Università degli Studi di Bari Laurea in Chimica Di spense di Informatica - Dott. F. Mavelli...

Università degli Studi di Bari Università degli Studi di Bari Laurea in ChimicaLaurea in ChimicaDi spense di Informatica - Dott. F. MavelliDi spense di Informatica - Dott. F. Mavelli

Lezione 4Lezione 4

Vettori e Matrici

Parte II


Matrici: introduzione matematicaMatrici: introduzione matematica

Cenni di Algebra Matriciale

33


Definizione di MatriceDefinizione di MatriceTutte le variabili numeriche in MATLAB vengono trattate come matrici, ossia come tabelle bidimensionali di numeri, organizzate in righe e colonne:

A è una matrice di ordineordine (n x mn x m) in quanto è formata da n n righerighe ed m colonnem colonne

Ogni elemento ai,j della matrice A è contraddistinto da un indice di riga (i) e di colonna (j) che ne individua la posizione all’interno della matrice stessa.

44


VettoriVettori

Gli scalari altro non sono che matrici formate da una solo riga ed una sola colonna

Vengono chiamate vettori quelle matrici che hanno o numero di righe o di colonne unitario:

11,

1,2

1,1

nnv

v

v

v Vettore

Colonna

nnvvv

1,12,11,1 v

Vettore Riga

55


Prodotto Matrice ScalareProdotto Matrice ScalareData una matrice A di ordine (n x m) ed un numero c, reale o complesso, il prodotto:

B = c A

è una matrice di ordine (n x m) i cui elementi sono i corrispondenti elementi di A moltiplicati per lo scalare c

mx n,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

mx n,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

mnnn

m

m

mnnn

m

m

acacac

acacac

acacac

aaa

aaa

aaa

cc

AB

bi,j = c · ai,j

66


Esempi:Esempi:

x2341

26

53

A

11

4

9

2

1x 4

a

x23205

1030

2515

Ac

55

20

45

10

1x 4

acc = 5

c = 5

77


Somma Algebrica di MatriciSomma Algebrica di Matrici

ci,j = bi,j ± ai,j

C = B ± A

Date due matrici A e B di uguale ordine (n x m), resta definita la matrice C, di ordine (n x m), ottenuta dalla somma algebrica delle matrici date:

e i cui elementi sono dati dalla somma algebrica elemento a elemento degli elementi corrispondenti delle matrici A e B.

Due Matrici A e B possono essere sommate o sottratte solo se hanno lo stesso ordine.

88


Esempi:Esempi:

x23x23x23246

1236

3018

205

1030

2515

41

26

53

4x 1

4x 1

4x 1

2313149

192 5 7

4 11 9 2

mx n,,2,2,1,1,

,2,22,22,21,21,2

,1,12,12,11,11,1

mnmnnnnn

mm

mm

ababab

ababab

ababab

ABC

Somma MatriciSomma MatriciSomma Vettori rigaSomma Vettori riga

99


Trasposizione di MatriciTrasposizione di MatriciData la matrice A la sua trasposta A' si ottiene scambiando le righe con le colonne:

x32425

163

A

x2341

26

53

A

ijjiji aaa ,,, A 2,11,2 6 aa

1010


Prodotto di MatriciProdotto di Matrici

C(nm) = A(ns) B(sm)

Il prodotto di una matrice A, di ordine (n s), per la matrice B di ordine (s m), è la matrice C, di ordine (n m):

il cui elemento generico ci,j è dato dalla somma dei prodotti degli elementi della riga i-esima della matrice A per i corrispondenti elementi della j-esima colonna della matrice B.

Due Matrici A e B possono essere moltiplicate fra loro solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.

, , , ,1 1, ,2 2, , ,1

S

i j i k k j i j i j i S S jk

c a b a b a b a b

1111


Prodotto di MatriciProdotto di Matrici

C(nm) = A(ns) B(sm)

Il prodotto di matrici così definito viene anche detto:

prodotto righe per colonneprodotto righe per colonne

Le dimensioni interne devono essere uguali

La matrice risultato C ha le dimensioni esterne

Dimensioni interne

Dimensioni esterne

1212


EsempiEsempi

mx n,,,22,,11,2,,2,22,2,11,1,,1,22,1,11,

,,2,22,2,11,22,,22,22,22,11,21,,21,22,21,11,2

,,1,22,1,11,12,,12,22,12,11,11,,11,22,11,11,1

mSSnmnmnSSnnnSSnnn

mSSmmSSSS

mSSmmSSSS

bababababababababa

bababababababababa

bababababababababa

BA

Anche se esiste C = A B non è detto che sia definito il prodotto:

B A !!

1 2 1 21 1

1 2 1 22 2 2 2

1 2 1 23 2 3x2

3 5 3 5 3 5

6 2 6 2 6 2

1 4 4 4

a a b ba b

a a b ba b

a a b b

1 1

2 2 2 23 2

3 5

6 2

1 4

a b

a b

1,2 1, ,21

S

k kk

c a b

1414


Prodotti righe per colonne Prodotti righe per colonne

1x1

ns

sn

c

s

s

x1

1

Prodotto Prodotto matrice matrice vettore vettore

Prodotto Prodotto

vettore riga vettore riga vettore colonna vettore colonna

ps

p

s

1

1

Prodotto Prodotto

vettore colonna vettore colonna vettore riga vettore riga

1515


Matrice identità Matrice identità EE

Si definisce matrice identità E la matrice quadrata che ha elementi tutti nulli eccetto quelli sulla diagonale principale che sono uguali ad 1.

A E E A AIl prodotto della matrice identità E per una qualsiasi matrice quadrata A restituisce la matrice A stessa

,

1 0 0

0 1 0( )

0 0 1

i je

E

Proprietà della matrice identità

1,1 1,2 1, 1,1 1,2 1, 1,1 1,2 1,

2,1 2,2 2, 2,1 2,2 2, 2,1 1, 2,2 2, 2,

,1 ,2 , ,1 ,2 , ,1 1, ,2 2, ,

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 1

n n n

n n m m n

n n n n n n n n n m n m n n

a a a a a a a a a

a a a a a a a b a b a

a a a a a a a b a b a

A E

n x n

1616


Matrice Inversa Matrice Inversa AA-1-1

Data una matrice quadrata A viene definita matrice inversa di A e denotata con il simbolo A-1 la matrice che soddisfa la seguente relazione:

AA-1 = A-1A = E

ossia quella matrice che moltiplicata per la matrice A restituisce la matrice identità (Si noti che in questo caso il prodotto è commutativo).

La matrice inversa resta definita solo per matrici quadrate

Non tutte le matrici quadrate sono dotate di inversa

Si dimostra che le matrici quadrate dotate di inversa sono quelle a determinante non nullo e sono dette non singolari

1717


DivisioneDivisione

Date due Matrici A=(ai,j) e B=(bi,j) viene definita l’operazione di divisione della matrice A per B come il prodotto della matrice A per l’inversa della matrice B:

A / B = A B-1

dove B-1 è la matrice inversa della matrice B e resta definita solo per matrici quadrate, non singolari, ossia a determinante non nullo.

Per cui matrici rettangolari e vettori non possono essere i divisori in un operazione di divisione fra matrici

A / Bdividendo

divisore

1818


Operazioni Operazioni RequisitiRequisiti ModalitàModalità

Prodotto cA -- Operazione elemento a elemento

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Somma Algebrica

A ± BUguali dimensioni: stesso numero di righe e di colonne

Operazione elemento a elemento

Prodotto A BNumero di colonne di A uguale al numero di righe di B

Prodotto righe per colonne

Divisione A / BB matrice non singolare, ossia dotata di inversa B-1

BB-1 = B-1B = EA / B = A B-1

Elevamento a potenza An Solo per matrici quadrate AA …(n volte)…

A


Vettori e Matrici in MatlabVettori e Matrici in Matlab

Operazioni con Scalari

Operazioni fra Vettori e Matrici

2020


Operazioni con ScalariOperazioni con ScalariTutte le operazioni di somma (+), sottrazione (-), prodotto (*), divisione (/) di una matrice o vettore per uno scalare sono definite, in Matlab come operazioni elemento ad elemento: il risultato è una matrice o un vettore i cui elementi sono ottenuti sommando, sottraendo, moltiplicando, dividendo i singoli elementi della matrice o del vettore per lo scalare.

>> y = 10;>> r_x = 1 : 4r_x =

1 2 3 4

>> r_x + y ans =

11 12 13 14

>> y - r_x ans =

9 8 7 6

>> r_x * y ans =

10 20 30 40

>> r_x / y ans =

0.1 0.2 0.3 0.4so

mm

aso

ttra

z.p

rod

ot.

div

isio

neN.B.: Si ricordi che in algebra matriciale solo il

prodotto scalare per matrice è in realtà definito

2121


Operazioni con ScalariOperazioni con ScalariTutte le operazioni fra matrici e scalari in matlab sono commutative eccetto la divisione

>> m_x = [1 2; 3 4]; y = 10

>> m_x + y

ans =

11 12

13 14

>> y + m_x

ans =

11 12

13 14

somma

N.B.: E’ possibile dividere un vettore o una matrice per uno scalare, ma non uno N.B.: E’ possibile dividere un vettore o una matrice per uno scalare, ma non uno scalare per un vettore o una matricescalare per un vettore o una matrice

>> m_x = [1 2; 3 4]; y = 10

>> m_x / y

ans =

0.1000 0.2000

0.3000 0.4000

>> y / m_x

?? Error using ==> /

Matrix dimensions must agree.

divisione

2222


Operazioni fra Vettori e MatriciOperazioni fra Vettori e Matrici

• (.*) Prodotto elemento a elemento

• (./) Divisione elemento a elemento

• (.^) Elevamento a Potenza elemento a elemento

• (+) Somma

• (-) Sottrazione

• (*) Prodotto Righe per Colonne

• (/) Divisione: matrici non singolari

Matlab permette di effettuare facilmente operazioni fra vettori e matrici rispettando le regole dell’algebra matriciale, ma implementa anche degli operatori che permettono di effettuare operazioni di tipo diverso:

Operatori che seguono le Operatori che seguono le regole dell’algebra regole dell’algebra

matriciale matriciale

L’ Operatore punto ‘.’ forza L’ Operatore punto ‘.’ forza le operazioni ad essere le operazioni ad essere effettuate elemento ad effettuate elemento ad

elementoelemento



Operatori che seguono le regole dell’algebra matriciale

2424


SommaSomma (+) e (+) e SottrazioneSottrazione (-) (-)

La somma e la sottrazione di vettori o matrici sono definite come in algebra matriciale operazioni elemento a elemento:

• i vettori (o matrici) operandi devono quindi avere uguali dimensioni

• il vettore (o matrice) risultante è dato dalla somma o sottrazione elemento a elemento dei vettori (o matrici) addendi

» r_x = 1:4r_x = 1 2 3 4

» r_y = 10:10:40r_y = 10 20 30 40

» r_z = r_x + r_yr_z = 11 22 33 44

» r_x = 1:3; r_y = 10:10:40;» r_z = r_x + r_y??? Error using ==> +Matrix dimensions must agree.

Matlab restituisce un messaggio di errore se si cerca di sommare o sottrarre vettori con dimensioni non corrette

2525


(*)(*) Prodotto righe per colonne Prodotto righe per colonneIl prodotto fra vettori segue le regole dell’algebra matriciale due vettori possono essere moltiplicati con l’operatore * solo se:

» r_x = 1:4;r_x = 1 2 3 4» c_y = [10;20;30; 40]c_y = 10 20 30 40» z = r_x * c_yz = 300» m_z = c_y * r_xm_z = 10 20 30 40 20 40 60 80 30 60 90 120 40 80 120 160

Possono essere moltiplicati fra loro con *:Possono essere moltiplicati fra loro con *:

Vettore Colonna * Vettore Riga Matrice

Vettore Riga * Vettore Colonna Scalare

• il numero di colonne del primo vettore è uguale al numero di righe del secondo,• il prodotto è effettuato righe per colonne.

2626


(*)(*) Prodotto Righe per Colonne Prodotto Righe per Colonne

Se si cerca di moltiplicare due matrici di dimensioni non corrette: allora Matlab restituisce un messaggio di errore

» r_x = 1:4;r_x = 1 2 3 4» r_y = [10 20 30 40]r_y = 10 20 30 40» r_y * r_x??? Error using ==> *Inner matrix dimensions must agree.

r_y(14) * r_x(14)

??? Errore usando ==> *Le dimensioni interne delle matrici devono essere uguali



Operatori elemento a elemento

2828


(.*) (.*) Prodotto Elemento a ElementoProdotto Elemento a ElementoIn Matlab è definita anche l’operazione Prodotto elemento a elemento che segue quindi le stesse regole della somma e della sottrazione:

• i vettori operandi devono avere uguali dimensioni

• il vettore risultante è dato dal prodotto elemento a elemento dei vettori operandi

» r_x = 1:4r_x = 1 2 3 4

» r_y = 10:10:40r_y = 10 20 30 40

» r_z = r_x .* r_yr_z = 10 40 90 160

In Matlab l’operatore punto “.” forza un’operazione matriciale di moltiplicazione (.*), divisione (./) e elevamento a potenza (.^) ad essere effettuata in modalità elemento a elemento.

2929


(./) (./) Divisione Elemento a ElementoDivisione Elemento a ElementoAnche la Divisione fra due vettori, in Matlab, può essere effettuata elemento a elemento utilizzando l’operatore (./):

• i vettori operandi devono avere uguali dimensioni

• il vettore risultante è dato dalla divisione elemento a elemento dei vettori operandi

» r_x = 1:4r_x = 1 2 3 4

» r_y = 10:10:40r_y = 10 20 30 40

» r_z = r_x ./ r_yr_z = 0.1 0.1 0.1 0.1

Utilizzando l’operatore ./ è anche possibile effettuare la divisione di uno scalare per un vettore dividendo lo scalare per i singoli elementi del vettore divisore

» r_x = 1:4;» r_y = 1./r_xr_y = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500

3030


(.^) (.^) Elevamento a Potenza Elemento Elevamento a Potenza Elemento a Elementoa Elemento

l’elevamento a potenza di uno scalare a tutti i valori di un vettore, presi come esponenti;

» r_x = 1:4r_x = 1 2 3 4

» r_z = 2.^ r_xr_z = 2 4 8 16

» r_y = r_x .^2r_y = 1 4 9 16

» r_q = r_x.^[1 2 3 2]r_q = 1 4 27 16

L’elevamento a potenza elemento a elemento L’elevamento a potenza elemento a elemento (.^) permette di calcolare:(.^) permette di calcolare:

l’elevamento a potenza di tutti gli elementi di un vettore ad uno stesso esponente scalare;

l’elevamento a potenza degli elementi di un vettore agli elementi si un altro vettore presi come esponenti,

1

2

3

3131


Operazioni Elemento a ElementoOperazioni Elemento a Elemento

Nelle Operazioni elemento a elemento le matrici o i vettori operandi devono avere uguali dimensioni, ossia devono essere uguali sia il numero delle righe che delle colonne.

» r_x = 1:4;r_x = 1 2 3 4» c_y = [10; 20; 30; 40]c_y = 10 20 30 40» r_y .* c_x??? Error using ==> .*Matrix dimensions must agree.

r_y(14) .* c_x(41)

??? Errore usando ==> *Le dimensioni delle matrici devono essere uguali

3232


VerificaVerifica

• Si creino due matrici rettangolari con il comando rand e si verifichino le regole di addizione sottrazione prodotto.

• Si creino due matrice quadrate con il comando rand e si verifichi la regola di divisione


RiepilogoRiepilogo

Operazioni in Matlab

fra variabili numeriche

3434


Operazioni Operazioni ModalitàModalità CommutaCommuta RequisitiRequisiti

Somma s+m_s+m_AA elemento a elemento SI

Differenza s-m_s-m_AA elemento a elemento SI

Prodotto s*m_s*m_AA elemento a elemento SI

Divisione m_m_A/sA/s elemento a elemento NO

Elevamentoa potenza

m_m_A^sA^s elemento a elemento NO solo matrici quadrate

Operazioni Matlab: Scalare-MatriceOperazioni Matlab: Scalare-Matrice

Un operatore binario commuta se il risultato non cambia invertendo l’ordine degli operandi

s + m_A = m_A + s

3535


Operazioni Operazioni ModalitàModalità CommutaCommuta RequisitiRequisiti

Somma m_A+m_m_A+m_BB elemento a elemento SImatrici di uguali dimensioni

Differenza m_A-m_B elemento a elemento SImatrici di uguali dimensioni

Prodotto m_A*m_B righe per colonne NON. colonne di m_Am_A = N. righe di m_Bm_B

Divisione m_A/m_B m_A*inv(m_B)m_A*inv(m_B) NOm_Am_A e m_Bm_B quadratem_Bm_B dotata di inversa

Operazioni Matlab: Matrice-MatriceOperazioni Matlab: Matrice-Matrice

3636


Operazioni Operazioni matrice scalarematrice scalare

ModalitàModalità CommutCommutaa

RequisitiRequisiti

Divisione s./m_A elemento a elemento NO

Operazioni Operazioni matrice-matricematrice-matrice

ModalitàModalità CommutCommutaa

RequisitiRequisiti

Prodotto m_A.*m_B elemento a elemento SI matrici di uguali dimensioni

Divisione m_A./m_B elemento a elemento NO matrici di uguali dimensioni

Elevamento a potenza

m_A.^m_B elemento a elemento NO matrici di uguali dimensioni

Operazioni Matlab aggiuntiveOperazioni Matlab aggiuntive

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