Università degli studi di Cagliari

Dipartimento di Ingegneria Strutturale

Corso di aggiornamento

Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ

RELATORE: Ing. Igino MURA

imura@unica.it

25-26 Giugno 2010

- Analisi delle piastre:

- Il metodo del telaio equivalente

PRESCRIZIONI GENERALI DELLE NTC

SULL’ANALISI DELLE STRUTTURE

PIASTRE DI SOLAI DI SPESSORE UNIFORME

Con piastre di solaio di spessore uniforme, in C.A. ordinario, si

indicano piastre semplicemente sopportate dai pilastri senza

travature.

Per questo motivo risultano:

• semplici da realizzare richiedendo un minimo di casseforme;

• richiedono spessori minimi;

• forniscono l’intradosso piano che facilita la realizzazione

degli impianti.

Tuttavia l’assenza di travi comporta che:

• devono far fronte alle elevate forze di taglio concentrate alla

sommità dei pilastri;

• devono trasmettere momenti flettenti ai pilastri nei bordi e

negli spigoli;

• sono molto deformabili e soggette a elevati spostamenti di

inflessione.

ANALISI ELASTICA COL METODO DEL

TELAIO EQUIVALENTE L’analisi elastica si può condurre, in via approssimata con il

cosiddetto Metodo del Telaio Equivalente (Equivalent Frame

Method)

Questo metodo fornisce una accettabile rappresentazione del

sistema costituito da una assegnata striscia di piastra e dei pilastri

ai quali risulta connessa. Le strisce di piastra ed i pilastri

corrispondenti devono essere considerate secondo ambedue le

direzioni portanti.

Invece di un telaio a tutta altezza normalmente si considera

una serie di sottotelai, rappresentati dalle assegnate strisce di

piastra e dai pilastri connessi, sovrastanti e sottostanti, soggetti

alla più sfavorevole condizione di carico.

I momenti finali possono essere soggetti a ridistribuzione.

a) strisce interne

b) strisce di bordo

ESEMPIO DI DEFINIZIONE DEL TELAIO

EQUIVALENTE

Pianta del solaio

Definizione della linea degli appoggi” in direzione X

Definizione della linea degli appoggi” in direzione Y

Individuazione dei punti di demarcazione per la definizione delle zone appartenenti alle strisce in direzione X

Superfici per il progetto delle strisce in direzione X

Superfici per il progetto delle strisce in direzione Y

Individuazione delle sezioni caratteristiche per il progetto

delle strisce B ed E.

Originale della striscia di piastra

“Raddrizzamento” della striscia

Idealizzazione delle larghezze della striscia caricata per il

progetto

Vista in sezione del “Telaio Equivalente”

RIPARTIZIONE DEL MOMENTO

I momenti ottenuti dalla risoluzione del telaio equivalente

rappresentano il momento risultante totale riferito alla striscia

considerata.

Ovviamente la distribuzione dei momenti sulla larghezza della striscia non risulta uniforme, non essendo la striscia

sostenuta in modo uguale su tutta la sua larghezza, ma essendo al

contrario appoggiata solo nel punto centrale sul pilastro.

Per assicurare che la distribuzione delle armature corrisponda

approssimativamente alla distribuzione dei momenti che potremo

calcolare con una analisi rigorosa della soletta, la striscia di piastra

viene suddivisa in due strisce di uguale larghezza:

• una prima striscia centrata sul pilastro;

• una seconda striscia mediana (divisa in due parti

uguali, una da ciascun lato).

striscia

sul pilastro striscia

mediana momento negat. sui pilastri di bordo Msu,edge 100%

(*) 0%

momento negat. sui pilastri interni Msu,int 75% 25%

momento posit. nelle campate Msp 55% 45%

I momenti vengono ripartiti sulle due strisce secondo la

tabella precedente. (*) Il momento deve risultare comunque

inferiore a 0.18⋅⋅⋅⋅be⋅⋅⋅⋅d2⋅⋅⋅⋅fck , come verrà chiarito quando si parlerà

dei pilastri di bordo

MOMENTI MINIMI PER RESISTENZA A

PUNZONAMENTO

La larghezza delle “strisce sui pilastri” e delle “strisce

mediane”, unitamente alla distribuzione dei ferri delle armature

devono essere scelti in modo da riflettere il comportamento della

piastra. Occorre considerare valori minimi del momento al fine di

garantire il raggiungimento della resistenza al punzonamento nella

connessione piastra-pilastro (vedi di seguito: taglio).

Momenti minimi per resistenza a taglio da punzonamento

caso Larghezza

striscia

Momento

Totale negativo

Momento

Totale positivo

Pilastro interno 0.3⋅lp 0.0375⋅VSd⋅lp ---

Pilastro al bordo

in direz. ort. 0.3⋅lp 0.0375⋅VSd⋅lp 0.0375⋅VSd⋅lp

Pilastro al bordo

in direz. parall. 0.15⋅lp 0.0375⋅VSd⋅lp ---

Pilastro di

spigolo 0.15⋅lp 0.0750⋅VSd⋅lp 0.0750⋅VSd⋅lp

N.B. Per i momenti in direzione x lp= ly, per quelli in direzione y

lp= lx. VSd= forza tagliante di progetto, alla connessione piastra-pilastro

PIASTRE CON PANNELLI (drop panel)

Striscia mediana

Dimensione del pannello

Se la soletta ha pannelli di irrigidimento (drop panels) allora la

larghezza della striscia sul pilastro è assunta pari alla larghezza del

pannello, posto che questo non deve essere inferiore a lx / 3.

La striscia sul pilastro deve essere simmetrica rispetto al inasto

interno. Se le dimensioni del pannello adiacente sono diverse, lo spessore

della striscia sul pilastro si assume a partire dalla dimensione maggiore.

DISTRIBUZIONE DELL’ARMATURA In generale le armature richieste in ogni ‘striscia di pilastri’ e ‘strisce

centrali’ devono essere distribuite uniformemente nella striscia.

Si fa eccezione per le armature occorrenti ad assorbire il momento

negativo nei pilastri interni delle strisce sui pilastri per le piastre di

uniforme spessore senza pannelli di irrigidimento:

In questo caso i 2/3 dell’armatura sono posizionati in una striscia

pari a metà della larghezza della striscia sui pilastri, in modo simmetrico

rispetto all’asse della colonna; il rimanente 1/3 è posizionato nella

rimanente metà della larghezza della striscia.

Come agevolmente si comprende, ai fini della distribuzione delle

armature superiori (momento negativo) in prossimità dei pilastri interni, la

piastra deve considerarsi suddivisa in tre strisce (vedi figura).

La distribuzione a collasso della fessurazione, sperimentalmente

verificata in un test con piastra di spessore uniforme a 4 campi, sembra

giustificare l’approccio precedente.

MOMENTO TRASFERITO AI PILASTRI

Il momento Mt viene trasferito dalla piastra ai pilastri

mediante tre differenti azioni:

flessione torsione taglio

Nei pilastri interni il meccanismo è favorito dalla coppia di

compressione (effetto ’push-push’) esercitata dalla piastra continua.

Nei pilastri di bordo non esiste la continuità della piastra; le

fessurazioni flessionale e torsionale della piastra, in prossimità delle

superfici laterali del pilastro, riducono la capacità di trasferire momento.

Il momento trasferito comprende una componente MMMMffff

equilibrata dall’acciaio che attraversa la superficie della colonna

(parallela al bordo) a contatto con la piastra, e le due componenti MMMMtttt

equilibrate dall’acciaio distribuito sulle superfici “r” in ambedue le

pareti laterali della colonna , che sono trasferiti al pilastro come

torsionei sulle superfici laterali.

La larghezza di piastra sulla quale si attua il trasferimento del

momento è pari a ccccxxxx + 2·r2·r2·r2·r, , , , dove rrrr è pari a ccccy per le piastre y per le piastre y per le piastre y per le piastre di

spessore sino a 300 mm, e pari a 1.671.671.671.67···· ccccy y y y per le piastre di

spessori più elevati. Occorre ovviamente disporre adeguate armature di torsione

lungo la suddetta larghezza di piastra. In genere soddisfano allo

scopo armature ad “U” in prossimità del bordo.

Occorre porre una limitazione al momento MMMMt,maxt,maxt,maxt,max trasferito

ad un pilastro di bordo per assicurare che la sezione della piastra non

risulti iper-armata. Questo limite, come in precedenza anticipato, è

pari a :

MMMMt,maxt,maxt,maxt,max = 0.18····bbbbeeee····dddd2222····ffffckckckck Il momento massimo che può essere trasferito è funzione della

larghezza efficace di piastra bbbbeeee che dipende dalla forma del pilastro e

dalla sua posizione relativa rispetto alla piastra:

Il momento MMMMt,maxt,maxt,maxt,max è di origine sperimentale.

Esso trova una giustificazione nell’assunzione di un limite al valore

dello spessore di zona compressa nel calcestruzzo della piastra.

Assumendo x=kd come ampiezza di zona compressa del

calcestruzzo l’espressione del momento relativo ad una sezione

in C.A. di larghezza be e distanza delle armature dal lembo

compresso d risulta:

MMMMt,maxt,maxt,maxt,max = 0.80····kdkdkdkd· b· b· b· beeee((((0.85···· ffffckckckck /1.5)(dddd-0.4····kd) = kd) = kd) = kd) = 18·b·b·b·beeee·d·d·d·d2222·f·f·f·fckckckck

se si assume k=0.5k=0.5k=0.5k=0.5.

REDISTRIBUZIONE DEI MOMENTI

Se il momento elastico MMMMsusususu derivato dall’analisi eccedesse

MMMMt,maxt,maxt,maxt,max , il primo deve essere ridotto ad un valore non superiore al

secondo e, in egual misura, si deve operare la redistribuzione

incrementando il momento in campata.

Se l’analisi elastica è effettuata con il metodo del grigliato o col

metodo degli elementi finiti la riduzione del momento non deve superare

il 30%.

Se invece si utilizza il metodo del telaio equivalente la riduzione

non deve superare il 50%.

La differenza risulta dal fatto che l’ultimo metodo è il più

cautelativo.

Se il momento ridotto, nel rispetto delle precedenti limitazioni,

supera ancora il valore MMMMt,maxt,maxt,maxt,max occorre modificare la struttura in modo

sostanziale valutando le seguenti opzioni:

• introdurre travi nel bordo;

• ridurre la campata;

• ridurre i carichi;

• modificare l’ubicazione del pilastro e/o aggiungere una

parte a sbalzo;

• aumentare la resistenza del calcestruzzo;

• aumentare lo spessore della piastra.

PUNZONAMENTO

In assenza di travi, per trasferire i carichi dalla piastra al pilastro, si

creano delle concentrazioni delle forze di taglio alla sommità del

pilastro alle quali la piastra deve essere in grado di resistere.

Se la forza di taglio supera la resistenza che la piastra può opporre, la

piastra può essere “spinta in basso” in prossimità del pilastro. Questo tipo

di collasso è chiamato punzonamento (la colonna può essere considerata

come un “punzone” per la piastra).

La superficie di collasso della piastra intorno al pilastro può forma un

tronco di cono o un tronco di piramide.

La linea di collasso nel lembo superiore della piastra è detto

perimetro critico.

Il progetto si fonda sulla risultante totale del taglio agente sulle

facce del pilastro in una assegnata direzione.

Qualora al pilastro venga trasferito momento flettente la

distribuzione dell’azione tagliante risulta non uniforme e pertanto occorre

considerare una azione di taglio efficace . Si considera una azione convenzionale VVVVSdSdSdSd,eff ,eff ,eff ,eff ==== ββββ⋅⋅⋅⋅VVVVSdSdSdSd per mettere in conto le concentrazioni

locali.

Nel caso di una soluzione effettuata con il metodo del telaio

equivalente si deve considerare la direzione più sfavorevole.

Forza di taglio efficace per piastre piane V V V VSdSdSdSd,eff ,eff ,eff ,eff ==== ββββ⋅⋅⋅⋅VVVVSdSdSdSd

condizione ββββ

Se non esiste alcuna possibilità che al pilastro possa essere

trasferito momento flettente

1.0

Pilastri interni 1.15

Pilastri al bordo 1.40

Pilastri di spigolo 1.50

Per prevenire il collasso per punzonamento la piastra può essere

dotata di armature a taglio o, fatto equivalente, la sommità del pilastro

può essere dotato di ingrossamento (capitello) ovvero lo spessore della

piastra può essere adeguatamente aumentato con pannelli di

irrigidimento (drop panels).

Il punzonamento sarà discusso per esteso come argomento

successivo.

CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI

E’ evidente che a parita di luce e rigidezza le inflessioni al centro di

un pannello di piastra piana, appoggiata su pilastri, sono molto maggiori di

quelle di un uguale pannello di piastra appoggiato con continuità sui bordi.

Inoltre al variare del rapporto fra le luci la piastra appoggiata sui pilastri è

ulteriormanta sfavorita in quanto le sue inflessioni crescono con il cubo del

lato maggiore mentre quelle della piastra supportata sui bordi cresce con il

cubo del lato più corto.

Una accettabile approssimazione per calcolare la inflessione a breve

termine aaaammmm consiste nel sommare le inflessioni nella direzione delle due

campate aaaaxxxx e aaaayyyy calcolate con il metodo del telaio equivalente.

aaaammmm = = = = aaaaxxxx + + + + aaaayyyy