UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ROMA "TOR VERGATA“

ATTIVITA’ FORMATIVA

Docente:Docente: Roberta Dal Passo Studenti:Studenti: Enzo Ferrazzano

Luca Burini

A.A 2003/2004

1

1

,

0

ni

i j i ij j i

ni

i i

u pu u u f x tt x x

udiv u

x

semplificazione

Moto in un fluido viscoso continuoMoto in un fluido viscoso continuo

1

2

3

, ,

, ,

, ,

dxf x y z y x

dtdy

f x y z rx xz ydtdz

f x y z xy bzdt

semplificazione

21

1

1i i i

i i

x y ax

y bx

semplificazione

(1 )y nx x

Concetti preliminariConcetti preliminari

-concetti preliminari- Le equazioni di ricorrenza

Le equazioni del tipo ,

con

sono dette

Le equazioni di ricorrenza

1 ( )t tx f x

: , ( )rf X X f C X

t

0 0 1 0 2 0( ) ( ( )) ..... ( )nnx f x x f f x x f x x

Definizione

-concetti preliminari- Le Mappe e i Sistemi Dinamici

Le Mappe e i Sistemi dinamici

Definizione

Come orbita di sotto l’azione di intendiamo la seguente

sequenza bi-infinita se è invertibile

fxf

1...., ( ),...., ( ), , ( ),...., ( ),....n nf x f x x f x f x

f

, ( ),...., ( ),....nx f x f x

Oppure, se non è invertibile

-concetti preliminari- Le Mappe e i Sistemi dinamici

f

-concetti preliminari- Punti fissi

Definizione

Un punto è un punto fisso se fx ( )f ff x x

fx

( ) 1ff x

è un punto punto fissofisso

se

( )

( ) ( )

intorno V ,

un intorno U : Uf

f f

x

x xx

( )( ) ,f

nxf x V n

Asintoticamente stabileAsintoticamente stabile

se lim ( )nfn

f x x

se nonnon è stabile

SeTeorema 1

-concetti preliminari- Punti fissi

DefinizioneUn punto p è detto periodicoperiodico di ordine k se ( )kf p p

Definizione

Sia p un punto periodico di ordine k, definiamo p un punto periodico punto periodico attrattoreattrattore se

Definizione

( ) ( ) ( ) intorno , un intorno :p p pV U x U

p un punto periodico repulsore se non è attrattore

( ) ,( 1)nkpf V nx

L’insieme è detto ciclo k-periodico seciclo k-periodico se 1 2, ,..., kx x x

1( )i if x x

1,...., 1i k

e 1( )kf x x

-concetti preliminari- Ordine di Sharkovsky

Ordine di SharkovskyNuovo ordinamento dei numeri naturali

3 5 7 ....

3 2 5 2 7 2 ... 2 2 23 2 5 2 7 2 ...

3 2 1... 2 2 2 1

Prima tutti i numeri dispari …

… poi i numeri dispari moltiplicati per 2…

… e per le potenze di 2…

...................................

… e quindi le potenze di 2 in ordine decrescenteTeorema di Sharkovsky

Sia , con f una mappa.

Se f ha un punto di periodo k, essa avrà anche punti di periodo m, con m

un numero qualsiasi che segue k nell’ordine di Sharkovsky.

:f

logistica

-concetti preliminari- Metodi di rappresentazione

• COBWEB DIAGRAMCOBWEB DIAGRAM

x

yy x==

0x

0( )f x1x

1( )f x

La Mappa Logistica

-La crescita logistica-

1t ty ny

CORREZIONECORREZIONE

1 (1 )t t ty ny y

1 (1 )t t tx nx x

-La mappa logistica-

( ) (1 ) 0f x nx x

( ) 2 0f x n nx

1 (1 )t t tx nx x

Dinamica delle popolazioniDinamica delle popolazioni

1

2x

0 1x InoltreInoltre

max( ) (1 2)4

nf x f f

QuindiQuindi

( ) (1 )4

nf x nx x

Per garantire la Per garantire la

reiterabilità direiterabilità di f max0 1f 0 4n

-Crescita logistica- Convergenza

Teorema 1Teorema 1 (1 )t t tx nx x

0 1x 1

0 1x xn

concon

Due punti fissiDue punti fissi

0 1n 1.1.

L’unico punto fisso accettabile èL’unico punto fisso accettabile è1

1 0n

0x Non sono contemplate popolazioni negative

Poichè (0) 1f n 0x punto fisso stabile

Un parametro di controllo inferiore all’unità condanna la specie all’estinzione

-Crescita logistica- Convergenza

1n 2.2. Due punti fissi e( positivi )

0x 11xn

(0) 1f n

11 2f nn

2 1 1 3n n

11xn

0x instabile

Quindi per il punto fisso è stabile1 3n

Convergenza• seme x=0,2

• seme x=0,8

Ritorno

Ritorno

-Crescita logistica- Convergenza

3n La mappa perde il punto stabile

Andamento pre-caotico OscillazioneOscillazione

Periodo 2Periodo 2

Periodo 4Periodo 4

3.569945cn n L’orbita oscilla tra un numero infinito di punti

Esistono tuttavia particolari valori del

parametro di controllo che garantiscono

un andamento periodico della mappa

Finestre di Periodicità

In particolare, esiste un successione , per cui la mappa

ammette un attrattore di periodo .

1: k kn n n n 2k

kn

0 13n n n

1 21 6n n n

-concetti preliminari-

Ritorno

Ritorno

Ritorno

-Crescita logistica- Variazione del parametro

Evoluzione della mappa

al variare di n

• AscisseAscisse: parametro di controllo

• OrdinateOrdinate: valori assunti dalla mappa

dopo alcune iterazioni di assestamento

Proprietà qualitative comuni a tutte le mappe unimodali

differenziabili

Ritorno

Nicholas C. MetropolisMetropolis

Paul Stein Stein

Myron SteinStein

La dipendenza al variare del parametro non è propria solo della mappa logistica, ma di tutte le mappe unimodali differenziabili.

MitchellMitchell Feigenbaum Feigenbaum kn La successione converge a

con costante di Feigenbaum

kn cn

1

1

lim 4.6692k k

kk k

n n

n n

322 3

; ; .... nn

d ddd

a 2.5023

Detta dd la distanza tra le “punte” della prima biforcazione, le successive distanze tra le

punte delle biforcazioni saranno

con parametro di riduzione (oppure Costante di Omotetia)

-Crescita Logistica- Universalità Metrica

Parametri

ee

esistono e sono costanti in tutte le mappe unimodali differenziabili

Verificata empiricamente da M.Feigenbaum e dimostrata formalmente da Oscar E. Lanford

III nel caso unidimensionale.

-I nostri esperimenti-

Se complichiamo la mappa, cosa succederà alle iterazioni?

0 1 0 1

Mappa logistica

Mappa di prova

-I nostri esperimenti -

-I nostri esperimenti -

-I nostri esperimenti -

-concetti preliminari-

-I nostri esperimenti -

La nostra funzione si comporta come la mappa logistica

Analisi qualitativa

dell’Universalità Metrica

-Universalità Metrica- Analisi qualitativa

0 0 0( )0

2( ) ( )

xx x xff f f f f

1 1 1 2 1

2( ) ( )x x x x xf f f f f f

2 2 2 1 2

2( ) ( )x x x x xf f f f f f

1 2

2 2( ) ( ) 1 2,x xf f x x

1x

2xa

b

1 2( )x f x 2 1( )x f x,

Allora

poichè

Nei punti e l’andamento locale è identico1x 2x

Non è quindi riduttivo studiare solo un ramo del grafico

a

- Universalità Metrica - La prima biforcazione

La prima biforcazione

2 22 ( ( )) 1 1t t t t t tx f f x n x x nx nx

Mappa iterata due volte

n > 3n = 3n < 3

- Universalità Metrica -

1

1 1 3

2

n n nx

n

2

1 1 3

2

n n nx

n

3 0x

4

11xn

Analiticamente i punti fissi sono

3n

3 0x

4

11xn

3 1 6 3.449n 1x 2xe costituiscono un ciclo 2-periodico

21 6 3.54409n n Raddoppio del periodo

Successione kn

1 8cn n Orbita di periodo 3Per il teorema di Sharkovsky

Orbite di ogni periodo

- Universalità Metrica -

Similitudine tra la prima e la seconda biforcazione

Mappa iterata due volte

n = 3.2 n = 3.46

L’evoluzione della zone evidenziate segue un andamento simile a quello della mappa iterata una sola volta (da n=1,5 a n=3 ).

- Universalità Metrica -

Similitudine e ricorsività tra i grafici

Vale anche per le iterazioni successive

Sequenza infinita di raddoppi di periodo

successione kn

La Costante di Feigenbaum è indipendente ad un cambio di parametro della successione kn

Le mappe delle iterate successive si comporteranno come la mappa della prima iterata

Dipendenza dalle condizioni iniziali

- Gli esponenti di Lyapunov -

Regime dinamico caotico

Dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali

Piccole differenze sulle condizioni iniziali si amplificano enormemente fino a produrre traiettorie completamente diverse.

stima delle velocità medie di convergenza o divergenza esponenziali delle traiettorie

di un sistema caotico

- Gli esponenti di Lyapunov -

f

0 0 0

Esponente di Lyapunov per una mappa

• Punto fisso

• Orbita stabile

• Punto fisso neutrale

• Orbita instabile e caotica

Esponenti negativi sono tipici di sistemi dissipativi

Esponenti nulli sono tipici di sistemi conservativi

0

1*

( ) 000

1 ( ) 1: lim lim ln lim ln

( )

tt

kt x t

k

xf x

t x t

- Gli esponenti di Lyapunov -

Ulteriori informazioni

Mappa Logistica e Equazioni di Mappa Logistica e Equazioni di Navier-StokesNavier-Stokes

V. FranceschiniFranceschini

(1979, Università di Modena)

Studio di fluidi idrodinamici e del passaggio alla turbolenza

Sistema di 5 equazioni differenziali accoppiate del primo ordine

Sostituisce le equazioni di Navier-Stokes

Simulazione numericaSimulazione numerica

Nel raddoppio del periodo si presentano le costanti di Feigenbaum

EckmannEckmann

KolletKollet

KochKoch

In un sistema dissipativo multidimensionale guidato dopo lungo tempo tutte le variabili meno che una tendono a scomparire

Universalità Metrica

Mappa Logistica e Modello di Mappa Logistica e Modello di LorenzLorenzAl variare di un parametro r, il modello di Lorenz ha un comportamento

simile a quello della mappa logistica.

In particolare

13.926 24.06...r

30.1r

Periodo transitorio pre-caotico

Regime caotico alternato a finestre di periodicità

I processi nascono come caotici, ma a lungo termine diventano

periodici

Le finestre di periodicità sono il dominio di diversi attrattori

periodici

Attraverso un’applicazione chiamata Zoccolo di Smale è possibile dimostrare alcune caratteristiche generali dei sistemi dissipativi

-concetti preliminari-

Lo zoccolo di Lo zoccolo di SmaleSmaleApplicazione bidimensionale che trasforma un insieme di

punti in un piano

2:f S

2, | 0 1,0 1S x y x y

20

1, | 0 1,0H x y x y

21

1, | 0 1,1 1H x y x y

( ): II S F I Insieme invariante

L’insieme invariante non costituisce un attrattore.

Tra tutti i possibili punti iniziali di S, quelli che sono ricorrenti in costituiscono un insieme di misura nulla.

II

dipende dalla misura utilizzata

Con probabilità 1, un punto scelto arbitrariamente nel quadrato rimarrà nel quadrato solo per un periodo transitorio.

Traiettorie divergenti vengono riavvicinate

Ulteriori informazioni

L’applicazione di L’applicazione di HenonHenonDiagramma di biforcazione incredibilmente simile a quello di

Feigenbaum

-conclusioni-

“Not only in research, but also in everyday world of politics and

economics, we would all be

better off if more people

realize that simple non-linear

system do not necessarily possess simple

dynamical proprieties”

Robert M. May, 1976