VETTORI: DEFINIZIONIbartolo/Corso_Fisica... · Le grandezze ﬁsiche possono essere di due pi:...

VETTORI:DEFINIZIONI

SeadunagrandezzafisicaGsiassociaunadirezioneedunversosiparladive?ori:✔LegrandezzefisichepossonoesseredidueBpi:SCALARE:numeroconlesueunita`dimisura(es:latemperatura,l’energiaetc.)VETTORIALE:grandezzadefinitadaunadirezione,unversoedaunmodulo(ointensita`)Esempio:ve?orespostamento,ve?orevelocita`,ve?oreaccelerazione;leforzesonograndezzefisicheve?oriali.

€

! G (oG)

✔ Graficamenteive?orisiindicanocondeisegmenBorientaBdire?e(delle``freccie’’):direzione:datadaunare?averso:unodeidueversipossibililungolare?amodulo:corrispondeallalunghezzadellafreccia,e`unnumerosempre>0(conunaunita`dimisuraopportuna)

A

B

N.B.:ilpuntoacuisi``a?acca’’l’origine(o``coda’’)delve?oresichiamapuntodiapplicazione.A.enzionecheve.orichehannolastessadirezione,lostessoversoelostessomodulorappresentanoinrealta`lostessove.oreQuindisipuo`liberamentetraslareunve?oreparallelamenteasestessoedapplicarloaqualsiasipuntosivoglia

€

vettore ! vdimodulo|! v|= v

AA’�

�

COMPONENTIDEIVETTORI

Supponetediaversceltounsistemadicoordinate(osistemadiriferimento)

x

y

0

LecomponenBdiunve?oresonolesueproiezionisugliassi:

rx=rcosθry=rsinθScomposizionedelve.orenellesuecomponen:

€

vettore ! rdimodulo|! r|= r

€

! r

θ

rx

ry


IdenBficareilve?oreconunmodulo,unadirezioneedunverso,oppurea?raversolesuecomponenBrxedrye`equivalente.Infa[:daBreθ,o?engolesuecomponenBdalleformuleprecedenB;viceversadatelesuecomponenBo?engoilmoduloreladirezione(datadaθseilve?oregiacesulpianox-y)dalleformule:

€

r = rx2 + ry

2

tgθ =ryrx→θ = arct

ryrx

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ o θ = arccos rx

r⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Possiamoquindiscriverecomeunacoppiaordinatadinumeri

€

! r≡ (rx ,ry )


N.B.:rxerypossonoessereposiBvionegaBvi.Esempio:

x

y

0rx<0

ry>0

rx = r cosθ = r cos(180-θ ) = − r cos θ = < 0

θ

€

θ

€

! r

OPERAZIONICONIVETTORI:SOMMA

Lasomma(orisultante)didueve?oriee`unve?ore:

€

! a

€

! b

€

! c = ! a +! b

✔ Metodograficodelparellogramma:me?oive?oriconl’originenellostessopuntoOecostruiscoilparallelogrammachelihacomelaB;lasommae’ladiagonalechepartedaO.

€

! a

€

! b

€

! c

Oppure:me?oilve?oreconlasuaorigine(o``coda’’)sullapuntadi:lasommae`ilve?orechecongiungel’originediconlapuntadi

€

! b

€

! a

€

! a

€

! b

€

! a

€

! a +! b

€

! b

€

O

€

! a

€

! c

€

! a +! b

€

! b

✔ Sehopiu`ve?ori(peresempiotre):

SOMMA

€

! d = ! a +

! b + ! c

€

! a

€

! c

€

! a +! b

€

! b

✔ Sehopiu`ve?ori(peresempiotre):

SOMMA

€

! d = ! a +

! b + ! c

!a +!b + !c

PROPRIETA`DELLASOMMA

€

! a +! b =! b + ! a 1.(proprieta`commutaBva).

2.(proprieta`associaBva)3.Sidefiniscecon(oppostodi)unve?orechehalostessomoduloelastessadirezionedimaversoopposto:Allorasiha:

€

(! a +! b ) +! c = ! a + (

! b + ! c )

€

−! a

€

! a

€

! a

€

! a

€

−! a

€

! a + (−! a ) =! 0

SOMMATRAVETTORIINTERMINIDELLECOMPONENTI

x

y

€

! a

€

! b

€

! c = ! a +! b

SiconsideriInterminidellecomponenBrisulta:ovverosidevonosommarelerispe@vecomponen:deidueve.orie

€

! c = (cx,cy ) = (ax + bx, ay + by )

€

cx = ax + bxcy = ay + by

€

! a

€

! b

€

! c = ! a +! b

DIFFERENZATRAVETTORI

Ladifferenzatradueve?oriee`unve?ore:

€

! a

€

! b

€

! c = ! a −! b ≡ ! a + (−

! b )

€

! a

€

! b

€

! b

€

−! b

€

! a

Oppure,piu`semplicemente:dallapuntadiallapuntadi

€

! b

€

! a

DIFFERENZATRAVETTORIINTERMINIDELLECOMPONENTI

✔SiconsideriInterminidellecomponenBrisulta:ovverosifaladifferenzatralerispe@vecomponen:deidueve.orie✔ N.B.1:ScrivereequivaleascrivereequindicompenentepercomponentequestoequivaleadueequazioniN.B.2:Laespressionesipuo`riscriverecome

€

! c = (cx,cy ) = (ax − bx, ay − by )

€

! a

€

! b

€

! c = ! a −! b

€

! c = ! a

€

(cx,cy ) = (ax,ay )

€

! d +! b = ! a

€

! d = ! a −

! b

€

cx = ax, cy = ay

PRODOTTOTRAUNOSCALAREEDUNVETTORE

Ilprodo?odiunve?oreperunoscalarec(cioe`unnumero),e`unve?ore

c1.Halastessadirezionedi2.modulodatoda:a×|c|3.verso:ugualeaquellodisec>0,versooppostoaquellodisec<0

€

! a

€

! a

€

! a

€

! a

€

c ! a (c > 0)

€

c ! a (c < 0)

€

! a

€

! a

PRODOTTOTRAUNOSCALAREEDUNVETTOREINTERMINIDELLECOMPONENTI

€

c ! a ≡ (c ax,c ay )

VETTORIUNITARI(OVERSORI)

✔Datounqualsiasive?orepossoconsiderareilve?ore:e`unve?orechehastessadirezioneeversodiemodulopariaduno(ede`senzadimensioni):✔Pertantoilve?orevieneanchechiamatoilversoredi,perche`neindicasemplicementeladirezioneedilverso.Possiamoinfa[scrivere:

€

! a

€

ˆ a =! a ! a

€

! a

€

ˆ a =! a ! a

=1

€

ˆ a

€

! a

€

ˆ a

!a = !a a


Allora,datoilsistemadiriferimentoconassicoordinaBxeysipossonoindividuaredueversori,unochepuntaversol’asseposiBvodellexeunochepuntaversol’asseposiBvodelley:

x

y

€

ˆ x

€

ˆ y

€

ˆ x ehannomodulounitarioesonoadimensionali

€

ˆ y

Inmodoanalogonelle3dimensionispaziali

y

z

€

ˆ x

€

ˆ y

€

ˆ x ,ehannomodulounitario(esonoadimensionali)eindicanoladirezioneeversodegliassicoordinaBchehofissato

€

ˆ z €

ˆ z

€

ˆ y x


COMPONENTIVETTORIALIDEIVETTORI

Supponetediaversceltounsistemadicoordinate(osistemadiriferimento)

x

y

0

€

vettore ! adimodulo|! a|= a

€

! a

θ

Possiamoscivereilve?orenelseguentemodo:

€

! a

€

! a = ax ˆ x + ay ˆ y = ! a x +! a y

! a x = ax ˆ x ! a y = ay ˆ y

€

! a x = ax ˆ x

€

! a y = ay ˆ y

Sistaproie?andolungogliassixey

€

! a

COMPONENTIVETTORIALIDEIVETTORI

Alloraperlasomma(oladifferenza)sipotra`scivere:

€

! c = ! a +! b = (ax ˆ x + ay ˆ y ) + (bx ˆ x + by ˆ y )

= (ax + bx ) ˆ x + (ay + by ) ˆ y

PRODOTTOSCALARETRADUEVETTORI

DaBdueve?oriesiindicacomeprodo.oscalaretrae:,doveθe`l’angolocompresotraidueve?ori(eaebsonoimodulideidueve?ori).Eùnnumero(chepuoèssere>0o<0:imodulisonosempreposiBvi,mailcosenodell’angolopuoèssereposiBvoonegaBvo)

€

! a

€

! b

€

! a

€

! b

€

! a •! b

€

! a •! b = a bcosθ

€

! a

€

! b

€

θ

N.B.:L’operazionediprodo?oscalareequivaleaproie?arelungoladirezionedi

€

! a

€

! b

PRODOTTOSCALARETRADUEVETTORI

Infa@:casipar:colari1.2.

€

! a

€

! b

€

! a •! b = a bcos90" = 0

€

! a

€

! b

€

! a •! b = ab cos0" = a b

PRODOTTOSCALARETRADUEVETTORI:PROPRIETA`

1.(proprieta`commutaBva)(proprieta`distribuBva)2.Interminidellecomponen3:3.InparBcolarecorrispondequindialmoduloalquadratodelve?ore(teoremadiPitagora)

€

! a •! b =! b • ! a

€

! a •! b = (ax ˆ x + ay ˆ y ) • (bx ˆ x + by ˆ y ) = axbx + ayby

€

! a • ! a = ax2 + ay

2 = a2

(!a +!b)•(!c +

!d ) = !a• !c + !a•

!d +!b • !c +

!b •!d

PRODOTTOVETTORIALE

DaBdueve?orieilprodo?ove?orialee`unve6orechesiindicaede`cosi`definito:- modulo:c=absinθ,doveθe`l’angolominoreformatodaidueve?oriθIlmodulorappresental’areadelparallelogrammaformatodaidueve?orie

€

! a

€

! b

€

! c = ! a ×! b

€

! a

€

! b

€

! a

€

! b

- direzioneeverso:e`unve?oreortogonale(cioe`perpendicolare)alpianoindividuatodaidueve?orie;ilversosideterminaconla``regoladellamanodestra’’

€

! c = ! a ×! b

€

! a

€

! b

PROPRIETA`DELPRODOTTOVETTORIALE

ü Seesonoparalleli:θ=0esinθ=0,allorailprodo?ove?orialee`zeroü Seesonoortogonali:θ=90°,sinθ=1allorac=abü ü (proprieta`distribuBva)ü (prodo?operunoscalare)

€

! a

€

! b

€

! c = ! a ×! b = 0

€

! a

€

! b

€

! a ×! b = −

! b × ! a

€ (!a +!b)× (!c +

!d ) = !a× !c + !a×

!d +!b × !c +

!b ×!d

€

s (! a ×! b ) = (s ! a ) ×

! b = ! a × (s

! b )

PROPRIETA`DELPRODOTTOVETTORIALE

€

! a ×! b = (ax ˆ x + ay ˆ y + az ˆ z ) × (bx ˆ x + by ˆ y + bz ˆ z ) =

= (aybz − byaz) ˆ x + (azbx − bzax ) ˆ y + (axby − bxay ) ˆ z

ü InterminidellecomponenB:

Es.:

€

ax ˆ x × bx ˆ x = axbx ( ˆ x × ˆ x ) = 0ax ˆ x × by ˆ y = axby ( ˆ x × ! y ) = axby ˆ z

VETTORI,LEGGIDELLAFISICAESISTEMIDIRIFERIMENTO

Lasceltadiunsistemadiriferimentoconlesuecoordinatee`completamentearbitraria.Peresempio,datounsistemadiriferimentopossiamobenissimopensarediscerglieneunaltrochee`ruotatodiuncertoangolorispe?oaquelloiniziale.

NelsistemaruotatolecomponenBdelve?oreasarannodiverse(a’x,a’y).Tu?aviailve?oreae`unogge?obendefinito,noncambia;lesuecomponenBsonosoloilmododirappresentarlo,di``vederlo’’neiduesistemidiriferimento.Tantoe`verochelesuecomponenBnelcasodiunarotazionesonolegatedallaleggeditrasformazione(nell’esempioconsideratounarotazione):

6 THE AUTHOR

(33) a

0x

= a

x

cos ✓ + a

y

sin ✓

(34) a

0y

= �a

x

sin ✓ + a

y

cos ✓

6 THE AUTHOR

(33) a

0x

= a

x

cos ✓ + a

y

sin ✓

(34) a

0y

= �a

x

sin ✓ + a

y

cos ✓

x

y

X’Y’

θ

a

VETTORI,LEGGIDELLAFISICAESISTEMIDIRIFERIMENTO

Cheilve?oreanoncambilosipuo`capireperesempioseunosicalcolailsuomoduloaparBredallesuecomponenBneiduesistemidiriferimento;sitrovaElasuaorientazionenellospazioe`semprelastessa.Inmodoanalogoleleggidellafisicanondipendonodalladirezionedegliassi(ovveroseilsistemadiriferimentoe`ruotato).Nondipendononemmenodadovee`l’originedelsistemadiriferimento.Comegia`so?olineato,nondipendonodallasceltadellaunita`dimisura.

6 THE AUTHOR

(33) a

0x

= a

x

cos ✓ + a

y

sin ✓

(34) a

0y

= �a

x

sin ✓ + a

y

cos ✓

(35) a =

qa

2x

+ a

2y

=

qa

0x

2+ a

0y

2

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