Uso degli strumenti per una didattica sensata della matematica in una

prospettiva di curricolo verticale

Domingo PaolaLiceo scientifico “A. Issel” – Finale LigureG.R.E.M.G. – Dipartimento di matematica

Università di Genova

Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo

1. L’essere umano è, al tempo stesso, un essere fisico, biologico, culturale, sociale, storico. Le molteplici dimensioni della natura umana devono essere presenti in ogni proposta educativa culturalmente forte e, quindi, in particolare, nell’insegnamento apprendimento della matematica.

2. Le differenze culturali responsabili sia della ricchezza delle idee nel mondo, sia dei fenomeni di intolleranza e incomprensione, possono essere ricondotte a una matrice unitaria che potrebbe consentire di gestire positivamente le differenze. La matrice unitaria è la nostra natura fisica e biologica

Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo

3. La diffusione del sapere e delle conoscenze, soprattutto, ma non solo, grazie ai nuovi sistemi di comunicazione, porta inevitabilmente a considerare il problema dell’integrazione delle diverse culture che vengono ormai sempre più spesso e sempre più facilmente a contatto. Ogni progetto educativo non può non tenere in considerazione le tensioni che ci sono tra i diversi contesti nel quale si formano e dai quali vengono comunicate le conoscenze e il processo di globalizzazione che, inevitabilmente, la facilità di comunicazione comporta.

4. Non è possibile isolare la matematica dalle altre discipline

Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo

5. Dobbiamo insegnare a prendere decisioni in condizioni di incertezza, perché la velocità dell’evoluzione culturale comporta rischi e potenzialità che può non essere semplice comprendere completamente e di cui è possibile, ma non semplice, prevedere i risultati.

6. È necessario prestare attenzione non solo agli aspetti legati ai contenuti, ma anche agli aspetti emotivi, relazionali, affettivi, perché tali aspetti condizionano spesso la comprensione, l’apprendimento e la motivazione verso lo studio.

Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo

7. Si deve favorire la capacità che l’uomo ha di porsi e di risolvere problemi, stimolando la creatività e la curiosità. Si devono inoltre creare ambienti di apprendimento nei quali gli allievi si sentano motivati a comunicare le proprie idee. È quindi necessario passare dalle tradizionali forme di accertamento a forme maggiormente significative e che consentano di accertare realmente il conseguimento di determinate competenze.

8. Si deve porre enorme attenzione alla ricerca sull’uso degli strumenti, in particolare delle nuove tecnologie, ma più in generale degli strumenti che, in una prospettiva vygotskiana agiscono come mediatori nel processo di acquisizione di conoscenza.

Linee guida essenziali per la costruzione di un curricolo

9. La valutazione dovrà spostarsi sul sistema formativo, prima ancora che sulla valutazione delle competenze dello studente.

10. È necessario fare un’opera di divulgazione e di diffusione presso l’utenza: capillare e seria, perché ogni innovazione non può avvenire senza informare chi fruirà di questa innovazione e convincere della necessità o dell’opportunità dell’innovazione.

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m0m

Scuola elementare: ingranaggi e avvio alla dimostrazione

Da un’idea di Mariolina Bartolini Bussi, Mara Boni, Franca Ferri e Rossella Garuti

gli ingranaggi concreti devono essere trasformati in strumenti di mediazione semiotica dialogici

Addizioni di un numero naturale con 10 o con multipli di 10

3 + 10 = 13 23 + 10 = 33 92+10 = 102

211 + 10 = 221 391 + 10 = 401 990 +10 = 1000 

3 + 20 = 23 23 + 20 = 43 92 + 20 = 112

211 + 20 = 231 391 + 20 = 411 981 +20 = 1001

 

5 + 100 = 105 28 + 100 = 128 145 + 100 = 245

199 + 100 = 299 901 + 100 = 1001

Le tabelline della moltiplicazione

La tavola pitagorica come ambiente da esplorare, in cui osservare regolarità e come strumento di risoluzione di semplici problemi

• Determina, se esiste, in numero che moltiplicato per 5 dà 20

• Parti da 5 e addiziona 5 alla calcolatrice. Riesci a ottenere 70? E 63? Perché?

Per studenti più grandi. Osservazione

2.2 - 1.1 = 3; 3.3-2.2 = 5; 4.4- 3.3 = 7;

Generalizzazione

n2 - (n-1)2 = 2. n -1,

Quoziente e resto

Determinare il più grande numero che moltiplicato per 3 dà un prodotto non maggiore di 25; determinare la differenza tra 25 e il prodotto così ottenuto

10 3

10 100 30 130

5 50 15 65

150 45 195

13 . 15 = (10+3) . (10+5) =

= 10 . (10+5) + 3 . (10+5) =

= 3 . (10+5) + 10 . (10+5) =

= 3 . 5+3 . 10 + 10 . 5 + 10 . 10 =

= 15+30 + 50 + 100 =

= 45 + 150 = 195

E le procedure di moltiplicazione in colonna?

A turno, ciascun coordinatore di ogni gruppo si è mosso rispetto al sensore, osservando la traccia del proprio movimento proiettata su un muro dell'aula grazie a un view screen posto su una lavagna luminosa e collegato alla calcolatrice. La consegna prevedeva che anche gli altri studenti osservassero attentamente, dal proprio banco, il movimento dei coordinatori e la traccia descritta sul muro dell'aula.

Gli studenti si sono riuniti nei gruppi di lavoro per riflettere e discutere su quanto avevano fatto o visto fare. La consegna era quella iniziare ad avanzare ipotesi (o di confrontare quelle eventualmente già pensate individualmente durante la precedente attività) sul come e perché il movimento fosse legato al grafico osservato sul muro.

A turno, tutti gli alunni che nella prima attività si erano limitati semplicemente a osservare il movimento dei coordinatori dei gruppi di lavoro, sono stati chiamati a compiere essi stessi il movimento. Inizialmente, però, il sensore non è stato messo in funzione: i compagni di gruppo (eventualmente anche di altri gruppi) dovevano disegnare un grafico tempo-posizione che rappresentasse il movimento. Subito dopo, lo stesso movimento veniva riprodotto con il sensore in funzione, in modo che gli studenti potessero confrontare la traccia ora disegnata sul muro con il grafico tempo-posizione prima prodotto.

Gli studenti si sono nuovamente riuniti in gruppo per rispondere a domande riguardanti l'interpretazione di alcune caratteristiche grafiche delle tracce osservate sul muro (per esempio, che cosa suggerisce un segmento orizzontale, uno obliquo, oppure un tratto di curva e così via…)

A turno, i coordinatori di ciascun gruppo si sono mossi con il sensore in funzione e con la traccia proiettata alle loro spalle, in modo tale che essi, al contrario dei compagni, non potessero osservare la traccia prodotta dal proprio movimento. I coordinatori dovevano descrivere verbalmente, al tempo stesso, i propri movimenti e le caratteristiche significative della traccia proiettata sul muro e visibile a tutti gli altri studenti. I compagni di gruppo dovevano prendere nota di eventuali errori commessi dal coordinatore per poi discuterne al termine dell'esperienza.

A turno, ogni studente doveva cercare di riprodurre, con il proprio movimento, un grafico tempo-posizione generato dalla calcolatrice.

A turno, ciascun coordinatore si è mosso e i compagni di gruppo hanno riportato, sul proprio quaderno, la traccia proiettata sul muro durante il movimento del coordinatore. Al termine del movimento, il coordinatore, utilizzando una specifica funzione fornita dalla calcolatrice, ha rilevato un certo numero di coppie di dati "tempo-posizione". I dati i raccolti sono elaborati in classe dagli studenti, con l'aiuto l'insegnante, in successive lezioni.

Cabri e la geometria

Verificare che: un parallelogramma ha un centro di simmetria, ma non è simmetrico rispetto alla retta che congiunge i punti medi di due lati opposti

 un triangolo equilatero è simmetrico rispetto alle sue altezze, ma non rispetto al suo centro

 le mediane di un triangolo passano per uno stesso punto

 le bisettrici di un triangolo passano per uno stesso punto

 le altezze di un triangolo passano per uno stesso punto

 le altezze, le bisettrici e le mediane relative a un lato di un triangolo coincidono se il triangolo è equilatero (come faccio a verificare che la condizione "triangolo equilatero" è anche necessaria affinché altezze, mediane e bisettrici relative a un lato coincidano?)

Classificare i quadrilateri in base:

         alle proprietà di parallelismo, perpendicolarità, congruenza dei lati

         alle simmetrie

         ai gradi di libertà dei vertici

Riflessione: un parallelogramma è un particolare trapezio?

Disegnare, in una stessa circonferenza, un poligono A e il poligono regolare B avente lo stesso numero di lati di A. Che relazione esiste fra le aree dei due poligoni?

Sia dato un quadrilatero ABCD e siano L, M, N e P rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA.

 

Proposta di lavoro

1.    Quali proprietà ha il quadrilatero LMNP?

2.    Quali configurazioni particolari assume il quadrilatero LMNP?

3.    Quali ipotesi sul quadrilatero ABCD occorre fare affinché LMNP assuma tali configurazioni particolari?

Problemi aperti

Situazione: ... troverai un melo M, un pino P e una quercia Q. Da M dirigiti in linea retta fino a raggiungere P. Qui gira verso la tua destra di 90 gradi e percorri un segmento uguale a MP. Pianta in questa posizione un paletto P1. Quindi ritorna in M e dirigiti verso Q in linea retta. Giunto in Q gira a sinistra di 90 gradi e percorri un segmento uguale a MQ. Pianta, in questa posizione un paletto P2. Il tesoro T si trova nel punto medio del segmento P1P2.

Situazione: ... troverai un melo M, un pino P e una quercia Q. Da M dirigiti in linea retta fino a raggiungere P. Qui gira verso la tua destra di 90 gradi e percorri un segmento uguale a MP. Pianta in questa posizione un paletto P1. Quindi ritorna in M e dirigiti verso Q in linea retta. Giunto in Q gira a sinistra di 90 gradi e percorri un segmento uguale a MQ. Pianta, in questa posizione un paletto P2. Il tesoro T si trova nel punto medio del segmento P1P2.

MQ P

P2

P1

T

Problema: Ariele giunge sull’isola e non trova più il melo M. Potrà trovare ugualmente il tesoro? Come e perché?Problema: Ariele giunge sull’isola e non trova più il melo M. Potrà trovare ugualmente il tesoro? Come e perché?