Università di Cagliari Cagliari, Luglio...

Logica e Ragionamento LogicoPreparazione ai Test di ingresso

Università di Cagliari

Cagliari, Luglio 2017

Università di Cagliari Logica e Ragionamento Logico

Struttura del test

Medicina e Chirurgia/Odontoiatria e Protesi Dentaria

⇒ 60 domande - 100 minuti di tempo

1. Culture Generale: 2 domande2. Logica e Ragionamento Logico: 20 domande3. Biologia: 18 domande4. Chimica: 12 domande5. Matematica e Fisica: 8 domande

PunteggiI risposta corretta: 1,5 puntiI risposta sbagliata: -0,4 puntiI risposta non data: 0 punti

Struttura del test

Medicina e Chirurgia/Odontoiatria e Protesi Dentaria

PunteggiI risposta corretta: 1,5 puntiI risposta sbagliata: -0,4 puntiI risposta non data: 0 punti

Struttura del test

Medicina Veterinaria

Punteggi

I risposta corretta: 1,5 puntiI risposta sbagliata: -0,4 puntiI risposta non data: 0 punti

Struttura del test

Medicina Veterinaria

Punteggi

I risposta corretta: 1,5 puntiI risposta sbagliata: -0,4 puntiI risposta non data: 0 punti

Decreto Ministeriale“Per l’ammissione ai corsi è richiesto il possesso di unacultura generale, con particolari attinenze all’ambito letterario,storico-filosofico, sociale ed istituzionale, nonché dellacapacità di analisi su testi scritti di vario genere e daattitudini al ragionamento logico-matematico. [...]Accertamento della capacità di usare correttamente la linguaitaliana e di completare logicamente un ragionamento, inmodo coerente con le premesse, che vengono enunciate informa simbolica o verbale attraverso quesiti a scelta multiplaformulati anche con brevi proposizioni, scartando le conclusionierrate, arbitrarie o meno probabili.I quesiti verteranno su testi di saggistica scientifica o narrativadi autori classici o contemporanei, oppure su testi di attualitàcomparsi su quotidiani o su riviste generalistiche ospecialistiche; verteranno altresì su casi o problemi, anche dinatura astratta, la cui soluzione richiede l’adozione di formediverse di ragionamento.Quesiti relativi alla cultura generale, affrontati nel corso di studi,completano questo ambito valutativo.”

Che cos’è la logica?

Non sarà nel nostro interesse introdurre il concetto di logica inmodo preciso. Ci possono bastare alcune intuizioni!

I La logica è la scienza del ragionamento esatto (corretto,valido)

I Storicamente la logica è stata “introdotta” nella filosofiagreca

I Oggi la logica è una materia interdisciplinare: interessafilosofia, matematica e informatica

In questo corso la logica servirà in modo particolare per:1. Dare una struttura formale al linguaggio naturale2. Riconoscere e applicare formule sempre vere3. Comprendere meccanicamente la correttezza di un

ragionamento

La struttura logica del linguaggio

Quali sono i tasselli della struttura argomentativa?

Da quali configurazioni linguistiche ha inizio l’indagine logicadel linguaggio?

GLI ENUNCIATI

DefinizioneUn enunciato è un’espressione linguistica a proposito dellaquale ha senso chiedersi se sia vera o falsa.

GLI ENUNCIATI

Gli enunciatiAlcuni esempi

I Oggi il cielo è grigioI Mia madre ha 60 anni e mio padre ne ha 65I I gatti sono feliniI In questo momento a Londra vivono esattamente 137

persone con i capelli rossiI Gianni è irlandese

NON sono enunciati

I Che ore sono?I Maria, la sorella di Luca

Gli enunciatiAlcuni esempi

I Oggi il cielo è grigioI Mia madre ha 60 anni e mio padre ne ha 65I I gatti sono feliniI In questo momento a Londra vivono esattamente 137

persone con i capelli rossiI Gianni è irlandese

NON sono enunciati

I Che ore sono?I Maria, la sorella di Luca

Enunciati atomici

Gli enunciati si dividono in atomici (semplici) e composti

DefinizioneUn enunciato è atomico (semplice) se non può esserescomposto in parti che siano a loro volta enunciati

Esempi

I Lorenzo è altoI Cagliari si trova sul mareI Firenze si trova tra Bologna e RomaI 2 divide 8

Enunciati atomici

Esempi

Enunciati atomici

Esempi

Cosa esprimono gli enunciati

I Proprietà

Es: Lorenzo è alto A1(l)

I Relazioni (binarie)

Es: Cagliari si trova sul mare T 2(c,m)2 divide 8 D2(2,8)Giovanni ama Maria A2(g,m)

I Relazioni (ternarie)

Es: Firenze si trova tra Bologna e Roma T 3(f ,b, r )

Le proprietà e le relazioni in logica si chiamano predicati.Le proprietà sono casi particolari di relazioni a un posto.

I Proprietà

Enunciati composti

Gli enunciati composti NON sono enunciati atomici

DefinizioneUn enunciato è composto se può essere scomposto in una opiù parti che sono ancora enunciati (atomici o composti)

Esempi

I Oggi c’è il sole e fa caldo ⇒ “Oggi c’è il sole”, “oggi facaldo” sono ancora enunciati

I Ieri non sono andato al mare ⇒ “Ieri sono andato al mare”è un enunciato

Enunciati composti

Esempi

Enunciati composti

Esempi

Enunciati composti

Esempi

Comporre enunciatiI connettivi

Così come l’algebra ha le sue operazioni, la logica ècaratterizzata da 5 operazioni fondamentali, i connettivi,tramite le quali costruire nuovi enunciati a partire da enunciatidati

Negazione

A:= “Anna è sorella di Franco”.Applicando la negazione ¬ che leggiamo come “non” otteniamol’enunciato composto¬A:= “Anna non è sorella di Franco”

La negazione è un connettivo unario, perchè si applica ad unSOLO enunciato

Negazione

Comporre enunciatiCongiunzione e disgiunzione

Considero due enunciati atomici:A:= “Anna è sorella di Franco”B:= “Stefano è amico di Teresa”

Congiunzione ∧A ∧ B:= “Anna è sorella di Franco e Stefano è amico di Teresa”

Disgiunzione ∨A ∨ B:= “Anna è sorella di Franco o Stefano è amico di Teresa”

∧, ∨ sono connettivi binari perchè si applicano a due enunciati

Connettere enunciatiImplicazione e doppia implicazione

Consideriamo ancora gli enunciati (atomici)A:= “Anna è sorella di Franco”B:= “Stefano è amico di Teresa”

Implicazione → (leggiamo “se...allora”)

A → B:= “Se Anna è sorella di Franco allora Stefano è amico diTeresa”

Doppia implicazione ↔ (leggiamo “se e solo se”)

A ↔ B:= “Anna è sorella di Franco se e solo se Stefano èamico di Teresa”

Anche → e ↔ sono connettivi binari

I Principi della Logica Classica

Il concetto di enunciato è stato definito in relazione alleproprietà di “essere vero” o “essere falso”. Vediamo quali sono iprincipi cardini della Logica Classica

3 principi fondamentali

I Principio di Bivalenza I possibili valori di verità attribuitiad un enunciato sono esattamente due: il vero e il falso.

I Principio di Determinatezza Ad ogni enunciato si puòattribuire uno ed un solo valore di verità.

I Principio di Verofunzionalità Il valore di verità di unenunciato composto è determinato dal valore di verità deglienunciati atomici costituenti

Le tavole di veritàNegazione

Per il Principio di Verofunzionalità, la verità di enunciatocomposto, dipende unicamente dal valore di verità deglienunciati componenti.

Le tavole di verità ci dicono come funzione questa dipendenza.

Negazione (¬)

A ¬ AV FF V

I la negazione inverte il valore di verità

Negazione (¬)

A ¬ AV FF V

Negazione (¬)

A ¬ AV FF V

Negazione (¬)

A ¬ AV FF V

Le tavole di veritàCongiunzione e disgiunzione

Congiunzione (∧)

A B A ∧ BV V VV F FF V FF F F

I La congiunzione è vera nell’unico caso in cui i dueenunciati congiunti siano entrambi veri

I La congiunzione è commutativa

Congiunzione (∧)

Le tavole di veritàDisgiunzione

Disgiunzione (∨)

A B A ∨ BV V VV F VF V VF F F

I La disgiunzione è falsa nell’unico caso in cui i dueenunciati disgiunti siano entrambi falsi (e vera in tutti glialtri casi)

I La disgiunzione è commutativa

Disgiunzione (∨)

Disgiunzione inclusiva ed esclusiva

Si può introdurre un tipo di disgiunzione diversa da ∨, il cui usoè molto frequente nel linguaggio naturale: la disgiunzioneesclusiva.

Disgiunzione esclusiva (∨̇)

A B A ∨̇ BV V FV F VF V VF F F

I Una disgiunzione esclusiva (∨̇) è vera quando esattamenteuno dei disgiunti è vero

Le tavole di veritàImplicazione

Implicazione (→)

A B A → BV V VV F FF V VF F V

A si chiama antecedente dell’implicazione, B conseguente

I L’implicazione è falsa nell’unico caso in cui l’antecedente èvero mentre il conseguente è falso

I L’implicazione non è commutativa

Implicazione (→)

Le tavole di veritàDoppia implicazione

Doppia implicazione (↔)

A B A ↔ BV V VV F FF V FF F V

I La doppia implicazione (o bicondizionale) è vera soloquando i due enunciati che connette hanno lo stessovalore di verità.

I La doppia implicazione esprime l’equivalenza logica traenunciati

Esercizio

Un uomo viene processato per furto. Il pubblico ministeroe l’avvocato difensore nell’ultima udienza fanno leseguenti affermazioni:

PM: "Se l’imputato è colpevole, allora ha avuto un complice"Avvocato: "Ciò non è vero"

Supponendo che l’affermazione dell’avvocato riportatasopra sia vera, cosa si può dire con certezza?

A) che l’imputato verrà assoltoB) che l’imputato verrà condannato insieme al compliceC) che l’imputato viene assolto, ma il complice condannatoD) che l’imputato verrà ritenuto colpevole e quindi condannatoE) non si può concludere nulla con certezza

Esercizio

Dal linguaggio naturale al linguaggio logico

Il linguaggio naturale, che usiamo ogni giorno, èincredibilmente ricco di espressioni linguistiche e sfumaturelessicali che a prima vista sembra impossibile pensare diridurre, nei termini delle cinque operazioni appena viste.

In realtà il linguaggio della logica è in grado di schematizzaremoltissime espressioni del linguaggio naturale, perdendo peròla forza di molte sfumature.

Dal linguaggio naturale al linguaggio logico

Il linguaggio naturale, che usiamo ogni giorno, èincredibilmente ricco di espressioni linguistiche e sfumaturelessicali che a prima vista sembra impossibile pensare diridurre, nei termini delle cinque operazioni appena viste.

In realtà il linguaggio della logica è in grado di schematizzaremoltissime espressioni del linguaggio naturale, perdendo peròla forza di molte sfumature.

Dal linguaggio naturale al linguaggio logicoQuando

“Quando” viene espresso tramite un’implicazione →

Quando! →Linguaggio naturale: “Luca sta male quando corre”Logica: “Se Luca corre allora sta male”A → BA:= Luca correB:= Luca sta male

I “Quando” introduce l’antecedente dell’implicazione

Dal linguaggio naturale al linguaggio logicoPerchè

Anche “perchè” viene espresso tramite un’implicazione →

Perchè! →Linguaggio naturale: “14 è pari perchè è divisibile per 2”

Logica: “Se 14 è divisibile per 2 allora è pari”

A → B

A:= “14 è divisibile per 2”B:= “14 è pari”

I “Perchè” introduce l’antecedente dell’implicazione

A → B

Dal linguaggio naturale al linguaggio logicoNonostante, ma

“Nonostante” e “ma” vengono espressi dalla congiunzione

Nonostante, ma! ∧Linguaggio naturale: “Luca studia nonostante sia malato”

Logica: “Luca studia e è malato”

Linguaggio naturale: “È agosto ma fa freddo”

Logica:“È agosto e fa freddo”

Dal linguaggio naturale al linguaggio logicoNonostante, ma

“Nonostante” e “ma” vengono espressi dalla congiunzione

Nonostante, ma! ∧Linguaggio naturale: “Luca studia nonostante sia malato”

Logica: “Luca studia e è malato”

Linguaggio naturale: “È agosto ma fa freddo”

Logica:“È agosto e fa freddo”

Dal linguaggio naturale al linguaggio logicoSolo se

“Solo se” corrisponde ad un’implicazione.

ATTENZIONE alla posizione di antecedente e conseguente

Solo seLinguaggio naturale: “Luca viene a cena solo se Gianna loaccompagna”

Logica: “Se Luca viene a cena allora Gianna lo accompagna”

I A solo se B si formalizza A → B

Dal linguaggio naturale al linguaggio logicoCondizione sufficiente

La condizione sufficiente corrisponde ad un’implicazione.

Condizione sufficienteLinguaggio naturale: “Condizione sufficiente affinchè Luca siatoscano è che sia fiorentino”

Logica: “Se Luca è fiorentino allora è toscano”

I A è condizione sufficiente affinchè B si formalizzaA → B

Dal linguaggio naturale al linguaggio logicoCondizione necessaria

La condizione necessaria corrisponde ad un’implicazione.

Condizione necessariaLinguaggio naturale: “Condizione necessaria affinchè Lucaabbia la patente è che sia maggiorenne”

Logica: “Se Luca ha la patente allora è maggiorenne”

I A è condizione necessaria affinchè B si formalizzaB → A

RicapitolandoImplicazione

L’implicazione sarà per noi il connettivo principale

A → BUn implicazione del tipo A → B corrisponde a:

I se A allora B

I A solo se B

I A è condizione sufficiente affinchè B

I B è condizione necessaria affinchè A

RicapitolandoDoppia implicazione

A ↔ BUna doppia implicazione del tipo A ↔ B corrisponde a:

I A se e solo se B

I se A allora B e se B allora A

I A è condizione necessaria e sufficiente affinchè B

Forma logica

Comprendere la forma logica degli enunciati proposti neiquesiti sarà il primo passo da compiere e

I può già essere sufficiente a risolvere alcune tipologie diesercizi (apparsi negli ultimi anni)

I sarà fondamentale per altri quesiti per i quali useremotecniche più “sofisticate”

EsercizioForma logica

Non è sufficiente aver comprato un biglietto per volare inaereo; è necessario aver fatto il check in. Mario non hafatto il check in e dunque non può volare.Quale tra le seguenti segue la stessa forma logica?A) Si può entrare allo stadio solo se ho comprato i biglietti per

la partita. Domenica sono entrato allo stadio, dunque hocomprato i biglietti.

B) Quando nevica i paesi di montagna rischiano di rimanereisolati per giorni. A volte non serve che nevichi, basta chepiova molto affinchè restino isolati.

C) Se si potano le rose a primavera, la successiva fioriturasarà garantita ma Alessia non si applica mai nelgiardinaggio, quindi le sue rose sono destinate a non fiorirebene.

D) Luca sa che non basta studiare per superare l’esame, mabisogna anche essere fortunati, e lui non è certo un tipobaciato dalla fortuna! È certo, non passerà l’esame.

E) Se tutti gli studenti che si presentano al test di ingressoentrassero nel corso di laurea, la facoltà non avrebbe aulesufficienti per garantire lezioni a tutti. Ma non tutti glistudenti possono accedere al corso di laurea, dunque leaule della facoltà saranno in numero sufficiente per tutti glistudenti.

EsercizioForma logica (Test Medicina 2014)

Per poter richiedere il visto per una vacanza-lavoro inAustralia sono necessari due requisiti: bisogna dimostraredi avere un conto corrente con un saldo di almeno 1.000euro e avere un’età massima di 30 anni. Giulia ha più di 30anni, quindi non è idonea per richiedere tale visto.Quale delle seguenti affermazioni segue la stessa strutturalogica del suddetto ragionamento?

A) Molte professioni hanno limiti d’età. L’esercito non reclutanessuno che abbia più di 30 anni. Giovanni ha 25 anni,quindi è idoneo per richiedere di arruolarsi nell’esercito

B) Per candidarsi alla presidenza degli Stati Uniti, bisognaessere nati in territorio statunitense e bisogna avere un’etàsuperiore ai 40 anni. John è nato negli Stati Uniti ed ha 50anni, quindi è idoneo per candidarsi alla presidenza degliStati Uniti

C) Una borsa di studio viene offerta solo agli studenti che sisono laureati con il massimo dei voti e che sono stati giàammessi a una scuola di dottorato. Marco non si èlaureato con il massimo dei voti, quindi non è idoneo perrichiedere la borsa di studio

D) Per vincere una medaglia d’oro alle Olimpiadi, bisognapartecipare ai giochi olimpici. Rita ha vinto una medagliad’oro, quindi deve aver partecipato alle Olimpiadi

E) Per apparire sulla copertina di una rivista bisogna esserefamosi. Luca deve essere più famoso di quanto tuttipensassero, dato che è apparso sulla copertina di unarivista nel del mese di aprile

EsercizioForma logica e tavole di verità

Per far sì che l’enunciato “essere intelligente e conoscerebene le scienze è condizione necessaria e sufficiente pervivere felici” sia falso, deve accadere necessariamenteche:

A) Luigi è un ottimo conoscitore della scienza ma non è veroche è felice

B) Luca conosce perfettamente le scienze inoltre èintelligente e felice

C) Marta non è felice: non conosce bene le scienzeD) Gianni è felice nonostante sia intelligente ma non conosca

bene le scienzeE) Marina è felice: conosce bene le scienze oppure non è

particolarmente intelligente

Verità logiche e contraddizioniTavole di verità e connettivi

Abbiamo imparato che le tavole di verità in generaleforniscono uno strumento che permette di capire se unenunciato composto sia VERO o FALSO in base ai valori diverità degli enunciati atomici che lo compongono:

I il valore di ¬A dipende dal valore di A

I il valore di A ∧ B dipende dai singoli valori di A e di B

I il valore di A ∨ B dipende dai singoli valori di A e di B

I il valore di A → B dipende dai singoli valori di A e di B

I il valore di A ↔ B dipende dai singoli valori di A e di B

Verità logiche e contraddizioniEnunciati soddisfacibili e falsificabili

Gli enunciati composti non sono tutti uguali e le tavole di veritàportano alla luce importanti proprietà che li caratterizzano e lidistinguono gli uni dagli altri.

SoddisfacibilitàUn enunciato è detto soddisfacibile se esiste almenoun’assegnazione di valori alle variabili proposizionali che locompongono tale da renderlo vero.

⇒ un enunciato è soddisfacibile quando nella tavola di verità adesso associata compare almeno un valore V.

Analogamente possiamo definire la proprietà duale:

FalsificabilitàUn enunciato è detto falsificabile se esiste almenoun’assegnazione di valori alle variabili proposizionali che locompongono tale da renderlo falso.

⇒ un enunciato è falsificabile quando nella tavola di verità adesso associata compare almeno un valore F.

Attenzione! Un enunciato può essere contemporaneamentesoddisfacibile e falsificabile!

Esempio

A B B → A A ∨ B (B → A) ∧ (A ∨ B)V V V V VV F V V VF V F V FF F V F F

I (B → A) ∧ (A ∨ B) è soddisfacibile per A = B = V eA = V ,B = F

I (B → A) ∧ (A ∨ B) è falsificabile per A = F ,B = V e

A = B = F

Esempio

A = B = F

Esempio

A = B = F

Verità logiche e contraddizioniContraddizioni

Consideriamo l’enunciato ¬(A ∨ ¬A) e guardiamo la sua tavoladi verità:

Esempio

A ¬A A ∨ ¬A ¬(A ∨ ¬A)V F V FF V V F

Questo enunciato non solo è falsificabile ma non è mai vero!

Esempio

Gli enunciati che risultano sempre falsi sono quelli che in logicaformale vengono chiamati falsità logiche:

ContraddizioneUn enunciato è detto contraddizione o falsità logica se nessunaassegnazione di valori alle variabili proposizionali che locompongono lo rende vero, ovvero ogni assegnazione lorende falso.

⇒ Una contraddizione è una formula la cui tavola di verità dàcome risultato F per ogni caso possibile considerato.

Verità logiche e contraddizioniTautologie

Consideriamo l’enunciato A → (B → A) e guardiamo la suatavola di verità:

Esempio

A B B → A A → (B → A)V V V VV F V VF V F VF F V V

Questo enunciato non solo è soddisfacibile ma non è mai falso!

Esempio

Gli enunciati che risultano sempre veri sono quelli che in logicaformale vengono chiamati verità logiche:

Tautologia

Un enunciato è detto tautologia o verità logica se ogniassegnazione di valori alle variabili proposizionali che locompongono lo rende vero.

⇒ Una tautologia è una formula la cui tavola di verità dà comerisultato V per ogni caso possibile considerato.

Tautologia

Verità logiche e contraddizioniLeggi logiche da ricordare!

Doppia negazione

A ↔ ¬¬A

Idempotenza di Congiunzione e Disgiunzione

A ∧ A ↔ AA ∨ A ↔ A

Commutatività di Congiunzione e Disgiunzione

(A ∧ B) ↔ (B ∧ A)(A ∨ B) ↔ (B ∨ A)

Doppia negazione

A ↔ ¬¬A

A ∧ A ↔ AA ∨ A ↔ A

(A ∧ B) ↔ (B ∧ A)(A ∨ B) ↔ (B ∨ A)

Doppia negazione

A ↔ ¬¬A

A ∧ A ↔ AA ∨ A ↔ A

(A ∧ B) ↔ (B ∧ A)(A ∨ B) ↔ (B ∨ A)

Doppia negazione

A ↔ ¬¬A

A ∧ A ↔ AA ∨ A ↔ A

(A ∧ B) ↔ (B ∧ A)(A ∨ B) ↔ (B ∨ A)

Terzo EsclusoA ∨ ¬A

Non Contraddizione¬(A ∧ ¬A)

A FortioriA → (B → A)

Leggi di De Morgan

¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B)

Contrapposizione

(A → B) ↔ (¬B → ¬A)

Legge di Filone

(A → B) ↔ (¬A ∨ B)

Legge di Crisippo

¬(A → B) ↔ (A ∧ ¬B)

Leggi di De Morgan

¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B)

Contrapposizione

(A → B) ↔ (¬B → ¬A)

Legge di Filone

(A → B) ↔ (¬A ∨ B)

Legge di Crisippo

¬(A → B) ↔ (A ∧ ¬B)

Leggi di De Morgan

¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B)

Contrapposizione

(A → B) ↔ (¬B → ¬A)

Legge di Filone

(A → B) ↔ (¬A ∨ B)

Legge di Crisippo

¬(A → B) ↔ (A ∧ ¬B)

Leggi di De Morgan

¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B)¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B)

Contrapposizione

(A → B) ↔ (¬B → ¬A)

Legge di Filone

(A → B) ↔ (¬A ∨ B)

Legge di Crisippo

¬(A → B) ↔ (A ∧ ¬B)

Verità logiche e contraddizioniEsercizio 1

Se è vero che è necessario saper guidare per superarel’esame pratico per la patente, ma non è sufficientestudiare bene la teoria per superare l’esame teorico per lapatente, allora è necessariamente vero anche che

A) Se qualcuno non supera l’esame pratico, ciò significa chenon sa guidare bene.

B) Massimo si è preparato adeguatamente per l’esameteorico, studiando bene, e dunque l’ha superato.

C) Carlo non ha superato l’esame teorico nonostante abbiastudiato bene.

D) Chiunque sa guidare bene supera tranquillamente l’esamepratico, ma non è detto che superi quello teorico.

E) Se supero l’esame teorico non è detto che superi anchequello pratico.

Uso delle leggi logiche

Alcune delle leggi logiche che abbiamo introdotto sonoparticolarmente utili per porter negare enunciati composti.

Negare un enunciato significa semplicemente anteporgli unanegazione. Il punto è che, se tale enunciato è composto (comenei quesiti ministeriali) bisogna usare le leggi logiche peranalizzare il comportamento di tale negazione.

Esercizio: negare i seguenti enunciati

A → (B ∨ C)A ∧ (B → C)A → (B ∧ C)A ∧ (B → C)

Negare che “non piove oppure la luna è visibile di giorno”equivale ad affermare che:

A) Non è sufficiente che piova affinchè la luna sia visibile digiorno

B) Se non piove si vede la luna di giornoC) Quando non si vede la luna di giorno, vuol dire che pioveD) Piove oppure non si vede la luna di giornoE) Se piove allora è possibile che si veda la luna di giorno

Un accogliente cartello all’ingresso del ristorante L’OcaGiuliva recita:

Se si è in pochi, si mangia beneSe si è in tanti, si spende poco

Il Signor Aquilotto, con la sua mente acuta, ne deducelogicamente che:

A) se si è pochi, si spende tantoB) per mangiar bene è necessario andarci in pochiC) se si mangia male non si è in pochiD) per spendere poco bisogna essere in tantiE) se si è in tanti, si mangia male

Quale delle seguenti corrisponde alla negazionedell’enunciato: “Per superare un esame universitario,Simone ha bisogno di prepararsi adeguatamente e staretranquillo”?A) Simone non supera l’esame nonostante si sia preparato

adeguatamente e sia rimasto sempre tranquilloB) Simone supera l’esame anche se non è perfettamente

tranquillo e non ha studiato molto beneC) Basta che Simone superi un esame perchè sia tranquillo e

adeguatamente preparatoD) Simone supera l’esame, si prepara adeguatamente anche

se non resta tranquilloE) nessuna delle precedenti

“Solo se trattate con pesticidi le piante di granoturco nonsi ammalano”. In base alla precedente affermazione, qualedelle seguenti NON è necessariamente vera?

A) È possibile che le piante di granoturco si ammalino anchese vengono trattate con i pesticidi

B) Se non vengono trattate con i pesticidi, le piante digranoturco si ammalano

C) Le piante di granoturco sane sono state trattate conpesticidi

D) Le piante di granoturco malate non sono state trattate con ipesticidi

E) Condizione necessaria perchè le piante di granoturco nonsi ammalino è che vengano trattate con i pesticidi

L’enunciato “Se piove allora non vado al cinema non èlogicamente equivalente a:

A) E’ necessario che non piova affinchè vada al cinemaB) Basta che piova perchè non vada al cinemaC) Se vado al cinema allora non pioveD) Non piove oppure non vado al cinemaE) Condizione sufficiente affinchè vada al cinema è che non

Argomenti

Abbiamo informalmente definito la logica come la scienza delragionamento esatto, ma finora abbiamo parlato solo di:

I enunciati (formule)I connettiviI tavole di veritàI formalizzazioni

Ma la nozione (più complessa e profonda) di ragionamento,che noi chiameremo argomento, è centrale in logica e lo èanche negli esercizi dei test di accesso.

Argomenti

Abbiamo informalmente definito la logica come la scienza delragionamento esatto, ma finora abbiamo parlato solo di:

I enunciati (formule)I connettiviI tavole di veritàI formalizzazioni

Ma la nozione (più complessa e profonda) di ragionamento,che noi chiameremo argomento, è centrale in logica e lo èanche negli esercizi dei test di accesso.

ArgomentiCos’è un argomento

Un argomento o inferenza è un insieme di enunciati che puòessere pensato come uno schema generale della forma:

α1...αn

dove:I α1, ..., αn è una sequenza finita di enunciati che chiamiamo

premesseI β è un enunciato che chiamiamo conclusioneI [R] è una regola formale che legittima il passaggio dalle

premesse alla conclusioneUniversità di Cagliari Logica e Ragionamento Logico

α1...αn

Pensiamo a semplici esempi di ragionamento:

Tutti i cani hanno un ottimo fiutoArmando è un cane

Armando ha un ottimo fiuto

Tutti gli uomini, tranne Socrate, sono musicistiSocrate è un uomo

Socrate non è un musicista

Argomenti validi

Esiste un criterio rigoroso per stabilire con certezza se unaqualunque inferenza è corretta o meno?

Argomento valido

Un argomento è valido se e solo se, qualora le sue premessesiano vere, allora anche la sua conclusione è vera.

Si noti che:I La definizione è di forma implicativa e asserisce la

preservazione della verità;I Se un argomento è valido allora la formulaα1 ∧ ... ∧ αn → β è una tautologia;

I un argomento è valido se non consente di passare dapremesse vere a conclusioni false.

Argomenti validi

Argomento valido

Argomenti validi

Argomento valido

Argomenti validi

Argomento valido

Ragionamenti validi e fallacie formali

Modus Ponens �

α → βα

β[MP]

Infatti, ogniqualvolta le premesse α → β e α sono vere, è veraanche la conclusione β.

Esempio:

Se 18 è un numero pari allora è divisibile per 218 è un numero pari

18 è divisibile per 2

Modus Ponens �

α → βα

β[MP]

Esempio:

Modus Ponens �

α → βα

β[MP]

Esempio:

ArgomentiArgomenti validi

Modus Tollens �

α → β¬β¬α

Infatti, ogniqualvolta le premesse α → β e ¬β sono vere, laconclusione ¬α è vera.

Esempio:

Se Luca è torinese allora è piemonteseLuca non è piemontese

Luca non è torinese

Modus Tollens �

α → β¬β¬α

Esempio:

Modus Tollens �

α → β¬β¬α

Esempio:

Sillogismo Disgiuntivo �

α ∨ β¬αβ

Infatti, ogniqualvolta le premesse α ∨ β e ¬α sono vere, è veraanche la conclusione β.

Esempio:

Il triangolo ABC è isocele o rettangoloIl triangolo ABC non è isoscele

Il triangolo ABC è rettangolo

α ∨ β¬αβ

Esempio:

α ∨ β¬αβ

Esempio:

Eliminazione ∧ (1) �

α ∧ β

α[∧E]

Eliminazione ∧ (2) �

α ∧ β

β[∧E]

Infatti, ogniqualvolta la premessa α ∧ β è vera, è vera anche laconclusione α (equivalntemente β).

Esempio (1):

Claudia è libanese e Marco ama nuotare

Claudia è libanese

Esempio (2):

Marco ama nuotare

Esempio (1):

Claudia è libanese

Esempio (2):

Marco ama nuotare

Esempio (1):

Claudia è libanese

Esempio (2):

Marco ama nuotare

Introduzione ∨ (1) �

α ∨ β[∨I]

Introduzione ∨ (2) �

α ∨ β[∨I]

Infatti, ogniqualvolta la premessa α (equivalentemente β) èvera, è vera anche la conclusione α ∨ β.

Esempio (1):

Claudia è libanese

Claudia è libanese oppure il mio gatto è il Papa

Esempio (2):

Il mio gatto è il Papa

Claudia è libanese oppure il mio gatto è il PapaUniversità di Cagliari Logica e Ragionamento Logico

Esempio (1):

Claudia è libanese

Esempio (2):

Esempio (1):

Claudia è libanese

Esempio (2):

Introduzione ∧ �

α, β

α ∧ β[∧I]

Infatti, ogniqualvolta le premesse α, β sono vere, è vera anchela conclusione α ∧ β.

Esempio:

Il triangolo ABC è isoceleSimone è un grande pizzaiolo

Il triangolo ABC è isoscele e Simone è un grande pizzaioloUniversità di Cagliari Logica e Ragionamento Logico

α, β

α ∧ β[∧I]

Esempio:

α, β

α ∧ β[∧I]

Esempio:

ArgomentiFallacie formali

Affermazione del Conseguente χ

α → ββ

α[AC]

Si noti infatti, che per β vera e α falsa, le premesse risultanoessere vere, mentre la conclusione falsa. Per questo motivo ilragionamento non può essere considerato corretto.

Esempio:

Se Chiara è laureata allora è diplomataChiara è diplomata

Chiara è laureata

α → ββ

α[AC]

Esempio:

Chiara è laureata

α → ββ

α[AC]

Esempio:

Chiara è laureata

Negazione dell’Antecedente χ

α → β¬α¬β

Si noti infatti che, quando α è falsa e β è vera, le premessesono vere ma la conclusione non lo è.

Esempio:

Se stanotte nevicherà domani andremo a sciareStanotte non nevicherà

Domani non andremo a sciare

α → β¬α¬β

Esempio:

α → β¬α¬β

Esempio:

Attenzione! La struttura delle regole di inferenza ècompletamente indipendente dai particolari significati linguisticidelle proposizioni coinvolte. Questo vuol dire che, dal punto divista della logica, la correttezza di un ragionamento nondipende dai contenuti delle premesse e della conclusione ma ètale esclusivamente in virtù della forma in cui si presental’argomento.

Quindi, in particolare, la validità di un argomento non dipendedalla verità o falsità delle singole premesse e conclusione masolo dal vincolo formale che la condizione inferenzialestabilisce tra i loro valori di verità. Infatti, ad esempio:

Se il cielo è rotondo allora un quadrato ha quattro latiUn quadrato non ha quattro lati

Il cielo non è rotondo

è un argomento valido, anche se premesse e conclusionipossono sembrare completamente prive di senso!

Quindi, in particolare, la validità di un argomento non dipendedalla verità o falsità delle singole premesse e conclusione masolo dal vincolo formale che la condizione inferenzialestabilisce tra i loro valori di verità. Infatti, ad esempio:

Se il cielo è rotondo allora un quadrato ha quattro latiUn quadrato non ha quattro lati

Il cielo non è rotondo

è un argomento valido, anche se premesse e conclusionipossono sembrare completamente prive di senso!

ArgomentiEsercizio 1

1. Luca supererà l’esame di maturità solo se non avrà il debito inmatematica. Ma Luca ha il debito in matematica, dunque non supereràl’esame di maturità.

2. È sufficiente che il treno sia in ritardo perchè riesca a prenderlo. Il trenonon è in ritardo, dunque non riesco a prenderlo.

3. È necessario che Marco studi di più per superare l’esame. Marco nonha tempo per studiare più di quanto non stia già facendo, quindi nonsupererà l’esame.

4. Se domani non ci sarà il sole, non andrò al mare. Domani andrò almare dunque vuol dire che ci sarà certamente il sole.

Quanti di questi ragionamenti sono corretti?

D) Nessuno

E) Tutti

D) Nessuno

E) Tutti

D) Nessuno

E) Tutti

Se Giulia si laurea in chimica entro la fine dell’annoaccademico, i suoi genitori saranno molto felici. Del resto,o i genitori di Giulia saranno felici oppure la sorella nonentrerà a veterinaria. Inoltre, se la sorella di Giulia nonentrerà a veterinaria non si iscriverà all’Università.Purtroppo i genitori di Giulia non sono felici.Date queste premesse, si può dedurre che:

A) Basta che Giulia non si laurei in chimica entro la finedell’anno affinchè la sorella non si iscriva all’Università

B) Giulia non si laurea in chimica entro la fine dell’annoaccademico e la sorella non si iscriverà all’Università

C) Giulia non si laurea in chimica entro la fine dell’annooppure la sorella non si iscriverà all’Università

D) Se i genitori di Giulia non sono felici significa che la sorelladi Giulia si è iscritta all’Università

E) Nessuna delle precedenti

Quattro amici, Luciano, Gino, Massimo e Patrizio stannopensando se partire o meno per una vacanza. Inparticolare, si sa che: è necessario che parta Patrizioaffinchè parta anche Massimo; almeno uno tra Luciano eMassimo parte di sicuro, indipendentemente da quello chefaranno gli altri; se parte Luciano allora parte anche Gino.Se quanto affermato sopra è vero, quale delle seguentiaffermazioni può essere dedotta logicamente?

A) È impossibile che partano tutti insiemeB) Se non parte Luciano, non parte nemmeno GinoC) Se non parte Massimo, parte GinoD) Se non parte Patrizio allora non parte neanche LucianoE) Nessuna delle precedenti

Dei tre amici Luigi, Marco e Nicola almeno due sonovegetariani. Sapendo che, se Luigi è vegetariano ancheMarco lo è, se Nicola è vegetariano lo è anche Luigi, e traMarco e Nicola almeno uno è non vegetariano, si puòdedurre che:

A) Nicola è vegetariano e Marco non è vegetarianoB) Nicola non è vegetariano e Marco è vegetarianoC) Luigi e Nicola sono vegetarianiD) Luigi, Nicola e Marco sono vegetarianiE) Luigi non è vegetariano e Marco è vegetariano

Tre compagni di classe Andrea, Barbara e Carlo sonoincerti se andare al cinema. Si sa che:I Condizione necessaria perchè Barbara vada al cinema

è che ci vada AndreaI Condizione necessaria e sufficiente perchè Barbara

vada la cinema è che non ci vada CarloI Condizione sufficiente perchè Carlo vada al cinema è

che ci vada AndreaSi sa inoltre che nessuno dei tre andrà al cinema se cideve andare da solo.Chi va dunque al cinema?

A) Andrea e BarbaraB) Carlo e BarbaraC) Tutti e 3 insiemeD) Andrea e CarloE) Nessuno dei 3

Un chimico, studiando una soluzione che si è tinta diarancione, constata che in essa è presente del sodio o delpotassio (o entrambi); inoltre osserva che, basta che nonci sia sodio affinchè ci sia ferro e che, è necessario che cisia iodio affinchè ci sia potassio.

Quale di queste situazioni si può verificare?

A) La soluzione contiene solo potassio e ferroB) La soluzione contiene solo ferro e iodioC) Se c’è sodio allora non c’è ferroD) La soluzione non contiene nè sodio nè iodioE) Se la soluzione non contiene iodio allora contiene sodio

“Quando piove Luca torna a casa, se non piove Luca nonsi porta l’ombrello”. Data per vera questa frase, quale delleseguenti è sicuramente corretta?

A) Luca è a casa quindi pioveB) Luca non si è portato l’ombrello quindi non pioveC) Luca è uscito di casa quindi non sta piovendoD) Luca è tornato a casa quindi pioveE) Sta piovendo quindi Luca è sicuramente tornato a casa

“Se O allora H e se H allora M e solo se M allora N”. Se laprecedente affermazione è vera allora è certamente veroche:

A) Se N allora HB) Se non N allora non MC) Se M allora OD) se non M allora non OE) Se N allora O

“Se Q allora B o D, ma solo se D allora L e C”. Se laprecedente affermazione è vera allora è certamente veroche:

A) Se non Q allora non LB) Se L e C allora non è detto QC) Se non Q allora non CD) Se L e C allora QE) Se Q allora L e C

Determinare la validità del seguente argomento:

“È sufficiente che Andrea faccia la spesa affinchè possainvitare a cena gli amici. Se non farà la spesa dovràordinare le pizze oppure Simona dovrà preparare le suefamose lasagne; ma Simona non ha intenzione di cucinaree Andrea non farà la spesa, quindi non inviterà nessunoper cena.”

“La qualità della vita nel mondo occidentale e ladisponibilità delle risorse diminuiranno sempre più. Infatti,se la qualità della vita diminuisce, allora non avremo piùun numero sufficiente di medici al lavoro oppure lestrutture ospedaliere collasseranno. È pur vero che ladisponibilità delle risorse sta diminuendo ma gli ospedaliresistono ancora.”

“Se Paola si laurea in Fisica potrà lavorare nel team diricerca del CERN di Ginevra. Se invece non si laurea inFisica avrà allora due possibilità: iscriversi ad una nuovaFacoltà, a lei più congeniale, oppure diplomarsi inpianoforte. Di sicuro non lavorerà al CERN, quindicercherà una nuova facoltà o si diplomerà in pianoforte.”

Verità vs. FalsitàQuesiti di tipo semantico

Alcuni dei quesiti ministeriali apparsi negli ultimi anni non siriferiscono propriamente alla struttura logica del linguaggio,bensì al loro significato, inteso in termini di verità e falsità

In questi casi non sarà richiesta tanto la vostra abilità aformalizzare il linguaggio naturale, quanto la capacità diriflettere sulle conseguenze formali del considerare un certoenunciato vero oppure falso.

In particolare avremo a che fare con enunciati che “diconoqualcosa” di altri enunciati.

Verità vs. FalsitàEsercizio 1

In un paese immaginario si incontrano tre personaggi,Aristide, Berto e Carletto, ognuno dei quali è un cavaliere oun furfante. Aristide e Berto fanno le seguentiaffermazioni:Aristide: “Siamo tutti furfanti”.Berto: “Solo uno di noi è un cavaliere”.Sapendo che i cavalieri dicono sempre la verità, mentre ifurfanti mentono sempre, cosa sono Aristide, Berto eCarletto?

A) Aristide è un furfante, mentre gli altri due sono cavalieriB) Aristide e Carletto sono furfanti, Berto un cavaliereC) Tutti e tre sono furfantiD) Aristide è l’unico cavaliereE) Berto è l’unico furfante

Ci sono due persone di sesso diverso, una bionda e unamora. La persona bionda dice “Io sono un uomo” mentrela mora dice “Io sono una donna”. Se almeno uno dei duemente, quale delle seguenti affermazioni risultanecessariamente vera?

A) La donna è mora e l’uomo è biondoB) La donna è bionda e l’uomo è moroC) Solo l’uomo menteD) Solo la donna menteE) La donna è mora

Le quattro frasi seguenti possono essere vere oppurefalse:

F1) Nessuna di queste frasi è veraF2) Una sola di queste frasi è veraF3) Esattamente due di queste frasi sono vereF4) Esattamente due di queste frasi sono false

Quali frasi (tra F1, F2, F3 ed F4) sono vere e quali false?

A) Sono tutte vereB) F1 è vera mentre le altre sono falseC) F1 è falsa mentre le altre sono vereD) Le prime due sono false e le ultime due sono vereE) Sono tutte false

Due amici mentono a giorni alterni. Marco dice solo bugieil lunedì, il mercoledì e il venerdì; durante gli altri giornidella settimana dice solo la verità. Andrea mente sempre ilmartedì, il giovedì e il sabato; gli altri giorni dice solo ilvero. Marco afferma che è domenica ed è inverno. Andreadice che ieri era domenica. Date queste informazioni,quale tra le seguenti affermazioni è vera?

A) È invernoB) È estateC) È domenicaD) È lunedìE) Non è domenica nè lunedì

I quantificatori e la logica predicativaOltre la logica proposizionale

Abbiamo visto che tramite la logica proposizionale è possibileformalizzare un ampio insieme di enunciati del linguaggionaturale.

Problema: come formalizzare con la logica proposizionale(ovvero facendo uso di ∧,∨,¬,→,↔) espressioni linguistichecome “tutti gli animali”, “qualche uomo”, ...?

È necessario espandere il linguaggio logico e arricchirlo condue nuove operazioni (connettivi): i quantificatori.

I quantificatori e la logica predicativaI quantificatori

I quantificatori sono due:I ∀I ∃

Funzionano diversamente rispetto ai connettivi ¬,∧,∨,→,↔perchè non connettono enunciati ma quantificano gli oggettidell’universo del discorso.

Il significato dei quantificatori

I ∀ significa “per ogni”

I ∃ significa “esiste”

Aggiungendo al linguaggio della logica proposizionale iquantificatori ∀,∃ si ottiene la logica predicativa o logica delprim’ordine.

I quantificatori e la logica predicativaI predicati

Enunciati del tipo:

I Tutti gli uomini sono mortali

I Qualche animale ha la coda

I Luca ama Maria

introducono proprietà e/o relazioni tra individui di un insieme.

PredicatiProprietà e relazioni in logica si chiamano predicati.

Enunciati del tipo:

I Luca ama Maria

introducono proprietà e/o relazioni tra individui di un insieme.

PredicatiProprietà e relazioni in logica si chiamano predicati.

I Luca ama Maria

Proprietà e relazioni

I i predicati “essere uomo”, “essere mortale”, “essereanimale”, “avere la coda” esprimono proprietà

I il predicato “amare” esprime una relazione

I Luca ama Maria

Proprietà e relazioni

I i predicati “essere uomo”, “essere mortale”, “essereanimale”, “avere la coda” esprimono proprietà

I il predicato “amare” esprime una relazione

I quantificatori e la logica predicativaIl quantificatore universale ∀

∀ (“per ogni”) si chiama quantificatore universale e si usa inpresenza di predicati (proprietà o relazioni) che si applicanoalla totalità degli individui del discorso.

Quantificatore universale“Tutti gli uomini sono mortali” significa:

“Per ogni individuo x , se x è un uomo allora x è mortale”

Diamo un nome ai predicati:U(x) := x è un uomoM(x) := x è mortalee scriviamo l’enunciato nella sua forma simbolica

∀x(U(x) → M(x))

Nota: dopo un quantificatore va sempre introdotta una variabile(x , y , z...) che indica gli individui dell’universo del discorso

∀x(U(x) → M(x))

Formalizzare con il quantificatore universale(Esempio 1)

“Tutti i toscani vanno al mare”

Per ogni x , se x è toscano allora x va al mare.

I Step 1 Individuare i predicati:T (x) := x è toscanoM(x) := x va al mare

I Step 2 Introdurre quantificatori e variabili

∀x(T (x) → M(x))

“Ogni matematico è intelligente”

Per ogni x , se x è un matematico allora x è intelligente.

I Step 1 Individuare i predicati:M(x) := x è un matematicoI(x) := x è intelligente

∀x(M(x) → I(x))

Nota: con ∀ si usa sempre →Università di Cagliari Logica e Ragionamento Logico

∀x(M(x) → I(x))

I quantificatori e la logica predicativaIl quantificatore esistenziale ∃

∃ (“esiste”) si chiama quantificatore esistenziale e si usa inpresenza di predicati (proprietà o relazioni) che si applicano adalmeno uno degli individui del discorso.

Quantificatore esistenziale“Qualche animale è un felino” significa:

“Esiste un individuo x tale che x è un animale e x è unfelino”

Diamo un nome ai predicati:G(x) := x è un gattoF (x) := x è un felinoe scriviamo l’enunciato nella sua forma simbolica

∃x(G(x) ∧ F (x))

Nota: con ∃ si usa sempre ∧, mentre con ∀ si usa sempre →Università di Cagliari Logica e Ragionamento Logico

∃x(G(x) ∧ F (x))

Formalizzare con il quantificatore esistenziae(Esempio 1)

“Qualche studente supera l’esame”

Esiste un x , tale che x è uno studente e x supera l’esame.

I Step 1 Individuare i predicati:S(x) := x è uno studenteE(x) := x supera l’esame

I Step 2 Introdurre quantificatori e variabili:

∃x(S(x) ∧ E(x))

“Qualche filosofo è saggio ”

Esiste un x , tale che x è un filosofo e x è saggio.

I Step 1 Individuare i predicati:F (x) := x è un filosofoS(x) := x è saggio

∃x(F (x) ∧ S(x))

I quantificatori e la logica predicativaInterdefinire i quantificatori

I due quantificatori (∀, ∃) possono essere definiti uno infunzione dell’altro: affermare, per esempio, che

“tutti i gatti sono neri”

equivale proprio a dire che

“non esiste un gatto che non sia nero”

Interdefinibilità dei quantificatori

I ∀ = ¬∃¬ da cui segue ¬∀ = ∃¬

I ∃ = ¬∀¬ da cui segue ¬∃ = ∀¬

Nota: l’interdefinibilità dei quantificatori (insieme all’uso delleleggi logiche) è fondamentale per risolvere i quesiti ministerialibasati sulla logica del prim’ordine!

I ∀ = ¬∃¬ da cui segue ¬∀ = ∃¬

I ∃ = ¬∀¬ da cui segue ¬∃ = ∀¬

I ∀ = ¬∃¬ da cui segue ¬∀ = ∃¬

I ∃ = ¬∀¬ da cui segue ¬∃ = ∀¬

I ∀ = ¬∃¬ da cui segue ¬∀ = ∃¬

I ∃ = ¬∀¬ da cui segue ¬∃ = ∀¬

I ∀ = ¬∃¬ da cui segue ¬∀ = ∃¬

I ∃ = ¬∀¬ da cui segue ¬∃ = ∀¬

I ∀ = ¬∃¬ da cui segue ¬∀ = ∃¬

I ∃ = ¬∀¬ da cui segue ¬∃ = ∀¬

I ∀ = ¬∃¬ da cui segue ¬∀ = ∃¬

I ∃ = ¬∀¬ da cui segue ¬∃ = ∀¬

I ∀ = ¬∃¬ da cui segue ¬∀ = ∃¬

I ∃ = ¬∀¬ da cui segue ¬∃ = ∀¬

I quantificatori e la logica predicativaEsercizio 1

Sapendo che la frase “Tutti i giovedì lavoro al computer evado in palestra” è falsa, se ne deduce necessariamenteche:

A) qualche giovedì non lavoro al computer o non vado inpalestra

B) tutti i giovedì non lavoro al computer o non vado in palestraC) qualche giovedì non lavoro al computer e non vado in

palestraD) tutti i giovedì non lavoro al computer e non vado in palestraE) tutti i giorni lavoro al computer e vado in palestra

Indicare qual’è la negazione dell’affermazione “Umberto haalmeno un figlio biondo”

A) Almeno un figlio di Umberto non è biondoB) Tutti i figli di Umberto non sono biondiC) Tutti i figli di Umberto sono bruniD) Non tutti i figli di Umberto sono biondiE) Umberto ha tutti i figli rossi di capelli

I quantificatori e la logica predicativaEnunciati di tipo universale (risp. esistenziale) possonocomparire “all’interno” di enunciati di tipo esistenziale (risp.universale).

Esempio 1

“Ogni studente possiede almeno un computer”Forma logica: ∀x(S(x) → ∃y (C(y ) ∧ P(x , y )))S(x) := x è uno studente;C(x) := x è un computer;P(x , y ) := x possiede y

Esempio 2

“Qualche uomo possiede tutti i libri di logica”Forma logica: ∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y )))U(x) := x è un uomo;L(x) := x è un libro di logica;P(x , y ) := x possiede y

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 1

Esempio 2

I quantificatori e la logica predicativaNegare enunciati del prim’ordine

Vediamo a cosa equivale la negazione dell’enunciato vistonell’Esempio 2:

“Qualche uomo possiede tutti i libri di logica”∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y )))

Negare significa anteporre una negazione (¬), dunque

¬∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x¬(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ¬∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y¬(L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

∀x(U(x) → ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

“Per ogni uomo c’è almeno un libro di logica che lui nonpossiede ”.

¬∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x¬(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ¬∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y¬(L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

∀x(U(x) → ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

¬∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x¬(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ¬∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y¬(L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

∀x(U(x) → ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

¬∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x¬(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ¬∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y¬(L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

∀x(U(x) → ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

¬∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x¬(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ¬∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y¬(L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

∀x(U(x) → ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

¬∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x¬(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ¬∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y¬(L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

∀x(U(x) → ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

¬∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x¬(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ¬∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y¬(L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

∀x(U(x) → ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

¬∃x(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x¬(U(x) ∧ ∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ¬∀y (L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y¬(L(y ) → P(x , y ))) ↔

∀x(¬U(x) ∨ ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

∀x(U(x) → ∃y (L(y ) ∧ ¬P(x , y )))

I quantificatori e la logica predicativaEsercizio 3 - Test Veterinaria 2010

Quale delle seguenti affermazioni equivale a dire “Non tuttii laureati in Medicina Veterinaria fanno i veterinari”?

A) Tutti i laureati in Medicina Veterinaria fanno i veterinariB) Tutti i laureati in Medicina Veterinaria non fanno i veterinariC) Nessun laureato in Medicina Veterinaria fa il veterinarioD) Non esiste un laureato in Medicina Veterinaria che non

faccia il veterinarioE) Vi è almeno un laureato in Medicina Veterinaria che non fa

il veterinario

Negare che “ogni cane ha almeno un padrone” equivale adire che:

A) Tutti i cani non hanno padroniB) Nessun cane ha un padroneC) Tutti sono padroni di ogni caneD) Esistono cani senza padroneE) Esistono cani di tutti i padroni

I quantificatori e la logica predicativaEsercizio 5 - Veterinaria 2012

Francesca afferma che: “tutti gli studenti di IngegneriaBiomedica hanno partecipato almeno una volta al test diMedicina”. Sapendo che l’affermazione di Francesca èfalsa, determinare quale delle seguenti situazioni èsicuramente verificata.

A) Almeno uno studente di Ingegneria Biomedica non ha maipartecipato al test di Medicina

B) Almeno uno studente di Ingegneria Biomedica hapartecipato al test di Medicina

C) Almeno uno studente di Ingegneria Biomedica ha superatoil test di Medicina

D) Nessuno studente di Ingegneria Biomedica ha maipartecipato al testi di Medicina

E) Almeno uno studente che ha partecipato al test diMedicina non l’ha superato

Esercizio 1Diagrammi

“Sandro è una persona atletica; le persone alte sono tutteatletiche; le persone alte sono magre.”Se le precedenti affermazioni sono vere, quale delleseguenti è sicuramente vera?

A) Sandro è una persona magraB) Sandro è una persona altaC) Tutte le persone atletiche sono alteD) Chi è alto, è magro e atleticoE) Le persone magre sono atletiche

“Chi dorme è riposato e tranquillo. Lavorare benecaratterizza tutte le persone che sono tranquille, mentreessere sereni è caratteristica di tutti coloro che sonoriposati.”Se le precedenti affermazioni sono vere, quale delleseguenti non è deducibile con certezza?

A) Chi dorme lavora beneB) Chi dorme è serenoC) Chi è sereno lavora beneD) Non tutte le persone serene sono necessariamente

riposateE) Non tutte le persone che lavorano bene sono

necessariamente tranquille

Si considerino le seguenti affermazioni:Tutti i cestisti sono agiliAlcuni cestiti sono dinoccolatiUna sola opzione è logicamente sostenibile alla luce dellepremesse:

A) Alcuni cestisti non sono agiliB) Alcune persone dinoccolate sono agiliC) Se un cestista è dinoccolato, non può essere agileD) Se un cestista è agile, non può essere dinoccolatoE) Se uno è agile e dinoccolato, è un cestista

Dall’enunciato “alcuni x sono y e nessun z è x” segueche:

A) nessun y è zB) nessun z è yC) alcuni z non sono yD) alcuni y non sono zE) tutti gli y sono z

Prova di Medicina 2016Test di Ragionamento logico - Quesito 1

Un gioco ha le seguenti regole: se un numero è divisibileper 5 vale 5 punti; se è divisibile per 3 vale 4 punti. In basea tali regole, quale dei seguenti numeri vale di più?

A) 40B) 42C) 9D) 18E) 276

Se:@ + # - @= @ - 4# = -20allora @ è uguale a:

A) 10B) -10C) 16D) -16E) -5

Se ZAP significa cifra (singola) divisibile per 7, ZUPsignifica cifra (singola) divisibile per 5 e ZEP significa cifra(singola) divisibile per 4, allora con quale scrittura puòessere espresso il numero 48?

A) ZAP ZAPB) ZEP ZEPC) ZUP ZEPD) ZEP ZAPE) ZEP ZUP

“Se il mandorlo è in fiore, la rosa marcisce. Se la begoniamarcisce il papavero sboccia. Inoltre o il mandorlo è infiore o la begonia marcisce”. In base alle precedentiaffermazioni è sicuramente vero che:

A) il papavero sbocciaB) il mandorlo è in fiore e il papavero sbocciaC) la rosa marcisce e il papavero sbocciaD) la rosa e la begonia marcisconoE) la rosa marcisce o il papavero sboccia

“Completare correttamente la seguente successionenumerica. 2; 20; 22; 42; 64; ?

A) 106B) 128C) 105D) 86E) 84

Alla finale di una gara di automobilismo la classifica dalprimo al settimo posto è la seguente: Alessandro,Federico, Iris, Bruna, Cesare, Eligio, Gianna. Cinque diquesti sette piloti indossano il casco integrale e si sa che aindossarlo sono tre tra i primi quattro classificati e tre tragli ultimi quattro classificati. Si può essere certi che aindossare il casco integrale è

A) EligioB) FedericoC) BrunaD) CesareE) Iris

In un ingranaggio a due ruote dentate, una ruota ha 300denti e l’altra 60. Se la ruota più grande compie 2 giri,quanti giri avrà compiuto la ruota più piccola?

A) 15B) 10C) 12D) 2E) 4

Mina deve distribuire un bonus di produzione di 6.000 eurotra i suoi quattro dipendenti. Progetta di destinarne la metàa Iginia, un quarto a Ghila, un quinto a Aimée e un decimoa Antimina. Così facendo:

A) le resterebbero 175 euro non distribuitiB) esaurirebbe il bonus, dividendolo tra i quattro dipendentiC) le resterebbero 300 euro non distribuitiD) supererebbe il bonus complessivo di 300 euroE) supererebbe il bonus complessivo di 175 euro

Una cassetta per la frutta pesa 400 grammi. Sapendo chela frutta rappresenta il 92% del peso lordo, qual è il pesodella cassetta piena di frutta?

A) 5.000 grammiB) 500 grammiC) 4.600 grammiD) 2.500 grammiE) 5.400 grammi

Se le lancette di un orologio segnano le 21.30 di mercoledì,tra 53 ore e 45 minuti saranno

A) le 23.15 di giovedìB) le 3.15 di sabatoC) le 2.15 di domenicaD) le 3.15 di venerdìE) le 2.15 di sabato

Gabriele si allena in piscina ogni lunedì, mercoledì esabato. In uno dei rimanenti giorni della settimanaGabriele gioca a calcio. Sapendo che il giorno dopo gliallenamenti di nuoto Gabriele non svolge alcuna attivitàfisica, qual è il giorno in cui gioca a calcio?

A) GiovedìB) MercoledìC) DomenicaD) VenerdìE) Martedì

Individuare l’alternativa che completa logicamente laseguente frase: “Tra l’XI ed il XIII secolo Milano divennelibero comune, .......... poi da Federico Barbarossa chevoleva ristabilire l’Impero. Nel XIV secolo la .......... deiVisconti si aggiudicò il .......... su Milano, chesuccessivamente passò agli Sforza”.

A) soggiogato; dominazione; popoloB) liberato; giurisdizione; possedimentoC) assoggettato; signoria; dominioD) assediato; supremazia; territorioE) affrancato; circoscrizione; distretto

Quali, tra i termini proposti, completano correttamente laseguente proporzione verbale?triangolo : X = Y : cubo

A) X = piramide; Y = quadratoB) X = tre; Y = rettangoloC) X = solido; Y = pianoD) X = angoli; Y = latiE) X = geometria; Y = algebra

Il gruppo di lettere LLEUDIO (A) OIDUELL può essereconsiderato simmetrico con A al centro. Quale deiseguenti gruppi di lettere è analogamente simmetrico?

A) DOCIDEM (A) MEDCIODB) DOCIDME (A) MEDICODC) DOCIDEM (A) MEDCITDD) DOCDIEM (A) MEDCIODE) DOCIDEM (A) MEDICOD

“Chi legge un quotidiano al giorno o utilizza spessointernet è informato; i social specialist utilizzano spessointernet; Luisa è una social specialist”. Se le precedentiaffermazioni sono corrette, quale delle seguenti NON ènecessariamente vera?

A) Luisa utilizza spesso internetB) Chi è informato utilizza spesso internetC) Le social specialist sono informateD) Luisa è informataE) Non esistono persone disinformate che leggano un

quotidiano al giorno

“Un recente studio ha mostrato che negli ultimi 20 anni ilpeso medio degli italiani è salito del 5%. Più in particolare,il peso medio dei cittadini del Centro-Nord è cresciuto del6%, mentre quello dei cittadini del Meridione è cresciutodel 3%.” Quale delle seguenti conclusioni può esserededotta dalle informazioni riportate sopra?

A) Alcuni cittadini del Centro-Nord sono immigrati dalMeridione

B) I cittadini del Centro-Nord hanno un peso medio superiorerispetto ai cittadini del Meridione

C) Nessuna delle altre alternative è correttaD) I cittadini del Centro-Nord sono più numerosi dei cittadini

del MeridioneE) I cittadini del Centro-Nord sono mediamente aumentati di

peso di 3 chilogrammi in più rispetto ai cittadini delMeridione

Le piastrelle (quadrate) del pavimento (rettangolare) di unlocale di dimensioni 4 x 6 = 24 metri quadrati sono costatecomplessivamente 600 euro. Sapendo che il costo unitariodelle piastrelle è di 4 euro, quanto misura il lato dellapiastrella?

A) 30B) 50C) 4D) 40E) 20

In un ipotetico linguaggio in codice, alla parola SPECIFICAcorrisponde il codice SPEFECIFIFIFICAFA e alla parolaIGNORATO corrisponde il codice IFIGNOFORAFATOFO.Come si scriverà, nel medesimo codice, la parola MAIL?

A) MAFAIFILB) MAFIFILC) MAFAFIILD) MAILE) MFAAIFIL

Cinque amiche, Elisa, Lucia, Romina, Giulia e Patrizia,temono ciascuna una diversa categoria di animali (ragni,piccioni, formiche, maggiolini, api). Analogamenteciascuna di esse ne ama un’altra (cani, gatti, scoiattoli,pony, delfini). Si sa che:

1. Elisa teme le api e Romina ama i gatti;2. Colei che ama i pony teme i ragni;3. Patrizia non ama gli scoiattoli e teme le formiche;4. Giulia ama i delfini e non teme i maggiolini.

Quali animali ama Lucia?

A) PonyB) GattiC) CaniD) ScoiattoliE) Delfini

Quale delle cinque amiche ama i cani?

A) LuciaB) RominaC) GiuliaD) PatriziaE) Elisa

Prova di Medicina 2014Esempio

I turisti in visita al Castello di Belmonte non possonoattualmente accedere alla Stanza Ottagonale collocatanella Torre Ovest. Tuttavia, pur senza entrare, dalla porta diingresso alla Torre Ovest i turisti possono comunquevedere alcune parti della stanza, nonostante la visuale siaparzialmente ostruita da un’impalcatura al centro. Nellastanza ci sono due finestre direttamente l’una di fronteall’altra: una si trova sulla parete tra la porta di ingressoalla Torre Ovest e la porta che conduce alla Torretta. Unospecchio è appeso alla parete direttamente di fronte aduna delle porte e permette ai turisti in visita di ammirare ilriflesso della magnifica spada del Visconte Baldini. Sulledue restanti pareti sono appesi alcuni quadri. Quale delleseguenti sequenze rappresenta correttamente l’ordinedelle pareti della Stanza Ottagonale?

A) Specchio - Porta - Spada - Porta - Quadro - Finestra -Quadro - Finestra

B) Spada - Finestra - Quadro - Porta - Quadro - Finestra -Porta - Specchio

C) Porta - Finestra - Porta - Specchio - Quadro - Finestra -Spada - Quadro

D) Porta - Quadro - Specchio - Finestra - Spada - Quadro -Porta - Finestra

E) Porta - Quadro - Specchio - Spada - Finestra - Quadro -Porta - Finestra

EsercizioProva Medicina 2014

La tabella sottostante riporta la classifica del campionatodi calcio di Serie A della Bolandia con il numero di partitegiocate ed il punteggio totalizzato da ogni squadra. Le 3squadre in coda alla classifica retrocederanno in Serie B.

Squadra Partite giocate Punti Squadra Partite giocate Punti1 Rossi 34 82 11 Verdi 34 452 Neri 35 72 12 Blu 35 453 Turchesi 35 71 13 Celesti 35 404 Gialli 35 53 14 Viola 34 405 Grigi 34 53 15 Ebano 35 396 Bruni 35 52 16 Porpora 35 397 Bianchi 35 48 17 Indaco 35 358 Scarlatti 35 48 18 Vermiglio 35 329 Ocra 35 48 19 Smeraldo 35 2910 Arancioni 35 47 20 Magenta 35 29

Ogni squadra dovrà giocare un totale di 38 partite durantela stagione. I punti vengono assegnati come segue:

VITTORIA PAREGGIO SCONFITTA3 punti 1 punto 0 punti

Che cosa si può dedurre dalla classifica sopra riportata?

A) I Grigi saranno sicuramente tra i primi 10 in classifica a finecampionato

B) In questo campionato il punteggio massimo raggiungibilesarà di 92 punti

C) La squadra Indaco potrà ottenere il dodicesimo posto inclassifica

D) Una qualsiasi squadra con 42 punti alla fine della stagionenon retrocederà

E) Ai Gialli basterà vincere solamente una delle rimanentipartite per superare i Verdi in classifica

Università di Cagliari Cagliari, Luglio...

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