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“TERMOTECNICA 1”

Università di Roma – Tor Vergata Facoltà di Ingegneria – Dipartimento di Ingegneria Industriale

Anno Accademico 2012-2013

Ing. G. Bovesecchi

Corso di:

[email protected] 06-7259-7127 (7249)

FLUIDODINAMICA: GENERALITÀ E STRATO LIMITE

Fluidodinamica - Introduzione

1.  Cos’è la fluidodinamica; 2.  Fluido ideale; 3.  Fluido reale; 4.  Tipi di moto; 5.  Viscosità; 6.  Significato del numero di Reynolds; 7.  Flusso che lambisce una lastra piana (strato limite); 8.  Flusso entro i condotti a sezione circolare.


La fluidodinamica studia il comportamento dei fluidi in movimento (liquidi o gas).

Un fluido può essere ideale o reale:   Un fluido ideale è un fluido incomprimibile che non presenta

sforzi di taglio (viscosità uguale a zero).   Un fluido è reale quando possiede viscosità, cioè sono

presenti all’interno del fluido forze di tipo viscoso che si manifestano come resistenza ai cambiamenti di forma della massa fluida.

τ yx


Se si immerge un corpo in un fluido reale, nel contatto tra i due si presentano due fenomeni: 1.  la velocità del fluido a contatto delle superfici del corpo

immerso è nulla (si dice che il fluido bagna la parete); 2.  sono presenti sforzi di taglio paralleli alla direzione della

velocità.

Conseguentemente: 1.  si può avere lo scorrimento di uno strato di fluido rispetto

ad un altro; 2.  vengono esercitate forze di trascinamento sulle superfici dei

corpi immersi, a contatto con le loro pareti, o sulle pareti del recipiente che contiene il fluido in movimento.

Fluidodinamica – velocità di un fluido

La velocità di un fluido è definita dal vettore velocità . Nel caso più generale è sia variabile nel tempo che nello spazio (occupato dal fluido), definisce quindi un campo vettoriale.

Nel campo vettoriale si possono definire le linee di corrente che sono l’inviluppo dei vettori velocità (linee che risultano tangenti ai vettori velocità in ogni loro punto) in sostanza rappresentano la traiettoria di una particella nel fluido.

u

u→

= u→

(x, y, z,τ ) = uxi + uy j + uzk ik

j

Fluidodinamica – Tipi di moto

L’accelerazione non è altro che la derivata totale (o sostanziale) della velocità:

Essendo il vettore u una funzione di x, y, z e τ.

d u→

dτ= ∂ u

→

∂x∂x∂τ

+ ∂ u→

∂y∂y∂τ

+ ∂ u→

∂z∂z∂τ

+ ∂ u→

∂τ

I primi tre termini sono detti accelerazione convettiva, il quarto accelerazione locale, se:   il termine convettivo è nullo allora il moto del fluido si dice

uniforme (le linee di corrente sono rette);   il termine locale è nullo il moto è stazionario.


Il moto del fluido si dice laminare, se la corrente può essere suddivisa in strati comunque sottili, in modo tale che le linee di corrente non attraversano mai le facce degli strati. Anche se in tale moto la velocità può cambiare nello spazio e nel tempo, tali cambiamenti di velocità sono imposti o dalla forma del contenitore o dalla variazione delle condizioni esterne (pressione, forze, etc).

MOTO LAMINARE

Conseguenza non si ha rimescolamento tra i filetti di fluido (almeno per tempi brevi).


MOTO LAMINARE

Per evidenziare questo comportamento si può iniettare un colorante all’interno del fluido. Il colorante si mantiene inalterato per tempi relativamente lunghi, sino a che non si disperde nella massa per effetto della diffusione (soluzione liquida).


Il moto si dice turbolento, se le linee di corrente hanno andamento irregolare nel tempo e nello spazio, incrociandosi continuamente. Le grandezze fisiche cinematiche (posizione, velocità, accelerazione), dinamiche (pressioni, sforzi tangenziali) e termiche (temperatura, flussi termici), variano nel tempo e nello spazio senza leggi precise e determinabili. Possono essere fatte solo valutazioni statistiche (media, varianza, etc) di tali grandezze.

MOTO TURBOLENTO


Come conseguenza si ha un continuo rimescolamento del fluido, ed un colorante iniettato all’interno si disperde in tempi relativamente brevi nell’intera massa del fluido.

MOTO TURBOLENTO


Risulta chiaro dalle definizioni date che la differenza fondamentale tra i due regimi di moto consiste nell’instabilità propria del moto stesso, per cui si passa spontaneamente da un regime all’altro. Come conseguenza risulta che, anche se da un punto di vista di principio un moto turbolento ripreso da un telecamera e proiettato a rallentatore e ingrandito non apparirebbe differente dal moto laminare di un fluido sommerso (ad esempio una pompa in una vasca d’acqua che viene mossa a formare dei lenti vortici), la differenza sostanziale sta nel fatto che i ricircoli risultano spontanei nel moto turbolento e imposti dall’esterno in quello laminare.

Fluidodinamica – Viscosità

La viscosità è la grandezza fisica che quantifica la resistenza dei fluidi allo scorrimento (cioè rappresenta la coesione interna del fluido).

Supponiamo di avere due piani paralleli che si muovono in un fluido, con velocità relativa uniforme (non troppo elevata). I due piani si trovano ad una distanza h (piccola). Il fluido, essendo viscoso, ha velocità nulla a contatto con i due piani. Per semplicità possiamo vedere questo sistema come se uno dei due piani è fermo e l’altro in moto a velocità Sperimentalmente si nota che la velocità del fluido ha un andamento lineare sulla sezione. Quindi:

u.

u


Sperimentalmente si nota che la velocità del fluido ha un andamento lineare sulla sezione. Quindi:

dudy

= cost ⇒ u ( y) =u

max

hy

A causa dell’attrito, per mantenere il moto costante bisogna applicare alla superficie superiore una forza costante nella direzione e verso della velocità. La forza è proporzionale alla superficie A. Il loro rapporto, essendo forza e superficie parallele, rappresenta uno sforzo di taglio:

F

τ

yx= F

A


Lo sforzo di taglio risulta sperimentalmente proporzionale alla velocità ed inversamente proporzionale alla distanza dei due piani. Tale dipendenza viene detta la legge di Newton per i fluidi viscosi:

u(y)

x

h

umax

τ

yx= µ du

dy


µ [Pa s] è la viscosità dinamica. La viscosità cinematica è definita come:

µ = ρ ν

dove ρ [kg/m3] è la densità.

Il motivo della definizione “viscosità dinamica” o “viscosità cinematica” risiede nel fatto che nelle unità di misura della prima compaiono tutte le grandezze che vengono utilizzate nella dinamica (massa, lunghezza e tempo), mentre nella seconda solo le unità di misura utilizzate nella cinematica(lunghezza e tempo).

Fluidodinamica – Reynolds

Il passaggio da moto laminare a moto turbolento è dato dal prevalere delle forze di inerzia su quelle viscose. Le prime tendono a destabilizzare il fluido le seconde a smorzare i disturbi.

Per dimostrare questa affermazione definiamo la similitudine fisica da tre tipi diversi di similitudine:   geometrica;   cinematica;   dinamica.


Due sistemi si dicono geometricamente simili quando i lati omologhi sono proporzionali e gli angoli uguali

dove L e L’ sono due dimensioni caratteristiche dei due sistemi (L/L’ risulta pertanto il rapporto di scala).

xx '

= yy '

= zz '= LL '

Due sistemi si dicono cinematicamente simili quando sono proporzionali le componenti della velocità nei punti omologhi di due sistemi:

uxu 'x

=uyu 'y

=uzu 'z


Due sistemi si dicono dinamicamente simili quando sono proporzionali le componenti delle diverse forze (inerziali, d’attrito, gravitazionali) applicate a punti omologhi di due sistemi

FxF 'x

=FyF 'y

=FzF 'z

Due sistemi sono fisicamente simili quando sono geometricamente, cinematicamente e dinamicamente simili.


Consideriamo ora un fluido con velocità in direzione x ( cioè u=ux ,con ux che varia lentamente in direzione x) e con moto stazionario (∂u/∂t=0). Le componenti delle forze inerziali su un elemento di volume dx dy dz sono:

!


Le componenti delle forze inerziali su un elemento di volume dx dy dz sono:

dFi = dm ⋅a = ρ dxdydz dudt

dudt

= ∂u∂xux +

∂u∂yuy +

∂u∂zuz

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ∂u∂t

= 12dux

2

dx

dFi =12ρ du

2

dxdxdydz

Consideriamo ora un punto omologo di un altro sistema simile fisicamente avremo che:

dF '

i= 1

2ρ ' du '2

dx 'dx 'dy 'dz '

Fluidodinamica – Reynolds Ricordando che:

dxdx '

= dydy '

= dzdz '

= LL '

Avremo che:

dFidF 'i

=

du2

dxdxdydz

ρ ' du '2

dx 'dx 'dy 'dz '

= ρu 2L2

ρ 'u '2 L '2

Per due sistemi cinematicamente simili il rapporto tra i differenziali è uguale al rapporto delle quantità finite, quindi:

dFi

dF 'i

=

du2

dxdxdydz

ρ ' du '2

dx 'dx 'dy 'dz '

= ρu 2 L2

ρ 'u '2 L '2=

Fi

Fi'

Fluidodinamica – Reynolds Per la forza viscosa Fy consideriamo che sulla faccia inferiore dell’elemento agisce uno sforzo di taglio –τyxdxdz, mentre su quella superiore agirà una forza:

τ yx +∂τ yx∂y

dy⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dxdz.

La forza netta sull’elemento di volume è:

τ yx +∂τ yx∂y

dy⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥dxdz −τ yxdxdz =

∂τ yx∂y

dydxdz = µ ∂2u∂y2

dxdydz

Il rapporto delle forze tra due punti omologhi risulta:

dFvdF 'v

=µ ∂2u∂y2

dxdydz

µ ' ∂2u '

∂y '2dx 'dy 'dz '

= µuLµ 'u 'L '

= FvF 'v

Fluidodinamica – Reynolds Unendo le informazioni ricavate per le forze d’inerzia e quelle viscose e considerando che deve essere soddisfatta la similitudine fisica possiamo scrivere:

FvF 'v

= FiF 'i

µ u /Lµ 'u ' /L '

= ρ u 2 /Lρ 'u '2 /L '

ρu Lµ

= ρ 'u 'L 'µ '

Re = ρu L

µ

Re = Re' = cost

Quindi:


Il rapporto tra le forze di inerzia e quelle viscose è pertanto il numero di Reynolds. Questo significa che a bassi Re prevalgono quelle viscose, e il moto risulta laminare, ad alti Re prevalgono le forze inerziali, che destabilizzano il moto, che risulta di conseguenza turbolento. Risulta anche chiaro come in sistemi geometricamente, cinematicamente e dinamicamente simili il numero di Reynolds sia lo stesso.

Fluidodinamica – Strato limite

Nel caso di moto parallelo a superfici piane, il fluido lambisce la lastra piana con angolo di incidenza nullo. La velocità di un fluido viscoso vicino alla parete è nulla, come visto in precedenza, poi cresce progressivamente sino a raggiungere il valore indisturbato (non influenzato dalla parete) ad una determinata distanza. Questa distanza è detta strato limite.

Supponiamo di avere un piano nella direzione del moto.


MOTO LAMINARE

Sotto le ipotesi precedenti in caso di moto laminare l’andamento è il seguente:

!


Lo spessore dello strato limite fluidodinamico δ viene definito come la distanza dalla superficie dove la velocità raggiunge il 99% di quella indisturbata.

L’andamento della velocità nello strato limite si ricava dalla soluzione delle equazioni di bilancio del moto (equazioni di Navie Stokes).

Nella pratica può essere approssimato da un andamento parabolco.


Da cui si ottiene:

u = u∞per y = δ

u = 0 per y = 0dudy

= 0 per y = δ

uu

∞

= 2 yδ

− yδ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

{


Per quanto riguarda gli sforzi tangenziali, sempre nel caso di un fluido che lambisce una parete con angolo di incidenza nullo a contatto con la lastra si avrà uno sforzo tangenziale τ0, nella direzione del moto. Si può definire il fattore di attrito locale Cx ad una determinata distanza x dall’imbocco della lastra. Lo sforzo tangenziale di taglio locale (sulla superficie a y=0) τ0,x risulta proporzionale alla velocità indisturbata al quadrato e alla densità del fluido. Il fattore di proporzionalità è Cx

τ0 ,x=C

x

ρ u∞

2

2


dalla soluzione numerica delle equazioni dello strato limite laminare (eq. di Navie Stokes) si ricava

Cx = 0.664 Rex−0.5

Rex =

x ρ u∞µ

integrando si ottiene il fattore d’attrito medio tra 0 ≤ x ≤ l

Cl =

1l

Cx dx0

l∫ = 1.328 Rel

−0.5


MOTO TURBOLENTO

Se la velocità è sufficiente, il regime diventa instabile, compaiono le turbolenze, dopo una zona di transizione in cui le due regioni coesistono. Anche in regime turbolento rimane sempre comunque un sottostrato laminare tra la superficie (al cui contatto la velocità è nulla) e lo strato turbolento

!


In tutto lo strato limite (sottostrato laminare più strato turbolento) il profilo della velocità assume un andamento che può essere descritto dalla relazione empirica:

uu∞

= yδ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1/n

con n = n(Re). Per 3⋅104 ≤Re ≤5⋅105 n=7

Nel sottostrato laminare l’andamento della velocità è all’incirca lineare. La distinzione tra sottostrato laminare e strato turbolento non è netta. Esiste uno strato intermedio chiamato buffer layer.


Il numero di Reynolds si calcola con u=u∞ e con L pari alla distanza di attacco della lastra (tra l’imbocco e il punto x considerato, cfr. Fig. 1.4). Normalmente il regime diventa critico per ReL> 3,5 105, ma in pratica si riesce a mantenere il moto laminare sino a Re = 5·105 se le perturbazioni del flusso (rugosità e vibrazioni) sono non troppo elevate.

Per quando riguarda il coefficiente d’attrito, assumendo si ottiene:

uu∞

= yδ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1/n

Cx = 0.0592 Rex−1/5 5 ⋅105 ≤ Re ≤107

CL = 0.074 ReL−1/5

Che integrata porta alla seguente relazione:


Negli appunti vengono riportate, per completezza, alcune espressioni empiriche di Cx e il campo di Re in cui vengono applicate, ad esempio la Prantl Schlikting o la Schultz Grunant.

fino a oltre Rex =109Prantl SchliktingCx = 2log Rex− 0,65( )−2,3

; CL =0,455

log ReL( )2,58

Schultz Grunant Cx = 0,370 ⋅ log Rex( )−2,584;CL = 0,427 ⋅ log ReL− 0,407( )−2,64

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

queste sono espressioni valide per pareti lisce, condizione verificata dalla disuguaglianza:

eρu∞µ

≤ 5⋅ 5,85logδe+ 9,65

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Fluidodinamica – Strato limite dove e è la rugosità media della superficie e δ l’altezza dello strato limite. Se si considera la relazione empirica tra l’altezza dello strato limite δ e la distanza dal bordo di attacco x:

Per pareti scabre (realizzate con sabbia), tali cioè che sia verificata la condizione:

δx= 0,376Rex

−1/5

eρu∞µ

≥ 70 ⋅ 5,75logδe+8,5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

per 102 ≤ x / e ≤106Cx = 2,87+1,58log

xe

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2,5

Cl = 1,89+1,62logle

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2,5

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

si possono usare le relazioni:

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