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Variabili Casuali

Variabile CasualeUna variabile casuale è una funzione a valori

reali definita su uno spazio degli eventi, quindi una funzione che associa agli

elementi dello spazio Ω degli eventi un numero reale

Variabili Casuali Discrete

Variabili Casuali Continue

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Variabile Casuale Discreta

La v.c. X è detta discreta se assume un numero finito o una infinità numerabile di

valori x1, x2, ..xk

La funzione che associa ai valori x1, x2, ..xkle rispettive probabilità P(X=xi), i=1,…,k

si chiama distribuzione di probabilità ed ètale per cui

1( ) 1

k

ii

P X x=

= =∑

Variabile Casuale Continua

Una v.c continua è una funzione che può assumere tutti i valori compresi in un intervallo (a,b)

La funzione con è detta densità di frequenza è tale per cui

e

dove rappresenta l’area sotto la curva

fino al punto x, cioè la funzione di ripartizione.

( ) ,x f x

( )( )x

P X x f u du−∞

≤ = ∫

( ) 0f ⋅ ≥

( ) 1f u du∞

−∞

=∫( )P X x≤ ( )f ⋅

Per le variabili casuali continue P(X=x)=0, i casi possibili sono di fatto infiniti e quindi

Per le variabili casuali continue P(X=x)=0, i casi possibili sono di fatto infiniti e quindi

# casi favorevoli 1( ) 0# casi possibiliiP X x= = = =

∞

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Esercizio:Si considerino due dadi a 3 facce e sia X la variabile casuale ‘somma dei

due dadi’• Si costruisca la variabile casuale X• Si calcolino E(X) e V(X)

( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 1,1 1, 2 1,3 2,1 2, 2 2,3 3,1 3, 2 3,3=Ω

2 3 4 3 4 5 4 5 6

xi ni pi2 1 1/9=0.113 2 2/9=0.224 3 3/9=0.335 2 2/9=0.226 1 1/9=0.11

9 1

[ ]

( )22

2 2 2

( ) 2 0.11 3 0.22 .... 4

( ) ( )

2 0.11 3 0.22 .... 4 1, 33

i i

i i

E X x p

V X x p E X

= = ⋅ + ⋅ + =

= − =

= ⋅ + ⋅ + − =

∑∑

Esperimento Bernoulliano

E’ esperimento casuale che consiste in un insieme di n prove ripetute con le seguenti caratteristiche:

i) Ad ogni singola prova si hanno solo due esiti possibili, ‘successo’e ‘insuccesso’

ii) La probabilità p di ‘successo’ è costante

iii) Le prove sono indipendenti

n =1 Variabile Casuale di Bernoulli

n >1 Variabile Casuale Binomiale

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Variabile casuale discreta che assume solo 2 valori 0 e 1 con probabilità rispettivamente (1-p) e p con 0<p<1 è detta variabile

casuale di Bernoulli. Si scrive

( )X Ber p≈Proprietà:

( ) ( )( ) ( )

1 ; 0 1 0 1

; ( ) 1

P X p P X p p

E X p V X p p

= = = = − < <

= = −

Variabile Casuale di Bernoulli

La Variabile casuale discreta che conta il numero di successi in n prove bernoulliane dove p , 0<p <1, è la probabilità di successo nella singola prova è detta variabile casuale Binomiale. Si scrive e assume tutti i valori interi da 0 a n secondo la seguente distribuzione di

probabilità

( , )X Bin n p≈

Proprietà:

( ) ( ); ( ) 1E X n p V X n p p= = −

Variabile Casuale Binomiale

( )( ) 1 0,1,...,n xxnP X x p p x n

x−

= = − =

Ad ogni prova le condizioni sono uguali a quelle di partenza, cioè p è costanteAd ogni prova le condizioni sono uguali a quelle di partenza, cioè p è costante

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ESEMPIO: VARIABILE CASUALE BINOMIALE

Dato un mazzo di 52 carte, si estraggano 5 carte con rimessa e si consideri la variabile

X=“n° carte di cuori”

a) Che variabile è?

b) Probabilità di estrarre 3 cuori?

c) Probabilità di estrarre almeno 3 cuori?

d) Probabilità di estrarre al più 3 cuori

e) Probabilità di non estrarre cuori

f) Probabilità di estrarre almeno 1 cuori

ESEMPIO: VARIABILE CASUALE BINOMIALE

a) Che variabile è?

b) Probabilità di estrarre 3 cuori?

c) Probabilità di estrarre almeno 3 cuori?

( )135, 5,0.2552

X Bin n p X Bin ≈ = = ⇒ ≈

( ) ( ) ( )3 5 3 3 25 5!3 0.25 1 0.25 0.25 0.75 0.088 3 3!2!

P X − = = − = =

8,8%

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 1 5 0

3 4 5

5 5 50.25 1 0.25 0.25 1 0.25 0.25 1 0.25

3 4 50.088 0.0146 0.001 0.1036

P X P X P X= + = + = =

= − + − + − =

= + + = 10,36%

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ESEMPIO: VARIABILE CASUALE BINOMIALE

d) Probabilità di estrarre al più 3 cuori

e) Probabilità di non estrarre cuori

f) Probabilità di estrarre almeno 1 cuori

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

0 1 2 3

3 1 3 1 4 5

1 0 .0 1 4 6 0 .0 0 1 0 .9 8 4

P X P X P X P X

P X P X P X P X

= + = + = + = =

= ≤ = − > = − = + = = = − + = 98 , 4%

( ) ( ) ( )0 550 0 .2 5 1 0 .2 5 0 .2 3 7 3

0P X

= = − =

2 3 ,7 3 %

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 4 5

1 1 1 1 01 0 .2 3 7 3 0 .7 6 2 7

P X P X P X P X P X

P X P X P X

= + = + = + = + = =

= ≥ = − < = − = =

= − = 7 6 , 2 7 %

ESERCIZIO: VARIABILE CASUALE BINOMIALE

7 amici lanciano 2 monete ciascuno. Calcolare la probabilità che 2 di essi ottengano 2 teste.

SoluzioneDetta X la variabile casuale “numero di teste” si osserva che tale variabile si distribuisce secondo la legge binomiale cioè: essendo 7 il numero dei giocatori. Si pone ora il problema di determinare la probabilità p dell’evento “coppia di teste per un giocatore”. Anche in questo caso si tratta di una legge binomiale, quella che descrive l’esperimento casuale “numero di teste per un giocatore” ovvero essendo 2 il numero di monete lanciate da ogni giocatore ed essendo 0.5 la probabilitàche ogni moneta mostri il lato con la “testa”.Quindi:

e quindi

);7( pBiX ≈

)5.0;2(BiY ≈

25.02Pr ===> Yp

Pr "2 am ici ottengono 2 teste" Pr 2 0.311462X= = =