Vettori ordinari

del piano e dello spazio

R. Notari

1

1. Vettori ordinari del piano.

Teorema 1 Ogni vettore ordinario del piano

e esprimibile, in modo unico, come combi-

nazione lineare di→i ,

→j .

Osservazione 2 (→i ,

→j ) e una base di V2

spazio dei vettori ordinari del piano, ed e la

base canonica di V2.

Proposizione 3 Dati i vettori→u= a

→i +b

→j

e→v = a′

→i +b′

→j , il loro prodotto scalare e

uguale a→u · →v = aa′ + bb′.

Osservazione 4 La base (→i ,

→j ) e una base

ortonormale di V2.

2

2. Vettori ordinari dello spazio.

Teorema 5 Ogni vettore ordinario dello spa-

zio e esprimibile, in modo unico, come com-

binazione lineare di→i ,

→j ,

→k .

Osservazione 6 (→i ,

→j ,

→k ) e una base di V3

spazio dei vettori ordinari dello spazio, ed e

la base canonica di V3.

Proposizione 7 Dati i vettori→u= a

→i +b

→j

+c→k e

→v = a′

→i +b′

→j +c′

→k , il loro prodotto

scalare e uguale a

→u · →v = aa′ + bb′ + cc′.

Osservazione 8 La base (→i ,

→j ,

→k ) e una ba-

se ortonormale di V3.

3

3. Prodotto vettoriale in V3.

Teorema 9 Dati in V3 i vettori→u= a

→i +b

→j

+c→k e

→v = a′

→i +b′

→j +c′

→k , il loro prodotto

vettoriale e uguale al vettore

→u ∧ →

v =

= (bc′ − b′c)→i −(ac′ − a′c)

→j +(ab′ − a′b)

→k .

Osservazione 10 Il prodotto vettoriale di→u

e→v e uguale al vettore che si ottiene come

determinante della matrice (simbolica)→i

→j

→k

a b ca′ b′ c′

.

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