Messa in evidenza totale

Esempio di polinomio che può essere scomposto con la messa in evidenza totale:5x2y4z3+10x3y2

Utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e mettiamo in evidenza il più grande fattore comune dei polinomi con cui stiamo lavorando , procedendo in questo modo:

Portiamo fuori dalle parentesi il fattore comune ai due polinomi: 5x2y4z3+10x3y2(...)

Dividiamo ogni termine dei polinomi per il fattore comune 5x2y4z3:5x2y2=y2z3

10x3y2:5x2y2=2x

Inseriamo le cifre ottenute nelle parentesi con i loro rispettivi segni:

5x2y2(y2z3+2x)

Messa in evidenza per parti

Esempio di un polinomio che può essere scomposto con la messa in evidenza per parti

ax+bx+ay+by

Nell’espressione ax+bx+ay+by compaiono 4 termini , che presentano un M.C.D. a due a due . ax e bx presentano la x in comune , ay e by , presentano la y in comune . Si procederà in questo modo:

Ricaviamo l M.C.D. dei monomi , con i rispettivi segni ,che contengono lettere uguali , portandolo fuori dalle parentesi , nelle quali metteremo il risultato della divisione tra i due monomi e il loro M.C.D. Otterremo quindi:

x(a+b)+y(a+b)

Si procederà poi mettendo in evidenza l’M.C.D. dell’intera espressione ottenuta , ovvero il contenuto delle due parentesi , al quale si aggiungerà una nuova parentesi che conterrà tutti i fattori rimasti . Otterremo quindi:(a+b)(x+y)

Scomposizione attraverso i prodotti notevoli

Esempi:

a2-b2

a2+b2+2ab

a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

a3+b3+3a2b+3ab2

a3-b3

Il primo prodotto notevole è scomponibile in una somma per differenza. Tenendo conto del termine che cambia segno e del termine che non cambia segno apriremo due parentesi con dentro le basi dei quadrati dei termini:(a…b)(a…b)

Il secondo prodotto notevole è scomponibile in un quadrato di binomio . Basta tenere conto della presenza del doppio prodotto del primo termine per il secondo(2ab) e ovviamente dei quadrati del binomio(a2+b2) . Otterremo quindi:(a+b)2

Nella prima parentesi il segno sarà positivo per entrambi i termini e nella seconda parentesi il segno sarà positivo per il termine che non cambia segno(a2) e negativo per il termine che cambia segno(-b2)(a+b)(a-b)

Il terzo prodotto notevole è scomponibile in un quadrato di un trinomio. Si può definire tale solo se nel risultato finale presenta il doppio prodotto del primo termine per il secondo(2ab) , il doppio prodotto del primo termine per il terzo(2ac) e del secondo termine per il terzo(2bc) e ovviamente il quadrato di ogni

termine del trinomio(a2+b2+c2) . Otterremo quindi :(a+b+c)2

Il quarto prodotto notevole si scompone in un cubo di binomio , ma per essere definito tale nel risultato finale deve presentare il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo(3a2b) , il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo( 3ab2) e il cubo di ogni termine del binomio(a3 e b3). Si otterrà quindi: (a+b)3

Esistono molti casi simili e che si risolvono nello stesso modo al quinto polinomio. In questo caso bisognerà procedere creando due parentesi e inserendo nella prima le basi di ogni termine della differenza di cubi , con i rispettivi segni:(a-b)(…)

Nella seconda parentesi inseriremo invece il quadrato della prima base il quadrato della seconda base e il prodotto delle basi cambiato di segno:(a-b)(a2+b2+ab)

Un caso simile al polinomio appena preso in considerazione è:a4-b4

Si scomporrà in questo modo:

Si creano due parentesi e nella prima mettiamo le basi dei termini del polinomio originale:(a-b)(…)

Nella seconda parentesi metteremo polinomi omogeneo di grado (in questo caso)4-1 , ordinato secondo le potenze decrescenti di a , che sarà la prima lettera che comparirà moltiplicata per 1, e per le potenze crescenti di b , che sarà l’ultima lettera che comparirà nel polinomio moltiplicata per 1 . Avremo quindi:(a-b)(a3+a2b+ab2+b3 )

Si adotterò lo stesso procedimento per tutti gli altri polinomi simili a questo , anche se presentano due segni positivi . In questo caso i segni della seconda parentesi si alterneranno tra + e – e il polinomio sarà scomponibile solo se gli esponenti sono dispari .

Scomposizione tramite i teorema di Ruffini

Esempio di polinomio che può essere tramite il teorema di Ruffini.

x2+x-2

Per scomporre il polinomio x2+x-2 bisognerà trovare tutti i fattori che dividono l’ultimo termine. Otterremo quindi:

2 è divisibile per ±1 e ±2

Tutte le lettere presenti nel polinomio saranno sostituite con un divisore ottenuto nel passaggio , che dopo aver svolto le varie operazioni ,dia 0. In questo caso utilizzeremo il divisore 1:

12+1-2=0

Riporteremo poi i coefficienti del polinomio originario in una tabella