POLITECNICO DI MILANO DIPARTIMENTO DI FISICA

Anno Accademico 2002-2003

CORSO DI FISICA SPERIMENTALE

A+B ESERCITAZIONI

Prof. Marco Finazzi Dott. Ing. Antonio Montano

Znon! Cruel Znon! Znon D'le! M'as-tu perc de cette flche aile Qui vibre, vole, et qui ne vole pas!

Le son m'enfante et la flche me tue! Ah! le soleil... quelle ombre de tortue

Pour l'me, Achille immobile grands pas!

Paul Valery, Le cimetire Marin, XXII

1PARTE 3: VETTORI APPLICATI

3.1 Introduzione

Nello studio della meccanica vengono introdotte grandezze fisiche vettoriali (forze, velocit,

etc.), le quali si riferiscono in generale a ben definiti elementi materiali. quindi naturale

rappresentare tali grandezze mediante vettori applicati, cio vettori aventi l'origine nelle

posizioni istantaneamente occupate dagli elementi materiali. La maggior parte delle

operazioni introdotte nella prima parte di questo capitolo hanno significato soltanto per vettori

liberi. Ci particolarmente evidente per l'operazione di somma geometrica, la quale, una

volta scelto in maniera arbitraria un punto di partenza P1, per essere effettuata, richiede l'uso

di ben determinati rappresentanti dei vettori addendi. Ci possibile soltanto quando si abbia

a che fare con vettori liberi.

Nella descrizione dei fenomeni meccanici risulta utile considerare i vettori liberi individuati

dai vettori applicati di cui trattasi ed applicare a questi le operazioni introdotte nei precedenti

paragrafi. Sono definibili, tuttavia, operazioni che hanno senso soltanto per vettori applicati;

di queste vengono di seguito forniti alcuni brevi cenni.

3.2 Momento polare di un vettore applicato

Il momento polare &

MO del vettore applicato (P, &

V ) rispetto al polo O il vettore libero

definito dal prodotto vettore fra i vettori liberi che hanno come rappresentanti i vettori

applicati (P, &

V ) ed OP

& &M OP VO = (3.1)

&MO si annulla quando OP sia parallelo a

&V oppure quando PO. Sia r la retta sovrapposta a

(P,&

V ), P' un punto di r distinto da P ed inoltre il punto O non appartenga ad r; risulta&

MO (P,&

V )=&

MO (P', &

V ). Si ha infatti

( )OP V OP P P V OP V P P V OP V = + = + = & & & & &' ' ' ' ' (3.2)ove si tenuto conto che P'P parallelo a

&V e quindi che P P V' =

&0. Si pu quindi

concludere che il momento polare non muta ove si sposti un vettore lungo la sua retta di

applicazione.

23.3 Momento assiale di un vettore

Il MOMENTO ASSIALE del vettore applicato PQ rispetto alla retta orientata r di versore r la quantit scalare definita dalla relazione

( )&M d P QO r = ' ' (3.3)dove P' e Q' sono le proiezioni di P e Q su

un piano ortogonale ad r (Fig. 3.1), d la

distanza da r della retta r' sovrapposta ad

B'. Si conviene di prendere il segno + se la

retta personificata vede il vettore PQ avvolgersi in senso antiorario attorno ad r ed il segno - in

caso contrario. Il momento assiale si annulla quando le rette r ed r' siano fra loro incidenti

(d=0) o parallele ( )P Q' ' = 0 , in definitiva, quando r ed r' siano COMPLANARI.Si pu quindi vericare che la componente del momento polare di un vettore applicato,

calcolato rispetto ad un punto O di una retta r, coincide con il momento assiale del vettore

rispetto ad r.

3.4 Momento polare ed assiale di un sistema di vettori

Il momento risultante di un sistema di vettori applicati ( )P Vl l, & rispetto al polo O il vettorelibero somma geometrica dei momenti polari dei singoli vettori

& &M OP VO l l

l

N

= =

1

(3.4)

Nel caso particolare in cui tutti i vettori siano applicati in un medesimo punto T la (3.6)

diviene

& & &M OP V OP RO l l

l

N

l=

=

=

1

(3.5)

nella quale R il rappresentante applicato in T della somma geometrica dei vettori. Il

momento assiale rispetto ad una retta r del sistema di vettori definito come la somma

Q

Q

P

Fig. 3.1

r

Prd

3algebrica dei momenti assiali dei singoli vettori

M d P Qr l l ll

N

= =

1

(3.6)

La componente secondo r del momento polare risultante calcolata rispetto ad un polo r

uguale alla somma delle componenti dei singoli momenti polari, pertanto dalla (3.6) segue che

essa uguale al momento assiale complessivo.

3.5 Legge di variazione del momento polare al variare del polo

Siano O e O due punti generici dello spazio e ( )P Vl l, & (l=1,2...N) un sistema di vettoriapplicati; risulta

( )& & & & &M OP V OO O P V OO V O P VO l ll

N

l ll

N

l l ll

N

l

N

= = + = + = = ==

1 1 11

' ' ' ' (3.7)

ossia

& & &M M OO RO O= + ' ' (3.8)

ESEMPIO 4. Con riferimento ad una terna cartesiana Oxyz siano dati i vettori: &

V i k1 3= + ;&

V j2 2= ; &

V i j k3 3= + + rispettivamente applicati nei punti: ( )P1 0 1 2 , , ; ( )P2 0 0 , , 1 ;( )P3 0 1 , , 0 . Si calcoli:

a) il momento polare del sistema di vettori rispetto all'origine;

b) il momento assiale rispetto all'asse x;

c) il momento rispetto al punto ( )O' , , 1 1 1d) l'asse centrale.

Soluzione:

a)& & & &

M OP V OP V OP VO = + + =1 1 2 2 3 3

k4j2i2113010kji

020100kji

301210kji

+=++=

b) ( )M M i i j k ix O= = + =& 2 2 4 2

4c) ( ) ( ) ( )&R i j k i j k= + + + + + + + + = + +1 0 3 0 2 1 3 0 1 4 3 4

( )&M i j ki j k

O'

= + + =2 2 4 1 1 1

4 3 4

( ) ( ) ( )= + + + + = + 2 2 4 4 3 4 4 3 4 3 2 5 i j k i j k i j k

3.6 Sistema semplice di due vettori: coppia

La coppia l'insieme di due vettori ( P1 , &

V1 ) e ( P2 , &

V2 ) opposti (&

V1 =&

V2 ) (Fig.3.2). Il

risultante del sistema nullo, pertanto il

momento della coppia &

M in base alla (3.8)

indipendente dal polo. Esso pu essere

calcolato scegliendo un polo qualsiasi, per

esempio il punto P1 ;si ottiene allora

& &M P P V= 1 2 2 (3.9)

&M ortogonale sia a P P1 2 sia a

&V2 e quindi al piano dei vettori

&V1 e

&V2 , il suo verso tale da

vedere il vettore P P1 2 ruotare in senso antiorario per sovrapporsi a &

V2 . Il suo modulo pari

all'area del parallelogramma costruito sui vettori P P1 2 e &

V2 , ossia al prodotto di &

V2 per la

distanza d (braccio) fra le rette di applicazione di &

V1 e &

V2 . Il momento &

M si annulla quando

P P1 2 parallelo a &

V2 , ossia quando i due vettori sono sovrapposti alla medesima retta (coppia

di braccio nullo).

Fig. 3.2

P1

d

P2

&V1

&V1

&M