= curv(K) suKB

dove[[]]denota la differenza delle tracce su B+

e B, e curv la curvatura valutata orientando lacurva con la normale che punta verso B+.

Il seguente enunciato relativo a una Conget-tura di Mumford & Shah ([4]) sulla regolaritdellinsieme singolare ottimale perMS non stato ancora completamente dimostrato:

Sia (K,u) una coppia essenziale minimizzanteMS, allora K localmente in lunione di unnumero finito di archi C1,1.Ulteriori propriet geometriche dei punti ter-

minali di una segmentazione ottimale sono statestudiate ([4], [15]): le condizioni ottenute ave-vano suggerito la seguente congettura (per oraparzialmente dimostrata, vedi [16])Congettura (De Giorgi [3])Lunica minimizzante locale non costante della parteprincipale del funzionaleMS la coppia (K,u), con

K = {(x1, 0); x1 0 } e la funzione u, espressa incoordinate polari, data da

u(, ) =

2

sin

2 0, < < (5)

(a meno del segno, di moti rigidi in R2 e di costantiadditive).

Il funzionale di Blake &Zisserman

Lo studio di funzionali da minimizzare dipen-denti da una energia dimassa del secondo ordinee una discontinuit (incognita) di superficie (dilinea, nel caso bidimensionale) ha attirato linte-resse in relazione a problemi di teoria della frat-tura, partizioni ottimali, piastre elasto-plastiche([17]) e nella segmentazione di immagini.

Consideriamo ora il funzionale dipendentedalle derivate del secondo ordine ([5], [18])

BZ(K0,K1, u) :=\(K0K1)

(D2u2 + |u g|2

)dx1dx2

+ length(K0 )+ length((K1 \K0) )

(6)

dove R2 un aperto limitato e D2u de-nota la norma euclidea della matrice HessianaD2u =

(2u

xixj

)i,j=1,2

di u. I numeri reali positi-vi , , e la funzione limitata g sono assegnati,mentre K0, K1 R2 sono insiemi chiusi e u


una funzione tale che u C2( \ (K0 K1)) C0( \K0).

Gli insiemi chiusiK0,K1 e la funzione u sonole incognite da trovare come minimi di (6) tratutte le possibili terne ammissibili.Il funzionale BZ stima il grado di corrispon-

denza tra limmagine g e una sua immagine seg-mentata u;K0 K1 la relativa segmentazione.Tale funzionale stato introdotto da Blake & Zis-serman (cfr. [5]) come una forma di energia daminimizzare per realizzare una segmentazioneottimale di unimmagine monocromatica.

La dipendenza dalle derivate secondeD2u (in-vece che dalle derivate prime Du, come nel fun-zionale di Munford-Shah) consente di rilevareanche linsieme delle pieghe. Inoltre questo fun-zionale evita linconveniente delleffetto rampacausato dalla sovra-segmentazione dei salti (che la comparsa di una o pi discontinuit spu-rie nellimmagine di output u, manifestate inve-ce dal funzionaleMS, quando il dato g ha unapendenza abbastanza ripida).

Le discontinuit di u e di Du si evidenzianorispettivamente con gli insiemi K0, K1 che so-no a priori incogniti; per questo il problema diminimo associato risulta essere essenzialmentenon-convesso, e per alcuni dati g pu dar luogo anon unicit dei minimi. Unaltra difficolt nella-nalisi matematica del funzionale BZ il fatto che(6) non controlla le derivate prime, e inoltre iltroncamento delle funzioni in competizione nonriduce l energia, mentre nel caso del funzionaleMS il troncamento riduce lenergia.

Propriet dei minimi di BZ

In [18] stato dimostrato il seguente risultato.Teorema (Esistenza di soluzioni). Sia R2un aperto. Poniamo{

> 0, 0 < 2 , limitato,g limitata e misurabile in . (7)

Allora esiste almeno una terna tra i sottoinsiemi diBorel K0,K1 R2 con K0 K1 chiuso e u C2( \ (K0 K1)), u continua in senso approssi-mato su \K0, che minimizza il funzionale BZ conenergia finita. Inoltre gli insiemi K0 e K1 sono unione (al pi numerabile) di archi regolari. Ladimostrazione stata ottenuta con i metodi di-

retti del Calcolo delle Variazioni. Una versionedebole del problema posto, cio la minimizza-zione del funzionale G che dipende solo da u (ladefinizione di G rinviata allultima sezione) risolta, provando semicontinuit inferiore e com-pattezza nello spazio funzionale di immagini conenergia finita ([19]). Una soluzione al problemadi partenza ottenuta successivamente ([18]),provando la maggiore regolarit dei minimi de-boli (concetto opportunamente affinato al fine diessere essenziale).Le quattro proposizioni che seguono, relati-

ve a una terna essenziale minimizzante, sonostate dimostrate (cfr. [20]) con lipotesi (7). Persemplicit assumiamo |g(x1, x2)| 1.Limitazione dallalto per la densit media. Perogni x , per ogni 0 < r 1 con Br(x) ,risulta

H1 ((K0 K1) Br(x)) (

4 +

)r

Limitazione dal basso per la densit media.Esistono 1 > 0, %1 > 0 tali che per ogni x K0 K1, per ogni 0 < r %1 con Br(x) ,risulta

H1 ((K0 K1) Br(x)) 1r

Propriet delleliminazioneSiano 1 > 0, %1 > 0 come nel precedente enunciatoe 0 < r %1. Se x e

H1 ((K0 K1) Br(x)) 0}

v(x+ y) dy1dy2 = v+

Linsieme Sv = {x :6 ap limyx

v(y)} dettolinsieme singolare di v; Dv denota il gradientedistribuzionale di v e v il gradiente appros-simato di v (cio la parte assolutamente conti-nua di Dv). Quando ha significato, poniamo2v = (v). Ricordiamo inoltre le definizionidi alcune classi di funzioni aventi derivate chesono misure speciali nel senso di De Giorgi, ealcune propriet :

SBV () :={v BV () : DvM() =

v dy1dy2 +Sv|v+ v| dH1

}Per una generica funzione BV la variazione tota-le avrebbe un terzo addendo, detto parte can-toriana, che escluso nel caso delle funzioniSBV .

GSBV () :={v : R ;k v k SBVloc() k N

}

GSBV 2() :={v GSBV (), v

(GSBV ()

)2}Le classi di funzioni GSBV (), GSBV 2() nonsono spazi vettoriali, e non sono sottoinsiemi didistribuzioni in , tuttavia variazioni regolari diuna funzione di GSBV 2() appartengono allastessa classe. Se v SBV () o GSBV (), alloraSv lunione (al pi numerabile) di archi regolarie v esiste quasi ovunque in .

Formulazione debole del funzionale di Mum-ford & Shah ([10]).Sia R2 un aperto; con lipotesi (3), definiamo ilfunzionale F : SBV () [0,+] ponendo

F(u) :=

(u2+|ug|2) dx1dx2+H1(Su)

La segmentazione ottimale per il modellodi Mumford e Shah viene recuperata con lachiusura dellinsieme dei punti di discontinui-t (salti) di una funzione che minimizza F inSBV (). Infatti, una funzione u minimizzanteF fornisce la segmentazione ottimale K = Sue F(u) = MS(K,u) = minMS. Lesistenza diuna segmentazione ottimale stata dimostratain [8].

Formulazione debole del funzionale di Blake& Zisserman ([19]).Sia R2 un aperto; sotto lipotesi (7) definiamo ilfunzionale G : GSBV 2() [0,+] ponendo

G(u) :=

(2u2 + |u g|2) dx1dx2

+H1(Su) + H1(Su \ Su)

La segmentazione ottimale per il modello di Bla-ke e Zisserman viene recuperata con la chiusuradellinsieme dei punti di discontinuit (salti) edellinsieme dei punti di discontinuit del gra-diente (pieghe) di una funzione che minimizza Gin GSBV 2(). Lesistenza di una segmentazioneottimale stata dimostrata in [18].


Z M Y

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Michele Carriero: Laurea in matematica pressolUniversit di Lecce. Professore Ordinario diAnalisi Matematica presso lUniversit del Salen-to. Si occupa di Calcolo delle Variazioni ed Equa-zioni alle Derivate Parziali con applicazioni allaTeoria della Visione e alla Teoria dellElasticit.

Antonio Leaci: Laurea in matematica presso lU-niversit di Pisa e Diploma presso la Scuola Nor-male Superiore. Professore Ordinario di Anali-si Matematica presso lUniversit del Salento. Sioccupa di Calcolo delle Variazioni ed EDP conapplicazioni alla Teoria della Visione e alla TeoriadellElasticit.

Franco Tomarelli: Laurea in matematica pressolUniversit di Pisa e Diploma presso la ScuolaNormale Superiore. Professore Ordinario diAnalisi Matematica presso il Politecnico di Mila-no. Si occupa di Calcolo delle Variazioni ed EDPcon applicazioni alla Teoria della Visione e allaMeccanica dei Continui.



Il problemaisoperimetricoAlessio Figalli Department of Mathematics and Institute for Computational Engineering and Sciences

The University of Texas at Austin

Un riferimento al problema isope-rimetrico, anche detto delle di-suguaglianze isoperimetriche, sitrova gi nella mitologia. Didone, regi-na di Tiro, costretta allesilio dal fratelloPigmalione, si rifugi in Nord Africa, nel-le terre di Iarba, re dei Getuli, cui chie-se non solo asilo ma anche della terraper costruire una nuova citt: la futuraCartagine. Iarba, re ospitale ma piutto-sto geloso dei suoi possedimenti, conces-se alla regina tutta la terra che ella fos-se riuscita a ricoprire con una pelle dibue. Didone non si perse affatto danimo:presa una pelle di bue, inizi a tagliar-la a striscioline sottili, le leg tra di lo-ro e costru una lunga corda. Ora la que-stione : quale forma dare a questa cor-da per racchiudere la maggior superficiepossibile?

Questo un bel problema matematico, un pro-blema di isoperimetria, e consiste nel trovarela figura geometrica che, a parit di perimetro, hala massima area. dunque un tipico problemadi calcolo della variazioni, ovvero di ricerca diminimo o di massimo.

La soluzione di questi problemi dipende dallecondizioni al contorno: ad esempio, se ci si trova

nellentroterra allora la forma migliore un cer-chio, mentre, se come nel caso di Didone la terrasi affaccia sul mare, molto meglio scegliere unsemicerchio.

Il problema di Didone pu essere letto in duemodi. Infatti, si pu scegliere se fissare la lun-ghezza della corda e chiedersi quale sia lareamassima che si vuole racchiudere dentro la figu-ra, oppure se fissare larea e cercare la lunghezzaminimadella corda che la racchiude. In questa se-conda formulazione esso un classico problemadi ricerca del minimo.Lo stesso problema ha senso in dimensione

pi alta: per esempio, nello spazio tridimensio-nale, fissato un volume qual la forma ottimaleper contenerlo usando una superficie la cui areasia la pi piccola possibile? Le bolle di saponeforniscono la risposta, esse disegnano delle sfere.Da un punto di vista matematico, formulare

questi problemi non banale. Infatti ci sono mol-ti punti delicati che bisogna affrontare. Innanzi-tutto, come si misurano il volume di un insieme eil suo perimetro (ossia larea del suo bordo)? Inol-tre, quando si parla di ricerca di un minimo, bi-sogna definire una classe di elementi allinternodella quale si ricerca tale mimimo.Nel nostro caso, per insiemi regolari facile

definire volume e perimetro, ma il problema ilseguente: se cerchiamo un minimo in una classetroppo ristretta, allora molto difficile dimostra-re che tale minimo esista. Fa quindi parte della

Ithaca: Viaggio nella Scienza II, 2013 Il problema isoperimetrico 29

teoria matematica trovare una classe abbastanzagrande di insiemi in modo che:

1. tale classe contenga tutti gli insiemi ra-gionevoli che vorremmo ammettere comecompetitori, per esempio gli insiemi regola-ri, o quelli il cui bordo almeno regolare atratti;

2. tutti gli insiemi della classe abbiano pro-priet sufficienti a definire una nozione diperimetro;

3. sia possibile dimostrare che un minimoesiste in questa classe;

4. sia possibile mostrare che, allinterno di taleclasse, la palla il minimo per il problemaisoperimetrico.

I concetti adatti a rispondere alle domande quisopra poste sono stati introdotti da De Giorgi ne-gli anni 50, il quale ha dato una definizione ma-tematicamente molto efficiente e maneggevoledi perimetro di un insieme.

Lidea la seguente: se il bordo di un insiemeE regolare in modo che sia possibile associareuna forma di volume d sul bordo di E, allora,indicando con P (E) il perimetro di E e con Ela normale esterna al bordo di E, per il Teoremadi Stokes si ha

P (E) =E d(y)

E X(y) E(y) d(y)

=E div(X(x)) dx

per ogni campo vettoriale regolare X : Rn Rntale che X 1.Inoltre, se si sceglie X tale che X(y) = E(y)

su E (come sempre possibile fare se E ab-bastanza regolare), allora nella formula sopraabbiamo unuguaglianza. Quindi

P (E) = sup

E

div(X(x)) dx

dove il sup calcolato sui campi vettoriali Xregolari con X 1.

Notiamo ora che per definire il membro di de-stra non serve nessuna regolarit su E, dato chestiamo solo integrando una funzione regolare suE. Quindi lidea di De Giorgi stata usare ilmembro di destra per definire il perimetro di uninsieme E.

A questo punto il problema isoperimetrico sipu riformulare nella seguente maniera: fissatauna quantit di volume V > 0, lobiettivo di-venta minimizzare il perimetro P (E) tra tutti gliinsiemi E il cui volume |E| (pi precisamente, lacui misura di Lebesgue) uguale a V . In altreparole, si considera

min|E|=V

P (E)

Con la definizione di perimetro di De Giorgi possibile usare tecniche classiche del Calcolo del-la Variazioni per dimostrare lesistenza di un mi-nimo, che denotiamo con EV . Il problema isope-rimetrico diventa quindi mostrare che EV unapalla.

Unosservazione interessante, anche se nonstrettamente necessaria nel nostro seguito, laseguente: dato un insieme E di volume V , sedefiniamo V := V 1/n allora linsieme VE ot-tenuto dilatando E del fattore V ha volume 1.Inoltre il suo perimetro P (VE) = n1V P (E).In particolare P (EV ) P (E) equivalente aP (V EV ) P (VE), da cui V EV un minimodel problema isoperimetro a volume 1.

Da ci si deduce che sufficiente studiare ilproblema isoperimetrico solo per un fissato va-lore di V , dato che i minimi per gli altri volumisono ottenuti semplicemente dilatando un mini-mo di volume V . In particolare, per comodit,sia E .= EV con V = 1.

Il nostro obiettivo dimostrare che E una pal-la. Per mostrare ci, uno strumento fondamenta-le la simmetrizazione di Steiner. Lidea laseguente: dato un insieme E, gli si applica unatrasformazione che lo rende pi simmetrico eche ha come propriet fondamentali di preser-varne il volume e farne decrescere il perimetro(vedi la figura nella pagina successiva).

Questo fatto permette di dedurre che se si ap-plica tale trasformazione a E, per minimalit ilperimetro deve rimanere costante e questa in-formazione permetter di dedurre che E unapalla.

Definizione: Dato un insieme E Rn e unvettore unitario v Rn, si definisce il sim-metrizzato di Steiner di E nella direzione v


come

Ev :=

y v,E `vy 6=

{y + tv : |t| 1

2|E `vy|

}

dove v := {y Rn : y v = 0} il pia-no perpendicolare a v passante per lorigine,`vy := {y + tv : t R} la retta parallela av passante per y, e |E `vy| denota la misura1dimensionale dellinsieme E `vy. (Vedi laFigura 1, dove si utilizzano le notazioni delladimostrazione seguente.)

v

f

g

v

E

Ev

Figura 1: Costruzione dellinsieme simmetrizzato diSteiner.

Questa trasformazione soddisfa le seguentipropriet:

(a) |Ev| = |E| per ogni v;

(b) P (Ev) P (E) e se vale luguaglianza alloraE `vy un segmento per ogni y v;

(c) se E convesso e P (Ev) = P (E) allora, perogni v, Ev = E + tvv per un certo tv R;ossia Ev semplicemente un traslato di E.

La dimostrazione di queste propriet non troppo complicata. Per semplicit le verifi-chiamo in un caso particolare: denotando con{e1, . . . , en} la base canonica di Rn, supponiamoche v = en e che E sia della forma

E = {(y, t) Rn : g(y) t f(y)}

con f, g : Rn1 R funzioni regolari. Allora inquesto caso Ev linsieme dei vettori (y, t) Rn

per cui

f(y) + g(y)2

t f(y) + g(y)2

Notiamo quindi che (a) immediata. Infatti

|E| =Rn1 [f(y) + g(y)] dy

= 2Rn1

f(y) + g(y)2 dy

= |Ev|

Per quanto riguarda (b), per il perimetro abbiamo

P (E) =

Rn1

(1 + |f(y)|2

+

1 + |g(y)|2)dy

P (Ev) = 2

Rn1

1 +

f(y) +g(y)22 dy

Allora, dato che la funzione (s) :=

1 + s2 convessa e crescente otteniamo

(f(y) +g(y)2)

(|f(y)|+ |g(y)|

2

)(1)

(|f(y)|) + (|g(y)|)2

e (b) segue integrando la disuguaglianza soprarispetto a y.Infine, se vale P (Ev) = P (E), dato che

strettamente convessa usando (1) deduciamo chef(y) = g(y) per ogni y, da cui f = g + peruna certa costante R e quindi E = Ev +(/2)en, il che dimostra (c).

Il caso per insiemi generici si ottiene localizzan-do opportunamente largomento appena descrit-to e ragionando per approssimazione (vedere peresempio [1, Sezione 3] per pi dettagli).

Usando (a) e (b) otteniamo la propriet seguen-te: se E un minimo allora E `vy un segmentoper ogni y v e v Rn. Vogliamomostrare chequesto implica che E convesso. Infatti, dati duepunti x, x E, prendiamo v parallelo a x xe consideriamo la retta `vy con y v tale chex, x `vy. Allora, dato che E `vy un segmentodeduciamo in particolare che x+ (1 )x Eper ogni [0, 1], dunque E convesso.


A questo punto applichiamo (c) per dedurreche, per ogni v Rn con |v| = 1, Ev = E+tvv perun certo tv R. Se potessimo dire che tv = 0 perogni v sarebbe facile concludere (come mostrere-mo in un attimo). Purtroppo in generale questonon vero ma possiamo dimostrare che vale ameno di traslare E. Pi precisamente, definiamo

E := E n

i=1

teiei

Allora, usando la propriet che i vettori ei sonoortogonali, non difficile verificare (ricordan-do la definizione del simmetrizzato di Steiner)che (E)ei = E per ogni i = 1, . . . , n, ossia E esattamente uguale al suo simmetrizzato di Stei-ner nelle direzioni ei senza bisogno di applicarealcuna traslazione aggiuntiva. Dato che, per co-struzione, (E)ei simmetrico rispetto al piano{xi = 0}, deduciamo che

E simmetrico rispetto a tutti i pianicoordinati {xi = 0}, i = 1, . . . , n

In particolare segue che E = E, cio E simmetrico rispetto allorigine.Ora, grazie a (c) applicato a E abbiamo

(E)v = E + tvv da cui, osservando che E

simmetrico rispetto allorigine e che (E)v sim-metrico rispetto al piano v (per costruzione),deduciamo che tv = 0.Abbiamo dunque dimostrato che

(E)v = E v Rn, |v| = 1

ossia E simmetrico rispetto al piano v perogni v.

Possiamo ora far vedere che E una palla cen-trata nellorigine. Infatti, prendiamo x E econsideriamo il punto xv E ottenuto rifletten-do x rispetto al piano v. Al variare di v sullasfera unitaria i punti xv descrivono una sfera diraggio |x|. Dunque abbiamo dimostrato che sex E allora la sfera di raggio |x| centrata nel-lorigine contenuta in E. Dato che E con-vesso, E (e quindi anche E) una palla, comedesiderato.

Z M Y

[1] F. Maggi: Some methods for studying stability in iso-perimetric type problems, Bull. Amer. Math. Soc 45(2008) 367408.

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Alessio Figalli: Laureato in matematica allUni-versit di Pisa e alla Scuola Normale Superiorenel 2006, consegue il dottorato di ricerca presso laScuola Normale Superiore e lEcole Normale Su-prieure di Lione nel 2007. Nellottobre 2007 ot-tiene il posto di ricercatore presso il CNRS (Cen-treNational de la Recherche Scientifique) aNizzae nel settembre 2008 diventa professore allEcolePolytechnique di Parigi. Nel settembre 2009 sitrasferisce come professore associato allUniver-sit del Texas ad Austin, dove nel settembre 2011viene promosso a professore ordinario.


Integrale di Feynman elimite classico

Alice rise: inutile che ci provi, disse; non si pu crederea una cosa impossibile. Oserei dire che non ti sei allenatamolto, ribatt la Regina. Quando ero giovane, mi eserci-tavo sempre mezzora al giorno. A volte riuscivo a credereanche a sei cose impossibili prima di colazione.

Alice nel paese delle meraviglie, Lewis Carrol, 1865

Matteo Beccaria Dipartimento di Matematica & Fisica Ennio De Giorgi - Universit del Salento

Il formalismo basato sullintegrale diFeynman consente di trattare i proble-mi della meccanica quantistica mante-nendo uno stretto contatto con il suo li-mite classico. In particolare, le soluzio-ni delle equazioni del moto che seguo-no dal principio variazionale continua-no a giocare un ruolo centrale favoren-do lintuizione fisica. Alcuni esempi sem-plici illustrano questa caratteristica im-portante dellapproccio di Feynman allaquantizzazione.

Il principio di corrispondenza stato introdotto daNiels Bohr nel 1920 ed afferma che la meccani-ca quantistica deve riprodurre i risultati dellameccanica classica per sistemi caratterizzati daunazione grande rispetto alla costante di Planck(ridotta) ~.

Formulato in questi termini un principio dibuon senso, ma solo qualitativo. quindi impor-tante capire come tradurlo in termini quantitati-vi. Il problema non banale poich la meccanica

quantistica basata su un formalismo completa-mente diverso da quello della meccanica classica.Infatti, la meccanica classica basata su traiet-torie (q(t), p(t)) nello spazio delle fasi che sod-disfano le equazioni del moto non-lineari cheseguono dal principio variazionale

S = 0 (1)

dove S lazione, un funzionale di q(t) e p(t). Inmaniera del tutto differente, in meccanica quan-tistica gli stati fisici sono descritti da uno spaziodi Hilbert H (modulo trasformazioni di fase) ele osservabili fisiche, ovvero le quantit misura-bili, sono associate ad operatori lineari su H . Inquanto operatori, le osservabili in generale noncommutano. Questo fatto tecnico costituisce labase matematica per il principio di indetermina-zione di Heisenberg. Lesempio pi semplice lacelebre relazione tra loperatore posizione q e lo-peratore impulso p di una particella puntiformein una dimensione spaziale:

[q, p] = i ~ (2)

Ithaca: Viaggio nella Scienza II, 2013 Integrale di Feynman e limite classico 33

Questa relazione conduce direttamente alla cele-bre relazione di indeterminazione di Heisenbergqp ~. Nel limite formale ~ 0 gli effettinon commutativi scompaiono. In questo senso ilprincipio di corrispondenza plausibile, ma ri-mane ancora da capire quale sia il legame quanti-tativo con i risultati della meccanica classica 1. Inparticolare, quello che ci interessa chiarire qualesia il ruolo dellazione S in un sistema quantistico.

Storicamente, Dirac 2 mostr nel 1933 come lameccanica classica possa emergere dalla mecca-nica quantistica sotto certe condizioni [1]. Tra-iettorie con azione grande S ~ e che non sod-disfano le equazioni del moto sono soppressedallinterferenza quantistica e sopravvivono solole traiettorie estremali per le quali S = 0. Latrattazione di Dirac introduce gi una sommasulle traiettorie e lidea viene sviluppata succes-sivamente da R. P. Feynman 3 nella sua tesi didottorato del 1942. Il metodo di Dirac oggi uni-versalmente noto come tecnica dellintegrale suicammini (path-integral) di Feynman.Prima di discutere lapproccio di Dirac-

Feynman al problema del limite classico in mec-canica quantistica utile concentrarci su due pro-blemi che illustrano chiaramente le domande dif-ficili alle quali vogliamo dare una risposta conquesta tecnica. Entrambi gli esempi possono es-sere formulati in termini elementari per il sistemacostituito da un puntomateriale, ma le situazioniche discuteremo sono il prototipo per analoghiproblemi in contesti pi realistici 4.

Due problemi difficili

1Notiamo che il problema molto pi semplice in mec-canica relativistica dove il parametro di deformazionerispetto alla meccanica galileiana il rapporto tra la ve-locit caratteristica e la velocit della luce v/c. In questocaso, la struttura delle equazioni non cambia in manieradrastica in presenza di correzioni v/c.

2Premio Nobel per la fisica nel 1933 insieme a ErwinSchrdinger.

3Premio Nobel per la Fisica nel 1965 insieme a Sin-ItiroTomonaga e Julian Schwinger.

4Altri problemi molto interessanti legati al limite classicosono, ad esempio, il problema di sistemi a molti corpi olemergere del comportamento classico nel passaggio dasistemi microscopici a sistemi macroscopici. Altrettantointeressanti sono i legami tra lo spettro dellenergia e lepropriet ergodiche del moto classico.

Topologia e molteplicit di soluzioniclassiche

Il primo problema che consideriamo quellodi una particella quantistica che si muova allin-terno di una striscia bidimensionale con paretiriflettenti, comemostrato nella Figura 1. Classica-mente, ci sono infinite traiettorie che soddisfanoS = 0 e che portano dal punto A al punto Bnel tempo T. La pi breve rettilinea (1). Oltre aquesta ce ne sono infinite altre che si riflettonosulle barriere come le traiettorie (2) e (3) dellafigura. Dal punto di vista quantistico ci interessa

(1)

(3)

(2)

AA

B

Figura 1: Propagazione classica da A a B nel tempo T inpresenza di barriere.

determinare la probabilit che la particella pre-sente in A al tempo t = 0 si trovi in B al tempot = T . Inoltre, la domanda che vogliamo porci in che modo la molteplicit di soluzioni classiche siriflette sulla propagazione quantistica. In generale,un problema analogo si pone tutte le volte che lapropagazione classica avviene allinterno di geo-metrie topologicamente non banali. In seguito,mostreremo come lapproccio di Feynman possaillustrare chiaramente il legame tra le traiettorieclassiche e la propagazione quantistica almenonel limite S/~ 1.

Effetti non perturbativi

Il secondo problema che consideriamo riguar-da una particella che si muova nel potenzialesimmetrico unidimensionale V (x) = V (x) condue buche come in Figura 2. Gli stati classici diminima energia corrispondono ad una particel-la ferma in uno dei due minimi. In meccanicaquantistica ci si potrebbe aspettare ingenuamen-te che a tali stati corrispondano funzioni dondalocalizzate intorno ai minimi, come nella figura.Come noto questo non possibile dato che lostato quantico di minima energia deve obbedirealla simmetria del potenziale. Di fatto, esso risul-ta essere una combinazione lineare simmetrica


Figura 2: Particella unidimensionale che si muove nelpotenziale simmetrico V (x) = V (x). La fi-gura mostra due funzioni donda localizzateintorno ai due minimi classici. Come discussonel testo, lo stato quantico di minima energia simmetrico a sua volta ed costruito comesovrapposizione quantistica simmetrica delledue funzioni donda.

delle due funzioni donda localizzate mentre Ilprimo stato eccitato invece associato alla combi-nazione antisimmetrica. La differenza di energiatra i due stati E = E1 E0 dipende tipica-mente dai parametri del potenziale in modo non-perturbativo cio si annulla a tutti gli ordini nellosviluppo perturbativo in termini di questi para-metri. La ragione che esiste unazione nascostaS, caratteristica delle doppia buca, tale che E espresso in termini di exp(S/~). Chiaramentelo sviluppo ingenuo in potenze di ~/S secondo letecniche elementari della meccanica quantisticanon applicabile a questo problema. Di nuovo,mostreremo come lapproccio di Feynman con-senta di trattare questo problema in modo moltosemplice 5.

La formulazione di Feynman

Per capire in che cosa consista la formulazione diFeynman della meccanica quantistica [2] utileconsiderare la quantit seguente

K(q, q;T ) = q|ei~ T H |q (3)

5Dal punto di vista matematico, il problema nasce dal fattoche il limite ~ 0 una perturbazione singolare. I contri-buti legati ad ~ che compaiono nellequazione dondadi Schrdinger sono associati ai termini con derivatedi ordine massimo. Per chi ha familiarit con la fluido-dinamica, la situazione analoga al limite di viscositzero delle equazioni di Navier-Stokes.

dove gli stati |q sono autostati (generalizzati)delloperatore posizione e H lhamiltonianaindipendente dal tempo del sistema. Feynmanchiama questa espressione propagatore ed il suosignificato fisico quello di ampiezza di proba-bilit perch una particella nel punto q al tempot sia osservata nel punto q al tempo t + T . Ilproblema determinare in che modo il propa-gatore veda le traiettorie classiche. La domandanon banale se si pensa alla risposta tipica che lostudente dei corsi elementari di meccanica quan-tistica fornisce per calcolare K. La procedurastandard questa: supponiamo di conoscere lospettro di H che per semplicit assumeremo di-screto con autovettori ortonormali |n associatiagli autovalori En. Dunque possiamo scrivere

K(q, q;T ) =n

q|nn|q ei~ T En (4)

Supponendo di poter calcolare la somma infinitaotteniamo il risultato cercato che tuttavia benlontano dallessere fisicamente trasparente. Inparticolare, non chiaro dove siano le traiettorieclassiche. Aggiungiamo inoltre che in generalelo spettro diH non noto. Lidea di Feynman quella di riscrivere lespressione di K in mododifferente, ma rigorosamente equivalente e piefficace da vari punti di vista, incluso il recuperodel limite classico. Tralasciando la derivazione,il risultato di Feynman pu essere scritto comeintegrale funzionale nella forma suggestiva:

K(q, q;T ) =

q(t)=q

q(t+T )=q

Dq(t) ei~ S(q(t)) (5)

In questa espressione il tempo iniziale t ar-bitrario poich H non dipende dal tempo. Laformula di Feynman elegante, ma deve esse-re presa cum grano salis. Lespressione in formadi integrale sulle traiettorie in realt costrui-ta attraverso una procedura di limite in modoanalogo alla costruzione elementare dellintegra-le di Riemann. Il simbolo Dq non rappresentauna misura nonostante la notazione, sebbene al-cune propriet siano quelle intuitive suggeritedalla notazione 6. In termini descrittivi, la for-

6Una trattazione rigorosa dal punto di vista della costru-zione di una misura funzionale problematica poichle traiettorie dominanti sono tipicamente ovunque nondifferenziabili e a causa della fase complessa nellin-


Figura 3: Rappresentazione schematica della formula diFeynman come somma sui cammini classici pe-sati con una fase che dipende dallazione. Icammini sono tutti quelli possibili senza ne-cessariamente obbedire alle equazioni del motoclassiche.

mula di Feynman esprime il propagatore comesomma sui cammini classici pesati con una faseche dipende dallazione, vedi Figura 3. Il ruolodi questa fase quello di ricostruire i fenome-ni di interferenza quantistica. Sottolineiamo cheper cammini classici intendiamo funzioni con-tinue del tempo che non hanno a che fare congli operatori che agiscono su H , ma non stiamoancora parlando delle soluzioni delle equazionidel moto classiche. Tuttavia, la presenza esplici-ta dellazione S(q(t)) nella formula di Feynmansuggerisce come procedere.

Il limite classico S/~ 1

Supponiamo di domandarci quale sia il compor-tamento del propagatore per un sistema in cuilazione caratteristica sia grande rispetto alla co-stante di Planck. Formalmente, questo significavalutare la formula di Feynman nel limite ~ 0.Considerazioni elementari portano alla conget-tura che lintegrale sia dominato dai punti in cuila fase nel fattore e

i~S stazionaria. Ma questa

esattamente la condizione (1) che definisce letraiettorie classiche ! Le correzioni successive al

tegrazione. Con opportune continuazioni analitiche,lintegrale di Feynman pu essere trattato in modo ma-tematicamente rigoroso e lespressione del propagatore legata alla cosiddetta formula di Kac [3]. In questasede, questi aspetti non sono rilevanti dato che non cam-biano la nostra discussione centrata sul legame con illimite classico.

metodo della fase stazionaria portano al calcolodelle correzioni quantistiche come fluttuazioniintorno alle soluzioni classiche. Chiaramente, laformulazione in termini di integrale di Feynmansuggerisce sviluppi legati alla teoria asintotica. Adesempio, lesistenza di punti stazionari non fisici alla base del calcolo istantonico come vedremoin seguito.

Mostriamo ora come il metodo di Feynmanpossa trattare agevolmente i due problemi difficiliche abbiamo illustrato in precedenza.

La particella libera sullacirconferenza

Riprendiamo in considerazione il primo proble-ma discusso in precedenza. Vogliamo mostrarecome il metodo di Feynman, nel caso di sistemicon molteplicit di soluzioni classiche, consentadi ritrovare il loro contributo dettagliato almenonel regime quasi-classico in cui lazione caratte-ristica S del problema sia grande rispetto ad ~.A questo scopo, analizziamo un problema moltosemplice, ma che illustra il meccanismo generale.Si tratta di una particella di massa unitaria chesi muove liberamente su una circonferenza diraggio R con traiettoria (t) ed azione

S =

dt

1

2R2 2 (6)

Poich la circonferenza non semplicemente con-nessa, possibile andare da 1 a 2 nel tempoT in infiniti modi a seconda del numero di giriche si compiono intorno alla circonferenza du-rante il tragitto, come illustrato nella figura Figu-ra 4 che mostra una coppia di traiettorie. Questamolteplicit delle soluzioni classiche deve avereuna controparte quantistica come la formula diFeynman mostrer agevolmente. Il calcolo se-condo la formula (4) molto semplice per questoproblema. Lhamiltoniana della particella

H =p2

2R2= ~

2

2R2d2

d2(7)

Consideriamo autofunzioni periodiche (in segui-to commenteremo questa scelta). Esse sono onde


Figura 4: Particella libera su una circonferenza. Classi-camente possibile andare da 1 a 2 nel tempoT in infiniti modi a seconda del numero di gi-ri che si compiono intorno alla circonferenzadurante il tragitto.

piane

n() =12ei n , En =

~2 n2

2R2(8)

La formula (4) diventa

K(2, 1;T ) =1

2

nZ

ei n (21)ei ~n2 T2R2 (9)

In termini della funzione 3 di Jacobi [4]

3(z|) =nZ

ei (2n z+ n2 ) (10)

il propagatore si pu scrivere

K(2, 1;T ) =1

23

(2 1

2

~T2 R2)

(11)

Usando a questo punto la propriet di trasforma-zione modulare della funzione di Jacobi, ovverolidentit di Poisson

3(z|) = (i )1/2 ez2

i 3(z/ | 1/) (12)

la somma infinita pu essere scritta

K(2, 1;T ) =nZ

Kn(2, 1;T ) (13)

A. Il propagatore per la particella liberaA. Il propagatore per la particella liberaA. Il propagatore per la particella libera

Il propagatore per la particella libera inuna dimensione

K0(q, q;T ) = q|e

i~ T

p2

2m |q

dove loperatore impulso p = i~ ddq .Data la forma semplice dellhamiltonianail propagatore non altro che il nucleodellequazione del calore dopo unoppor-tuna continuazione analitica nella varia-bile temporale. Come noto il risultato siscrive

K0(q, q;T ) =

( m2 i ~T

)1/2eim (qq)2

2 ~T

dove

Kn(2, 1;T ) =

R2

2 i ~Tei R2

2~(21+2 n)

2

T

(14)Notiamo che questa non altro che la sommadei propagatori della particella libera su R chepercorre nel tempo T la distanza 2 1 + 2 n(vedi Inserto A).

Dal punto di vista della formula di Feynman,questo risultato ovvio. Infatti il calcolo del pro-pagatore con il metodo della fase stazionaria esatto per azioni quadratiche [5] e si riduce al-la somma dei contributi indicati, praticamentesenza nessun calcolo. Pi in generale, per una-zione pi complicata, come pure in dimensionemaggiore di uno, la struttura del propagatore simile e si ottiene analogamente sommando sullesoluzioni classiche topologicamente non equiva-lenti. Il metodo standard inapplicabile in uncaso generale (non libero) perch lo spettro non noto e comunque manipolazioni come la tra-sformazione modulare della funzione di Jacobisono state ad hoc.

Concludiamo commentando la scelta della pe-riodicit n(0) = n(2). Pi in generale, con-sistente con la Meccanica Quantistica, assumerela condizione al contorno n(0) = ei n(2)per valori reali generici di . La ragione che laperiodicit fisica deve essere imposta su |n|2. Ilcalcolo modificato porta semplicemente a modi-


ficare la somma (13) introducendo un peso ei nnel contributo Kn. Questa modifica del tut-to accettabile nel quadro della teoria della for-mula di Feynman per sistemi con spazio delleconfigurazioni topologicamente non banale.

Doppia buca e istantoni

Passiamo adesso a discutere il problema del com-portamento di un sistema con potenziale a dop-pia buca con il formalismo di Feynman. Consi-deriamo un potenziale simmetrico V (x) con mi-nimi in x = a come nella parte (a) della figuraFigura 5. Effettuando una continuazione analiti-

Figura 5: (a) Potenziale a doppia buca (b) il suo oppo-sto, rilevante dopo continuazione analitica dellavariabile tempo.

ca nella variabile tempo e passando al cosiddettotempo euclideo, le equazioni del moto diventanoquelle per il potenziale V disegnato nella par-te (b) di Figura 5. Una soluzione interessante quella che interpola tra i due massimi (vedi in-serto B). Questa soluzione detta istantone 7[6].Naturalmente non si tratta di una soluzione fisi-ca poich stata fatta una continuazione anali-tica nel tempo. Dunque, la soluzione istantonica analoga ai punti sella nel piano complesso che in-tervengono nella valutazione asintotica di integralidipendenti da parametro. Oltre a questa soluzionene esistono infinite altre che effettuano un nu-mero arbitrario di salti tra a e a connettendoapprossimativamente (ma correttamente nel li-mite semiclassico) un certo numero di istantonielementari. Per esempio, nella Figura 6 rappre-sentata una soluzione costituita da un istantoneseguito da un anti-istantone. La soluzione partedal minimo del potenziale in a per = ,effettua una transizione al minimo in a al tempo0, torna indietro al tempo 1 finendo nel minimo7Il nome inventato dal Nobel G. t Hooft indica che si trattadi un solitone nella variabile tempo.

Figura 6: Soluzione costruita combinando un istantoneseguito da un anti-istantone.

in a per +. In prima approssimazione,questa soluzione si ottiene giustapponendo duesoluzioni elementari che collegano a con a eviceversa.

Il calcolo del propagatore tra i punti x = anel tempo (euclideo) T pu essere fatta calco-lando le fluttuazioni previste dalla formula diFeynman intorno alle soluzioni istantoniche. Ilrisultato del calcolo dato dalla formula

a|eH T~ | a =

( ~

)1/2e

12T

exp(K e

S~ T) exp

(K e

S~ T)

2(15)

dove la pulsazione classica intorno ai minimidi V , K una combinazione di costanti (mas-sa, parametri del potenziale, etc.), S lazionedella soluzione istantonica elementare. Confron-tando questa espressione con la forma (4) delpropagatore concludiamo lesistenza di uno sta-to fondamentale |+ e di un primo stato eccitato| con energie

E =~2 ~K e

S~ (16)

Dunque, la valutazione dellintegrale di Feyn-man intorno al punto sella istantonico (che difatto una soluzione del problema variazionaleclassico, per quanto non fisica) prevede due staticon energia pari allenergia di una particella chevede solo uno dei due minimi pi un contributoesponenzialmente soppresso nel parametro cheregola il regime di quasi-classicit S/~ 1.Come abbiamo gi accennato, la valutazione

di questo splitting energetico notoriamente mol-to difficile con metodi perturbativi tradizionali,vedi Inserto B. Il calcolo pu essere effettuatoutilizzando il metodo WKB (Wentzel, Kramers,


B. Un esempio esplicito di doppia bucaB. Un esempio esplicito di doppia bucaB. Un esempio esplicito di doppia buca

Consideriamo un esempio particolare di potenziale a doppia buca e cio V (x) = (x2 a2)2per a, > 0. Introducendo il tempo euclideo = i t, il fattore exp(iS/~) diventa exp(SE/~)con azione euclidea (le derivate sono ora rispetto a )

SE =

21

d

(m

2x

2+ V (x)

)Il principio variazionale porta alle equazioni del motomx+V (x) = 0. Si noti che il potenzia-le euclideo ha segno opposto rispetto a quello in tempo reale. Le equazioni delmoto sono equiva-

lenti alla conservazione dellenergia che, per la soluzione istantonica x() = a tanh(a

2m

),

predice m2 x2 + V (x) = 0. Quindi, cambiando variabile, lazione istantonica risulta

S =

d 2V =

aadx

2mV =4

2

3a3m

Se ora introduciamo la pulsazione intorno ai minimi 2 = V(a)m =

8a2m , possiamo scrivere

lazione istantonica come la seguente funzione di a fissato

SE =m23

12

Da questa formula risulta chiaro che lapproccio perturbativo in come piccola perturbazionerispetto al potenziale armonico con pulsazione porta a correzioni exp(SE/~) che sono zeroa tutti gli ordini in . Fisicamente, il limite 0 con fissato corrisponde ad un potenzialedescritto da due buche approssimativamente armoniche situate a grande distanza e separateda una barriera di altezza 1/. Il fattore esponenzialmente soppresso exp(SE/~) legatoalla probabilit di penetrazione di questa barriera.

Brillouin) che tuttavia incontra notevoli proble-mi nellessere esteso a pi di una dimensione.La trattazione di Feynman invece molto pipotente e non ha queste limitazioni.

Concludiamo ricordando che un sistema uni-dimensionale con potenziale a doppia buca un buon modello per la molecola di ammonia-ca NH3, Figura 7. Il fattore di correzione e

S~

legato alla probabilit di transizione tra i duestati della molecola (vedi ancora Inserto B). Ladifferenza di energia tra i due livelli pi bassi di9.84 105 eV che corrisponde ad una frequenzaE/h di circa 24 GHz che caratterizza il MASERallammoniaca.

Conclusioni

La formulazione di Feynman della meccanicaquantistica rigorosamente equivalente allap-

proccio tradizionale, ma pone al centro dellatten-zione lazione classica S. Di conseguenza, moltepropriet di natura classica legate alla soluzio-ne del problema variazionale S = 0 hanno unruolo importante. Abbiamo visto due esempi diquesto aspetto generale. Nel primo, la topolo-gia non-banale dello spazio delle configurazioniimplica lesistenza di infinite soluzioni globalidel problema variazionale. Queste sono imme-diatamente presenti nella formulazione di Feyn-man e forniscono uninterpretazione a quanti-t quantistiche che sarebbero altrimenti decisa-mente oscure. Nel secondo esempio, il problemavariazionale classico ammette soluzioni non fi-siche ottenute per continuazione analitica. Dinuovo, la formula di Feynman ne tiene conto inmaniera naturale e consente di calcolare in modoestremamente semplice quantit che sarebberoaltrimenti elusive.


Figura 7: Rappresentazione schematica della molecola diammoniaca nei due stati modellizzati dalle duebuche del potenziale discusso nel testo.

Z M Y

[1] P. A. M. Dirac: The Lagrangian in quantum mecha-nics, Phys. Z. der Sowjetunion 3 (1933) 64-71.

[2] R. P. Feynman: The Space-Time Formulation of Non-relativistic Quantum Mechanics, Reviews of ModernPhysics 20 (2) (1948) 367387.

[3] B. Simon: Functional Integration and Quantum Physics,Academic Press (1979).

[4] M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of MathematicalFunctions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,Dover Publications (1972).

[5] L. S. Schulman: Tec

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